X线层析摄影合成中的图像移位消去法
作者：温俊海 程敬之
单位：西安交通大学 (710049)
关键词：层析摄影合成；重建；Vandermonde矩阵
中国医疗器械杂志990102 提要：传统CT需要全方位的投影像，传统X线层析摄影合成(TOMOSYNTHESIS)不需要全方位的投影像，但成像不清晰。本文介绍X线层析摄影合成中最近提出的频域反卷积影像法(FDDI)，克服了传统层析摄影合成方法不清晰的缺点，但FDDI的计算量大，计算中零频率丢失。我们利用Vandermonde矩阵求逆的特性和我们提出的空间域图像移位消去法，可以用较少的计算量求解出卷积方程组，从而快速重建断层像。
Image Displacement Elimination Method In Tomosynthesis
, http://www.100md.com Wen Junhai Cheng Jingzhi
Xi'an Jiaotong University
ABSTRACT Computerized Tomography needs projected images from all directions, tomosynthesis doesn't need the information from all directions, but its reconstruction image is indistinct. In this paper, we introduce Frequency Domain Deconvolution Imaging(FDDI) which proposed recently. FDDI overcomes shortcoming of tomosynthesis, but FDDI's calculation is large, and its zero frequency will lose. we propose a new method-image displacement elimination method(IDEM), it overcome shortcomings of FDDI and can solve convolution equation set in space domain quickly.
, 百拇医药
KEY WORDS Tomosynthesis Reconstruction Vandermonde Matrix
计算机断层(Computer Tomograph.简称CT)作为一种能够清晰重现人体组织的断层像的方法，在医疗诊断中被广泛采用。但常规的X线CT仍有一些局限性：其中最主要的是传统CT采用的重建方法必须获取被检查体的全方位投影信息，需要用X线源和检测器把被检查体围起来，因此其设备庞大，价格昂贵，检查体的体积受到限制。
近年来，为了克服这一弱点，研究者们提出了许多方法来研究不完全投影数据图像重建的问题[1][2]。X线层析摄影合成(TOMOSYNTHESIS)[3][4][5]和频域反卷积影像法(Frequency Domain Deconvolution Imaging,简称FDDI)[6]就是其中的两种。但前一方法得到的断层图像不鲜明，含有断层以外的模糊像。后一方法的计算量大，计算中零频率丢失。我们提出的方法，是在空间域直接求解卷积方程组，这将有效地解决存在的问题。
, http://www.100md.com
1 问题的提出
频域反卷积影像法(FDDI)。这种方法在获取若干投影像上与传统的Tomosynthesis完全一样。但是，所不同的是在重构图像时，传统的Tomosynthesis是直接处理，叠加投影数据，而FDDI是将投影数据变换到空间频域中处理。其前提是把检查体视为与检查台平行的微量厚度的有限个薄层“堆积”而成。因此可以认为：某角度下的一次投影象就是所有各层的X线吸收图案经过适当位移之后线性叠加而成。各层的位移结果就相当于该层的X线吸收图案与相应的位移传输特性的卷积。如图1。
FDDI中投影像和各断层像的关系可表示为下面的方程组：
图1 FKKI中投影示意图
(1)
, 百拇医药
式中，gp(u,v)是投影角为θp时，检测器得到的投影像。
fi(u,v)是第i层图像的X线吸收图案。
iΔp表示投影角为θp时，第i+1层相对于第1层的位移。
Δp=d.tgθp d为每层的厚度。
FDDI中，对(1)式的两边对v进行傅氏变换：
求解方程组(2)，可得各个断层像的傅氏变换，反傅氏变换可得与被检查体的X线吸收系数图案成比例的各个断层像。
FDDI克服了传统CT的局限性，设备简单，但FDDI还存在一些问题需要解决：FDDI中需要对各投影像及各层的传输特性进行Fourier变换，求解联立方程组后，再将结果反变换回空间域。时间花费很大，且在变换中零频率信息丢失。
, 百拇医药
FDDI中问题的产生是由于Fourier变换，如果能在空间域直接求解联立的卷积方程组，将解决这一问题。针对这一点，我们提出一种有效的方法，在空间域直接求解卷积方程组—空间域图像移位消去[7](Image Displacement Elimination Method,简称IDEM)。
2 空间域图像移位消去法
为了克服这些不足，我们通过分析认识到频域的求解过程是可以在空间域内完成的。提出了空间域图像移位消去法(IDEM)。
2.1 理论分析
(2) 式中的系数矩阵为
(3)
上式又可写为：
(4)
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上面矩阵的转置是Vandermonde矩阵，因为矩阵行列式的值等于这个矩阵转置的行列式的值。所以，矩阵(4)的行列式的值为：
(5)
矩阵(4)中第N列的每个元素的代数余子式也是Vandermonde矩阵，其行列式的值分别为：
(6)
所以：
(7)
对(5)，(6)，(7)式进行反傅氏变换，可得：
D*fn(u,v)=D1*g1(u,v)+D2*g2(u,v)+…+Dn*gn(u,v)(8)
