拟合体重百分位数曲线的加权三次样条
尚磊 徐勇勇 陈长生 侯茹兰 张水平
摘 要 目的： 年龄别百分位数是许多临床参考值的基本参数，研究一种适用于各种分布、能更精确描述这些基本参数随年龄变化的曲线平滑方法. 方法： 采用加权三次样条对西安市0～18岁儿童青少年体重百分位数进行拟合. 结果： 计算城市儿童体重百分位数的拟合结果和平滑后的百分位数曲线. 结论： 加权三次样条兼顾了曲线拟合中的拟合优度和光滑度，该法不仅可用于各种儿童生长标准研究，也适用于制定其它随年龄变化的临床参考值.
关键词：青春期医学 发育生物学 模型，统计学
0 引言
年龄别百分位数是评价儿童生长发育和临床诊断的重要参考值. 对于近似正态分布的变量，用x±zαs来计算百分位数，而对于偏态分布资料常要计算实际百分位数. 为了得到年龄别光滑的百分位数，这些百分位数需要用手工或其它方法进行平滑[1～3]. 目前常用的平滑方法有多项式、生长模型、核估计和样条函数等. 生长曲线的参数模型的缺点是不能充分考虑个体变异，当年龄范围较宽时有意义的局部变异就会被忽略[4]. 核回归法在Y与T有相同方差时，拟合的百分位数曲线缺乏稳定性[5]. 样条函数是光滑连接的分段多项式，它具有很强的适应数据微小变化的能力，并具有整体光滑性，因而成为曲线拟合的理想工具[6]. 1998年陈长生等[6,7]在国内首先提出了加权样条的拟合方法，并拟合了香港0～7岁儿童体重百分位数曲线，该法可进一步提高拟合的优度和光滑度，缩小拟合的误差. 我们采用加权三次样条拟合了西安市0～18岁儿童体重百分位数曲线，亦得到较满意的拟合结果.
, 百拇医药
1 资料来源和方法
1.1 资料 取自1995年全国0～6岁儿童营养与发育调查和1995年全国学生体质与健康调研西安数据. 将0，1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，18，21，24月与2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18岁作为年龄中位数. 0～6岁每组200人，7岁以后每组100人，城乡、男女一致.
1.2 方法 设某区间[a,b]上有实数t1，t2，…，tn且满足a12<…n1]，[t1，t2]，…，[tn，b]每一区间上f(x)为三次多项式. (2)函数f(x)及其前二阶导数在ti(i=1,2, …，n)处都连续. 则称这样的分段多项式函数为三次样条函数，点ti称为样条函数的节点. 三次样条函数的表达形式有多种，不同形式间等价，显然，令t0=a，tn+1=b，则
, 百拇医药
f(x)=di (x-ti)3+ci (x-ti)2+bi (x-ti)+ai ti≤x≤ti+1
假定ti时残差的权重为wi，wi>0，则加权残差平方和为∑wi (yi-g(ti))2,上述选择函数的惩罚平方和为
S(f)=∑wi (yi-f(xi))+λ∫ba(f''(x))2dx,对于给定的光滑参数λ(λ>0)则使S(f)最小的估计函数f(x)称为惩罚最小二乘估计. 光滑参数λ可由λ=CQ3/1 000给出，C为给定的常数，Q为解释变量的四分位数间距.
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采用NoSA统计软件计算年龄别百分位数，用SAS软件进行拟合，用EXECL软件绘图.
2 结果
2.1 各组体重百分位数拟合结果 见Tab 1.
表1 城市儿童体重百分位数拟合结果
Tab 1 The fitting results of weight centiles for urban children
Centiles
Urban boys
Urban girls
λ Value
, 百拇医药
R2
MSE
λ Value
R2
MSE
3
0.3
0.9754
0.0389
0.3
0.9734
0.0478
, 百拇医药 10
0.3
0.9641
0.0436
0.3
0.9526
0.0730
25
0.3
0.9287
0.0415
0.3
0.9435
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0.0553
50
0.2
0.9992
0.0872
0.3
0.9988
0.0788
75
0.3
0.9388
0.0572
0.3
, http://www.100md.com
0.9215
0.0775
90
0.3
0.9459
0.0898
0.3
0.9018
0.1211
97
0.3
0.9799
0.1998
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0.3
0.9653
0.2345
λ: Smooth parameter; MSE: mean squar error.
Tab 1可见，城男，城女七条百分位数曲线的拟合结果，R2均在0.9以上，MSE(均方误差)较小(均小于0.24)，可见三次加权样条拟合儿童体重百分位数曲线的拟合优度高，结果非常满意.
2.2 各组百分位数曲线图 见Fig 1, 2.
图1 城男0～18岁体重百分位数曲线
Fig 1 Centile curves for urban boys aged 0～18 years
, 百拇医药
图2 城女0～18岁体重百分位数曲线
Fig 2 Centile curves for urban girls aged 0～18 years
3 讨论
我们采用加权三次样条拟合西安市0～18岁儿童青少年体重百分位数曲线，目的在于提供制定生长标准曲线的方法和途径，给出精确，直观的百分位数曲线图，有利于儿童生长发育水平的评价. 拟合结果表明加权样条拟合方法考虑了曲线拟合的优度和光滑度，能够更好地实现曲线拟合的目的.
