活体生物组织温度振荡效应的研究
作者：冯秀舟 朱天淳
单位：苏州医学院物理学教研室，苏州，215007
关键词：组织；血流灌注；振荡；动力学
苏州医学院学报991110 摘要 目的：探讨活体生物组织温度振荡效应产生的原因。方法：在Pennes生物传热方程的基础上引入时间延迟的血流灌注项，得出血流灌注系数随温度变化的延迟函数。用计算机重现了血流灌注系数随温度变化的函数曲线。结果：成功地描述了生物传热过程中出现的生物组织的温度振荡效应。结论：血液灌注项随温度变化在时间上延迟是引起生物活体组织温度振荡的主要原因。
中图法分类 R318.04； R443.5
Study of Temperature Oscillations in Living Tissue
, 百拇医药
Feng Xiuzhou，Zhu Tianchun
(Physics Department,Suzhou Medical college,Suzhou,215007)
Abstact Based on Pennes bio-heat transfer equation,this article introduced a time-delay blood flow coefficient Wb,established the function of Wb following the temperature changes, and graphed the function curves with computer. With the method of the kinetics study, the oscillation behavior in the process of bio-heat transfer is explained successfully, especially why temperature of the tissue's does not oscillate in the cases that Wb is high or low.
, 百拇医药
Key words tissue; blood flow coefficient; oscillation; kinetics
生物组织在一定条件下受外界作用而产生体内温度振荡的现象在生物传热学上一直都是一个诱人的问题。对于这一问题的研究，有助于提高肿瘤热疗、低温脑复苏等临床技术的疗效及生物现象的了解。
1993年，Tharp等[1]用非线性时迟方程成功地模拟微波加热时生物组织所表现的温度振荡效应。但有些学者认为其方程式的选择缺乏严格的理论基础，在某种意义上只是为了满足能够描述这一现象而加以选定。刘静等[2]则认为，生物活体组织内的温度振荡效应是由于生物的热传播速度有限所致，其松驰时间为20～30s，远大于平时一般认为的10-10～10-14s之间。在生物热传导过程中，血液灌注项是最关键的因子。在对活体组织加热过程中，血流率并不是一个恒量，而是先急剧增大，然后逐渐减小趋于恒定，并且血液灌注项随温度变化在时间上是延迟的。我们研究发现也许血液灌注项随温度变化在时间上的延迟才是引起生物活体组织温度振荡的主要原因。
, 百拇医药
1 方法
我们的模型建立在Pennes生物传热方程的基础之上。用Pennes生物传热方程处理生物传热问题时，为了处理问题方便，血流灌注率通常作常量处理，而实验表明，血流灌注率并不是一个常量，尤其当对组织进行加热或进行冷却时，血流灌注率随温度的改变变化较大(仅限于活体)，并且是时间延迟的。这和生物体是个复杂的自适应系统有关。於可广等[3]得到的血流随温度的增加而变化的曲线见图1。图中横坐标是时间坐标，血流变化是时间延迟的。 从近年来对混沌动力学的研究可知，非线性微分方程中引入的一个不起眼的时间延迟项，有时会产生令人意想不到的动力学特性。根据这一思路，我们首先要求出血流灌注项随时间变化的函数。从图可以看出Wb是一驼峰函数，假设Wb具有如下的函数形式
(1)
, 百拇医药
图1 血流率随温度变化曲线
式中：β，θ，n是待定参数，ΔTτ=ΔT(t-τ)，Wb0为稳态温度时的血液灌注系数。同时确定β,θ,n 3个参数比较困难，我们用C语言编制了Wb函数的作图程序，并用计算机描绘了不同参数时的函数曲线见图2、3、4。从3个图中我们能比较方便地确定β，θ，n，能很好地反映血流灌注系数随温度变化的关系。
图2 不同N值时Wb-T曲线
图3 不同K值时Wb-T曲线
, 百拇医药
图4 不同θ值时Wb-T曲线
这里仅考虑一维情况，下式是Pennes生物传热方程
(2)
其中，ρ是组织密度， c是组织比热， k是热传导系数， Cb 是血液的热容， Wb 血流灌注系数， Ta是动脉温度， T是组织温度。
在正常情况下， Wb 变化不大，可作为常量处理，但是，当机体加热时， Wb 随温度变化较大。将(2)式与其稳态形式相减得：
, http://www.100md.com (3)
其中，△T=T-T0，Qp 是该点单位组织吸收的能量，Wb 是温度变化的函数，τ为血流灌注系数随温度变化的延迟时间,为了处理问题方便，用有限差分代替(T0+Tc-2T)/△x2代替
，式中，T0为体外参考点温度，Tc为体核温度，△x为体核到参考点距离的一半。
