Angle各类错及正常牙弓对称性分析与比较
作者：聂琼 林久祥
单位：北京医科大学口腔医学院正畸科，100081
关键词：错；旋转角；牙弓对称性
中华口腔医学杂志000207 【摘要】 目的 对Angle各类错
及正常的牙弓对称性进行分析和比较。方法 以4组不同类型错及正常者共300人为研究对象，采用 YM-2115三维测量仪精密测量其模型，用圆锥曲线模拟牙弓形态,利用曲线方程的参数之一旋转角(θ)分析牙弓对称性。结果 无绝对对称的牙弓，牙弓不对称也无固定的方向。正常牙弓基本是对称的，存在极小范围的不对称。而错总体说来比正常牙弓不对称发生的频率及程度高；除ClassIII外，下牙弓比上牙弓易出现不对称。各组中Class II2和Class III不对称的发生频率均较高。结论 不同类型错者牙弓不对称发生的频率及程度有一定差异。
, 百拇医药
Analysis and comparison of dental arch symmetry between different Angle's malocclusion categories and normal occlusion
NIE Qiong，LIN Jiuxiang.
(Department of Orthodontics, School of Stomatology, Beijing Medical University, Beijing 100081, China)
【Abstract】 Objective To analyze and compare dental arch symmetry between different Angle's malocclusion categories and normal occlusion. Methods 300 subjects were divided into four different malocclusion groups and normal occlusion group. Data points representing the dental arches on the casts were precisely marked by YM-2115 three Dimension Measuring Machine. Arch forms were fitted with conic sections, and then dental arch symmetry was analyzed by rotation angle. Results There were no absolute symmetric dental arch, and the direction of asymmetry was unsteady. In normal occlusion, dental arch was generally symmetric, but there was asymmetry in a very small degree. As to malocclusion, the frequency and degree of dental arch asymmetry were higher than that of normal occlusion, and the lower arch showed more asymmetry than the upper arch except ClassIII. The frequency of asymmetry in ClassII2 and ClassIII groups was higher than that in other malocclusion groups. Conclusion the frequency and degree of dental arch asymmetry were different in different malocclusion groups.
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【Key words】 Malocclusion； Rotation angle； Dental arch symmetry
以往学者们是基于个人理念与临床观察来主观评价牙弓形态。随着计算机技术的发展，开始通过建立数学模型来模拟牙弓形态。用于模拟的几何公式很多，如椭圆[1]、抛物线[2]、悬链线[3]、四次多项式[4]、三次阶段函数[5]、圆锥曲线[6-8]等。其中Sampson[6，7]及Cruze等[8]用圆锥曲线的一段弧来模拟牙弓形态的标志点，较其它方法简便实用。圆锥曲线的离心率和焦距能区分曲线的形状和大小，参数直观，易于计算。本项研究着重于利用曲线方程的另一参数——旋转角来研究Angle各类错及正常牙弓不对称发生的频率及程度。
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材料和方法
一、样本的选择
错共4组，来自北京医科大学口腔医学院正畸科90年代就诊的患者。对照组为颅面生长发育研究自1990年起开始观察的正常。所有个体均为汉族人，每组男女各30名，年龄为13～17岁。所有个体的牙型与骨型均一致，分组情况见表1。
二、研究方法
1.模型获得：收集正常模型及错患者的矫治前记存模型。模型需满足下列要求：①牙列完整(第三磨牙除外)；②无严重的牙齿近远中和面磨耗；③牙体完整，无残冠和冠、桥等修复体；④无锥形牙、融合牙等畸形。
