中医理论中的数学思维与方法初探——谈正切函数在中医五行学说中的应用
作者：柳 尧
单位：云南中医学院中医专业96级(1)班 云南昆明 650200
关键词：中医基础理论；五行学说；数学思维与方法；正切函数
云南中医学院学报990420 导师：李庆生
摘 要：就中医理论中的数学思维与方法，以一种数学模型为例来讨论五行学说。试引入正切函数的概念与方法，用已知正切函数的值来刻划五行中具有相克关系的二行之间乘与侮的量的变化，以期沟通表述语言，探索中医现代化途径。
中图分类号：R2-03 文献标识码：A 文章编号：1000—2723(1999)04—0051—03
祖国医学理论不仅是古代医家遣方用药的指南，更是古代哲学思想、人文地理、科学技术等多方面的结晶。早在《内经》中就有一定程度的数学和数理问题的应用。如《素问.金匮真言论》中有“其数八”、“其数七”、“其数五”、“其数六”等数字的记载。《素问》中还有“太过者其数成，不及者其数生”之说。《灵枢》“九宫八风”篇，其中所谓的“生(生数)、成(成数)”和“九宫”涉及的正是我国古代著名的幻方数理——河图洛书的内容。河图与洛书是综合性术数模型。《河图》熔阴阳五行于一炉，以1～9的9个自然数代表阴阳五行，并绘成图象。《洛书》则把二元论、三元论和五元论统一起来，提出万物化生规律的术数模型。河图洛书曾被英国著名学者李约瑟称为世界数字史上出现较早的幻方数理。《内经》中还涉及各种数的进位制及其换算等数论的课题。当看到西方医学之发展时，我们不能不由衷地感叹：如果中医理论能进一步用数学语言和模型表达的话，将会加快中医的发展步伐和进一步为世界人民所认识与首肯。那时中医将会有一个大的飞跃，并与世界医学相接轨，为人类的发展繁荣作出贡献。
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马克思在11世纪就曾深刻指出：“一种科学只有在成功地运用了数学之后，才算达到了完善的地步。”任何一门科学，不与数学发生关系，就不能确切地刻划出事物的变化状态，更不能从已知的量推出未知的量，因而减少了科学预见的可能性和科学预见的精确度。所以我们就必须运用精确而简洁的语言代替自然语言，从而揭示复杂现象的内在联系，这就是中医所要做的“承上启下”。
五行学说研究木、火、土、金、水5种物质的运动，但并不是静止地、孤立地将事物归属五行，而是以五行之间的相生和相克关系来探索和阐释事物之间相互联系、相互协调平衡的整体性和统一性。同时还以五行之间的相乘和相侮来探索和阐释事物之间的协调平衡被破坏后的相互影响。五行学说是着重以“5”为基数来阐释事物之间的生克制化的相互关系，即将木、火、土、金、水五行以5为基数(周期)顺序标号即木为1，火为2，土为3，金为4，水为5，再以5为周期循环则木为6，火为7，土为8，金为9，水为10，那么根据五行生、克、乘、侮的含义我们可以从简单的数字中看出：相生是顺序相生，相克是相邻两奇数相克(见图1)。
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图1 五行相生、相克示意图
相生：1→2→3→4→5
相克：1克3，3克5，5克7，7克9
相侮与相乘是量大小的比较。蔡庆生在《医用近代数学》中试运用集合论研究五行学说，用集合的二元关系刻划出五行的相生、相克、相侮的关系，试图从数学上寻找出这些不同关系相互变化的规律。
这里，笔者试建立一种数学模型，抽取其中的量、量的变化，以及量之间的关系等来刻划出五行中乘、侮的变化规律。将五行移置于坐标上，用正切函数的值来刻划克、乘、侮之间的关系。以具有相克关系的木和土为例，木和土分别位于坐标轴上，则木与土之间形成一个角，设为θ，那么
，我们就可通过tgθ的不同值来确定X与Y(即土与木)之间量的变化关系，从而理解克、侮、乘。(见图2)
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图2 相克时示意图
