疾病流行过程的混沌分析方法*
作者：王琰 朱伟勇 时景璞
单位：王琰 沈阳工业学院(110015); 朱伟勇 东北大学计算中心; 时景璞 中国医科大学
关键词：混沌相空间；庞加莱截面；关联分维；能量谱；百日咳
中国卫生统计990206 【提 要】 目的 介绍混沌分析方法在研究疾病流行过程中的应用，并对辽宁省本溪市1955～1996年的百日咳逐月发病数进行分析。方法 利用混沌动力学相空间重构技术，给出某种疾病月发病数Xt的时间趋势图、混沌相图和递次振幅图，通过递次振幅图的分布特点及谱分析，确定某种疾病流行的动力系统是否混沌，对呈混沌流行的疾病求其关联分维，判定其混沌程度。结果 辽宁省本溪市1955～1996年的百日咳流行是混沌的，动力性态符合一个受噪声摄动的高-低4年循环，逐月发病数Xt具有混沌分布的迭代模型。本溪百日咳流行过程奇怪吸引子的分维值为2.667，其中计划免疫前分维值为2.722，计划免疫后分维值降为1.938，说明百日咳流行过程中相空间轨迹存在有规则周期性或向平稳状态发展的趋势。结论 以上分析计算为疾病流行过程中非随机的一类动力系统的研究提供了新方法。
, http://www.100md.com
Chaotic Analysis Method in Epidemic
Wang Yan,et al.,Shengyang industry College(110015),Shengyang
【Abstract】 Object To introduce the chaotic analysis method in epidemic,and to analyze the monthly reported cases of pertussis in Benxi city in the periods 1955-1996.Methods The reconstruction technique of phase space,the time series,Poincare section,power spectra and correlation fractal dimension were used.Results The dynamic system of Benxi pertussis was chaotic,the correlation dimension was 2.667,before vaccination the dimension was 2.722,after vaccination changed to 1.938.And the cycle of pertussis outbreaks approximate 4 years.Conclusion With these methods,those non-stochastic dynamic systems in epidemic would be studied correctly.
, 百拇医药
【Key words】 The chaotic phase space Poincare section Correlation fractal dimension Power spectra Pertussis
混沌(chaos)，举世瞩目的学术热点。它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，其覆盖面几乎广及自然科学与社会科学的各个领域，正促使整个现代知识体系成为新科学。
以往研究流行病系统，都是以随机性做前提；即假设流行病过程服从随机分布，然后借助某种统计方法进行研究。但随机分布是一种很理想的状态，现实流行病过程中还有很多是混沌动力系统，如果也用统计方法研究，将掩盖其本质。
1990年Olsen和Schaffer等〔1〕在美国《科学》上发表的论文中对麻疹流行病进行了混沌研究，目前国内未见此类论著，本文将介绍混沌动力学中的相空间重构技术，用递次振幅图和谱分析判定动力系统是否混沌，以及通过计算关联分维来确定混沌程度。
, http://www.100md.com
方法与原理
1.相空间重构〔2〕
设离散时间序列X1，X2，X3，…，XN+n-1，用Xt及其连续漂移Xt+τ，Xt+2τ，…，Xt+(n-1)τ(τ为延滞参数)形成的n维空间称作嵌入相空间。n称为嵌入空间维数，用嵌入空间代替状态空间，记嵌入空间的点为xt=(Xt，Xt+τ，…，Xt+(n-1)τ)。N个点x1，x2，…，xN就形成该嵌入相空间的轨道。显然在重构的n维相空间中，其吸引子的维数应小于n，当然为保证该方法的成功，延滞时间τ的选择应使构成n维相空间的每个分量是相互独立的。
, 百拇医药
2.递次振幅图(庞加莱截面图)〔3〕
