分形几何学在医学图像处理中的应用
马东 曹培杰 程敬之 王浩军
摘 要 分形几何学是非线性科学中的一个活跃的数学分支，为描述、分析、生成各种自然景物、自然现象提供了合适的模型，具有巨大的实用价值. 近年来，分形几何在医学图像处理方面得到了广泛的应用. 本文介绍了分形理论的基本内容，而后综述了它在医学图像处理中的普遍应用，最后就应用中的有些问题做了讨论.
关键词：分形 医学图像处理 分维 纹理分析
医学图像是医学基础研究和诊断治疗的重要信息来源. 无论是光学显微镜、X光片，还是现代成像技术CT,MR,SPECT，PET等，都将人体内部的微观，宏观结构和功能等多方面的状况以影像反映出来，非常直观地提供了人体解剖、生理及病理信息. 医学图像处理技术是以计算机为主的数字技术，对已获得的医学图像进行图像增强、去噪声、存贮、编码压缩和传输等处理，进一步还可进行三维重建、区域分割、定量测量、特征分析、病理分类、模拟手术等高级处理. 由于计算机是有高速、自动化、智能化等特性，上述处理使最大限度地利用了医学图像中的有用信息.
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在医学图像处理中，常作形态测量和纹理分析. 有关的形态参数如厚度、周长、面积、体积等都属于欧几里德几何学范畴. 但对于人体一些复杂的形态结构却无法用欧氏几何准确描述. 人体内存在的自相似现象，即采用不同观察尺度(放大倍数)，其结构看上去不变或相似. 如消化管超微结构、支气管的多级分支结构、大脑皮层的反卷分布、脑神经的网络相似结构等等. 为描述这种结构，一种新的几何学比欧氏几何更加合适，称为分形几何. 该理论为描述事物的复杂性提供了有力的数学模型、定量参数和方法. 目前分形几何已渗透到数学、物理、化学、天文、以至心理、社会学等许多应用领域. 近些年，在医学图像处理中许多方面也得到应用，如定量分析骨质疏松症、细胞纹理分析、皮肤瘤的诊断分级、图像压缩编码等.
我们主要综述分形几何学的有关概念、图像处理方法及其在医学上的应用，并且分析了这些应用的适用范围和有待解决的问题.
1 分形理论的基本概念
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1.1 分形的提出 分形几何学是由Mandelbrot[1]首先提出并发展为系统理论的. Mandelbrot在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的. 在研究中，他将测量长度与放大比例(尺度)分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分维数来描述. 由此，Mandelbrot进一步发展成分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot集、Cantor集、Koch曲线、Sierpinski地毯等，还可描述复杂对象的几何特性. 与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点:①描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上是有规则性或相似性. ②欧氏几何具有标度，理想分形具有无限的几何标度，而无特征长度. ③欧氏几何描述特征以整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维数是大于1的非整数，具分形的表面分维是大于2的非整数.
1.2 分数布朗运动 分数布朗运动(FBM)是一种分形模型，可以很好地描述分形信号. 它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性. FBM的增量是平稳的，零均值Gaussion随机过程.
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设BH(t)为一随机场，对于0
(1)
Pr(.)为概率测度，F(y)为高斯分布函数,称BH(t)为FBR场，H称Hust系数. 对(1)式取数学期望，EBH(t+Δt)-BH(t)=Ey
(2)
Pentland[2]通过对自然景物纹理图像的研究，证明大多数自然景物的灰度图像是满足多向同性分数FBR场模型的. 因此对FBR场的参数的研究，可以有效地分析分形图像.
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1.3 分形参数 ①分维值DF，可由下式通过Hust系数得到，也有许多其他估计方法(见下节)，DF=D+1-H
(3)
H参数的估计有时域和频域法，都是基于(2)式推导求得. D是拓扑维，对曲线D=1；对FBR表面，D=2. DF是描述分形的主要参数，一般地，当不规则曲线的DF大于1，或纹理表面的DF大于2时，认为它们具有分形性质. ②增量标准差σ，也由(2)式得出. ③无标度区间(εmin，εmax). 理想分形满足(2)式,具有无限标度；对于实际图像，由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使(1)式满足线性关系，称无标度区. 实际图像越接近理想分形其无标度区间越大，即εmax/εmin的值越大. 在此区间，可用线性回归方法估计H值.
