神秘而奇妙的幻方(上)
左：图5右：图6
可以想象，不管是奇数阶幻方，还是偶数阶幻方，不管是正规幻方，还是非正规幻方，要想顺利构造出来，都不是件轻而易举的事。若没有痴迷陶醉的兴趣、锲而不舍的信念和执著不懈的努力，几乎可以肯定是徒劳无功的结局。
下面要向大家介绍的各种奇异珍品幻方，其精彩绝伦的背后更是蕴含着创作者的呕心沥血和百般巧思，令人在叹为观止之余，不禁肃然起敬。
铁板幻方
国外研究幻方的构造大约从14世纪才开始，比我国要晚1000多年。目前所知外国人所造的最早幻方是于 1957 年在西安东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物——铁板幻方(如题图)。它们现存于陕西省历史博物馆。据推测，这两块铁板是13世纪时由阿拉伯天文学家札马鲁丁在中国监制而成。就出土地点和时代背景而言，这个铁板幻方显然受到中国幻方研究的影响。
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经考证鉴定，这块长14厘米，厚1.5厘米的铁板上，铸有阿拉伯数字1～36，恰好构成一个6阶幻方。稍加验证可以发现，这个6阶幻方的幻和为111。除此之外，人们还发现了铁板幻方具备一般6阶幻方不具有的奇妙特性：
第一，铁板幻方中第1行和第6行、第1列和第6列中六个数的平方和相等。
第二，去掉铁板幻方最外一层数字，中间剩下的部分仍然是一个4阶幻方(图7)。这个4阶幻方由 11～26 这16个数组成，其每行、每列及两条对角线上的 4 个数字之和都是 74 。
图7第三，上面提到的4阶幻方还是一个完美幻方。即各条泛对角线(与两条主对角线平行同样经过4个数的线)上的4个数字之和也都是 74。比如：15+19+22+18=23+21+16+14=11+23+26+14=74。
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铁板幻方是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，它表明，当时人们对6阶幻方的数字秘密已经有了一些基本了解。
画家幻方
如果说，艺术家有不按常理出牌的特点，那么，中世纪德国著名画家阿尔勃列希特·丢勒在其功成名就之时，突然宣布开始转向数学研究，这种跨度似乎就难用心血来潮或别出心裁来解释了。即便如此，这位酷爱幻方的画家为其1514 年创作的名画《忧郁》添加的一个特别的背景——4阶幻方(如图8)，足以显示自己业余爱好的非凡水准。
图8用数学眼光来判断，丢勒苦心经营的4阶幻方看似非常普通。唯一比较鲜明的是，幻方最后一行中间两个数是15和14，恰好隐含了这幅作品的创作年代，似乎也仅此而已。由于已经构成的4阶幻方多达880种，为数众多，各有千秋、精彩纷呈，所以人们当初并没有对画中的幻方高看一眼。但到了21世纪，当幻方专家重新浏览这则幻方时，竟然发现数百年来“有眼不识泰山”，其中蕴含却被忽视的种种特性足以让人刮目相看。
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在这个幻方中，角上4个数字之和16+13+4+1=34，等于4阶幻方的和常数，这可不是幻方的常规要求，看似无心却是有意。
在这个幻方中，角上的4个2×2小正方形和中央的一个2×2小正方形的4个数字之和仍等于幻方常数。即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中的机巧令人眼前一亮。
在这个幻方中，对角线上8个数字之和等于不在对角线上的8个数字之和。即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68，这显然出乎人们的意料和想象。
这还没完，人们继续尝试后又有新发现：对角线上8个数字的平方和等于不在对角线上的8个数字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748，这就更为奇巧难得了。
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随后，研究者继续下面的尝试并发现：对角线上8个数字的立方和等于不在对角线上的8个数字的立方和，大家不妨验证一下，它们的和常数都为9248。如此“不变其宗”的机变实在让人拍案叫绝。
一个画家的数学造诣和精巧构思竟然如此高深，配合珠联璧合的挖掘真是叫人叹服。
“富兰克林幻方”
富兰克林是18世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家，其捕捉雷电的故事广为人知。令人惊讶的是，他还是位颇有才华的数学爱好者，曾对幻方进行过深入研究，并制作过一则由1～64组成的8阶幻方，其中还包含4个子幻方(如图9)，至今让幻方迷津津乐道。
稍加辨析，“富兰克林幻方” 除了每行每列的8个数字之和都等于260以外，其内蕴的其他种种奇妙性质，让人在细细回味之余惊讶不已。
图9首先，4个子幻方的每行、每列上各数和为130。, http://www.100md.com(林革)