在三维相空间(即(Xt，Xt+1，Xt+2)构成的空间)中，使离散点光滑化就形成三维相图。观察三维相图，在点密集处用一个平面切这个三维相图，三维相图与这个平面的交点就构成递次振幅图，也叫庞加莱截面图，简称庞氏截面。如果庞氏截面上有一条明显的单峰曲线，或呈单峰分布，则这个离散时间序列的动力性态呈混沌趋势。
3.能量谱分析〔4〕
对离散的时间序列X1，X2，…，XN，先设IN(ω)=
，求其反变换TN，用Parzen窗λ(m)修正数据，对λ(m)*TN作为Fourier变换得到F(u)，则|F(u)|2就是能量谱。能量谱图的横坐标是频率，纵坐标是能量，谱图中不考虑零频对应的第一峰，每一峰对应一个周期，单峰谱图反应周期运动，三峰以上且峰值呈幂次递减趋势的反应混沌运动。
, 百拇医药
4.关联分维〔2〕
选定一个数r,考虑状态空间的N个点在n维嵌入相空间中有多少“点对”(Xi,Xj)之间的距离小于r，把距离小于r的“点对”在一切“点对”(共有N2个“点对”)中所占比例
记作C(r)。
若r选得太大，则“点对”的距离都不超过它，故C(r)=1，log(C(r))=0。因此函数C(r)描述了随r增加，“点对”数(小于r的)是如何增长的分布函数。显然太大的r反映不了系统内部的性质。适当缩小r，可能在r的一段区间内有C(r)=rD，那么，这里的D就是该吸引子的维数。
对嵌入维数n=1,2,3…，都可求出相应的Dn，当Dn的变化趋于平缓且2Dnn时，这个Dn就是关联维数D。关联维数D越大，动力系统的混沌程度越高，也就是动力系统的运动越复杂。
, http://www.100md.com
实例分析
1.辽宁省本溪市1955～1996年百日咳发病数的月报告资料，来源于辽宁省本溪市法定传染病疫情年报，由本溪市卫生防疫站核实汇总。共计42年504个数据。百日咳大规模计划免疫自1982年开始。
2.本溪市百日咳1955～1996年月发病数时间序列及谱分析：
图1是本溪市百日咳发病数的时间序列图，由图可见计划免疫前本溪市百日咳月发病数Xt变化急剧，出现历史最高峰。计划免疫后，月发病数明显下降，趋于平稳。
图1 本溪市百日咳月发病报告时间序列
图2是本溪市百日咳数据的能量谱图〔2〕。下部是1955～1981年能量谱指数，呈现多峰，主峰对应一年0.26次循环(约四年循环)，辅峰对应一年0.59次循环，第三峰对应一年1次循环，即计划免疫前百日咳流行出现多周期，因而是混沌的。上部是1982～1996年能量谱指数(为显示谱峰，将纵坐标放大了50倍)，对应计划免疫后的流行状况，只有一个能量很低的峰值，恰好是一年1次循环，是非混沌的。
, http://www.100md.com
图2 本溪市百日咳月发病数据能量谱
3.本溪市百日咳数据的相空间重构及庞加莱映象：图3是本溪市百日咳数据重构的三维相图，对其做庞加莱截面得到递次振幅图(图4)。
图3 本溪市百日咳数据的三维相图
图4 本溪市百日咳数据的递次振幅图
4.迭代模型：本溪市百日咳数据构造的递次振幅图虽然没有一条明显的曲线，但其对应点的分布很有规律，通过对边界曲线的考察 ，我们建立如下模型：
Xt+1=r(Xt+11.30263)exp(-(Xt-22.60526)2
, http://www.100md.com
/412.2148)
这里r-传染涨落度，是随机变量。r∈[0.07162734，2.327889]。
5.关联分维
由表1算出，计划免疫前本溪市百日咳数据混沌吸引子关联维数等于2.722(嵌入维数为6)，计划免疫后关联维数为1.938(嵌入维数为4)，1955～1996年关联维数等于2.667(嵌入维数为6)。可以看出计划免疫后百日咳发病数显著下降，关联维数远远小于计划免疫前，也就是说计划免疫后百日咳的流行复杂程度大大降低了。
表1 分阶段关联维数表 嵌入维数n
1955～1981年
1982～1996年
, http://www.100md.com 1995～1996年
1
1.75
1.188
1.733
2
1.9
1.625
1.883
3
2.55
1.875
2.0
, http://www.100md.com
4
2.60
1.938
2.387
5
2.68
2.281
2.567
6
2.722
2.406
2.667
7
, 百拇医药
2.906
2.813
2.878
8
3.257
3.706
3.105
9
3.419
4.144
3.467
讨 论
1.递次振幅图依赖于三维相图，做相图时使离散点光滑化的算法有多种。做递次振幅图时可以选用不同的平面切割三维相图，但如果用过某一坐标轴且与一个坐标面垂直的平面，将使计算简化。
, 百拇医药
2.谱分析在其他领域应用很广，同样可应用于流行病分析。目前可借助于谱分析软件。先用谱分析检验是否混沌，然后作混沌分析。
3.计算关联分维依据关联分维图，关联分维图中横坐标为lnrn，纵坐标为lncn(r)，可见多条曲线自上而下排列，分别对应嵌入维数n=1,2,3,…，9的lnrn-lncn(r)函数曲线，在每一条曲线lncn(r)变化大的一段求近似斜率Dn。一是做n-Dn图，横坐标是嵌入维数n，纵坐标是Dn；二是本文中的列表法。当Dn的变化趋于平缓且2Dn≤n时，这个Dn就是关联维数D。