加权样条方法采用加权残差平方和∑wi (yi-g(ti))2衡量拟合曲线g(t)对[ti，yi]的拟合程度，本文权重采用观察值的方差的倒数，使拟合的程度更接近资料分布的实际，用光滑参数λ表示残差与局部变异间的‘交换率’来衡量拟合曲线的光滑度. λ越大，曲线越光滑，自由度和R2越小，均方差(MSE)也就可能更大，反之，也成立，本研究的λ选择采用直接给出方法，同时兼顾了曲线的光滑度和拟合的优度.
, 百拇医药
加权三次样条方法不仅适用于体重、身高等人体测量资料的生长标准的制定，也适合于人体生理、生化等随年龄变化的指标的临床参考值的制定，如血压，血糖等.
基金项目：全军医药卫生科研基金课题 No. 96M0987
作者简介：尚 磊，男，1968-09-11生，陕西省长武县人，汉族. 1993年西安医科大学预防医学系毕业，助教，96级硕士生，发表论文10篇. 导师徐勇勇. 电话：(029)3374861
作者单位：尚 磊 徐勇勇 陈长生 第四军医大学军事卫勤统计系卫生统计教研室，陕西 西安 710033
侯茹兰 西安医科大学儿少卫生教研室
张水平 西安市妇幼保健医院
, 百拇医药 参考文献
1 Gasser T, Molinari L, Roos M. Methodology for the establishment of growth standards. Horm Res, 1996；45(suppl 2)：2-7
2 Cole TJ, Freeman JV, Preece MA. British 1990 growth referencr centiles for circumference fitted by maximum penalized likehood. Stat Med,1998；17：407-429
3 Healy MJR, Rasbash J, Yang M. Distribution-free estimation of age-related centiles. Ann Hum Biol，1988；15(1):17-22
, 百拇医药
4 Goldstein H. Efficient Statistical modelling of longitudinal data. Ann Hum Biol,1986；13(2):129-141
5 Gao SM, Roche AF, Baumgartner RN et al. Kernel regression for smoothing percentile curves: reference data for calf and subscapular skinfold thicknesses in mexican americans. Am J Clin Nutr,1990;51:908-916
6 陈长生. 非参数回归和生长曲线统计分析方法研究及其医学应用[博士论文]. 西安： 第四军医大学，1998：35-45
7 陈长生，徐勇勇，尚 磊. 儿童生长曲线的光滑样条和核估计拟合. 中国卫生统计，1997；14(4)：1-3, 百拇医药
摘 要 目的： 年龄别百分位数是许多临床参考值的基本参数，研究一种适用于各种分布、能更精确描述这些基本参数随年龄变化的曲线平滑方法. 方法： 采用加权三次样条对西安市0～18岁儿童青少年体重百分位数进行拟合. 结果： 计算城市儿童体重百分位数的拟合结果和平滑后的百分位数曲线. 结论： 加权三次样条兼顾了曲线拟合中的拟合优度和光滑度，该法不仅可用于各种儿童生长标准研究，也适用于制定其它随年龄变化的临床参考值.
关键词：青春期医学 发育生物学 模型，统计学
0 引言
年龄别百分位数是评价儿童生长发育和临床诊断的重要参考值. 对于近似正态分布的变量，用x±zαs来计算百分位数，而对于偏态分布资料常要计算实际百分位数. 为了得到年龄别光滑的百分位数，这些百分位数需要用手工或其它方法进行平滑[1～3]. 目前常用的平滑方法有多项式、生长模型、核估计和样条函数等. 生长曲线的参数模型的缺点是不能充分考虑个体变异，当年龄范围较宽时有意义的局部变异就会被忽略[4]. 核回归法在Y与T有相同方差时，拟合的百分位数曲线缺乏稳定性[5]. 样条函数是光滑连接的分段多项式，它具有很强的适应数据微小变化的能力，并具有整体光滑性，因而成为曲线拟合的理想工具[6]. 1998年陈长生等[6,7]在国内首先提出了加权样条的拟合方法，并拟合了香港0～7岁儿童体重百分位数曲线，该法可进一步提高拟合的优度和光滑度，缩小拟合的误差. 我们采用加权三次样条拟合了西安市0～18岁儿童体重百分位数曲线，亦得到较满意的拟合结果.
, 百拇医药
1 资料来源和方法
1.1 资料 取自1995年全国0～6岁儿童营养与发育调查和1995年全国学生体质与健康调研西安数据. 将0，1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，18，21，24月与2.5，3，3.5，4，4.5，5，5.5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18岁作为年龄中位数. 0～6岁每组200人，7岁以后每组100人，城乡、男女一致.