, 百拇医药
表1 研究对象的分组 组别
Angle′s分类
主要特征
1
Class Ⅰ
正常
2
Class Ⅰ
双颌前突(基本无拥挤)
3
Class Ⅱ1
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前牙深覆或深覆盖
4
Class Ⅱ2
前牙闭锁
5
Class Ⅲ
前牙反
2.模型测量：由研究者在一段集中的时间内用YM-2115三维测量仪测量每付模型。该仪器的工作范围为150 mm×200 mm×100 mm,三维坐标各轴的精确度均为0.01 mm。相隔一周，重复测量5付模型，结果差异无显著性。以切牙切缘中点，尖牙牙尖点，双尖牙颊尖点及第一磨牙近远中颊尖点为计测点。上颌以双侧第一磨牙近中颊尖点及中切牙近中邻接点为基准平面(图1)；下颌以双侧第一磨牙远中颊尖点及双侧中切牙近中邻接点为基准平面。
, 百拇医药
图1 上牙弓计测点、基准平面、二维坐标的建立和曲线模拟
3.曲线模拟：利用计算机程序将上下颌标志点投影至基准平面，以圆锥曲线的弧模拟牙弓上的标志点。使标志点至模拟曲线的垂直距离平方和为最小，以确保对每一标志点的最佳模拟[6-8]。计算相关指数来观察模拟的拟合度。以上颌左右侧第一磨牙近中颊尖点在基准平面上的投影点分别定为(1,0)、(0,0)点(图1),下颌左右侧第一磨牙远中颊尖点定为(0,0)、(1,0)点，建立二维坐标系。
圆锥曲线的一般公式为[6，9]：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,当b=0时，曲线弧在(0,0)至(1,0)段是对称的；当b≠0时，曲线弧在(0,0)至(1,0)段是不对称的。弧段表现偏斜，通过旋转坐标轴[9]，可使坐标交叉项系数b=0，其旋转角θ=0.5arctg[b/(a-c)]。从旋转角可看出偏斜的程度和方向。当坐标轴需顺时针旋转时，θ<0(图2),弧段向右侧偏斜，表示上牙弓向左偏斜，下牙弓向右偏斜。坐标轴需逆时针旋转时，情况则相反。
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图2 θ<0，弧段向右偏斜，表示上牙弓向左偏斜，下牙弓向右偏斜
4.统计分析：将圆锥曲线的该旋转角(θ)和曲线模拟拟合度-相关指数(R)，输入Spss6.0，对其进行描述性统计并进一步作各分组θ的频次统计，以分析牙弓不对称的方向和程度。
结果
一、相关指数
相关指数在98.21～99.96之间，说明拟合度很高，适合于这些标志点所代表的牙弓。
二、旋转角的频次统计
1.上颌:从表2可见各组有一个共同特点，即θ的符号无特定优势，都在40～60%左右。正常，93%以上个体的牙弓偏斜在5°左右；ClassII1和双颌前突牙弓偏斜者，超过5°的比率稍大于正常。而Class II2与Class III牙弓偏斜者，超过5°的比率较大，男女性分别为16.6%、33.3%和30.0%、33.3%。
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2.下颌:从表3可见，正常87%以上个体牙弓偏斜在5°之内。各类错牙弓偏斜超过5°的比率均大于正常，尤以ClassII2男性者最高，比率为46.7%，远高于其他组。将表2，3相比，可见除ClassIII外，下牙弓偏斜超过5°的比率高于上牙弓。
讨论
一、采用圆锥曲线模拟的特点
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，是对称的曲线。本项研究中，牙弓曲线是(0，0)至(1，0)间的一段曲线弧。当坐标交叉项系数b＝0时[9]，圆锥曲线的对称轴与相应的坐标轴平行，牙弓曲线是以平行于y轴的直线为对称轴的对称曲线弧，即牙弓形状是对称的。当b≠0时，圆锥曲线的对称轴与坐标轴相交成一角度，从而(0,0)至(1,0)的曲线弧不对称，即牙弓形状不对称。通过化简方程，求使b=0的坐标转换的旋转角[9]，可分析牙弓不对称的方向和程度。此方法较4次多项式的系数分析简单直观，不仅可看出偏斜方向，还说明了偏斜程度。目前，国内外尚未见利用旋转角定量分析牙弓对称性的报道。
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表2 上颌圆锥曲线模拟旋转角的频次统计(%) 组别
性别
A
B
C
D
E
F
正常
女性
16.7
26.6
36.7
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20
男性
6.7
36.6
13.3
16.7
23.4
双颌前突
女性
3.3
43.4
6.7
23.4
, 百拇医药
20
3.3
男性
3.3
30
23.4
16.6
26.7
Class Ⅱ1
女性
26.7
13.3
23.3
, 百拇医药
26.7
10
男性
26.7
10
13.3
50
Class Ⅱ2
女性
20
13.3
3.3
13.3
, 百拇医药
36.7
13.3
男性
13.3
43.4
3.3
13.3
23.4
3.3
Class Ⅲ
女性
13.3
23.4
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16.6
6.7
20
20
男性
16.7
13.3
13.3
13.4
30
13.3
注：A：θ<-5°，B：-5°≤θ<-1°，C：-1°<θ<0°，D：0°<θ<1°，E：1°<θ≤5°，F：θ>5°。表3同表3 下颌圆锥曲线模拟旋转角的频次统计(%) 组别
