封闭近交群体内等位基因纯化的数学模型
作者：徐玲玲 方影 祝国强
单位：
关键词：数学模型；封闭近交群体；等位基因纯化
第二军医大学学报000426 【摘要】目的：试建立线性代数模型，以拟合封闭近交群体内等位基因纯化的过程。方法：通过考察与性染色体X连锁的等位基因频率的变化规律,获得邻近两代 (第n-1代和第n代)自交对基因型概率之间的关系为X(n)=MX(n-1)。经矩阵相似变换，求得系数矩阵M的特征值、特征向量和可逆矩阵P。结果：第n代自交对各种基因型的概率与起始状态基因型的概率之间的关系为X(n)=P.Dn.P-1.X(0)，当n→∞时,杂合自交对的基因型概率全为零,而只有纯合自交对的基因型概率非零,即自交对的等位基因都趋于纯化 ,只留下(A,AA)和(a,a a)型。结论：线性代数模型定量地模拟了封闭近交群体内等位基因逐步纯化的过程，同时能客观分析不同自交代之间的生物数学特征及内在联系,根据模型还能由初始条件预报纯化基因型的频率。
, 百拇医药
【中图分类号】Q 78 【文献标识码】A
【文章编号】0258-879X(2000)04-0387-04
A mathematical model imitating the allele homologizing process in a closed inbreeding population
XU Ling-Ling,FANG Ying,ZHU Guo-Qiang
(Department of Mathematics and Physics,Department of Basic Medicine,Second Military Medical University,Shanghai 200433,China)
【ABSTRACT】Objective:To develop a linear algebra model to imitate the process of the allele homologizing within a closed inbreeding population.Methods:By examining the change of the frequency of X-linked alleles,the formula,X(n)=MX(n-1),expressing the relationship of the frequencies of alleles between 2 continued generations in a closed inbreeding population was obtained.Through matrix transformation of similitude,the characteristic values and vectors of coefficient matrix M,and invertible matrix P could be cacutated.Results:The relationship between the probabilities of each kind of genotypes in inbreeding pairs of generation n and initial generation is X(n)=P.Dn.P-1.X(0).If generation number n approaches to the infinite,the frequencies of any kind of heterozygotes should approach to zero,however only the frequency of homozygotes,(A,AA) or (a,a a) ,would not be to zero.Conclusion:The gradual process of allele homologizing in a closed inbreeding population is imitated quantitatively by using linear algebra model.By the way,the biomathematic feature and the internal relationship among different selfing generations ware revealed and analysed objectively.At last,the frequencies of homologizing genotypes could be predicated based on the initial conditions.
, 百拇医药
【KEY WORDS】mathematical model; closed inbreeding population; allele homologizing
由生物学研究知，在一个基因与外部没有任何交换的封闭群体内，经过多代近亲交配，群体的基因型逐步趋于纯合态。如何定量地解释该现象的本质呢？本文将特别讨论在基因与性染色体X连锁的理想封闭群体内经多代的近亲交配后等位基因频率的变化规律，从而用数学方法从本质上解释封闭近交群体基因纯化的原因。
1 方法和结果
1.1 模型的建立 通过考察封闭近交群体内部与性染色体X连锁的等位基因频率的变化规律，试用线性代数模型拟合其基因纯化的过程。设群体内雄性亲体与X连锁的基因为A或a ，雌性亲体与X连锁的基因为AA，Aa 或aa,那么雌雄亲体结成配偶，共有6种基因类型：(A,AA),(A,Aa),(A,aa),(a,AA),(a,Aa)或(a,aa)。由同一代雌雄亲体结成配偶的基因型称之为自交对(或内交对)基因型，近亲繁殖过程可由以上6种自交对基因型中的任几种开始。
