方差分析(二)
作者：梁秋萍
单位：梁秋萍 广西医科大学卫生统计学教研室
关键词：
广西医学990133 多个样本均数经方差分析后，如果概率P大于显著性水准a(一般a=0.05)，则接受H0假设，表明各组样本所来自的总体均数相等，也就是说不同的处理产生的效应是一样的，则分析到此结束。但若方差分析结果P≤a，则拒绝H0，接受H1，表明各处理组(或配伍组)的总体均数不等或不全相等。这是一个笼统的结论，若要具体了解哪两组之间有差别，哪两组之间无差别，需要进一步作两两比较。这种两两比较又根据不同的研究设计，分为两种情况：一种是在设计阶段就根据研究目的或专业知识所决定的某些均数间的比较，常见于证实性研究中多个处理组与对照组的比较，或处理后的不同时间与处理前比较；另一种是在研究设计阶段未预先考虑或预料到，经方差分析结果提示后，才决定对多个样本均数间每两个均数都进行比较，常见于探索性研究。下面分述这两种情况适用的统计分析方法。
, 百拇医药
1.多个样本均数间的两两比较 常用的统计方法是q检验，计算公式为：
(1)
式中
A、B为两个对比组的样本均数，MS误差为方差分析中算得的误差均方(或组内均方)，nA和nB分别为两对比组的样本例数。q检验的方法步骤可用上一讲中的例2来说明。
例2 对治疗前后不同时间血清SGPT均数进行两两比较。
(1)建立假设，确定检验水准
, 百拇医药
H0：任意两对比组的总体均数相等，即μA=μB
H1：μA≠μB a=0.05
(2)将六个样本均数从大到小顺序排列并编上组次：
(3)列出两两比较计算表：
表1。 组次
1
2
3
4
5
, http://www.100md.com
6
均数
221.1
164.6
123.0
86.1
76.9
63.1
组别
治后1周
治后2周
治后3周
治后4周
, http://www.100md.com
治后3天
治疗前
表中第①栏为对比组，当组数较多时可用下式计算两两比较的组合数：
=
，式中R是比较组数(处理组数)，x为两组比较=2，6!(为6的阶乘)=6×5×4×3×2×1，2!=2×1。第②栏为两对比组均数之差，如第一行“1与6”比较A=1，B=6，则221.1-63.1=158.0，余类推。第③栏为A、B两组所包含的组数a(供查表用)，如第一行，“1与6”比较，包含了1、2、3、4、5、6六个组，故a=6，余类推。第④栏q值按式(1)计算，本例在上一讲已求得MS误差=1349。又各组例数均为7，则分母部分为
，故第二行q=158.0/13.88=11.38，余类推。第⑤⑥栏是由q界值表查出的P=0.05和P=0.01的界值(一般的卫生统计学书都有q界值表)。本例V误差=30，当a=6时，q0.05(30,6)=4.30，q0.01(30,6)=5.24，余类推。第⑦栏是将第④栏q值与第⑤⑥栏比较得出的P值。表1 治疗前后六个样本均数两两比较q检验 对比组
, http://www.100md.com
A与B
①
两均数之差A-B
②
组数
a
③
q值
④=
, 百拇医药
q界值
P
⑦
p=0.05
⑤
P=0.01
⑥
1与6
158.0
6
11.38
4.30
5.24
, 百拇医药
<0.01
1与5
144.2
5
10.39
4.10
5.05
<0.01
1与4
135.0
4
9.73
3.85
, http://www.100md.com
4.80
<0.01
1与3
98.1
3
7.07
3.49
4.45
<0.01
1与2
56.5
2
4.07
, http://www.100md.com
2.89
3.89
<0.01
2与6
101.5
5
7.31
4.10
5.05
<0.01
2与5
87.7
4
, http://www.100md.com
6.32
3.85
4.80
<0.01
2与4
78.5
3
5.66
3.49
4.45
<0.01
2与3
41.6
, 百拇医药
2
3.00
2.89
3.89
<0.05
3与6
59.9
4
4.32
3.85
4.80
<0.05
3与5
, 百拇医药
46.1
3
3.32
3.49
4.45