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性别
A
B
C
D
E
F
正常
女性
20
30
26.7
, http://www.100md.com 23.3
男性
3.3
36.7
6.7
20
23.3
10
双颌前突
女性
13.3
26.7
20
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23.3
6.7
男性
3.3
16.7
20
23.3
30
6.7
Class Ⅱ1
女性
10
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23.3
16.7
10
26.7
3.3
男性
10
36.7
10
13.3
20
10
Class Ⅱ2
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女性
13.3
26.7
10
10
33.3
6.7
男性
26.7
16.6
13.4
10
13.3
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20
Class Ⅲ
女性
10
50
10
20
10
男性
10
46.7
16.6
6.7
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3.3
二、牙弓不对称分析
本项研究表明：没有绝对对称的牙弓，除严重下颌偏斜病例外,一般错患者的偏斜程度较小,60%以上错个体的旋转角在5°范围之内。牙弓不对称的方向无固定趋势，牙弓不是向左偏一点就是向右偏一点，这从旋转角正负方向的发生频率基本相似得到了证明。ClassII2及ClassIII患者的上牙弓及ClassII2患者的下牙弓旋转角超过5°者所占的比例,较其他分组大。说明ClassII2及ClassIII牙弓不对称发生频率大,与临床印象一致。这可能与ClassII1的下牙弓、ClassIII的上牙弓阻挡在对颌牙弓内，使其牙齿萌出及排列受到影响有关。另外，ClassII1上切牙严重舌倾、间隙不足，易致拥挤偏移。
, 百拇医药
Ferrario等[10]曾报道，个别正常除了女性上牙弓弓形明显不对称外,男性上下颌及女性下颌弓形都是对称的。本项研究结果表明:正常女性上下牙弓基本对称,无旋转角大于5°的个体；正常男性上下牙弓分别有6.7%与13.3%的个体,旋转角大于5°,但也在7°之内,即基本是对称的。两研究的差异可能与样本的年龄、种族及研究方法有关。前者的研究对象为20～27岁的白种人，采用欧几里德矩阵分析法。本项研究结果同于一般观点，即正常牙弓形态基本对称，存在着极小范围内的不对称。同时，我们的研究还表明，各类错的牙弓不对称发生频率及程度均大于正常。除ClassIII外，下牙弓比上牙弓易出现不对称, 下颌旋转角大于5°的比例普遍高于上颌即可证明这一点。各组中，ClassII2及ClassIII的不对称发生频率相对高些。
, 百拇医药
志谢 本项研究的计算机程序开发得到清华大学工程物理系肖建国博士和中国科学院系统科学研究所扬帆博士的协助
基金项目：国家自然科学基金资助项目(39770806)
参考文献：
[1] Currier JH. A computerized geometric analysis of human dental arch form Am J Orthod, 1969,56:164-179.
[2] Jones ML， Richmond S. An assessment of the fit of a parabolic curve to pre-and post-treatment dental arches. Br J Orthod, 1989,16:85-93.
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[3] Battagel JM. Individualized catenary curves: their relationship to arch form and perimeter. Br J Orthod, 1996,23:21-28.
[4] Felton JM,Sinclair PM, Jones DL, et al.A computerized analysis of the shape and stability of mandibular arch form. Am J Orthod Dentofacial Orthop, 1987,92:478-483.
[5] Begole EA. Application of the cubic spline function in the description of dental arch form.J Dent Res.1980,59:1549-1556.
, 百拇医药
[6] Sampson PD.Dental arch shape: a statistical analysis using conic sections. Am J Orthod, 1981,79:535-548.
[7] Sampson PD. Statistical analysis of arch shape with conic sections. Biometrics, 1983,39:411-423.