, http://www.100md.com
若近亲繁殖的第n-1代自交对是(A,AA)型，那么它们的雄性后代基因为A，雌性后代基因为AA，即第n代自交对必定是(A,AA)型。若第n-1代自交对是(A,Aa)型，那么它们的雄性后代将等可能地得到基因A或a ，雌性后代的基因将等可能地是AA或Aa。又由于雌雄结合是随机的，此时第n代自交对的基因型将等可能地为以下4种情况：(A,AA)，(A,Aa),(a,AA)，(a,Aa)，每种情况的概率为1/4。类似地，可分析第n-1代自交对为其余4种类型时，第n代自交对可能产生的各种情况，具体分析如表1[1，2]。
表 1 自交对基因型的概率
Tab 1 The probability of genotype in inbreeding pairs Generation
(n-1)
Generation (n)
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(A,AA)
(A,Aa)
(A,aa)
(a,AA)
(a,Aa)
(a,aa)
(A,AA)
1
0
0
0
0
0
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(A,Aa)
1/4
1/4
0
1/4
1/4
0
(A,aa)
0
0
0
0
1
0
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(a,aa)
0
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0
1
为表述第n 代与第n-1 代自交对基因型之间的关系，不妨设第n代中自交对为(A,AA)，(A,Aa),(A,aa),(a,AA),(a,Aa)和(a,aa)型概率分别为an，bn，cn，dn，en，fn (n=1,2……)，则由表1得：
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写成矩阵形式为：
记作
则矩阵形式可简记为 X(n)=MX(n-1) (n=1,2,…)
又因为 X(n-1)=MX(n-2)
所以
X(n)=MX(n-1)=M.M.X(n-2)=M2.X(n-2)
, 百拇医药
=……
=Mn.X(0)
这里
X(0)为起始状态自交对的6种基因型的概率。
为了计算MnX(0),需首先计算矩阵M的特征值和特征向量[3]。经计算，其特征值为
其特征向量为
, 百拇医药
将M对角化，则有M=P.D.P-1,因而有Mn=P.Dn.P-1,X(n)=P.Dn.P-1.X(0) (n=1，2，…)
其中
由于多代繁殖，故n值很大，其极限情况可认为n→∞.此时
上式说明，在经过多代近亲繁殖后，各种基因型的概率发生变化，所有杂合自交对的基因型概率全为零,而只有纯合自交对的基因型概率非零,这表明所有自交对都趋于纯化基因，即只有(A,AA)型和(a,a a)型。
, 百拇医药
1.2 计算举例 由初始条件的概率可计算封闭近交群体内多代近亲交配后，最终获得纯化的纯种自交对(A，AA)和(a，aa)的概率。 如果初始自交对为(A,Aa)型，并注意到a0，b0，c0，d0，e0，f0分别为自交对(A,AA)，(A,Aa)，(A,aa)，(a,AA)，(a,Aa)和(a,aa)型的概率，且有a0+b0+c0+d0+e0+f0=1，那么就有a0=0,b0=1,c0=d0=e0=f0=0，经n代近亲繁殖，极限情况的自交对类型为:
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即自交对为(A,AA)型和(a,aa)型的概率分别为2/3 和1/3 。又如，初始自交对为1/4 的(A,aa)型和3/4 的(a,Aa)型时，可知a0=b0=0，c0=
，d0=0,e0=
，f0=0，经n代繁殖后，极限情况的自交对类型为
即自交对为(A,AA)型和(a,a a)型的概率分别为1/3 和2/3 。 其它初始情况可类似计算。
2 讨 论
近交可以使原来杂合程度较高的生物群体增加纯合性，从而提高群体的遗传稳定性，但也可能带来严重的衰退现象。而杂交则可增加群体的杂合性，出现杂种优势，但这种优势不易固定。为了改良生物品系，往往需要交替地使用近交和杂交的手段，以充分获得近交和杂交的好处和尽量减少它们的不利影响。
, 百拇医药
为此，用线性代数模型模拟近交群体基因型趋于纯化的过程，反映了不同自交对之间生物数学特征及内在联系，从数学上解释了群体基因型趋于纯合态的本质，该模型能定量地评估近交的纯化程度，以便更好地在育种过程中利用近交方法。
这里要指出的是，在基因型纯化的近亲繁殖过程中，由同样原理，与X连锁的其他基因也被纯化[4]。
【参考文献】
[1]刘祖洞.遗传学[M].第2版.北京:高等教育出版社,1990.25-46.
[2]郭平仲编著.数量遗传分析[M].北京:北京师范学院出版社,1987.239-263.
[3]刘书田主编.线性代数[M].北京:北京工业大学出版社,1995.218-230.
[4]Hartl D L,Jones E Weds.Genetics:principles and analysis[M].4th ed.London:Jones and Bartlett Publishers,1998.626-667.