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2 分维的估计方法
分维的估计有许多方法[3]，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种.
2.1 数盒子法 对于分形曲线，用可变尺度ε沿曲线度量长度所需N次，N(ε)是随ε而变的，由(1)式可推出
D=
(4)
为求N(ε)，在计算时，以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，ε为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即N(ε). 最后，利用双对数曲线估计H值及分维值D.
同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸ε对应的小立方体总数N(ε)，进而求得分形表面的分维值.
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2.2 功率谱法 对图像先作付氏变换成为频谱图，其功率谱为P(ω)2,而频率半径为R=U2+V2，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归直线求取分维数.
2.3 地毯覆盖方法 设分形表面为g(i,j)，形象地用厚度为2ε的“地毯”覆盖. 则毯的上表面点集为tε(i,j)和下表面bε(i,j)，初始状态为t0(i,j)=b0(i,j)=g(i,j)，当厚度ε=1,2,3,...变化时，tε(i,j)=max{tε-1(i,j)+1,max(m,n)∈Stε-1(m,n)}
(5)
bε(i.j)=max{bε-1(i,j)-1,min(m,n)∈Sbε-1(m,n)}
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其中S为点(i,j)的邻域点集，则在尺度ε下，毯的面积为
A(ε)=∑i,j[tε(i,j)-bε(i,j)]/2ε
(6)
由A(ε)和ε对应的log-log图可估计出分形表面的分维.
3 分形方法用于图像处理
分形理论用于图像(图形)处理的几个方面，即模拟自然景物生成、图像分割、纹理特征提征与纹理分类、图像编码压缩.
3.1 分形图像生成 理想的分形图形(图像)是利用分形的自相似性，通过递归迭代方法生成的；对自然物体的分形生成要更加复杂，需多级嵌套、多级结构，如云彩、海浪、树木等图像. 一种好的分形模型可描述事物的形态、结构以至功能的多种变化.
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3.2 分形方法用于边缘检测和分割 根据离散布郎随机场的理论，若图像表面统计特性满足各向同性时，可由随机场参数H得出表面分维数. 但对于不同区域的交界处，破坏了随机场的一致性，H值发生奇异. 利用这一类可作检测边缘、分割区域的依据. 一般在图像上定义移动窗口，用窗内像素估计该窗口中心点的H值(或分维)，于是用估计出的所有像素的分形参数形成一幅新图，进而可提取边缘.
3.3 分形形状分析和纹理分析 这是目前所见应用最多的一个领域. 具有分形特性的对象，往往表现在边界很不规则、很复杂. 用传统的周长，面积作近似描述很不适合，而采用分形参数如分维数及其导出形状特征可以精确定量描述，为形状分析及目标识别等提供了很好的，也很简洁的特征.
纹理图像也具有复杂性、自相似性等特点尤其是自然纹理，很适于用分形模型来描述. 有关纹理分割和识别主要依据纹理特征，大体分为基于统计特计特征和基于结构特征. 有共生矩阵特征、功率谱特征、Law's纹理能量函数、Marlkov纹理随机场等. Philippe等[4]对多种纹理特征进行多种的实验比较，认为分形维特征是一种非常有效的纹理特征，无论从计算精度、速度还是从判别正确率方面都比较高.
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3.4 迭代函数系统(IFS) IFS是计算机图形学，仿射几何学和分形理论的结合. IFS可提供自然景物的分形图像构造方法用以产生各种形态的景物. IFS还可把一幅复杂的图像通过仿射变换简化至很少的特征量，用于编码存贮和传输，并可以通过拼粘原理再现原图，这使得IFS具有很强的数据压缩能力.
4 分形在医学图像处理中的应用
近几年来许多研究人员将分形方法用于医学图像，证明分形法是一种非常有用的工具. 下面就几个主要方面给予综述.