[8] De La Cruz A, Sampson P, Little R, et al. Long-term changes in arch form after orthodontic treatment and retention. Am J Orthod Dentofac Orthop, 1995,107:518-530.
[9] 刘连璞.平面解析几何方法与研究. 第1版. 北京：北京大学出版社.1999,233-252.
[10] Ferrario VF, Sforza C, Miani AJr, et al. Dental arch asymmetry in young healthy human subjects evaluated by Euclidean distance matrix analysis. Arch Oral Biol,1993,38:189-194.
收稿日期：1999-05-25, http://www.100md.com
单位：北京医科大学口腔医学院正畸科，100081
关键词：错；旋转角；牙弓对称性
中华口腔医学杂志000207 【摘要】 目的 对Angle各类错
及正常的牙弓对称性进行分析和比较。方法 以4组不同类型错及正常者共300人为研究对象，采用 YM-2115三维测量仪精密测量其模型，用圆锥曲线模拟牙弓形态,利用曲线方程的参数之一旋转角(θ)分析牙弓对称性。结果 无绝对对称的牙弓，牙弓不对称也无固定的方向。正常牙弓基本是对称的，存在极小范围的不对称。而错总体说来比正常牙弓不对称发生的频率及程度高；除ClassIII外，下牙弓比上牙弓易出现不对称。各组中Class II2和Class III不对称的发生频率均较高。结论 不同类型错者牙弓不对称发生的频率及程度有一定差异。, 百拇医药
Analysis and comparison of dental arch symmetry between different Angle's malocclusion categories and normal occlusion
NIE Qiong，LIN Jiuxiang.
(Department of Orthodontics, School of Stomatology, Beijing Medical University, Beijing 100081, China)
【Abstract】 Objective To analyze and compare dental arch symmetry between different Angle's malocclusion categories and normal occlusion. Methods 300 subjects were divided into four different malocclusion groups and normal occlusion group. Data points representing the dental arches on the casts were precisely marked by YM-2115 three Dimension Measuring Machine. Arch forms were fitted with conic sections, and then dental arch symmetry was analyzed by rotation angle. Results There were no absolute symmetric dental arch, and the direction of asymmetry was unsteady. In normal occlusion, dental arch was generally symmetric, but there was asymmetry in a very small degree. As to malocclusion, the frequency and degree of dental arch asymmetry were higher than that of normal occlusion, and the lower arch showed more asymmetry than the upper arch except ClassIII. The frequency of asymmetry in ClassII2 and ClassIII groups was higher than that in other malocclusion groups. Conclusion the frequency and degree of dental arch asymmetry were different in different malocclusion groups.
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【Key words】 Malocclusion； Rotation angle； Dental arch symmetry
以往学者们是基于个人理念与临床观察来主观评价牙弓形态。随着计算机技术的发展，开始通过建立数学模型来模拟牙弓形态。用于模拟的几何公式很多，如椭圆[1]、抛物线[2]、悬链线[3]、四次多项式[4]、三次阶段函数[5]、圆锥曲线[6-8]等。其中Sampson[6，7]及Cruze等[8]用圆锥曲线的一段弧来模拟牙弓形态的标志点，较其它方法简便实用。圆锥曲线的离心率和焦距能区分曲线的形状和大小，参数直观，易于计算。本项研究着重于利用曲线方程的另一参数——旋转角来研究Angle各类错
及正常牙弓不对称发生的频率及程度。, http://www.100md.com
材料和方法
一、样本的选择
错
共4组，来自北京医科大学口腔医学院正畸科90年代就诊的患者。对照组为颅面生长发育研究自1990年起开始观察的正常。所有个体均为汉族人，每组男女各30名，年龄为13～17岁。所有个体的牙型与骨型均一致，分组情况见表1。二、研究方法
