有限衍射声束的特性及应用
作者：曹培杰 马 东
单位：(西安交通大学 生物医学工程与仪器系，西安 710049)
关键词：有限衍射声束
生物医学工程学杂志990127 曹培杰 马 东 综述 程敬之 审校
内容摘要 和传统的高斯聚焦声束相比，有限衍射声束具有较大的声场深度，可以用于医学成像、组织定征、材料的无损检测、多普勒血流检测等许多领域。理论上非衍射声束只能由无限大孔径换能器产生，实际应用中，用有限孔径近似产生的有限衍射声束也具有很大的声场深度。本文介绍了有限衍射声束的产生、各方面特性、及在医学成像、血流估计方面的应用。
Limited Diffraction Beams and Its Application
, 百拇医药
Cao Peijie Ma Dong Cheng Jingzhi
(Xi'am Jiaotong University, Xi'an 710049)
Abstract Limited diffraction beams have a large depth of field and thus have many applications such as medical imaging、tissue characterization、material flaw detection and blood flow detection by Doppler method.Nondiffraction beams colud be produced only by transducer with an infinity large aperture in theory. The experimental results show that limited diffraction beams produced by a limited aperture have desirable large depth of field also. The theory of this kind of beams and their applications in field of medical imaging and blood flow estimation are introduced.
, 百拇医药
Key words Limited diffraction beams
1983年，Brittingham解电磁场的波动方程，得出了一种能量局部化波束的解形式，称为‘聚焦模式波’[1]。此种波束可以传播很大距离而只有局部较小的形变。Ziolkowski等对此种波束作了进一步研究[2～4]。1987年Durnin发现了非衍射波束(nondiffracting beams)[5]。理论上，由无限大孔径产生的非衍射波束也可以传播很远距离。Durnin称之为非衍射波束。由于任何由有限孔径产生的波束，最终都要衍射，因而将此种近似波束更名为有限衍射波束(limited diffraction beams)[6]。Durnin波束的横向轮郭呈一贝塞尔函数，又称为贝塞尔波束。在光学[7，8]和声学[9，10]领域都对此波束特性作了深入研究。近年来在贝塞尔波束基础上又发现了X形波束[11～13]、蝶形波束[14，15]。本文主要从声学角度介绍其特性及应用，称之为有限衍射声束。
, http://www.100md.com
有限衍射声束具有良好的声场特性，可用于医学成像[16]、组织定征[17]、多普勒血流测量[18]、材料无损检测[19]等许多领域。
1 理论分析
1.1 贝塞尔声束
Durnin从自由空间的波动方程出发，给出了贝塞尔声束的详细理论[5]。自由空间的波动方程为：
γ为空间矢量，可以验证，对于z≥0的无源区域，下式为式(1)的精确解(exact solution)：
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式中：β2+α2=(ω/c)2；A(ψ)为ψ的任意复函数；β为实数；
式(2)表明在所有z>0且垂直于z轴平面内，声强分布形态和z=0位置相同：
I(x,y，z≥0)=1/2 E(r,t)｜2=I(x,y,z=0) (3)
当A(ψ)为常数时，声场具有轴对称性，其幅度正比于：
式中：ρ2=x2+y2；J0为第一类零阶贝塞尔函数。当α＝0时，此解为平面声波；当0<α≤ω/c时，此解为非衍射声束，声强随αρ反比例衰减。即使z→∞，声强在垂直于z轴平面内的分布也和z=0平面内相同，声场能量集中于中心轴线附近。
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由式(4)可以看出，声束由一系列平面波积分而得。对于ψ=ψ1，上式为：
E(r,t)=exp[i(βz+αρ-ωt)] (5)
上式为一平面波，传播方向和z轴具有夹角θ：
ψ取0～2π，一系列平面波叠加就构成了式(4)波束。对于有限孔径换能器，超过某一深度范围后，声场中形成一个以孔径中心轴线为中心的圆锥形无声区。此深度称为声束的最大深度zmax：
zmax=r/tanθ=r[(2π/αλ)2-1]1/2 (7)
其中：r为换能器孔径半径。
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1.2 X形声束
Jianyu Lu给出了自由空间波动方程非衍射解的一般化形式[11]，由此一般形式解出发，不仅可以得到平面波、贝塞尔声束等已知的非衍射声束，还可以衍生无数种新形式的非衍射声束。对于柱面坐标的波动方程：
