一种生物体表静电位测定的差分法及等势图表示△
作者：郑志浩 张长琳*
单位：浙江医科大学生物数学教研室 杭州310031
关键词：电位；差分方程
数理医药学杂志990105 摘 要 通过引用偏微分方程的差分法，构造生物体表静电位方程的数学模型及解法，并对一实际皮肤电位的测定作了处理。结果表明该方法对解决其它类似生物体静电位问题有一定的推广价值。
电位是反映生物电行为的一个重要指标，特别在生理学中，常用电位来反映某些生理特征(如脑电图、心电图)，而细胞中保持无机盐平衡的跨膜运输的动力同样是由电位所决定。近年来，对皮肤表电位的测量，经大量的统计计算，得出健康人电导分布接近对数正态分布，并对此现象作了数学论证，从而把它作为生理或心理健康状态检查的局部依据[1,2]。由此，必须对某皮肤区域内进行多次测量，然后统计出与对数正态分布拟合度，对健康状况进行评价。但对体表面进行多次的测量不仅会破坏组织结构，而且时常会遇到不能直接测量的“稳藏”部分，这给测量过程带来了困难，因此有必要根据电位的物理特征建立数学模型来解决此类问题。
, http://www.100md.com
1 数学方法
对表面电位的测量通常加上一恒定的外加电场，在规定的范围内可认为二位区域内形成恒定电场，则得
(1)
其中u为电位函数，ρ(x,y)为研究域中的电荷密度，ε(x,y)是介电系数。令f(x,y)=-ρ(x,y)/ε(x,y)，区域电位方程及边界条件可表示如下：
(2)
其中Γ为区域边界，而
, 百拇医药
g(x,y)是边界函数，取若干离散点的测量值，g(x,y)可看成二元插值函数。我们的目的是通过对边界较少量点电位的测量值计算出区域内部指定点电位值。为此作两组平行线
中(x0,y0)是平面上的一点，h、k为两方向上的步长(见图1(a))。这样，平面就被两组平行线构成的网格所覆盖，而网格交点为结点，而沿x方向y方向只相差一步长时称为相邻的结点，现考虑测量区域内G及边界Γ上的点有如下情形：
正则内点：所有四个相邻的结点均属G+Γ。
非正则内点：相邻的四个结点中至少有一个不属于G+Γ(见图1(b))。
, http://www.100md.com
(a) (b)
图1
正则内点点的集合记为Gh，非正则内点的全体组成的网格区域的记为Γh，把(xi,yj)简记为(i,j)，则对正则内点有：
由(5)(通常可取h=k)，得到正则点的差分形式为：
(6)
ω为松驰量，为加快迭代速度，可最优化地选择ω[3]。
对非正则内点可采取守衡格式：
, 百拇医药
(7)
u(-1α),u(+1α)可能为边界上的点，也可能为内点，
为非正则内点到边界的长度。
在确定正则内点及非正则内点的不同处理方式的前提下，可选定收敛参数v，测定点的电位的平均值为初始值，当
时，计算结束。
2 实例计算
在对人体健康状态的相干度测定中，需对皮肤表面局部电位进行测定[4],具有区域如图2所示，这时测定值为区域边界的若干点的电位值，由于加上一具有稳恒电压的多探头测定仪，认为测量的皮肤区域不带电荷，表皮电位分布恒定，方程可简化为：
, 百拇医药
(8)
其中g(xi,yj)为Γ边界测量值，xi,yj以具体测量编号表现(见附表及图2，测量单位为伏特)。
图2
附表 测量次数
测量值
h*
测量次数
测量值
h*
, http://www.100md.com
1
0.82
0
16
0.72
0
2
0.52
0.22
17
2.08
0.23
3
, 百拇医药 1.79
0.52
18
1.19
0.78
4
0.61
0.41
19
0.25
0.77
5
2.30
, http://www.100md.com
0.83
20
0.63
0.43
6
0.33
0.33
21
1.17
0.34
7
0.69
0.45
, 百拇医药
22
2.35
0.67
8
1.39
0.76
23
0.58
0.38
9
2.11
0
24
, 百拇医药
0.49
0
10
1.44
0.77
25
1.22
0.22
11
0.89
0.39
26
0.39
, 百拇医药
0.67
12
0.77
0.55
27
0.93
0.87
13
0.93
0.64
28
0.87
0.55
, http://www.100md.com
14
1.72
0.21
29
1.51
0.17
15
0.43
0.34
30
0.74
0.33
采用图2所示的等差正方形网格法，附表为按编号进行测量的电位值及没量点到区域内已划分的非正则结点的长度，现计算区域内网格结点的电位值。规定ui,j是区域内网格化i行j列相交的内点，i=1,2…8(从下到上)，j=1,2…9(从左到右)。当i=0,9，是上，下两边界的测量值；当j=0,10，为左，右边界测量值。h1,j,h8,j,hi,1,hi,9,分别是第1，8行，第1，9列非正则内点到相关边界的长度(h=1,h*为相对比长)，分别与上表中的h*对应。
