潜在变量非线性建模探讨△
作者：王建琼 陈冠民* 倪宗瓒 朱海燕**
单位：华西医科大学卫生统计学教研室 成都610041
关键词：线性结构方程模型；非线性； 似然函数； Box-Cox变换
数理医药学杂志990101 摘 要 在潜在变量线性结构模型的基础上，首次将变量变换的思想引入其中，并给出了在Box-Cox变换下的似然函数、参数估计，从而提高了以往LISREL模型的适用准确性。
1 问题的提出
众所周知，潜在变量线性结构方程模型(LISREL)的最大特点在于把可直接观测变量(显在变量)和潜在变量有机地结合在一组线性结构方程中，从而能够同时估计变量的直接效应和间接效应。
, http://www.100md.com
一般地，LISREL包括两个度量模型：
X=Axξ+δ、Y=Ayη+ε
(1)
和一个结构方程模型：
η=Bη+ΓX+ζ
(2)
其中X、ξ表示外生的(原因)显在变量和潜在变量，Y、η表示内生的(结果)显在变量和潜在变量。关于上述模型的详细假设可参考有关文献[1,2]。
我们在应用上述模型解决实际问题时常有这样的体会：一个突出的问题是变量间的线性关系假设使得某些实际资料拟合结果不太符合专业知识[2]，本文拟在变量间非线性关系假设下，就如何建模、寻求参数估计等理论做了探讨，从而提高了原来线性假设下LISREL拟合实际问题的准确性。
, 百拇医药
2 变量变换及其似然函数
设有一外生可观测向量Z(P×1)经函数f(.)变换后成X(P×1)，且假定X服从正态分布Np(μ,∑(θ)),θ为模型中的待估计参数族，则模型可定义为
X=f(Z),ξ=B0ξ+ζ,X=μ+Aξ+ε
(3)
假设随机向量ξ、ζ和ε的期望为零，且互不相关，X的期望为μ，易求得X的协方差阵为
∑(θ)=∧B-1ΦB-T∧T+Ψ
, 百拇医药
(4)
其中，B=IΓ-B0,Φ=cov(ξ),Ψ=cov(ε)，B-T是B的转置的逆矩阵，我们的目的是由此导出X的似然函数。
由X～Np(μ,∑(θ))可写出X的密度函数
(5)
并由此导出X的似然函数为
, 百拇医药
(6)
其中
是变换函数xij=f(zij)的雅可比行列式，常数C等于(2π)-(np)/(2)。
3 Box-Cox变换下的参数估计
设前文的变换函数f(.)为Box-Cox变换[3]
,当λj≠0；否则，xij=ln(Zij)。
, 百拇医药
λj为Box-Cox变换参数。现将xij代入似然函数式(6)，并消去一些无关估计的常数，则目标函数为
(7)
现设有一样本资料(Zij)(n×p)经变换后为
显然，由此可估计出目标函数中的均数向量
,以此将(7)简化为
, 百拇医药
其中
为矩阵的迹，令S=
,则上式中的参数族θ可由一般的LISREL方法获得估计。
4 建模过程
第一步，用一般的LISERL方法拟合原始资料，若发现某些线性假设下的估计结论与理论不符，则进入下一步；
第二步，对上步中不符的线性假设下联系的变量做变换(一般做Box-Cox变换)，使其近似服从正态分布，并进入下一步；
第三步，对变换后的资料拟合LISREL模型；
, 百拇医药
第四步，对最终拟合结果做出专业解释。
△国家教委博士点基金资助课题
*湖北医科大学医学统计学教研室
**安徽省卫生干校
参考文献
[1]王建琼.潜在变量统计建模及其医学应用研究.华西医科大学博士论文，1996.
[2]陈冠民.评价糖尿病患者预后与健康状况的统计模型.华西医科大学博士论文，1997.
[3]韦博成.统计诊断引论.东南大学出版社，1991.