>0.05
3与4
36.9
2
2.66
2.89
3.89
>0.05
, 百拇医药
4与6
23.0
3
1.66
3.49
4.45
>0.05
4与5
9.2
2
0.66
3.89
3.89
, 百拇医药
>0.05
5与6
13.8
2
0.99
2.89
3.89
>0.05
(4)判断结果 治疗一周与各组比较，治疗后2周与治疗前、治疗后3天、治疗后4周、治疗后3周比较，治疗后3周与治疗前比较均拒绝H0，接受H1(即P<0.01或P<0.05)，其余均接受H0(P>0.05)，又结合均数顺序排列表，可以看出治疗后1周SGPT达高峰(均数=221.1)，以后逐渐下降，直至治疗后4周才基本恢复到治疗前的水平。说明该药对肝功能的损害在治疗1周最重，但这种损害是可逆的，到治疗后4周基本恢复到治疗前水平。
, 百拇医药
2.多个实验组与一个对照组均数两两比较若侧重在减少第二类错误(即如果真有差别，增大能检查出差别的把握度)，可用最小显著差法，若侧重在减少第一类错误(即本来就没有差别，意在增加检查结果也没有差别的可信度)，可用新复极差法。现分述如下。
(1)最小显著差法：需要计算统计量t，其公式为
(2)
V=V误差式中各符号函意同式(1)
算得的t值，通过查t界值表作出推断结论。现仍用上一讲中的例2，某新药治疗血吸虫病患者，治疗后不同时间SGPT与治疗前比较。
①治疗后3天与治疗前SGPT比较
H0：治疗后3天与治疗前SGPT相等
, http://www.100md.com
H1：治疗后3天与治疗前SGPT不等
a=0.05
=0.7029
V=V误差=30，查t值表得P>0.40，接受H0，故可认为治疗后3天SGPT与治疗前比较无差别。同法可将治疗1周、2周、3周、4周分别与治疗前比较，得t值和P值分别为8.048(P<0.01)、5.170(P<0.001)、3.051(P<0.005)、1.172(P>0.20)。故可认为治疗后1～3周SGPT均高于治疗前，而第4周恢复到治疗前水平。
(2)新复极差法：检验统计量是q′值，其计算公式为q′=A-B/
, 百拇医药
(3)
计算方法与(2)式相同，只是计算得q′值后需查q′界值表以确定P值，作出推断结论。这里不再举例说明。
3.多个方差的齐性检验：前面讲过，方差分析的应用条件之一是各处理组总体方差相等。因此，在作方差分析前，常需进行多个方差的齐性检验，即通过样本(理论上均来自正态分布总体)信息来推断总体方差是否相等。特别在样本方差相差悬殊时，提醒我们更应注意这个问题。检验统计量是x2值，其计算公式为
(4)
式中
MS组内
, 百拇医药
V=R-1
上式中ni为样本例数，N为总例数，R为样本个数即处理组数，S2i为各样本方差，S2c为合并方差。算得x2值，查x2界值表确定P值，作出推断结论。现以上一讲中例1为例(表1资料)作方差齐性检验。
H0：三个总体方差相等，即
H1：三个总体方差不等或不全相等
a=0.05
先计算样本方差
和合并方差
：
, 百拇医药
0期矽肺组
0～1期矽肺组：
(n2-1)=[647.46-(74.4)2/9]/(9-1)=4.05
I期矽肺组：
1)=[1023.21-(98.7)2/10]/(10-1)=5.459
计算x2值：
分子
, http://www.100md.com
分母
x2=2.72/1.05=2.59 V=3-1=2查x2值表P>0.25接受H0，故可认为此三组资料的方差齐。
如果检验结果方差不齐，不能直接用方差分析，否则可能导致错误结论。解决这个问题的方法有三种：一是通过变量变换，使变换后的方差齐，再以变换值作方差分析；二是采用不需要方差齐的多个样本比较的秩和检验(将在下一讲介绍)；三是用近似F检验(参见郭祖超主编《医用数理统计方法》297～299页)。
4.变量变换：变量变换是将原始数据作某种函数转换，比如转换为对数。它的目的是：①使各组达到方差齐性；②使资料转换为正态分布，以满足方差分析和t检验的应用条件。通常情况下，一种适当的函数转换可以使上述两个目的同时达到。③曲线直线化(待续)。下面介绍几种常用的变量变换方法及用途。