4.1 X光放射图片纹理分析 多种研究聚焦于骨质疏松症的定量分析和诊断. 因为骨质疏松症是许多并发症(如骨折)发生的预兆. 与通常的骨矿物密度测量法相比[5]，用分形分析判定有骨折危险的骨质疏松症是非侵入性的，能更好地估计骨结构. Southard等[6]对5例上颌牙槽骨作定量去钙处理，模拟骨质疏松症，并对牙放射片作各种方法的纹理分析. 由于钙损失量是已定的，可判别哪种纹理参数与骨矿物质损失相关，其结论是分形维数是很好的反映骨钙化的特征之一.
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Haidekker等[7]对腰椎骨放射片进行分数维计算，并取不同的图像二值化阈值T，从与T有关的分维函数D(T)导出两个参数与骨矿物密度相关性很好，可用于骨质疏松症的定量描述. Dyng等[8]研究了乳腺X光片，发现图像的直方图扭矩和纹理分形参数与乳腺癌分类有强相关性. 这两种定量参数比医生主观判断更可靠，且可分辨出图片上的微小变化.
有文献还讨论了的分维值的一致性问题[9,10]， 表明X线入射方向角、曝光强度及IOR的定位等因素对分维值的影响较小，分形方法有较好的抗干扰能力.
4.2 皮肤肿瘤诊断 恶性黑色瘤在诊断时具有损伤边界不规则的特征. 通过对大量的不规则和非对称的恶性黑色素作了形状分析[11，12]，其边界分维数均大于1，因此认为黑色瘤皮损有分形性质. Claridge等[12]提出将分形维数分成两部分结构分形维和纹理分形维分别描述周边曲线的一般波动和更精细的不规则性. 加上形状因子，他们分别用这3个特征及合并使用来研究分类良性、恶性肿瘤的效果. 结果表明，结构分形维比纹理分形维更有意义，当然，三者结合起来有更高的正确分类.
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4.3 显微图像分形分析和肿瘤识别 直肠息肉特别是小管绒毛腺瘤具有自相似分支模式. Cross等[13]经用盒子维对359例HE染色的息肉的测量，发现包括小管绒毛腺(1.74)，后中质化生息肉(1.64)和炎性息肉(1.49)都具有大于拓扑维的分形维. 证明它们均属分形结构.
在电子显微镜下观察核膜边界也具有不规则性[14]. 在低尺度下核膜周边具有分形性，而高分辨下消失，满足非对称分形模型. 用模型中的参数C，L，Bm进行分析表明，正常细胞C值大，而恶性肿瘤的log(L)和Bm大，可作为定量分析细胞核的手段. Vilela等[15]研究了人工培养肿瘤细胞的分形维. 在生长过程中将分形维与细胞复杂性增长相关联，因而可定量了解培养环境中各因素对细胞的影响作用. 核蛋白质模式的分形纹理特征也表明是判别良性、恶性细胞核的有用工具[16].
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Vassy等[17]对肝细胞分化的各阶段的区别进行了研究. 将肝细胞丝状结构作骨架化处理，测量其线段数量、长度、方向及网状骨架的分维等特征，发现在肝的生长过程中各特征有较大变化.
4.4 血管瘤病理分析 Landini等[18]研究了糖尿病引起的视网膜血管增生，血管网的分形维约1.85(SD0.06)，其研究可指导医生确定是否给患者作激光治疗. Daxer[19]还研究了12例因碱灼伤造成浅表角膜非血管区生成血管网的病理过程. 这些研究揭示了血管生长与视网膜组织结构、表面特性间的关系.
Cross等[20]测得正常肾动脉树状结构的分维是1.61，而那些先天性肾发育不良的，分维明显要低. 同时发现，正常妊娠21周之后，分支的程度至少在小叶水平上分维就保持不变了.
4.5 其它应用 分数布朗模型的特征向量可以反映B超影像的统计纹理特征[21]. 据此，Chen完成了对正常和异常肝脏的分类. 文中还利用分维数变换胸透X光片，达到增强和检测边缘的效果，并且与梯度算子相比不会增加噪声.
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利用图像自相似性，IFS压缩医学图像效果显著[22，23].
Cook等[24]用分形几何定量描述皮层白质MR图像(矢状、冠状面)，正常分维值是1.45±0.06. 对16例前叶癫痫病人观察，从视觉上未能察觉异常，但有9例的分维值小于1.27.