【收稿日期】1999-11-05
【修回日期】1999-12-03, http://www.100md.com
单位：
关键词：数学模型；封闭近交群体；等位基因纯化
第二军医大学学报000426 【摘要】目的：试建立线性代数模型，以拟合封闭近交群体内等位基因纯化的过程。方法：通过考察与性染色体X连锁的等位基因频率的变化规律,获得邻近两代 (第n-1代和第n代)自交对基因型概率之间的关系为X(n)=MX(n-1)。经矩阵相似变换，求得系数矩阵M的特征值、特征向量和可逆矩阵P。结果：第n代自交对各种基因型的概率与起始状态基因型的概率之间的关系为X(n)=P.Dn.P-1.X(0)，当n→∞时,杂合自交对的基因型概率全为零,而只有纯合自交对的基因型概率非零,即自交对的等位基因都趋于纯化 ,只留下(A,AA)和(a,a a)型。结论：线性代数模型定量地模拟了封闭近交群体内等位基因逐步纯化的过程，同时能客观分析不同自交代之间的生物数学特征及内在联系,根据模型还能由初始条件预报纯化基因型的频率。
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【中图分类号】Q 78 【文献标识码】A
【文章编号】0258-879X(2000)04-0387-04
A mathematical model imitating the allele homologizing process in a closed inbreeding population
XU Ling-Ling,FANG Ying,ZHU Guo-Qiang
(Department of Mathematics and Physics,Department of Basic Medicine,Second Military Medical University,Shanghai 200433,China)
【ABSTRACT】Objective:To develop a linear algebra model to imitate the process of the allele homologizing within a closed inbreeding population.Methods:By examining the change of the frequency of X-linked alleles,the formula,X(n)=MX(n-1),expressing the relationship of the frequencies of alleles between 2 continued generations in a closed inbreeding population was obtained.Through matrix transformation of similitude,the characteristic values and vectors of coefficient matrix M,and invertible matrix P could be cacutated.Results:The relationship between the probabilities of each kind of genotypes in inbreeding pairs of generation n and initial generation is X(n)=P.Dn.P-1.X(0).If generation number n approaches to the infinite,the frequencies of any kind of heterozygotes should approach to zero,however only the frequency of homozygotes,(A,AA) or (a,a a) ,would not be to zero.Conclusion:The gradual process of allele homologizing in a closed inbreeding population is imitated quantitatively by using linear algebra model.By the way,the biomathematic feature and the internal relationship among different selfing generations ware revealed and analysed objectively.At last,the frequencies of homologizing genotypes could be predicated based on the initial conditions.
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【KEY WORDS】mathematical model; closed inbreeding population; allele homologizing
由生物学研究知，在一个基因与外部没有任何交换的封闭群体内，经过多代近亲交配，群体的基因型逐步趋于纯合态。如何定量地解释该现象的本质呢？本文将特别讨论在基因与性染色体X连锁的理想封闭群体内经多代的近亲交配后等位基因频率的变化规律，从而用数学方法从本质上解释封闭近交群体基因纯化的原因。
1 方法和结果