首先我们看看克、乘、侮的概念。相克是指借木、火、土、金、水5种物质之间相互制约和排斥的关系，来说明脏腑之间相互制约的生理现象，即相克是在相互制约与相互排斥之间形成动态的平衡。相乘，乘即乘虚侵袭之意，相乘是相克太过，超过正常制约的程度。《素问.五运行大论》：“气有余，则制己所胜，而侮所不胜；其不及，则己所不胜侮而乘之，己所胜轻而侮之。”相乘的原因有二：一是五行中的某一行本身过于强盛，因而造成对被克制的一行克制太过，促使被克的一行虚弱，从而引起五行之间的生克制化异常。如：木过于强盛，则克土太过，造成土的不足，即“木乘土”。二是五行中的某一行本身的虚弱，因而对它“克我”一行的相克就显得相对的增强，而其本身就更虚弱。如：木本不过于强盛，其克制土的力量也仍在正常范围。但由于土本身的不足，因而形成了木克土的力量相对增强，使土更加不足，即“土虚木乘”。相侮即反克，又称反侮，属病理变化范围。相侮的原因也有二：一是如土本受木克，但在土特别强盛时，不仅不受木的克制，反而对木进行反侮(即反克)称“土侮木”；二是可由木本身十分虚弱，不仅不能对土进行克制，反而受到土的反侮，称“木虚土侮”。因为当θ=
时，tgθ=1，；即Y木=X土，木=土，是木克土的正常情况，所以我们设木和土分别在Y轴和X轴的单位“1”的位置表示正常范围来讨论异常情况的乘与侮；且tgθ正切函数的周期T=π，则我们只用讨论第一、二象限tgθ的值的变化即可：
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在第一象限时，当tgθ>1时，则Y木>X土即木>土，为木乘土，是指乘的第一种成因。反之亦然，当tgθ<1时，则Y木土，即木<土，为土侮木(见图3)。 在第二象限时，同样成立，即当tgθ>-1时，为木>土，土虚木乘；当tgθ<-1时即木<土，为木虚土侮，为乘、侮的第二种成因。即tgθ=1时，是木克土的正常范围；tgθ>1或tgθ>-1时，木乘土；tgθ<1或tgθ<-1时，土侮木。 
图3 相乘示意图(含两种原因)
第一、二象限的tgθ值表示乘、侮的两种不同成因，第一象限表示木乘土和土侮木；第二象限表示土虚木乘和木虚土侮两种不同情况。以上规律对五行中任何具有相克关系的两行均适合。
小结：万物皆有其规律，只有掌握了其发展变化的规律，运用科学的思维方法来研究，以科学的语言来描述和传承，才能更好地被认识、发展和利用。中医理论中数学思维与方法的不断运用也是中医现代化的必经途径。而中医五行学说中的木、火、土、金、水5种要素是运动变化着的，每一要素的变化，都会引起其他要素的变化，从而构成五行结构的动态平衡。笔者在此引入的正切函数也仅是对中医理论中的数学思维与方法的初探，提出认识五行学说的一种方法。要窥视其整体的动态平衡，尚有广阔的领域亟待开垦。
(收稿日期：1999—03—26)
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单位：云南中医学院中医专业96级(1)班 云南昆明 650200
关键词：中医基础理论；五行学说；数学思维与方法；正切函数
云南中医学院学报990420 导师：李庆生
摘 要：就中医理论中的数学思维与方法，以一种数学模型为例来讨论五行学说。试引入正切函数的概念与方法，用已知正切函数的值来刻划五行中具有相克关系的二行之间乘与侮的量的变化，以期沟通表述语言，探索中医现代化途径。
中图分类号：R2-03 文献标识码：A 文章编号：1000—2723(1999)04—0051—03
祖国医学理论不仅是古代医家遣方用药的指南，更是古代哲学思想、人文地理、科学技术等多方面的结晶。早在《内经》中就有一定程度的数学和数理问题的应用。如《素问.金匮真言论》中有“其数八”、“其数七”、“其数五”、“其数六”等数字的记载。《素问》中还有“太过者其数成，不及者其数生”之说。《灵枢》“九宫八风”篇，其中所谓的“生(生数)、成(成数)”和“九宫”涉及的正是我国古代著名的幻方数理——河图洛书的内容。河图与洛书是综合性术数模型。《河图》熔阴阳五行于一炉，以1～9的9个自然数代表阴阳五行，并绘成图象。《洛书》则把二元论、三元论和五元论统一起来，提出万物化生规律的术数模型。河图洛书曾被英国著名学者李约瑟称为世界数字史上出现较早的幻方数理。《内经》中还涉及各种数的进位制及其换算等数论的课题。当看到西方医学之发展时，我们不能不由衷地感叹：如果中医理论能进一步用数学语言和模型表达的话，将会加快中医的发展步伐和进一步为世界人民所认识与首肯。那时中医将会有一个大的飞跃，并与世界医学相接轨，为人类的发展繁荣作出贡献。
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马克思在11世纪就曾深刻指出：“一种科学只有在成功地运用了数学之后，才算达到了完善的地步。”任何一门科学，不与数学发生关系，就不能确切地刻划出事物的变化状态，更不能从已知的量推出未知的量，因而减少了科学预见的可能性和科学预见的精确度。所以我们就必须运用精确而简洁的语言代替自然语言，从而揭示复杂现象的内在联系，这就是中医所要做的“承上启下”。