1.模型获得：收集正常
模型及错患者的矫治前记存模型。模型需满足下列要求：①牙列完整(第三磨牙除外)；②无严重的牙齿近远中和面磨耗；③牙体完整，无残冠和冠、桥等修复体；④无锥形牙、融合牙等畸形。, 百拇医药
表1 研究对象的分组 组别
Angle′s分类
主要特征
1
Class Ⅰ
正常
2
Class Ⅰ
双颌前突(基本无拥挤)
3
Class Ⅱ1
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前牙深覆
或深覆盖4
Class Ⅱ2
前牙闭锁
5
Class Ⅲ
前牙反
2.模型测量：由研究者在一段集中的时间内用YM-2115三维测量仪测量每付模型。该仪器的工作范围为150 mm×200 mm×100 mm,三维坐标各轴的精确度均为0.01 mm。相隔一周，重复测量5付模型，结果差异无显著性。以切牙切缘中点，尖牙牙尖点，双尖牙颊尖点及第一磨牙近远中颊尖点为计测点。上颌以双侧第一磨牙近中颊尖点及中切牙近中邻接点为基准平面(图1)；下颌以双侧第一磨牙远中颊尖点及双侧中切牙近中邻接点为基准平面。
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图1 上牙弓计测点、基准平面、二维坐标的建立和曲线模拟
3.曲线模拟：利用计算机程序将上下颌标志点投影至基准平面，以圆锥曲线的弧模拟牙弓上的标志点。使标志点至模拟曲线的垂直距离平方和为最小，以确保对每一标志点的最佳模拟[6-8]。计算相关指数来观察模拟的拟合度。以上颌左右侧第一磨牙近中颊尖点在基准平面上的投影点分别定为(1,0)、(0,0)点(图1),下颌左右侧第一磨牙远中颊尖点定为(0,0)、(1,0)点，建立二维坐标系。
圆锥曲线的一般公式为[6，9]：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,当b=0时，曲线弧在(0,0)至(1,0)段是对称的；当b≠0时，曲线弧在(0,0)至(1,0)段是不对称的。弧段表现偏斜，通过旋转坐标轴[9]，可使坐标交叉项系数b=0，其旋转角θ=0.5arctg[b/(a-c)]。从旋转角可看出偏斜的程度和方向。当坐标轴需顺时针旋转时，θ<0(图2),弧段向右侧偏斜，表示上牙弓向左偏斜，下牙弓向右偏斜。坐标轴需逆时针旋转时，情况则相反。
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图2 θ<0，弧段向右偏斜，表示上牙弓向左偏斜，下牙弓向右偏斜
4.统计分析：将圆锥曲线的该旋转角(θ)和曲线模拟拟合度-相关指数(R)，输入Spss6.0，对其进行描述性统计并进一步作各分组θ的频次统计，以分析牙弓不对称的方向和程度。
结果
一、相关指数
相关指数在98.21～99.96之间，说明拟合度很高，适合于这些标志点所代表的牙弓。
二、旋转角的频次统计
1.上颌:从表2可见各组有一个共同特点，即θ的符号无特定优势，都在40～60%左右。正常，93%以上个体的牙弓偏斜在5°左右；ClassII1和双颌前突牙弓偏斜者，超过5°的比率稍大于正常
。而Class II2与Class III牙弓偏斜者，超过5°的比率较大，男女性分别为16.6%、33.3%和30.0%、33.3%。, 百拇医药
2.下颌:从表3可见，正常
87%以上个体牙弓偏斜在5°之内。各类错牙弓偏斜超过5°的比率均大于正常，尤以ClassII2男性者最高，比率为46.7%，远高于其他组。将表2，3相比，可见除ClassIII外，下牙弓偏斜超过5°的比率高于上牙弓。讨论
一、采用圆锥曲线模拟的特点
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，是对称的曲线。本项研究中，牙弓曲线是(0，0)至(1，0)间的一段曲线弧。当坐标交叉项系数b＝0时[9]，圆锥曲线的对称轴与相应的坐标轴平行，牙弓曲线是以平行于y轴的直线为对称轴的对称曲线弧，即牙弓形状是对称的。当b≠0时，圆锥曲线的对称轴与坐标轴相交成一角度，从而(0,0)至(1,0)的曲线弧不对称，即牙弓形状不对称。通过化简方程，求使b=0的坐标转换的旋转角[9]，可分析牙弓不对称的方向和程度。此方法较4次多项式的系数分析简单直观，不仅可看出偏斜方向，还说明了偏斜程度。目前，国内外尚未见利用旋转角定量分析牙弓对称性的报道。
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表2 上颌圆锥曲线模拟旋转角的频次统计(%) 组别
性别
A
B
C
D
E
F
正常
女性
16.7
26.6
36.7
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20
男性
6.7
36.6
13.3
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23.4
双颌前突
女性
3.3
43.4
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男性
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16.6
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Class Ⅱ1
女性
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13.3
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26.7
10
男性
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10
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Class Ⅱ2
女性
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Class Ⅲ
女性