4.1990年Olsen和Schaffer等〔1〕在美国《科学》上发表的论文中指出对小儿流行病中的麻疹和水痘研究后的几个结论：麻疹发病率多变(1)其涨落有一个随机性起因。(2)动力性态符合一个受噪声摄动的高-低二年循环。(3)群体免疫前，大种群内麻疹的传染是混沌的。(4)纽约、底特律及丹麦的哥本哈根市1920～1963年麻疹流行状况，分维值分别为2.68、2.43和3.07。(5)水痘的涨落是周期的。本文所得结论与之基本吻合。采用混沌分析，将会为非随机的疾病流行过程提供有效而合理的新方法。
, http://www.100md.com
*国家教委博士点基金(编号：97014510)及辽宁省自然科学基金(编号：962177)资助项目
参考文献
1.Olsen LF,Schaffer WM.Chaos Versus Noisy Periodicity:Alternative Hypotheses for Childhood Epidemics.Science,1990,249:499
2.刘式达，刘式适编著.分形和分维引论.北京：气象出版社，1993，90～92.
3.Bruce J.West,Fractal Physiology and Chaos In Medicine.Singapore:World Scientific.1990,179～190
4.孙家广，杨长贵编著.计算机图形学.北京：清华大学出版社，1995，550～554.
5.卢侃，孙建华，欧阳容百等编译.混沌动力学.上海：上海翻译出版公司.1990,377～381.
6.董连科，编著.分形理论及其应用.沈阳：辽宁科学技术出版社，1991，206～210.
7.王琰，朱伟勇，方自平.流行病过程的混沌分形研究及方法.科学，1998，9：57～59., 百拇医药
单位：王琰 沈阳工业学院(110015); 朱伟勇 东北大学计算中心; 时景璞 中国医科大学
关键词：混沌相空间；庞加莱截面；关联分维；能量谱；百日咳
中国卫生统计990206 【提 要】 目的 介绍混沌分析方法在研究疾病流行过程中的应用，并对辽宁省本溪市1955～1996年的百日咳逐月发病数进行分析。方法 利用混沌动力学相空间重构技术，给出某种疾病月发病数Xt的时间趋势图、混沌相图和递次振幅图，通过递次振幅图的分布特点及谱分析，确定某种疾病流行的动力系统是否混沌，对呈混沌流行的疾病求其关联分维，判定其混沌程度。结果 辽宁省本溪市1955～1996年的百日咳流行是混沌的，动力性态符合一个受噪声摄动的高-低4年循环，逐月发病数Xt具有混沌分布的迭代模型。本溪百日咳流行过程奇怪吸引子的分维值为2.667，其中计划免疫前分维值为2.722，计划免疫后分维值降为1.938，说明百日咳流行过程中相空间轨迹存在有规则周期性或向平稳状态发展的趋势。结论 以上分析计算为疾病流行过程中非随机的一类动力系统的研究提供了新方法。
, http://www.100md.com
Chaotic Analysis Method in Epidemic
Wang Yan,et al.,Shengyang industry College(110015),Shengyang
【Abstract】 Object To introduce the chaotic analysis method in epidemic,and to analyze the monthly reported cases of pertussis in Benxi city in the periods 1955-1996.Methods The reconstruction technique of phase space,the time series,Poincare section,power spectra and correlation fractal dimension were used.Results The dynamic system of Benxi pertussis was chaotic,the correlation dimension was 2.667,before vaccination the dimension was 2.722,after vaccination changed to 1.938.And the cycle of pertussis outbreaks approximate 4 years.Conclusion With these methods,those non-stochastic dynamic systems in epidemic would be studied correctly.