五行学说研究木、火、土、金、水5种物质的运动，但并不是静止地、孤立地将事物归属五行，而是以五行之间的相生和相克关系来探索和阐释事物之间相互联系、相互协调平衡的整体性和统一性。同时还以五行之间的相乘和相侮来探索和阐释事物之间的协调平衡被破坏后的相互影响。五行学说是着重以“5”为基数来阐释事物之间的生克制化的相互关系，即将木、火、土、金、水五行以5为基数(周期)顺序标号即木为1，火为2，土为3，金为4，水为5，再以5为周期循环则木为6，火为7，土为8，金为9，水为10，那么根据五行生、克、乘、侮的含义我们可以从简单的数字中看出：相生是顺序相生，相克是相邻两奇数相克(见图1)。
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图1 五行相生、相克示意图
相生：1→2→3→4→5
相克：1克3，3克5，5克7，7克9
相侮与相乘是量大小的比较。蔡庆生在《医用近代数学》中试运用集合论研究五行学说，用集合的二元关系刻划出五行的相生、相克、相侮的关系，试图从数学上寻找出这些不同关系相互变化的规律。
这里，笔者试建立一种数学模型，抽取其中的量、量的变化，以及量之间的关系等来刻划出五行中乘、侮的变化规律。将五行移置于坐标上，用正切函数的值来刻划克、乘、侮之间的关系。以具有相克关系的木和土为例，木和土分别位于坐标轴上，则木与土之间形成一个角，设为θ，那么
，我们就可通过tgθ的不同值来确定X与Y(即土与木)之间量的变化关系，从而理解克、侮、乘。(见图2), http://www.100md.com
图2 相克时示意图
首先我们看看克、乘、侮的概念。相克是指借木、火、土、金、水5种物质之间相互制约和排斥的关系，来说明脏腑之间相互制约的生理现象，即相克是在相互制约与相互排斥之间形成动态的平衡。相乘，乘即乘虚侵袭之意，相乘是相克太过，超过正常制约的程度。《素问.五运行大论》：“气有余，则制己所胜，而侮所不胜；其不及，则己所不胜侮而乘之，己所胜轻而侮之。”相乘的原因有二：一是五行中的某一行本身过于强盛，因而造成对被克制的一行克制太过，促使被克的一行虚弱，从而引起五行之间的生克制化异常。如：木过于强盛，则克土太过，造成土的不足，即“木乘土”。二是五行中的某一行本身的虚弱，因而对它“克我”一行的相克就显得相对的增强，而其本身就更虚弱。如：木本不过于强盛，其克制土的力量也仍在正常范围。但由于土本身的不足，因而形成了木克土的力量相对增强，使土更加不足，即“土虚木乘”。相侮即反克，又称反侮，属病理变化范围。相侮的原因也有二：一是如土本受木克，但在土特别强盛时，不仅不受木的克制，反而对木进行反侮(即反克)称“土侮木”；二是可由木本身十分虚弱，不仅不能对土进行克制，反而受到土的反侮，称“木虚土侮”。因为当θ=
时，tgθ=1，；即Y木=X土，木=土，是木克土的正常情况，所以我们设木和土分别在Y轴和X轴的单位“1”的位置表示正常范围来讨论异常情况的乘与侮；且tgθ正切函数的周期T=π，则我们只用讨论第一、二象限tgθ的值的变化即可：, 百拇医药
在第一象限时，当tgθ>1时，则Y木>X土即木>土，为木乘土，是指乘的第一种成因。反之亦然，当tgθ<1时，则Y木
图3 相乘示意图(含两种原因)
第一、二象限的tgθ值表示乘、侮的两种不同成因，第一象限表示木乘土和土侮木；第二象限表示土虚木乘和木虚土侮两种不同情况。以上规律对五行中任何具有相克关系的两行均适合。
小结：万物皆有其规律，只有掌握了其发展变化的规律，运用科学的思维方法来研究，以科学的语言来描述和传承，才能更好地被认识、发展和利用。中医理论中数学思维与方法的不断运用也是中医现代化的必经途径。而中医五行学说中的木、火、土、金、水5种要素是运动变化着的，每一要素的变化，都会引起其他要素的变化，从而构成五行结构的动态平衡。笔者在此引入的正切函数也仅是对中医理论中的数学思维与方法的初探，提出认识五行学说的一种方法。要窥视其整体的动态平衡，尚有广阔的领域亟待开垦。
(收稿日期：1999—03—26)
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