, 百拇医药
对正则内点采用：
(9)
对于非正则内点用：
(10)
以上i=2…7,j=2…8
经搜索得ω=1.42，以边界平均测量值1.062为初始值，用C语言编程，经迭代后，得到区域内结点电位值及等位线表示如图3(为便于作图，图中的电位值都放大到10倍)。
, 百拇医药
图3
3 讨论
3.1 以上提出的关于皮肤静电位的计算方法，是在严格物理定义下的差分格式，对解决实际问题有一定简化作用，由上述所算出的结果部分与实际所得到的测量值符合的较好，如结点(2，4)的计算值为1.68伏，而实际测量值为1.62伏。
3.2 文章开始提到的电荷密度函数ρ(x,y)及介电系数函数ε(x,y)在实际计算中是无法得知具体形式的。故本方法更适用于测量较大的外加电场的测量，以消出ρ(x,y)的影响。
3.3 该方法只适用于较为平坦的小区域的电位计算，对于不平坦小区域或较大区域会出现较大误差，此时应构造三维的差分格式。
3.4 对于研究区域较接近矩形的情况，用上述方法较为捷径。而对于很不规则的区域，应考虑有限元法。
, 百拇医药
3.5 以上方法并没讨论计算误差，因为为了确定每个点的误差需增加测量点数，可设
。另外，以h/2为步长，得
则
是误差的近似值。
△本项目由浙江省自然科学基金赞助
*杭州大学生命科学学院
参考文献
[1]Zhang. C.L and Popp. F.A Log-Normal Distribution of physiological parameter and the coherence of biological systems. Medical Hypotheses. Longman Group Ltd 1994,43:11～16.
, 百拇医药
[2]Rossmann. H and Popp. F. A Statistik der Elektroakupundturnach Voll Ⅰ， Ⅱ： Arztezeitschrift fur Naturcheilverfahren Mcdizinisch Litcrarische Verlagsgellschaft mbh Uezen 1986,1:51～59,1986,9:623～630.
[3]偏微分方程数值解法.南京大学编.
[4]研究生论文.严昱.Kaiserslautrn University Germany.
收稿日期：1998-03-15, 百拇医药(郑志浩 张长琳*)
单位：浙江医科大学生物数学教研室 杭州310031
关键词：电位；差分方程
数理医药学杂志990105 摘 要 通过引用偏微分方程的差分法，构造生物体表静电位方程的数学模型及解法，并对一实际皮肤电位的测定作了处理。结果表明该方法对解决其它类似生物体静电位问题有一定的推广价值。
电位是反映生物电行为的一个重要指标，特别在生理学中，常用电位来反映某些生理特征(如脑电图、心电图)，而细胞中保持无机盐平衡的跨膜运输的动力同样是由电位所决定。近年来，对皮肤表电位的测量，经大量的统计计算，得出健康人电导分布接近对数正态分布，并对此现象作了数学论证，从而把它作为生理或心理健康状态检查的局部依据[1,2]。由此，必须对某皮肤区域内进行多次测量，然后统计出与对数正态分布拟合度，对健康状况进行评价。但对体表面进行多次的测量不仅会破坏组织结构，而且时常会遇到不能直接测量的“稳藏”部分，这给测量过程带来了困难，因此有必要根据电位的物理特征建立数学模型来解决此类问题。
, http://www.100md.com
1 数学方法
对表面电位的测量通常加上一恒定的外加电场，在规定的范围内可认为二位区域内形成恒定电场，则得
(1)
其中u为电位函数，ρ(x,y)为研究域中的电荷密度，ε(x,y)是介电系数。令f(x,y)=-ρ(x,y)/ε(x,y)，区域电位方程及边界条件可表示如下：
(2)
其中Γ为区域边界，而
, 百拇医药
g(x,y)是边界函数，取若干离散点的测量值，g(x,y)可看成二元插值函数。我们的目的是通过对边界较少量点电位的测量值计算出区域内部指定点电位值。为此作两组平行线
中(x0,y0)是平面上的一点，h、k为两方向上的步长(见图1(a))。这样，平面就被两组平行线构成的网格所覆盖，而网格交点为结点，而沿x方向y方向只相差一步长时称为相邻的结点，现考虑测量区域内G及边界Γ上的点有如下情形：
正则内点：所有四个相邻的结点均属G+Γ。
非正则内点：相邻的四个结点中至少有一个不属于G+Γ(见图1(b))。
, http://www.100md.com
(a) (b)
图1
正则内点点的集合记为Gh，非正则内点的全体组成的网格区域的记为Γh，把(xi,yj)简记为(i,j)，则对正则内点有：
由(5)(通常可取h=k)，得到正则点的差分形式为：
(6)
ω为松驰量，为加快迭代速度，可最优化地选择ω[3]。