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注：A：θ<-5°，B：-5°≤θ<-1°，C：-1°<θ<0°，D：0°<θ<1°，E：1°<θ≤5°，F：θ>5°。表3同表3 下颌圆锥曲线模拟旋转角的频次统计(%) 组别
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性别
A
B
C
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正常
女性
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双颌前突
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20
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10
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Class Ⅲ
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3.3
二、牙弓不对称分析
本项研究表明：没有绝对对称的牙弓，除严重下颌偏斜病例外,一般错患者的偏斜程度较小,60%以上错
个体的旋转角在5°范围之内。牙弓不对称的方向无固定趋势，牙弓不是向左偏一点就是向右偏一点，这从旋转角正负方向的发生频率基本相似得到了证明。ClassII2及ClassIII患者的上牙弓及ClassII2患者的下牙弓旋转角超过5°者所占的比例,较其他分组大。说明ClassII2及ClassIII牙弓不对称发生频率大,与临床印象一致。这可能与ClassII1的下牙弓、ClassIII的上牙弓阻挡在对颌牙弓内，使其牙齿萌出及排列受到影响有关。另外，ClassII1上切牙严重舌倾、间隙不足，易致拥挤偏移。, 百拇医药
Ferrario等[10]曾报道，个别正常除了女性上牙弓弓形明显不对称外,男性上下颌及女性下颌弓形都是对称的。本项研究结果表明:正常
女性上下牙弓基本对称,无旋转角大于5°的个体；正常男性上下牙弓分别有6.7%与13.3%的个体,旋转角大于5°,但也在7°之内,即基本是对称的。两研究的差异可能与样本的年龄、种族及研究方法有关。前者的研究对象为20～27岁的白种人，采用欧几里德矩阵分析法。本项研究结果同于一般观点，即正常牙弓形态基本对称，存在着极小范围内的不对称。同时，我们的研究还表明，各类错的牙弓不对称发生频率及程度均大于正常。除ClassIII外，下牙弓比上牙弓易出现不对称, 下颌旋转角大于5°的比例普遍高于上颌即可证明这一点。各组中，ClassII2及ClassIII的不对称发生频率相对高些。, 百拇医药
志谢 本项研究的计算机程序开发得到清华大学工程物理系肖建国博士和中国科学院系统科学研究所扬帆博士的协助
基金项目：国家自然科学基金资助项目(39770806)
参考文献：
[1] Currier JH. A computerized geometric analysis of human dental arch form Am J Orthod, 1969,56:164-179.
[2] Jones ML， Richmond S. An assessment of the fit of a parabolic curve to pre-and post-treatment dental arches. Br J Orthod, 1989,16:85-93.
, http://www.100md.com
[3] Battagel JM. Individualized catenary curves: their relationship to arch form and perimeter. Br J Orthod, 1996,23:21-28.
[4] Felton JM,Sinclair PM, Jones DL, et al.A computerized analysis of the shape and stability of mandibular arch form. Am J Orthod Dentofacial Orthop, 1987,92:478-483.
[5] Begole EA. Application of the cubic spline function in the description of dental arch form.J Dent Res.1980,59:1549-1556.
, 百拇医药
[6] Sampson PD.Dental arch shape: a statistical analysis using conic sections. Am J Orthod, 1981,79:535-548.
[7] Sampson PD. Statistical analysis of arch shape with conic sections. Biometrics, 1983,39:411-423.
[8] De La Cruz A, Sampson P, Little R, et al. Long-term changes in arch form after orthodontic treatment and retention. Am J Orthod Dentofac Orthop, 1995,107:518-530.
[9] 刘连璞.平面解析几何方法与研究. 第1版. 北京：北京大学出版社.1999,233-252.
[10] Ferrario VF, Sforza C, Miani AJr, et al. Dental arch asymmetry in young healthy human subjects evaluated by Euclidean distance matrix analysis. Arch Oral Biol,1993,38:189-194.
收稿日期：1999-05-25, http://www.100md.com