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其中：
D=[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-1)]*[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-2)]*…*
[δ(v-Δi)-δ(v-Δj)]*…*[δ(v-Δ2)-δ(v-Δ1)]
n≥i>j≥1
D1=[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-1)]*[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-2)]*…*
[δ(v-Δi)-δ(v-Δj)]*…*[δ(v-Δ3)-δ(v-Δ2)](-1)n+1
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n≥i>j≥1 i,j≠1…
Dn=[δ(v-Δn-1)-δ(v-Δn-2)]*[δ(v-Δn-1)-δ(v-Δn-3)]*…*
[δ(v-Δi)-δ(v-Δj)]*…*[δ(v-Δ2)-δ(v-Δ1)](-1)n+n
n≥i>j≥1 i,j≠n 2.2 几点说明
1. 从(8)式可以看出频域的求解过程是可以在空间域内完成，通过对g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)分别卷积D1，D2…Dn 后相加，可以得到只含有单一fn(u,v)的图像D*fn(u,v)，对D*fn(u,v)反卷积可得fn(u,v)。
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2. 在具体计算中，卷积δ(v-Δn)相当于移位Δn,g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)分别卷积D1，D2…Dn可以看做是对投影像g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)分别进行D1，D2…Dn所表示的移位迭加，得到的图像D*fn(u,v)也可看作是fn(u,v)按D进行的自身移位迭加，迭加位置由D决定。
3.得到的图像D*fn(u,v)后，可以用反卷积法在空间域直接求得fn(u,v),也可将其变换到频域，在频域求解后再反变换回空间域，也可利用文献(7)中介绍的向右平推法得到fn(u,v)。
, http://www.100md.com
4. 从g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)中减去fn(u,v)，用上述方法可得fn-1(u,v)，以此类推，可得fi(u,v)(i=1…n)。
5. 需要指出的是，上面在空间域的求解公式并不是唯一的，最好的，只是提供了一种方法。实际上，利用Vandermonde矩阵的特点，还有其它的空间域求解方法，但在计算中，都是利用在频域求得的公式，在空间域求解，都可归结为一定的移位，迭加和消去的过程。
3 结束语
用IDEM方法，全部运算都是实数的加。而如果用FDDI在频域求解，运算为复数运算。其中存在复数乘和除，其运算量比单一的实数加的运算量大的多。另外，频域求解还要进行傅氏的正反变换，也是比较费时的。由此可见，IDEM具有一定的优越性，在文献(7)中，我们利用计算机仿真验证了IDEM方法的正确性和优越性。同时我们也看到在计算中，其对噪声的影响比较敏感，是今后需要加以研究的重要方面。
, 百拇医药
参 考 文 献
1. Sze Fong yau et al. A Liner Sinogram Extrapolator for Limited Angle Tomography. Proceedings of Icsp'96.Beijing.386-389.
2. 朱扬明等.不完全投影数据图像重建的最小交叉熵算法.上海交通大学学报.1992；26(3):29-35.
3. D. Grant. TOMOSYNTHESIS:A Three _Dimensional Radiographic Imaging Technique. IEEE Trans. Biomed. Eng, BME 19,1972_01:P20-284.
4. Hans E Knvtsson et al. Ectomography_A New
, 百拇医药
Radiographic Reconstruction Method_I, Theory and Error
Estimates. IEEE trans. Biomedical Engineering. 1980;Vo1. BME_27 (11):640-648
5. Christer U. Petersson et al Ectomography_A New
Radiographic Reconstruction Method_Ⅱ, Computer Simulated
Experiments. IEEE trans. Biomedical Engineering, 1980;BME_27(11):649-655
6. 平野圭藏.周波数领域テコポリエサ—シヨン映像法(FDDI)によゐX线断层摄影法.电子情报通信学会论文志D—Ⅱ，1992.
7. Wen junhai et al. Reconstruct Sectional Image Through The Medium of Image Displacement Elimination method In space Domain. Proc. of ICSP'96,Beijing, 1996,Oct. 14-18，Vol. 2:P1094-1097.
8. 谌飙等.X线三维成像和三维显示.中国医疗器械杂志，1995；19(5):274-277.