Chen等[25]将分形用于图像分割，对电子显微镜下的细胞图像，以其分形纹理参数分割异染色质、正染色质，比阈值分割方法效果好.
5 讨论
从数学理论和实际可以看出，分形的方法是一种新的有力工具. 由于人体的自相似性很适合用分形分析法，在医学图像处理中有广泛的应用前景. 但是，在用分形理论作图像处理时，还有许多问题值得讨论.
①关于分维数的估计方法一直是研究的重点. 目前已有多种定义的分形维. 如Hansdoff维、盒子维、信息维、Variation维、功率谱维等，虽然它们出自同一种理论基础，但在计算精度、运算复杂性等方面各不相同，应用的场合也有别. Nonnenmacher等[26]比较三种分维方法，认为尺码估计法简单，在病理普查时适合粗略估计分维数；而数盒子法和概率估计法较精确，并且随放大倍数的提高分别从上下两方向逼近理论值. Cross[13]在研究中也比较了若干种分维的估计方法.
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②另一个值得注意的分形参数是εmax和εmin. 只有在此上下区间的尺度内作log-log图才有意义. 医学图像的分形现象与理想分形仍有差别，只在一定尺度范围内有分形性. 因此在应用分形分析医学图像时，有必要考虑这两个参数[12，14，26]. 一味单纯套用公式，不加任何分析，是不足取的.
③要作分形分析，首先应验证处理对象是否有分形性质. 据Mandelbrot的理论，当计算图像(边界和纹理)大于其拓扑维可初步认为它有分形性. 有的文献[27，28]发现普通X光片的骨小梁结构不具分形性. Chung等[28]还通过对比不同的图像信噪比总结出，那些认为骨小梁有分形表面的文献可能是由于信噪比不高造成的伪像. 同样，也要解决临床环境的技术问题[29].
④图像压缩方法因求IFS函数较难，对不同类型图像有不同的IFS函数，影响了这种方法的普及；同时，分形压缩方法运算时间较长，也是将它付诸实用的需解决的问题.
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⑤在用分维数作诊断或预后以及分类时，单靠这一参数不太可靠，在多个研究中，均是以分维作为分类特征之一，如纹理描纹还有直方图扭矩、多孔性、游程长、共生矩阵等多个特征.
综上所述，分形几何以在医学图像处理方面显示了巨大的实用价值，为研究人体复杂机能提供了一种有力的定量工具. 由于该理论涉及数学、计算机图形学、数字图像处理等多种学科的交汇，要用于医学领域，有待各方面人士的关注.
作者简介：马东，男，1967-10-31生，陕西省西安市人，西安交通大学博士生. 发表论文4篇. 电话：(029)3374840
作者单位：马东 曹培杰 程敬之 西安交通大学生物医学工程系，陕西 西安 710049
王浩军 第四军医大学神经科学研究所
参考文献
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医学图像是医学基础研究和诊断治疗的重要信息来源. 无论是光学显微镜、X光片，还是现代成像技术CT,MR,SPECT，PET等，都将人体内部的微观，宏观结构和功能等多方面的状况以影像反映出来，非常直观地提供了人体解剖、生理及病理信息. 医学图像处理技术是以计算机为主的数字技术，对已获得的医学图像进行图像增强、去噪声、存贮、编码压缩和传输等处理，进一步还可进行三维重建、区域分割、定量测量、特征分析、病理分类、模拟手术等高级处理. 由于计算机是有高速、自动化、智能化等特性，上述处理使最大限度地利用了医学图像中的有用信息.
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我们主要综述分形几何学的有关概念、图像处理方法及其在医学上的应用，并且分析了这些应用的适用范围和有待解决的问题.
1 分形理论的基本概念
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1.1 分形的提出 分形几何学是由Mandelbrot[1]首先提出并发展为系统理论的. Mandelbrot在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的. 在研究中，他将测量长度与放大比例(尺度)分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分维数来描述. 由此，Mandelbrot进一步发展成分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot集、Cantor集、Koch曲线、Sierpinski地毯等，还可描述复杂对象的几何特性. 与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点:①描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上是有规则性或相似性. ②欧氏几何具有标度，理想分形具有无限的几何标度，而无特征长度. ③欧氏几何描述特征以整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维数是大于1的非整数，具分形的表面分维是大于2的非整数.