, http://www.100md.com
(1)对数变换：即将原始数据x的对数值作为新的分析数据x=lgx，当原始数据中有小值及零时，亦可取x=lg(x+1)还可根据需要选用x=lg(x+k)或x=lg(k-x)
对数变换 常用于：①使服从对数正态分布的资料正态化，如实验研究中用滴度、效价表示的结果数据，正常人某些徽量元素值；②使资料达到方差齐性的要求，特别是各样本的标准差与均数之比值比较接近时；③使曲线直线化，如指数曲线，常用于曲线拟合。(待续)
(2)平方根变换：即将原始数据x的平方根作为新的分析数据
，当原数据有小值或零时，亦可用
。
平方根变换常用于：①服从poisson分布(待续)的分类资料或轻度偏态资料正态化；②当各样本的方差与均数间呈正相关时，即均数大方差也大，可使这样的资料达到方差齐的要求。
, 百拇医药
(3)倒数变换：即将原数据x的倒数作为新的分析数据x=1/x。
倒数变换常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减少。
(4)平方根反正弦变换：即将原始数据x的平方根反正弦值作为新的分析数据x=sin-1
。
平方根反正弦变换常用于以率为观察值的资料，如淋巴细胞转化率等。一般认为样本率服从二项分布，当总体率较小(如<30%)或较大(如>70%)时，偏离正态较为明显，通过样本率的平方根反正弦变换，可使资料接近正态分布，达到方差齐的要求。
方差分析的用途、步骤和适用条件可概括为如下流程图。
多个样本均数比较方差齐吗?不齐变量变换秩和检验齐配伍组设计两因素方差分析单因素方差分析成组设计有显著性吗?无●有多个实验组与一个对照组比较新复极差法多个样本间每两个的比较q检验法
方差分析用途广泛，但计算较复杂，目前，我教研室和许多单位都备有中西文统计分析软件，只要读者理解了它的基本思想，在做好研究设计的基础上，搜集好有关数据，统计分析就可借助软件来完成，是非常方便快捷的。, 百拇医药
单位：梁秋萍 广西医科大学卫生统计学教研室
关键词：
广西医学990133 多个样本均数经方差分析后，如果概率P大于显著性水准a(一般a=0.05)，则接受H0假设，表明各组样本所来自的总体均数相等，也就是说不同的处理产生的效应是一样的，则分析到此结束。但若方差分析结果P≤a，则拒绝H0，接受H1，表明各处理组(或配伍组)的总体均数不等或不全相等。这是一个笼统的结论，若要具体了解哪两组之间有差别，哪两组之间无差别，需要进一步作两两比较。这种两两比较又根据不同的研究设计，分为两种情况：一种是在设计阶段就根据研究目的或专业知识所决定的某些均数间的比较，常见于证实性研究中多个处理组与对照组的比较，或处理后的不同时间与处理前比较；另一种是在研究设计阶段未预先考虑或预料到，经方差分析结果提示后，才决定对多个样本均数间每两个均数都进行比较，常见于探索性研究。下面分述这两种情况适用的统计分析方法。
, 百拇医药
1.多个样本均数间的两两比较 常用的统计方法是q检验，计算公式为：
(1)
式中
A、B为两个对比组的样本均数，MS误差为方差分析中算得的误差均方(或组内均方)，nA和nB分别为两对比组的样本例数。q检验的方法步骤可用上一讲中的例2来说明。例2 对治疗前后不同时间血清SGPT均数进行两两比较。
(1)建立假设，确定检验水准
, 百拇医药
H0：任意两对比组的总体均数相等，即μA=μB
H1：μA≠μB a=0.05
(2)将六个样本均数从大到小顺序排列并编上组次：
(3)列出两两比较计算表：
表1。 组次
1
2
3
4
5
, http://www.100md.com
6
均数
221.1
164.6
123.0
86.1
76.9
63.1
组别
治后1周
治后2周
治后3周
治后4周
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治后3天
治疗前
表中第①栏为对比组，当组数较多时可用下式计算两两比较的组合数：