则可近似表示为
(4)
将(1)，(4)式代入(3)式得
△Tτ).△T+Qp
, 百拇医药
(5)
(5)式是典型的延迟方程。
2 结果
我们考虑方程(5)在定态a邻域内的局部稳定性，运用方程(5)在定态a邻域内的泰勒级数展开(仅保留1次项)
(6)
其中，z=△T-α，A=
根据海斯[4]的判据，当｜A｜>｜B｜或｜A｜<｜B｜和
时，方程是局部稳定的，活体生物组织不会发生振荡。发生振荡的条件是：
, 百拇医药
｜A｜<｜B｜
(7)
(8)
设Z=eλτ代入方程(6)得:
λ=A+Beλτ，设方程是中性稳定的，以λ=iω代入上式
iω=A+Be-iωτ或iω=A+Bcosωτ-iBsinωτ
(9)
由(9)式方程两边虚部和实部分别相等得
-A=Bcosωτ
, http://www.100md.com
(10)
ω=-Bsinωτ
(11)
由(11),(10)两式得
ω=(B2-A2)1/2
T=2π/ω=2π/(B2-A2)1/2=2πτ/cos-1(-A/B)
(12)
3 讨论
, 百拇医药 从(8)式可以看出血流灌注系数随温度变化的延滞时间τ必须大于一定的值才能产生振荡,振荡的最小周期为2τ。加热组织时，组织温度要产生振荡，必须满足｜B｜>｜A｜，即血流灌注系数随温度的变化要较大。从(12)式知B越大，周期T越小，血流灌注系数随温度的变化越小，周期T越长。国内外的一些学者[5]实验已经观察到这一现象。如果缓慢加热组织，血流灌注系数随温度的变化较小，B较小将不能满足(7)式，组织温度将不产生振荡。同时也说明有些部位的组织不能产生振荡是因为该部位的血流灌注系数随温度的变化较小所致。如果τ太小或Wb太小，(8)式中的τ不能满足振荡条件，组织温度不发生振荡。很好地解释了Roemer等[5]得到的实验结果。
以上分析可以看出，在Pennes生物传热方程中引入时间延迟血流灌注项将可以很好地解释许多一般生物传热方程所无法解释的生物传热现象，应该说这是混沌现象在生物传热中的表现。
参考文献
, 百拇医药
1 Tharp HS, Zhang W. Analytical study of temperature oscillations in living tissues. IEEE Transaction on Biomedical Eng, 1993,40∶108
2 刘 静，等.生物传热学.北京：科学出版社，1995∶211
3 於可广，等.人体深部热病灶产生时体表温度变异的换热机制.中国生物医学工程学报，1999，18(1)∶111
4 Hayes ND. Roots of the transcenental equation associated with a cetain difference-differental equation. J Lond Math Soc，1950,25∶226
5 Roemer RB, et al. Oscillatory temperature response to constant power applied to canine muscle. Amer J Physiol, 1985, 249∶ 153
(1999年7月20日收稿), 百拇医药
单位：苏州医学院物理学教研室，苏州，215007
关键词：组织；血流灌注；振荡；动力学
苏州医学院学报991110 摘要 目的：探讨活体生物组织温度振荡效应产生的原因。方法：在Pennes生物传热方程的基础上引入时间延迟的血流灌注项，得出血流灌注系数随温度变化的延迟函数。用计算机重现了血流灌注系数随温度变化的函数曲线。结果：成功地描述了生物传热过程中出现的生物组织的温度振荡效应。结论：血液灌注项随温度变化在时间上延迟是引起生物活体组织温度振荡的主要原因。
中图法分类 R318.04； R443.5
Study of Temperature Oscillations in Living Tissue
, 百拇医药
Feng Xiuzhou，Zhu Tianchun
(Physics Department,Suzhou Medical college,Suzhou,215007)
Abstact Based on Pennes bio-heat transfer equation,this article introduced a time-delay blood flow coefficient Wb,established the function of Wb following the temperature changes, and graphed the function curves with computer. With the method of the kinetics study, the oscillation behavior in the process of bio-heat transfer is explained successfully, especially why temperature of the tissue's does not oscillate in the cases that Wb is high or low.