1.2 分数布朗运动 分数布朗运动(FBM)是一种分形模型，可以很好地描述分形信号. 它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性. FBM的增量是平稳的，零均值Gaussion随机过程.
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设BH(t)为一随机场，对于0
(1)
Pr(.)为概率测度，F(y)为高斯分布函数,称BH(t)为FBR场，H称Hust系数. 对(1)式取数学期望，EBH(t+Δt)-BH(t)=Ey
(2)
Pentland[2]通过对自然景物纹理图像的研究，证明大多数自然景物的灰度图像是满足多向同性分数FBR场模型的. 因此对FBR场的参数的研究，可以有效地分析分形图像.
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1.3 分形参数 ①分维值DF，可由下式通过Hust系数得到，也有许多其他估计方法(见下节)，DF=D+1-H
(3)
H参数的估计有时域和频域法，都是基于(2)式推导求得. D是拓扑维，对曲线D=1；对FBR表面，D=2. DF是描述分形的主要参数，一般地，当不规则曲线的DF大于1，或纹理表面的DF大于2时，认为它们具有分形性质. ②增量标准差σ，也由(2)式得出. ③无标度区间(εmin，εmax). 理想分形满足(2)式,具有无限标度；对于实际图像，由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使(1)式满足线性关系，称无标度区. 实际图像越接近理想分形其无标度区间越大，即εmax/εmin的值越大. 在此区间，可用线性回归方法估计H值.
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2 分维的估计方法
分维的估计有许多方法[3]，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种.
2.1 数盒子法 对于分形曲线，用可变尺度ε沿曲线度量长度所需N次，N(ε)是随ε而变的，由(1)式可推出
D=
(4)
为求N(ε)，在计算时，以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，ε为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即N(ε). 最后，利用双对数曲线估计H值及分维值D.
同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸ε对应的小立方体总数N(ε)，进而求得分形表面的分维值.
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2.2 功率谱法 对图像先作付氏变换成为频谱图，其功率谱为P(ω)2,而频率半径为R=U2+V2，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归直线求取分维数.
2.3 地毯覆盖方法 设分形表面为g(i,j)，形象地用厚度为2ε的“地毯”覆盖. 则毯的上表面点集为tε(i,j)和下表面bε(i,j)，初始状态为t0(i,j)=b0(i,j)=g(i,j)，当厚度ε=1,2,3,...变化时，tε(i,j)=max{tε-1(i,j)+1,max(m,n)∈Stε-1(m,n)}
(5)
bε(i.j)=max{bε-1(i,j)-1,min(m,n)∈Sbε-1(m,n)}
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其中S为点(i,j)的邻域点集，则在尺度ε下，毯的面积为
A(ε)=∑i,j[tε(i,j)-bε(i,j)]/2ε
(6)
由A(ε)和ε对应的log-log图可估计出分形表面的分维.
3 分形方法用于图像处理
分形理论用于图像(图形)处理的几个方面，即模拟自然景物生成、图像分割、纹理特征提征与纹理分类、图像编码压缩.
3.1 分形图像生成 理想的分形图形(图像)是利用分形的自相似性，通过递归迭代方法生成的；对自然物体的分形生成要更加复杂，需多级嵌套、多级结构，如云彩、海浪、树木等图像. 一种好的分形模型可描述事物的形态、结构以至功能的多种变化.
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3.2 分形方法用于边缘检测和分割 根据离散布郎随机场的理论，若图像表面统计特性满足各向同性时，可由随机场参数H得出表面分维数. 但对于不同区域的交界处，破坏了随机场的一致性，H值发生奇异. 利用这一类可作检测边缘、分割区域的依据. 一般在图像上定义移动窗口，用窗内像素估计该窗口中心点的H值(或分维)，于是用估计出的所有像素的分形参数形成一幅新图，进而可提取边缘.
3.3 分形形状分析和纹理分析 这是目前所见应用最多的一个领域. 具有分形特性的对象，往往表现在边界很不规则、很复杂. 用传统的周长，面积作近似描述很不适合，而采用分形参数如分维数及其导出形状特征可以精确定量描述，为形状分析及目标识别等提供了很好的，也很简洁的特征.