收稿日期：1998-03-07, 百拇医药(王建琼 陈冠民* 倪宗瓒 朱海燕**)
单位：华西医科大学卫生统计学教研室 成都610041
关键词：线性结构方程模型；非线性； 似然函数； Box-Cox变换
数理医药学杂志990101 摘 要 在潜在变量线性结构模型的基础上，首次将变量变换的思想引入其中，并给出了在Box-Cox变换下的似然函数、参数估计，从而提高了以往LISREL模型的适用准确性。
1 问题的提出
众所周知，潜在变量线性结构方程模型(LISREL)的最大特点在于把可直接观测变量(显在变量)和潜在变量有机地结合在一组线性结构方程中，从而能够同时估计变量的直接效应和间接效应。
, http://www.100md.com
一般地，LISREL包括两个度量模型：
X=Axξ+δ、Y=Ayη+ε
(1)
和一个结构方程模型：
η=Bη+ΓX+ζ
(2)
其中X、ξ表示外生的(原因)显在变量和潜在变量，Y、η表示内生的(结果)显在变量和潜在变量。关于上述模型的详细假设可参考有关文献[1,2]。
我们在应用上述模型解决实际问题时常有这样的体会：一个突出的问题是变量间的线性关系假设使得某些实际资料拟合结果不太符合专业知识[2]，本文拟在变量间非线性关系假设下，就如何建模、寻求参数估计等理论做了探讨，从而提高了原来线性假设下LISREL拟合实际问题的准确性。
, 百拇医药
2 变量变换及其似然函数
设有一外生可观测向量Z(P×1)经函数f(.)变换后成X(P×1)，且假定X服从正态分布Np(μ,∑(θ)),θ为模型中的待估计参数族，则模型可定义为
X=f(Z),ξ=B0ξ+ζ,X=μ+Aξ+ε
(3)
假设随机向量ξ、ζ和ε的期望为零，且互不相关，X的期望为μ，易求得X的协方差阵为
∑(θ)=∧B-1ΦB-T∧T+Ψ
, 百拇医药
(4)
其中，B=IΓ-B0,Φ=cov(ξ),Ψ=cov(ε)，B-T是B的转置的逆矩阵，我们的目的是由此导出X的似然函数。
由X～Np(μ,∑(θ))可写出X的密度函数
(5)
并由此导出X的似然函数为
, 百拇医药
(6)
其中
是变换函数xij=f(zij)的雅可比行列式，常数C等于(2π)-(np)/(2)。3 Box-Cox变换下的参数估计
设前文的变换函数f(.)为Box-Cox变换[3]
,当λj≠0；否则，xij=ln(Zij)。, 百拇医药
λj为Box-Cox变换参数。现将xij代入似然函数式(6)，并消去一些无关估计的常数，则目标函数为
(7)
现设有一样本资料(Zij)(n×p)经变换后为
显然，由此可估计出目标函数中的均数向量
,以此将(7)简化为, 百拇医药
其中
为矩阵的迹，令S=,则上式中的参数族θ可由一般的LISREL方法获得估计。4 建模过程
第一步，用一般的LISERL方法拟合原始资料，若发现某些线性假设下的估计结论与理论不符，则进入下一步；
第二步，对上步中不符的线性假设下联系的变量做变换(一般做Box-Cox变换)，使其近似服从正态分布，并进入下一步；
第三步，对变换后的资料拟合LISREL模型；
, 百拇医药
第四步，对最终拟合结果做出专业解释。
△国家教委博士点基金资助课题
*湖北医科大学医学统计学教研室
**安徽省卫生干校
参考文献
[1]王建琼.潜在变量统计建模及其医学应用研究.华西医科大学博士论文，1996.
[2]陈冠民.评价糖尿病患者预后与健康状况的统计模型.华西医科大学博士论文，1997.
[3]韦博成.统计诊断引论.东南大学出版社，1991.
收稿日期：1998-03-07, 百拇医药(王建琼 陈冠民* 倪宗瓒 朱海燕**)