, 百拇医药
Key words tissue; blood flow coefficient; oscillation; kinetics
生物组织在一定条件下受外界作用而产生体内温度振荡的现象在生物传热学上一直都是一个诱人的问题。对于这一问题的研究，有助于提高肿瘤热疗、低温脑复苏等临床技术的疗效及生物现象的了解。
1993年，Tharp等[1]用非线性时迟方程成功地模拟微波加热时生物组织所表现的温度振荡效应。但有些学者认为其方程式的选择缺乏严格的理论基础，在某种意义上只是为了满足能够描述这一现象而加以选定。刘静等[2]则认为，生物活体组织内的温度振荡效应是由于生物的热传播速度有限所致，其松驰时间为20～30s，远大于平时一般认为的10-10～10-14s之间。在生物热传导过程中，血液灌注项是最关键的因子。在对活体组织加热过程中，血流率并不是一个恒量，而是先急剧增大，然后逐渐减小趋于恒定，并且血液灌注项随温度变化在时间上是延迟的。我们研究发现也许血液灌注项随温度变化在时间上的延迟才是引起生物活体组织温度振荡的主要原因。
, 百拇医药
1 方法
我们的模型建立在Pennes生物传热方程的基础之上。用Pennes生物传热方程处理生物传热问题时，为了处理问题方便，血流灌注率通常作常量处理，而实验表明，血流灌注率并不是一个常量，尤其当对组织进行加热或进行冷却时，血流灌注率随温度的改变变化较大(仅限于活体)，并且是时间延迟的。这和生物体是个复杂的自适应系统有关。於可广等[3]得到的血流随温度的增加而变化的曲线见图1。图中横坐标是时间坐标，血流变化是时间延迟的。 从近年来对混沌动力学的研究可知，非线性微分方程中引入的一个不起眼的时间延迟项，有时会产生令人意想不到的动力学特性。根据这一思路，我们首先要求出血流灌注项随时间变化的函数。从图可以看出Wb是一驼峰函数，假设Wb具有如下的函数形式
(1)
, 百拇医药
图1 血流率随温度变化曲线
式中：β，θ，n是待定参数，ΔTτ=ΔT(t-τ)，Wb0为稳态温度时的血液灌注系数。同时确定β,θ,n 3个参数比较困难，我们用C语言编制了Wb函数的作图程序，并用计算机描绘了不同参数时的函数曲线见图2、3、4。从3个图中我们能比较方便地确定β，θ，n，能很好地反映血流灌注系数随温度变化的关系。
图2 不同N值时Wb-T曲线
图3 不同K值时Wb-T曲线
, 百拇医药
图4 不同θ值时Wb-T曲线
这里仅考虑一维情况，下式是Pennes生物传热方程
(2)
其中，ρ是组织密度， c是组织比热， k是热传导系数， Cb 是血液的热容， Wb 血流灌注系数， Ta是动脉温度， T是组织温度。
在正常情况下， Wb 变化不大，可作为常量处理，但是，当机体加热时， Wb 随温度变化较大。将(2)式与其稳态形式相减得：
, http://www.100md.com (3)
其中，△T=T-T0，Qp 是该点单位组织吸收的能量，Wb 是温度变化的函数，τ为血流灌注系数随温度变化的延迟时间,为了处理问题方便，用有限差分代替(T0+Tc-2T)/△x2代替
，式中，T0为体外参考点温度，Tc为体核温度，△x为体核到参考点距离的一半。 则可近似表示为(4)
将(1)，(4)式代入(3)式得
△Tτ).△T+Qp, 百拇医药
(5)
(5)式是典型的延迟方程。
2 结果
我们考虑方程(5)在定态a邻域内的局部稳定性，运用方程(5)在定态a邻域内的泰勒级数展开(仅保留1次项)
(6)
其中，z=△T-α，A=
根据海斯[4]的判据，当｜A｜>｜B｜或｜A｜<｜B｜和
时，方程是局部稳定的，活体生物组织不会发生振荡。发生振荡的条件是：, 百拇医药
｜A｜<｜B｜
(7)
(8)
设Z=eλτ代入方程(6)得:
λ=A+Beλτ，设方程是中性稳定的，以λ=iω代入上式
iω=A+Be-iωτ或iω=A+Bcosωτ-iBsinωτ
(9)
由(9)式方程两边虚部和实部分别相等得
-A=Bcosωτ
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(10)
ω=-Bsinωτ
(11)
由(11),(10)两式得
ω=(B2-A2)1/2
T=2π/ω=2π/(B2-A2)1/2=2πτ/cos-1(-A/B)
(12)
3 讨论
, 百拇医药 从(8)式可以看出血流灌注系数随温度变化的延滞时间τ必须大于一定的值才能产生振荡,振荡的最小周期为2τ。加热组织时，组织温度要产生振荡，必须满足｜B｜>｜A｜，即血流灌注系数随温度的变化要较大。从(12)式知B越大，周期T越小，血流灌注系数随温度的变化越小，周期T越长。国内外的一些学者[5]实验已经观察到这一现象。如果缓慢加热组织，血流灌注系数随温度的变化较小，B较小将不能满足(7)式，组织温度将不产生振荡。同时也说明有些部位的组织不能产生振荡是因为该部位的血流灌注系数随温度的变化较小所致。如果τ太小或Wb太小，(8)式中的τ不能满足振荡条件，组织温度不发生振荡。很好地解释了Roemer等[5]得到的实验结果。
以上分析可以看出，在Pennes生物传热方程中引入时间延迟血流灌注项将可以很好地解释许多一般生物传热方程所无法解释的生物传热现象，应该说这是混沌现象在生物传热中的表现。
参考文献
, 百拇医药
1 Tharp HS, Zhang W. Analytical study of temperature oscillations in living tissues. IEEE Transaction on Biomedical Eng, 1993,40∶108
2 刘 静，等.生物传热学.北京：科学出版社，1995∶211
3 於可广，等.人体深部热病灶产生时体表温度变异的换热机制.中国生物医学工程学报，1999，18(1)∶111
4 Hayes ND. Roots of the transcenental equation associated with a cetain difference-differental equation. J Lond Math Soc，1950,25∶226
5 Roemer RB, et al. Oscillatory temperature response to constant power applied to canine muscle. Amer J Physiol, 1985, 249∶ 153
(1999年7月20日收稿), 百拇医药