纹理图像也具有复杂性、自相似性等特点尤其是自然纹理，很适于用分形模型来描述. 有关纹理分割和识别主要依据纹理特征，大体分为基于统计特计特征和基于结构特征. 有共生矩阵特征、功率谱特征、Law's纹理能量函数、Marlkov纹理随机场等. Philippe等[4]对多种纹理特征进行多种的实验比较，认为分形维特征是一种非常有效的纹理特征，无论从计算精度、速度还是从判别正确率方面都比较高.
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3.4 迭代函数系统(IFS) IFS是计算机图形学，仿射几何学和分形理论的结合. IFS可提供自然景物的分形图像构造方法用以产生各种形态的景物. IFS还可把一幅复杂的图像通过仿射变换简化至很少的特征量，用于编码存贮和传输，并可以通过拼粘原理再现原图，这使得IFS具有很强的数据压缩能力.
4 分形在医学图像处理中的应用
近几年来许多研究人员将分形方法用于医学图像，证明分形法是一种非常有用的工具. 下面就几个主要方面给予综述.
4.1 X光放射图片纹理分析 多种研究聚焦于骨质疏松症的定量分析和诊断. 因为骨质疏松症是许多并发症(如骨折)发生的预兆. 与通常的骨矿物密度测量法相比[5]，用分形分析判定有骨折危险的骨质疏松症是非侵入性的，能更好地估计骨结构. Southard等[6]对5例上颌牙槽骨作定量去钙处理，模拟骨质疏松症，并对牙放射片作各种方法的纹理分析. 由于钙损失量是已定的，可判别哪种纹理参数与骨矿物质损失相关，其结论是分形维数是很好的反映骨钙化的特征之一.
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Haidekker等[7]对腰椎骨放射片进行分数维计算，并取不同的图像二值化阈值T，从与T有关的分维函数D(T)导出两个参数与骨矿物密度相关性很好，可用于骨质疏松症的定量描述. Dyng等[8]研究了乳腺X光片，发现图像的直方图扭矩和纹理分形参数与乳腺癌分类有强相关性. 这两种定量参数比医生主观判断更可靠，且可分辨出图片上的微小变化.
有文献还讨论了的分维值的一致性问题[9,10]， 表明X线入射方向角、曝光强度及IOR的定位等因素对分维值的影响较小，分形方法有较好的抗干扰能力.
4.2 皮肤肿瘤诊断 恶性黑色瘤在诊断时具有损伤边界不规则的特征. 通过对大量的不规则和非对称的恶性黑色素作了形状分析[11，12]，其边界分维数均大于1，因此认为黑色瘤皮损有分形性质. Claridge等[12]提出将分形维数分成两部分结构分形维和纹理分形维分别描述周边曲线的一般波动和更精细的不规则性. 加上形状因子，他们分别用这3个特征及合并使用来研究分类良性、恶性肿瘤的效果. 结果表明，结构分形维比纹理分形维更有意义，当然，三者结合起来有更高的正确分类.
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4.3 显微图像分形分析和肿瘤识别 直肠息肉特别是小管绒毛腺瘤具有自相似分支模式. Cross等[13]经用盒子维对359例HE染色的息肉的测量，发现包括小管绒毛腺(1.74)，后中质化生息肉(1.64)和炎性息肉(1.49)都具有大于拓扑维的分形维. 证明它们均属分形结构.
在电子显微镜下观察核膜边界也具有不规则性[14]. 在低尺度下核膜周边具有分形性，而高分辨下消失，满足非对称分形模型. 用模型中的参数C，L，Bm进行分析表明，正常细胞C值大，而恶性肿瘤的log(L)和Bm大，可作为定量分析细胞核的手段. Vilela等[15]研究了人工培养肿瘤细胞的分形维. 在生长过程中将分形维与细胞复杂性增长相关联，因而可定量了解培养环境中各因素对细胞的影响作用. 核蛋白质模式的分形纹理特征也表明是判别良性、恶性细胞核的有用工具[16].