, 百拇医药
【Key words】 The chaotic phase space Poincare section Correlation fractal dimension Power spectra Pertussis
混沌(chaos)，举世瞩目的学术热点。它揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，其覆盖面几乎广及自然科学与社会科学的各个领域，正促使整个现代知识体系成为新科学。
以往研究流行病系统，都是以随机性做前提；即假设流行病过程服从随机分布，然后借助某种统计方法进行研究。但随机分布是一种很理想的状态，现实流行病过程中还有很多是混沌动力系统，如果也用统计方法研究，将掩盖其本质。
1990年Olsen和Schaffer等〔1〕在美国《科学》上发表的论文中对麻疹流行病进行了混沌研究，目前国内未见此类论著，本文将介绍混沌动力学中的相空间重构技术，用递次振幅图和谱分析判定动力系统是否混沌，以及通过计算关联分维来确定混沌程度。
, http://www.100md.com
方法与原理
1.相空间重构〔2〕
设离散时间序列X1，X2，X3，…，XN+n-1，用Xt及其连续漂移Xt+τ，Xt+2τ，…，Xt+(n-1)τ(τ为延滞参数)形成的n维空间称作嵌入相空间。n称为嵌入空间维数，用嵌入空间代替状态空间，记嵌入空间的点为xt=(Xt，Xt+τ，…，Xt+(n-1)τ)。N个点x1，x2，…，xN就形成该嵌入相空间的轨道。显然在重构的n维相空间中，其吸引子的维数应小于n，当然为保证该方法的成功，延滞时间τ的选择应使构成n维相空间的每个分量是相互独立的。
, 百拇医药
2.递次振幅图(庞加莱截面图)〔3〕
在三维相空间(即(Xt，Xt+1，Xt+2)构成的空间)中，使离散点光滑化就形成三维相图。观察三维相图，在点密集处用一个平面切这个三维相图，三维相图与这个平面的交点就构成递次振幅图，也叫庞加莱截面图，简称庞氏截面。如果庞氏截面上有一条明显的单峰曲线，或呈单峰分布，则这个离散时间序列的动力性态呈混沌趋势。
3.能量谱分析〔4〕
对离散的时间序列X1，X2，…，XN，先设IN(ω)=
，求其反变换TN，用Parzen窗λ(m)修正数据，对λ(m)*TN作为Fourier变换得到F(u)，则|F(u)|2就是能量谱。能量谱图的横坐标是频率，纵坐标是能量，谱图中不考虑零频对应的第一峰，每一峰对应一个周期，单峰谱图反应周期运动，三峰以上且峰值呈幂次递减趋势的反应混沌运动。, 百拇医药
4.关联分维〔2〕
选定一个数r,考虑状态空间的N个点在n维嵌入相空间中有多少“点对”(Xi,Xj)之间的距离小于r，把距离小于r的“点对”在一切“点对”(共有N2个“点对”)中所占比例
记作C(r)。若r选得太大，则“点对”的距离都不超过它，故C(r)=1，log(C(r))=0。因此函数C(r)描述了随r增加，“点对”数(小于r的)是如何增长的分布函数。显然太大的r反映不了系统内部的性质。适当缩小r，可能在r的一段区间内有C(r)=rD，那么，这里的D就是该吸引子的维数。
对嵌入维数n=1,2,3…，都可求出相应的Dn，当Dn的变化趋于平缓且2Dnn时，这个Dn就是关联维数D。关联维数D越大，动力系统的混沌程度越高，也就是动力系统的运动越复杂。
, http://www.100md.com
实例分析
1.辽宁省本溪市1955～1996年百日咳发病数的月报告资料，来源于辽宁省本溪市法定传染病疫情年报，由本溪市卫生防疫站核实汇总。共计42年504个数据。百日咳大规模计划免疫自1982年开始。
2.本溪市百日咳1955～1996年月发病数时间序列及谱分析：
图1是本溪市百日咳发病数的时间序列图，由图可见计划免疫前本溪市百日咳月发病数Xt变化急剧，出现历史最高峰。计划免疫后，月发病数明显下降，趋于平稳。
图1 本溪市百日咳月发病报告时间序列
图2是本溪市百日咳数据的能量谱图〔2〕。下部是1955～1981年能量谱指数，呈现多峰，主峰对应一年0.26次循环(约四年循环)，辅峰对应一年0.59次循环，第三峰对应一年1次循环，即计划免疫前百日咳流行出现多周期，因而是混沌的。上部是1982～1996年能量谱指数(为显示谱峰，将纵坐标放大了50倍)，对应计划免疫后的流行状况，只有一个能量很低的峰值，恰好是一年1次循环，是非混沌的。