(1998年2月6日收稿), http://www.100md.com
单位：西安交通大学 (710049)
关键词：层析摄影合成；重建；Vandermonde矩阵
中国医疗器械杂志990102 提要：传统CT需要全方位的投影像，传统X线层析摄影合成(TOMOSYNTHESIS)不需要全方位的投影像，但成像不清晰。本文介绍X线层析摄影合成中最近提出的频域反卷积影像法(FDDI)，克服了传统层析摄影合成方法不清晰的缺点，但FDDI的计算量大，计算中零频率丢失。我们利用Vandermonde矩阵求逆的特性和我们提出的空间域图像移位消去法，可以用较少的计算量求解出卷积方程组，从而快速重建断层像。
Image Displacement Elimination Method In Tomosynthesis
, http://www.100md.com Wen Junhai Cheng Jingzhi
Xi'an Jiaotong University
ABSTRACT Computerized Tomography needs projected images from all directions, tomosynthesis doesn't need the information from all directions, but its reconstruction image is indistinct. In this paper, we introduce Frequency Domain Deconvolution Imaging(FDDI) which proposed recently. FDDI overcomes shortcoming of tomosynthesis, but FDDI's calculation is large, and its zero frequency will lose. we propose a new method-image displacement elimination method(IDEM), it overcome shortcomings of FDDI and can solve convolution equation set in space domain quickly.
, 百拇医药
KEY WORDS Tomosynthesis Reconstruction Vandermonde Matrix
计算机断层(Computer Tomograph.简称CT)作为一种能够清晰重现人体组织的断层像的方法，在医疗诊断中被广泛采用。但常规的X线CT仍有一些局限性：其中最主要的是传统CT采用的重建方法必须获取被检查体的全方位投影信息，需要用X线源和检测器把被检查体围起来，因此其设备庞大，价格昂贵，检查体的体积受到限制。
近年来，为了克服这一弱点，研究者们提出了许多方法来研究不完全投影数据图像重建的问题[1][2]。X线层析摄影合成(TOMOSYNTHESIS)[3][4][5]和频域反卷积影像法(Frequency Domain Deconvolution Imaging,简称FDDI)[6]就是其中的两种。但前一方法得到的断层图像不鲜明，含有断层以外的模糊像。后一方法的计算量大，计算中零频率丢失。我们提出的方法，是在空间域直接求解卷积方程组，这将有效地解决存在的问题。
, http://www.100md.com
1 问题的提出
频域反卷积影像法(FDDI)。这种方法在获取若干投影像上与传统的Tomosynthesis完全一样。但是，所不同的是在重构图像时，传统的Tomosynthesis是直接处理，叠加投影数据，而FDDI是将投影数据变换到空间频域中处理。其前提是把检查体视为与检查台平行的微量厚度的有限个薄层“堆积”而成。因此可以认为：某角度下的一次投影象就是所有各层的X线吸收图案经过适当位移之后线性叠加而成。各层的位移结果就相当于该层的X线吸收图案与相应的位移传输特性的卷积。如图1。
FDDI中投影像和各断层像的关系可表示为下面的方程组：
图1 FKKI中投影示意图
(1), 百拇医药
式中，gp(u,v)是投影角为θp时，检测器得到的投影像。
fi(u,v)是第i层图像的X线吸收图案。
iΔp表示投影角为θp时，第i+1层相对于第1层的位移。
Δp=d.tgθp d为每层的厚度。
FDDI中，对(1)式的两边对v进行傅氏变换：
求解方程组(2)，可得各个断层像的傅氏变换，反傅氏变换可得与被检查体的X线吸收系数图案成比例的各个断层像。
FDDI克服了传统CT的局限性，设备简单，但FDDI还存在一些问题需要解决：FDDI中需要对各投影像及各层的传输特性进行Fourier变换，求解联立方程组后，再将结果反变换回空间域。时间花费很大，且在变换中零频率信息丢失。
, 百拇医药
FDDI中问题的产生是由于Fourier变换，如果能在空间域直接求解联立的卷积方程组，将解决这一问题。针对这一点，我们提出一种有效的方法，在空间域直接求解卷积方程组—空间域图像移位消去[7](Image Displacement Elimination Method,简称IDEM)。
2 空间域图像移位消去法
为了克服这些不足，我们通过分析认识到频域的求解过程是可以在空间域内完成的。提出了空间域图像移位消去法(IDEM)。
2.1 理论分析
(2) 式中的系数矩阵为
(3)上式又可写为：
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上面矩阵的转置是Vandermonde矩阵，因为矩阵行列式的值等于这个矩阵转置的行列式的值。所以，矩阵(4)的行列式的值为：
(5)矩阵(4)中第N列的每个元素的代数余子式也是Vandermonde矩阵，其行列式的值分别为：
(6)所以：
(7)对(5)，(6)，(7)式进行反傅氏变换，可得：
D*fn(u,v)=D1*g1(u,v)+D2*g2(u,v)+…+Dn*gn(u,v)(8)