=，式中R是比较组数(处理组数)，x为两组比较=2，6!(为6的阶乘)=6×5×4×3×2×1，2!=2×1。第②栏为两对比组均数之差，如第一行“1与6”比较A=1，B=6，则221.1-63.1=158.0，余类推。第③栏为A、B两组所包含的组数a(供查表用)，如第一行，“1与6”比较，包含了1、2、3、4、5、6六个组，故a=6，余类推。第④栏q值按式(1)计算，本例在上一讲已求得MS误差=1349。又各组例数均为7，则分母部分为，故第二行q=158.0/13.88=11.38，余类推。第⑤⑥栏是由q界值表查出的P=0.05和P=0.01的界值(一般的卫生统计学书都有q界值表)。本例V误差=30，当a=6时，q0.05(30,6)=4.30，q0.01(30,6)=5.24，余类推。第⑦栏是将第④栏q值与第⑤⑥栏比较得出的P值。表1 治疗前后六个样本均数两两比较q检验 对比组, http://www.100md.com
A与B
①
两均数之差
A-B②
组数
a
③
q值
④=
, 百拇医药
q界值
P
⑦
p=0.05
⑤
P=0.01
⑥
1与6
158.0
6
11.38
4.30
5.24
, 百拇医药
<0.01
1与5
144.2
5
10.39
4.10
5.05
<0.01
1与4
135.0
4
9.73
3.85
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4.80
<0.01
1与3
98.1
3
7.07
3.49
4.45
<0.01
1与2
56.5
2
4.07
, http://www.100md.com
2.89
3.89
<0.01
2与6
101.5
5
7.31
4.10
5.05
<0.01
2与5
87.7
4
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6.32
3.85
4.80
<0.01
2与4
78.5
3
5.66
3.49
4.45
<0.01
2与3
41.6
, 百拇医药
2
3.00
2.89
3.89
<0.05
3与6
59.9
4
4.32
3.85
4.80
<0.05
3与5
, 百拇医药
46.1
3
3.32
3.49
4.45
>0.05
3与4
36.9
2
2.66
2.89
3.89
>0.05
, 百拇医药
4与6
23.0
3
1.66
3.49
4.45
>0.05
4与5
9.2
2
0.66
3.89
3.89
, 百拇医药
>0.05
5与6
13.8
2
0.99
2.89
3.89
>0.05
(4)判断结果 治疗一周与各组比较，治疗后2周与治疗前、治疗后3天、治疗后4周、治疗后3周比较，治疗后3周与治疗前比较均拒绝H0，接受H1(即P<0.01或P<0.05)，其余均接受H0(P>0.05)，又结合均数顺序排列表，可以看出治疗后1周SGPT达高峰(均数=221.1)，以后逐渐下降，直至治疗后4周才基本恢复到治疗前的水平。说明该药对肝功能的损害在治疗1周最重，但这种损害是可逆的，到治疗后4周基本恢复到治疗前水平。
, 百拇医药
2.多个实验组与一个对照组均数两两比较若侧重在减少第二类错误(即如果真有差别，增大能检查出差别的把握度)，可用最小显著差法，若侧重在减少第一类错误(即本来就没有差别，意在增加检查结果也没有差别的可信度)，可用新复极差法。现分述如下。
(1)最小显著差法：需要计算统计量t，其公式为
(2)V=V误差式中各符号函意同式(1)
算得的t值，通过查t界值表作出推断结论。现仍用上一讲中的例2，某新药治疗血吸虫病患者，治疗后不同时间SGPT与治疗前比较。
①治疗后3天与治疗前SGPT比较
H0：治疗后3天与治疗前SGPT相等
, http://www.100md.com
H1：治疗后3天与治疗前SGPT不等
a=0.05
=0.7029
V=V误差=30，查t值表得P>0.40，接受H0，故可认为治疗后3天SGPT与治疗前比较无差别。同法可将治疗1周、2周、3周、4周分别与治疗前比较，得t值和P值分别为8.048(P<0.01)、5.170(P<0.001)、3.051(P<0.005)、1.172(P>0.20)。故可认为治疗后1～3周SGPT均高于治疗前，而第4周恢复到治疗前水平。