1.1 模型的建立 通过考察封闭近交群体内部与性染色体X连锁的等位基因频率的变化规律，试用线性代数模型拟合其基因纯化的过程。设群体内雄性亲体与X连锁的基因为A或a ，雌性亲体与X连锁的基因为AA，Aa 或aa,那么雌雄亲体结成配偶，共有6种基因类型：(A,AA),(A,Aa),(A,aa),(a,AA),(a,Aa)或(a,aa)。由同一代雌雄亲体结成配偶的基因型称之为自交对(或内交对)基因型，近亲繁殖过程可由以上6种自交对基因型中的任几种开始。
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若近亲繁殖的第n-1代自交对是(A,AA)型，那么它们的雄性后代基因为A，雌性后代基因为AA，即第n代自交对必定是(A,AA)型。若第n-1代自交对是(A,Aa)型，那么它们的雄性后代将等可能地得到基因A或a ，雌性后代的基因将等可能地是AA或Aa。又由于雌雄结合是随机的，此时第n代自交对的基因型将等可能地为以下4种情况：(A,AA)，(A,Aa),(a,AA)，(a,Aa)，每种情况的概率为1/4。类似地，可分析第n-1代自交对为其余4种类型时，第n代自交对可能产生的各种情况，具体分析如表1[1，2]。
表 1 自交对基因型的概率
Tab 1 The probability of genotype in inbreeding pairs Generation
(n-1)
Generation (n)
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(A,AA)
(A,Aa)
(A,aa)
(a,AA)
(a,Aa)
(a,aa)
(A,AA)
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0
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(A,Aa)
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为表述第n 代与第n-1 代自交对基因型之间的关系，不妨设第n代中自交对为(A,AA)，(A,Aa),(A,aa),(a,AA),(a,Aa)和(a,aa)型概率分别为an，bn，cn，dn，en，fn (n=1,2……)，则由表1得：
, http://www.100md.com
写成矩阵形式为：
记作
则矩阵形式可简记为 X(n)=MX(n-1) (n=1,2,…)
又因为 X(n-1)=MX(n-2)
所以
X(n)=MX(n-1)=M.M.X(n-2)=M2.X(n-2)
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=……
=Mn.X(0)
这里
X(0)为起始状态自交对的6种基因型的概率。
为了计算MnX(0),需首先计算矩阵M的特征值和特征向量[3]。经计算，其特征值为
其特征向量为
, 百拇医药
将M对角化，则有M=P.D.P-1,因而有Mn=P.Dn.P-1,X(n)=P.Dn.P-1.X(0) (n=1，2，…)
其中
由于多代繁殖，故n值很大，其极限情况可认为n→∞.此时
上式说明，在经过多代近亲繁殖后，各种基因型的概率发生变化，所有杂合自交对的基因型概率全为零,而只有纯合自交对的基因型概率非零,这表明所有自交对都趋于纯化基因，即只有(A,AA)型和(a,a a)型。
, 百拇医药
1.2 计算举例 由初始条件的概率可计算封闭近交群体内多代近亲交配后，最终获得纯化的纯种自交对(A，AA)和(a，aa)的概率。 如果初始自交对为(A,Aa)型，并注意到a0，b0，c0，d0，e0，f0分别为自交对(A,AA)，(A,Aa)，(A,aa)，(a,AA)，(a,Aa)和(a,aa)型的概率，且有a0+b0+c0+d0+e0+f0=1，那么就有a0=0,b0=1,c0=d0=e0=f0=0，经n代近亲繁殖，极限情况的自交对类型为:
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即自交对为(A,AA)型和(a,aa)型的概率分别为2/3 和1/3 。又如，初始自交对为1/4 的(A,aa)型和3/4 的(a,Aa)型时，可知a0=b0=0，c0=
，d0=0,e0=，f0=0，经n代繁殖后，极限情况的自交对类型为即自交对为(A,AA)型和(a,a a)型的概率分别为1/3 和2/3 。 其它初始情况可类似计算。
2 讨 论
近交可以使原来杂合程度较高的生物群体增加纯合性，从而提高群体的遗传稳定性，但也可能带来严重的衰退现象。而杂交则可增加群体的杂合性，出现杂种优势，但这种优势不易固定。为了改良生物品系，往往需要交替地使用近交和杂交的手段，以充分获得近交和杂交的好处和尽量减少它们的不利影响。
, 百拇医药
为此，用线性代数模型模拟近交群体基因型趋于纯化的过程，反映了不同自交对之间生物数学特征及内在联系，从数学上解释了群体基因型趋于纯合态的本质，该模型能定量地评估近交的纯化程度，以便更好地在育种过程中利用近交方法。
这里要指出的是，在基因型纯化的近亲繁殖过程中，由同样原理，与X连锁的其他基因也被纯化[4]。
【参考文献】
[1]刘祖洞.遗传学[M].第2版.北京:高等教育出版社,1990.25-46.
[2]郭平仲编著.数量遗传分析[M].北京:北京师范学院出版社,1987.239-263.
[3]刘书田主编.线性代数[M].北京:北京工业大学出版社,1995.218-230.
[4]Hartl D L,Jones E Weds.Genetics:principles and analysis[M].4th ed.London:Jones and Bartlett Publishers,1998.626-667.
【收稿日期】1999-11-05
【修回日期】1999-12-03, http://www.100md.com