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其中：
D=[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-1)]*[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-2)]*…*
[δ(v-Δi)-δ(v-Δj)]*…*[δ(v-Δ2)-δ(v-Δ1)]
n≥i>j≥1
D1=[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-1)]*[δ(v-Δn)-δ(v-Δn-2)]*…*
[δ(v-Δi)-δ(v-Δj)]*…*[δ(v-Δ3)-δ(v-Δ2)](-1)n+1
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n≥i>j≥1 i,j≠1…
Dn=[δ(v-Δn-1)-δ(v-Δn-2)]*[δ(v-Δn-1)-δ(v-Δn-3)]*…*
[δ(v-Δi)-δ(v-Δj)]*…*[δ(v-Δ2)-δ(v-Δ1)](-1)n+n
n≥i>j≥1 i,j≠n 2.2 几点说明
1. 从(8)式可以看出频域的求解过程是可以在空间域内完成，通过对g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)分别卷积D1，D2…Dn 后相加，可以得到只含有单一fn(u,v)的图像D*fn(u,v)，对D*fn(u,v)反卷积可得fn(u,v)。
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2. 在具体计算中，卷积δ(v-Δn)相当于移位Δn,g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)分别卷积D1，D2…Dn可以看做是对投影像g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)分别进行D1，D2…Dn所表示的移位迭加，得到的图像D*fn(u,v)也可看作是fn(u,v)按D进行的自身移位迭加，迭加位置由D决定。
3.得到的图像D*fn(u,v)后，可以用反卷积法在空间域直接求得fn(u,v),也可将其变换到频域，在频域求解后再反变换回空间域，也可利用文献(7)中介绍的向右平推法得到fn(u,v)。
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4. 从g1(u,v),g2(u,v)……gn(u,v)中减去fn(u,v)，用上述方法可得fn-1(u,v)，以此类推，可得fi(u,v)(i=1…n)。
5. 需要指出的是，上面在空间域的求解公式并不是唯一的，最好的，只是提供了一种方法。实际上，利用Vandermonde矩阵的特点，还有其它的空间域求解方法，但在计算中，都是利用在频域求得的公式，在空间域求解，都可归结为一定的移位，迭加和消去的过程。
3 结束语
用IDEM方法，全部运算都是实数的加。而如果用FDDI在频域求解，运算为复数运算。其中存在复数乘和除，其运算量比单一的实数加的运算量大的多。另外，频域求解还要进行傅氏的正反变换，也是比较费时的。由此可见，IDEM具有一定的优越性，在文献(7)中，我们利用计算机仿真验证了IDEM方法的正确性和优越性。同时我们也看到在计算中，其对噪声的影响比较敏感，是今后需要加以研究的重要方面。
, 百拇医药
参 考 文 献
1. Sze Fong yau et al. A Liner Sinogram Extrapolator for Limited Angle Tomography. Proceedings of Icsp'96.Beijing.386-389.
2. 朱扬明等.不完全投影数据图像重建的最小交叉熵算法.上海交通大学学报.1992；26(3):29-35.
3. D. Grant. TOMOSYNTHESIS:A Three _Dimensional Radiographic Imaging Technique. IEEE Trans. Biomed. Eng, BME 19,1972_01:P20-284.
4. Hans E Knvtsson et al. Ectomography_A New
, 百拇医药
Radiographic Reconstruction Method_I, Theory and Error
Estimates. IEEE trans. Biomedical Engineering. 1980;Vo1. BME_27 (11):640-648
5. Christer U. Petersson et al Ectomography_A New
Radiographic Reconstruction Method_Ⅱ, Computer Simulated
Experiments. IEEE trans. Biomedical Engineering, 1980;BME_27(11):649-655
6. 平野圭藏.周波数领域テコポリエサ—シヨン映像法(FDDI)によゐX线断层摄影法.电子情报通信学会论文志D—Ⅱ，1992.
7. Wen junhai et al. Reconstruct Sectional Image Through The Medium of Image Displacement Elimination method In space Domain. Proc. of ICSP'96,Beijing, 1996,Oct. 14-18，Vol. 2:P1094-1097.
8. 谌飙等.X线三维成像和三维显示.中国医疗器械杂志，1995；19(5):274-277.
(1998年2月6日收稿), http://www.100md.com