(2)新复极差法：检验统计量是q′值，其计算公式为q′=
A-B/, 百拇医药
(3)
计算方法与(2)式相同，只是计算得q′值后需查q′界值表以确定P值，作出推断结论。这里不再举例说明。
3.多个方差的齐性检验：前面讲过，方差分析的应用条件之一是各处理组总体方差相等。因此，在作方差分析前，常需进行多个方差的齐性检验，即通过样本(理论上均来自正态分布总体)信息来推断总体方差是否相等。特别在样本方差相差悬殊时，提醒我们更应注意这个问题。检验统计量是x2值，其计算公式为
(4)
式中
MS组内
, 百拇医药
V=R-1
上式中ni为样本例数，N为总例数，R为样本个数即处理组数，S2i为各样本方差，S2c为合并方差。算得x2值，查x2界值表确定P值，作出推断结论。现以上一讲中例1为例(表1资料)作方差齐性检验。
H0：三个总体方差相等，即
H1：三个总体方差不等或不全相等
a=0.05
先计算样本方差
和合并方差：, 百拇医药
0期矽肺组
0～1期矽肺组：
(n2-1)=[647.46-(74.4)2/9]/(9-1)=4.05I期矽肺组：
1)=[1023.21-(98.7)2/10]/(10-1)=5.459计算x2值：
分子
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分母
x2=2.72/1.05=2.59 V=3-1=2查x2值表P>0.25接受H0，故可认为此三组资料的方差齐。
如果检验结果方差不齐，不能直接用方差分析，否则可能导致错误结论。解决这个问题的方法有三种：一是通过变量变换，使变换后的方差齐，再以变换值作方差分析；二是采用不需要方差齐的多个样本比较的秩和检验(将在下一讲介绍)；三是用近似F检验(参见郭祖超主编《医用数理统计方法》297～299页)。
4.变量变换：变量变换是将原始数据作某种函数转换，比如转换为对数。它的目的是：①使各组达到方差齐性；②使资料转换为正态分布，以满足方差分析和t检验的应用条件。通常情况下，一种适当的函数转换可以使上述两个目的同时达到。③曲线直线化(待续)。下面介绍几种常用的变量变换方法及用途。
, http://www.100md.com
(1)对数变换：即将原始数据x的对数值作为新的分析数据x=lgx，当原始数据中有小值及零时，亦可取x=lg(x+1)还可根据需要选用x=lg(x+k)或x=lg(k-x)
对数变换 常用于：①使服从对数正态分布的资料正态化，如实验研究中用滴度、效价表示的结果数据，正常人某些徽量元素值；②使资料达到方差齐性的要求，特别是各样本的标准差与均数之比值比较接近时；③使曲线直线化，如指数曲线，常用于曲线拟合。(待续)
(2)平方根变换：即将原始数据x的平方根作为新的分析数据
，当原数据有小值或零时，亦可用。平方根变换常用于：①服从poisson分布(待续)的分类资料或轻度偏态资料正态化；②当各样本的方差与均数间呈正相关时，即均数大方差也大，可使这样的资料达到方差齐的要求。
, 百拇医药
(3)倒数变换：即将原数据x的倒数作为新的分析数据x=1/x。
倒数变换常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减少。
(4)平方根反正弦变换：即将原始数据x的平方根反正弦值作为新的分析数据x=sin-1
。平方根反正弦变换常用于以率为观察值的资料，如淋巴细胞转化率等。一般认为样本率服从二项分布，当总体率较小(如<30%)或较大(如>70%)时，偏离正态较为明显，通过样本率的平方根反正弦变换，可使资料接近正态分布，达到方差齐的要求。
方差分析的用途、步骤和适用条件可概括为如下流程图。
多个样本均数比较方差齐吗?不齐变量变换秩和检验齐配伍组设计两因素方差分析单因素方差分析成组设计有显著性吗?无●有多个实验组与一个对照组比较新复极差法多个样本间每两个的比较q检验法
方差分析用途广泛，但计算较复杂，目前，我教研室和许多单位都备有中西文统计分析软件，只要读者理解了它的基本思想，在做好研究设计的基础上，搜集好有关数据，统计分析就可借助软件来完成，是非常方便快捷的。, 百拇医药