式中：r2＝x2+y2；r为柱面半径；
为辐角。
以下3个函数为方程的三族精确解：
式中：
, 百拇医药
式中：T(k)、A(θ)、D(ζ)、f(s)、2(z-ct)为k、θ、ζ、s、z-ct的任意复函数。1(r,ψ)为横向拉普拉斯方程的解：
当c1(k,ζ)与k,ζ无关时，L、ζ、K分别表示了三族非衍射声束。Lu研究了ζ，它包括了以往所知的贝塞尔声波、平面声波、及Axicon声束的非衍射部分[20]。若T(k)取冲激函数δ(k-k′)；k′=ω/c；f(s)=es；α0(k，ζ)=-iα；b(k,ζ)=i/β=iω/c1,由ζ得到Durnin的非衍射声束：
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其中：β2=k′2-α2。
如果A(θ)=ineinθ，可以得到n阶贝塞尔非衍射声束；Jn(s)=Jn(αr)ei(βz-ωt+nψ),(n=0,1,2……) (16)
如果A(θ)=ineθ；α0(k,ζ)=-iksinζ；b(k,ζ)=ikcosζ；T(k)，f(s)同式(15)，则可以得到Axicon声束的n阶非衍射部分。ζ为Axicon角度[21]：An(s)=Jn(k′rsinζ)ei(k′zcosζ-ωt+nψ)，(n=0,1,2……) (17)
, 百拇医药
选择不同的参数可以形成各种新的非衍射声束。Lu构造了X形声束：令T(k)=
B(k)e-αk；α为一常数；A(θ)=ineinθ；α0(k,ζ)=-iksinζ；b(k,ζ)=ikcosζ；f(s)=es。可得：
上式中，B(k)可为任意函数。X形声束实际为Axicon声束的n阶非衍射部分被B(k)e-αk加权后的积分。若B(k)取α，式(18)积分结果为：
n=0时，零阶X形非衍射声束为：
, 百拇医药
文献[11]计算结果表明，对于直径25 mm的换能器，零阶宽带X形声束可以在171 mm深度内保持2.5 mm的横向分辨率。X形声束中心轴线声分布均匀，不随深度变化。和Durnin声束相比，X形声束对于所有频率均为非衍射，而后者只在单一频率下保持非衍射特性[10]。
1.3 蝶形声束
蝶形声束是在贝塞尔声束、X形声束基础上产生的。对于式(16)中的Jn、式(18)中的Xn，在某个横向空间方向上求导，例如在y方向求导，得到蝶形声束[14]。
, 百拇医药
以及：
m为阶数，取正整数。对于式(20)中的零阶X形声束，文献[14]给出了其4阶及10阶蝶形声束，其中4阶蝶形声束如下：X4=α5(35y4sin4ζ-30y2Msin2ζ+3M2)/(3M9/2) (23)
蝶形声束在x-y平面内具有不对称性。式(23)所表示的声束在其求导方向上，即y方向上，声压分布同X形声束，正比于1/y1/2；在和求导方向垂直的x方向上，声压分布正比于1/x(m+1/2)。可见此声束在X方向较窄，具有较好的横向分辨率。
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2 应用
在医学成像领域，采用有限衍射声束可以获得产高的横向分辨率及较大的成像深度[16]。利用蝶形声束在x-y平面内的不对称性，采用声脉冲发射后换能器旋转90°接收技术，可以更进一步地抑制旁瓣，提高图像质量[14]。文献[15]的实验表明，采用合成孔径技术可以产生性能优良的有限衍射声束。目前医学超声成像多采用电子线阵、相控阵等一维阵列换能器，随着二维阵列换能器技术的发展完善，有限衍射声束会得到广泛应用。
在多普勒血流测量方面，有限衍射声束，特别是贝塞尔声束的频谱具有很小的深度依赖性，并且频谱形态在最高、最低频率处具有明显的双肩，因而可以比传统聚焦声束更加准确地估计血流速度及血流和声束之间的夹角[18]。
3 结论
贝塞尔声束、X形声束、蝶形声束等有限衍射声束具有较大的声场深度。在医学成像、多普勒血流测量等领域具有很好的应用前景。
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作者单位:程敬之 审校(西安交通大学 生物医学工程与仪器系，西安 710049)
参考文献
[1] Brittingham JN.Focus wave modes in homogeneous Maxwell's equations:transverse electric mode. J .Appl. Phys, 1983;54(3)∶1179
[2] Ziolkowski RW. Exact solutions of the wave equation with complex source locations. J.Math. Phys, 1985;26(4)∶861
[3] Ziolkowski RW, Lewis DK,Cook BD. Evidence of localized wave transmission. Phys. Rev. Lett, 1989; 62(2)∶145
, http://www.100md.com
[4] Shaarawi AM besieris IM, Ziolkowski RW. Localized energy pulse train launched from and open, semi-infinite, circular wave-guide. J Appl. Phys,1989;65(2)∶805