, http://www.100md.com
图2 本溪市百日咳月发病数据能量谱
3.本溪市百日咳数据的相空间重构及庞加莱映象：图3是本溪市百日咳数据重构的三维相图，对其做庞加莱截面得到递次振幅图(图4)。
图3 本溪市百日咳数据的三维相图
图4 本溪市百日咳数据的递次振幅图
4.迭代模型：本溪市百日咳数据构造的递次振幅图虽然没有一条明显的曲线，但其对应点的分布很有规律，通过对边界曲线的考察 ，我们建立如下模型：
Xt+1=r(Xt+11.30263)exp(-(Xt-22.60526)2
, http://www.100md.com
/412.2148)
这里r-传染涨落度，是随机变量。r∈[0.07162734，2.327889]。
5.关联分维
由表1算出，计划免疫前本溪市百日咳数据混沌吸引子关联维数等于2.722(嵌入维数为6)，计划免疫后关联维数为1.938(嵌入维数为4)，1955～1996年关联维数等于2.667(嵌入维数为6)。可以看出计划免疫后百日咳发病数显著下降，关联维数远远小于计划免疫前，也就是说计划免疫后百日咳的流行复杂程度大大降低了。
表1 分阶段关联维数表 嵌入维数n
1955～1981年
1982～1996年
, http://www.100md.com 1995～1996年
1
1.75
1.188
1.733
2
1.9
1.625
1.883
3
2.55
1.875
2.0
, http://www.100md.com
4
2.60
1.938
2.387
5
2.68
2.281
2.567
6
2.722
2.406
2.667
7
, 百拇医药
2.906
2.813
2.878
8
3.257
3.706
3.105
9
3.419
4.144
3.467
讨 论
1.递次振幅图依赖于三维相图，做相图时使离散点光滑化的算法有多种。做递次振幅图时可以选用不同的平面切割三维相图，但如果用过某一坐标轴且与一个坐标面垂直的平面，将使计算简化。
, 百拇医药
2.谱分析在其他领域应用很广，同样可应用于流行病分析。目前可借助于谱分析软件。先用谱分析检验是否混沌，然后作混沌分析。
3.计算关联分维依据关联分维图，关联分维图中横坐标为lnrn，纵坐标为lncn(r)，可见多条曲线自上而下排列，分别对应嵌入维数n=1,2,3,…，9的lnrn-lncn(r)函数曲线，在每一条曲线lncn(r)变化大的一段求近似斜率Dn。一是做n-Dn图，横坐标是嵌入维数n，纵坐标是Dn；二是本文中的列表法。当Dn的变化趋于平缓且2Dn≤n时，这个Dn就是关联维数D。
4.1990年Olsen和Schaffer等〔1〕在美国《科学》上发表的论文中指出对小儿流行病中的麻疹和水痘研究后的几个结论：麻疹发病率多变(1)其涨落有一个随机性起因。(2)动力性态符合一个受噪声摄动的高-低二年循环。(3)群体免疫前，大种群内麻疹的传染是混沌的。(4)纽约、底特律及丹麦的哥本哈根市1920～1963年麻疹流行状况，分维值分别为2.68、2.43和3.07。(5)水痘的涨落是周期的。本文所得结论与之基本吻合。采用混沌分析，将会为非随机的疾病流行过程提供有效而合理的新方法。
, http://www.100md.com
*国家教委博士点基金(编号：97014510)及辽宁省自然科学基金(编号：962177)资助项目
参考文献
1.Olsen LF,Schaffer WM.Chaos Versus Noisy Periodicity:Alternative Hypotheses for Childhood Epidemics.Science,1990,249:499
2.刘式达，刘式适编著.分形和分维引论.北京：气象出版社，1993，90～92.
3.Bruce J.West,Fractal Physiology and Chaos In Medicine.Singapore:World Scientific.1990,179～190
4.孙家广，杨长贵编著.计算机图形学.北京：清华大学出版社，1995，550～554.
5.卢侃，孙建华，欧阳容百等编译.混沌动力学.上海：上海翻译出版公司.1990,377～381.
6.董连科，编著.分形理论及其应用.沈阳：辽宁科学技术出版社，1991，206～210.
7.王琰，朱伟勇，方自平.流行病过程的混沌分形研究及方法.科学，1998，9：57～59., 百拇医药