1.2 方法 设某区间[a,b]上有实数t1，t2，…，tn且满足a
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f(x)=di (x-ti)3+ci (x-ti)2+bi (x-ti)+ai ti≤x≤ti+1
假定ti时残差的权重为wi，wi>0，则加权残差平方和为∑wi (yi-g(ti))2,上述选择函数的惩罚平方和为
S(f)=∑wi (yi-f(xi))+λ∫ba(f''(x))2dx,对于给定的光滑参数λ(λ>0)则使S(f)最小的估计函数f(x)称为惩罚最小二乘估计. 光滑参数λ可由λ=CQ3/1 000给出，C为给定的常数，Q为解释变量的四分位数间距.
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采用NoSA统计软件计算年龄别百分位数，用SAS软件进行拟合，用EXECL软件绘图.
2 结果
2.1 各组体重百分位数拟合结果 见Tab 1.
表1 城市儿童体重百分位数拟合结果
Tab 1 The fitting results of weight centiles for urban children
Centiles
Urban boys
Urban girls
λ Value
, 百拇医药
R2
MSE
λ Value
R2
MSE
3
0.3
0.9754
0.0389
0.3
0.9734
0.0478
, 百拇医药 10
0.3
0.9641
0.0436
0.3
0.9526
0.0730
25
0.3
0.9287
0.0415
0.3
0.9435
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0.0553
50
0.2
0.9992
0.0872
0.3
0.9988
0.0788
75
0.3
0.9388
0.0572
0.3
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0.9215
0.0775
90
0.3
0.9459
0.0898
0.3
0.9018
0.1211
97
0.3
0.9799
0.1998
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0.3
0.9653
0.2345
λ: Smooth parameter; MSE: mean squar error.
Tab 1可见，城男，城女七条百分位数曲线的拟合结果，R2均在0.9以上，MSE(均方误差)较小(均小于0.24)，可见三次加权样条拟合儿童体重百分位数曲线的拟合优度高，结果非常满意.
2.2 各组百分位数曲线图 见Fig 1, 2.
图1 城男0～18岁体重百分位数曲线
Fig 1 Centile curves for urban boys aged 0～18 years
, 百拇医药
图2 城女0～18岁体重百分位数曲线
Fig 2 Centile curves for urban girls aged 0～18 years
3 讨论
我们采用加权三次样条拟合西安市0～18岁儿童青少年体重百分位数曲线，目的在于提供制定生长标准曲线的方法和途径，给出精确，直观的百分位数曲线图，有利于儿童生长发育水平的评价. 拟合结果表明加权样条拟合方法考虑了曲线拟合的优度和光滑度，能够更好地实现曲线拟合的目的.
加权样条方法采用加权残差平方和∑wi (yi-g(ti))2衡量拟合曲线g(t)对[ti，yi]的拟合程度，本文权重采用观察值的方差的倒数，使拟合的程度更接近资料分布的实际，用光滑参数λ表示残差与局部变异间的‘交换率’来衡量拟合曲线的光滑度. λ越大，曲线越光滑，自由度和R2越小，均方差(MSE)也就可能更大，反之，也成立，本研究的λ选择采用直接给出方法，同时兼顾了曲线的光滑度和拟合的优度.
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加权三次样条方法不仅适用于体重、身高等人体测量资料的生长标准的制定，也适合于人体生理、生化等随年龄变化的指标的临床参考值的制定，如血压，血糖等.
基金项目：全军医药卫生科研基金课题 No. 96M0987
作者简介：尚 磊，男，1968-09-11生，陕西省长武县人，汉族. 1993年西安医科大学预防医学系毕业，助教，96级硕士生，发表论文10篇. 导师徐勇勇. 电话：(029)3374861
作者单位：尚 磊 徐勇勇 陈长生 第四军医大学军事卫勤统计系卫生统计教研室，陕西 西安 710033
侯茹兰 西安医科大学儿少卫生教研室
张水平 西安市妇幼保健医院
, 百拇医药 参考文献
1 Gasser T, Molinari L, Roos M. Methodology for the establishment of growth standards. Horm Res, 1996；45(suppl 2)：2-7
2 Cole TJ, Freeman JV, Preece MA. British 1990 growth referencr centiles for circumference fitted by maximum penalized likehood. Stat Med,1998；17：407-429
3 Healy MJR, Rasbash J, Yang M. Distribution-free estimation of age-related centiles. Ann Hum Biol，1988；15(1):17-22
, 百拇医药
4 Goldstein H. Efficient Statistical modelling of longitudinal data. Ann Hum Biol,1986；13(2):129-141
5 Gao SM, Roche AF, Baumgartner RN et al. Kernel regression for smoothing percentile curves: reference data for calf and subscapular skinfold thicknesses in mexican americans. Am J Clin Nutr,1990;51:908-916
6 陈长生. 非参数回归和生长曲线统计分析方法研究及其医学应用[博士论文]. 西安： 第四军医大学，1998：35-45
7 陈长生，徐勇勇，尚 磊. 儿童生长曲线的光滑样条和核估计拟合. 中国卫生统计，1997；14(4)：1-3, 百拇医药