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Vassy等[17]对肝细胞分化的各阶段的区别进行了研究. 将肝细胞丝状结构作骨架化处理，测量其线段数量、长度、方向及网状骨架的分维等特征，发现在肝的生长过程中各特征有较大变化.
4.4 血管瘤病理分析 Landini等[18]研究了糖尿病引起的视网膜血管增生，血管网的分形维约1.85(SD0.06)，其研究可指导医生确定是否给患者作激光治疗. Daxer[19]还研究了12例因碱灼伤造成浅表角膜非血管区生成血管网的病理过程. 这些研究揭示了血管生长与视网膜组织结构、表面特性间的关系.
Cross等[20]测得正常肾动脉树状结构的分维是1.61，而那些先天性肾发育不良的，分维明显要低. 同时发现，正常妊娠21周之后，分支的程度至少在小叶水平上分维就保持不变了.
4.5 其它应用 分数布朗模型的特征向量可以反映B超影像的统计纹理特征[21]. 据此，Chen完成了对正常和异常肝脏的分类. 文中还利用分维数变换胸透X光片，达到增强和检测边缘的效果，并且与梯度算子相比不会增加噪声.
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利用图像自相似性，IFS压缩医学图像效果显著[22，23].
Cook等[24]用分形几何定量描述皮层白质MR图像(矢状、冠状面)，正常分维值是1.45±0.06. 对16例前叶癫痫病人观察，从视觉上未能察觉异常，但有9例的分维值小于1.27.
Chen等[25]将分形用于图像分割，对电子显微镜下的细胞图像，以其分形纹理参数分割异染色质、正染色质，比阈值分割方法效果好.
5 讨论
从数学理论和实际可以看出，分形的方法是一种新的有力工具. 由于人体的自相似性很适合用分形分析法，在医学图像处理中有广泛的应用前景. 但是，在用分形理论作图像处理时，还有许多问题值得讨论.
①关于分维数的估计方法一直是研究的重点. 目前已有多种定义的分形维. 如Hansdoff维、盒子维、信息维、Variation维、功率谱维等，虽然它们出自同一种理论基础，但在计算精度、运算复杂性等方面各不相同，应用的场合也有别. Nonnenmacher等[26]比较三种分维方法，认为尺码估计法简单，在病理普查时适合粗略估计分维数；而数盒子法和概率估计法较精确，并且随放大倍数的提高分别从上下两方向逼近理论值. Cross[13]在研究中也比较了若干种分维的估计方法.
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②另一个值得注意的分形参数是εmax和εmin. 只有在此上下区间的尺度内作log-log图才有意义. 医学图像的分形现象与理想分形仍有差别，只在一定尺度范围内有分形性. 因此在应用分形分析医学图像时，有必要考虑这两个参数[12，14，26]. 一味单纯套用公式，不加任何分析，是不足取的.
③要作分形分析，首先应验证处理对象是否有分形性质. 据Mandelbrot的理论，当计算图像(边界和纹理)大于其拓扑维可初步认为它有分形性. 有的文献[27，28]发现普通X光片的骨小梁结构不具分形性. Chung等[28]还通过对比不同的图像信噪比总结出，那些认为骨小梁有分形表面的文献可能是由于信噪比不高造成的伪像. 同样，也要解决临床环境的技术问题[29].
④图像压缩方法因求IFS函数较难，对不同类型图像有不同的IFS函数，影响了这种方法的普及；同时，分形压缩方法运算时间较长，也是将它付诸实用的需解决的问题.
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⑤在用分维数作诊断或预后以及分类时，单靠这一参数不太可靠，在多个研究中，均是以分维作为分类特征之一，如纹理描纹还有直方图扭矩、多孔性、游程长、共生矩阵等多个特征.
综上所述，分形几何以在医学图像处理方面显示了巨大的实用价值，为研究人体复杂机能提供了一种有力的定量工具. 由于该理论涉及数学、计算机图形学、数字图像处理等多种学科的交汇，要用于医学领域，有待各方面人士的关注.
作者简介：马东，男，1967-10-31生，陕西省西安市人，西安交通大学博士生. 发表论文4篇. 电话：(029)3374840
作者单位：马东 曹培杰 程敬之 西安交通大学生物医学工程系，陕西 西安 710049
王浩军 第四军医大学神经科学研究所
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