对非正则内点可采取守衡格式：
, 百拇医药
(7)
u(-1α),u(+1α)可能为边界上的点，也可能为内点，
为非正则内点到边界的长度。在确定正则内点及非正则内点的不同处理方式的前提下，可选定收敛参数v，测定点的电位的平均值为初始值，当
时，计算结束。2 实例计算
在对人体健康状态的相干度测定中，需对皮肤表面局部电位进行测定[4],具有区域如图2所示，这时测定值为区域边界的若干点的电位值，由于加上一具有稳恒电压的多探头测定仪，认为测量的皮肤区域不带电荷，表皮电位分布恒定，方程可简化为：
, 百拇医药
(8)
其中g(xi,yj)为Γ边界测量值，xi,yj以具体测量编号表现(见附表及图2，测量单位为伏特)。
图2
附表 测量次数
测量值
h*
测量次数
测量值
h*
, http://www.100md.com
1
0.82
0
16
0.72
0
2
0.52
0.22
17
2.08
0.23
3
, 百拇医药 1.79
0.52
18
1.19
0.78
4
0.61
0.41
19
0.25
0.77
5
2.30
, http://www.100md.com
0.83
20
0.63
0.43
6
0.33
0.33
21
1.17
0.34
7
0.69
0.45
, 百拇医药
22
2.35
0.67
8
1.39
0.76
23
0.58
0.38
9
2.11
0
24
, 百拇医药
0.49
0
10
1.44
0.77
25
1.22
0.22
11
0.89
0.39
26
0.39
, 百拇医药
0.67
12
0.77
0.55
27
0.93
0.87
13
0.93
0.64
28
0.87
0.55
, http://www.100md.com
14
1.72
0.21
29
1.51
0.17
15
0.43
0.34
30
0.74
0.33
采用图2所示的等差正方形网格法，附表为按编号进行测量的电位值及没量点到区域内已划分的非正则结点的长度，现计算区域内网格结点的电位值。规定ui,j是区域内网格化i行j列相交的内点，i=1,2…8(从下到上)，j=1,2…9(从左到右)。当i=0,9，是上，下两边界的测量值；当j=0,10，为左，右边界测量值。h1,j,h8,j,hi,1,hi,9,分别是第1，8行，第1，9列非正则内点到相关边界的长度(h=1,h*为相对比长)，分别与上表中的h*对应。
, 百拇医药
对正则内点采用：
(9)
对于非正则内点用：
(10)
以上i=2…7,j=2…8
经搜索得ω=1.42，以边界平均测量值1.062为初始值，用C语言编程，经迭代后，得到区域内结点电位值及等位线表示如图3(为便于作图，图中的电位值都放大到10倍)。
, 百拇医药
图3
3 讨论
3.1 以上提出的关于皮肤静电位的计算方法，是在严格物理定义下的差分格式，对解决实际问题有一定简化作用，由上述所算出的结果部分与实际所得到的测量值符合的较好，如结点(2，4)的计算值为1.68伏，而实际测量值为1.62伏。
3.2 文章开始提到的电荷密度函数ρ(x,y)及介电系数函数ε(x,y)在实际计算中是无法得知具体形式的。故本方法更适用于测量较大的外加电场的测量，以消出ρ(x,y)的影响。
3.3 该方法只适用于较为平坦的小区域的电位计算，对于不平坦小区域或较大区域会出现较大误差，此时应构造三维的差分格式。
3.4 对于研究区域较接近矩形的情况，用上述方法较为捷径。而对于很不规则的区域，应考虑有限元法。
, 百拇医药
3.5 以上方法并没讨论计算误差，因为为了确定每个点的误差需增加测量点数，可设
。另外，以h/2为步长，得则
是误差的近似值。△本项目由浙江省自然科学基金赞助
*杭州大学生命科学学院
参考文献
[1]Zhang. C.L and Popp. F.A Log-Normal Distribution of physiological parameter and the coherence of biological systems. Medical Hypotheses. Longman Group Ltd 1994,43:11～16.
, 百拇医药
[2]Rossmann. H and Popp. F. A Statistik der Elektroakupundturnach Voll Ⅰ， Ⅱ： Arztezeitschrift fur Naturcheilverfahren Mcdizinisch Litcrarische Verlagsgellschaft mbh Uezen 1986,1:51～59,1986,9:623～630.
[3]偏微分方程数值解法.南京大学编.
[4]研究生论文.严昱.Kaiserslautrn University Germany.
收稿日期：1998-03-15, 百拇医药(郑志浩 张长琳*)