[5] Durnin J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory. J.Opt, Soc. Amer 1987; 4(4)∶651
[6] Lu J, Zou H，Greenleaf JF. Biomedical ultrasound beam forming. Ultrason. Med Biol, 1994; 20(5)∶403
[7] Indebetow G.Nodiffracting optical fields:Some remarks on their analysis and synthesis. J Opt. Soc. Amer. A 1989; 6(1)∶150
, http://www.100md.com
[8] Vicari L. Truncation of nodiffracting beams. Optics Commun. 1989; 70(4)∶263
[9] Hsu DK， Margetan FJ, Thompson DO. Bessel beam ultrasonic transducer:Fabrication method and experimental results. Appl. Phys. Lett, 1989; 55(20)∶2066
[10] Campbell JA，Soloway S. Generation of a nodiffracting beam with frequency independent beam width. J.Acoust. Soc. Amer, 1990;88(5)∶2467
[11] Lu J, Greenleaf JF. Nodiffracting X waves-Exact solution to free-space scalar wave equation and their finite aperture realizations, IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr. 1992; 39∶19
, http://www.100md.com
[12] LU J Greenleaf JF. Experimental verification of nodiffracting X waves. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr, 1992；39(5)∶441
[13] Factemi M，Arad MA. A novel imaging system based on nondiffracting X waves. IEEE 1992 Ultrason. Symp. Proc, 1992；1(92ch-3118-7)∶609
[14] Lu J, Bout limited diffraction beams for low-sidelobe and large depth of field imaging,IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr,1995；42(6)∶1050
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[15] Lu J.Producing bowtie limited diffraction beams with synthetic array experiment, IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr, 1996；43(5)∶893
[16] Lu J,Song TK.Kinnick RR et al.In vitro and in vivo real-time imaging with ultrasonic limited diffraction beams,”IEEE Trans. Med. Imag,1993;12(12)∶819
[17] Lu J，greenleaf JF.Evaluation of a nondiffracting transducer for tissue characterization. IEEE 1990 Ultrason. Symp. Proc,1990；2(90ch2938-9)∶795
, 百拇医药
[18] Lu J, Xu XL,Zou H et al.Application of Bessel beam for Doppler velocity estimation,”IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr.1995;42(5)∶649
[19] Lu J，Fgreenleaf J,Producing deep depth of field and depth-independent resolution in NDE with limited diffraction beams,” Ultrason. Imag, 1993；5(2)∶134
[20] Ziolkowski RW，Lewis DK,Verification of the localized wave transmission effect. J. Appl. Phys, 1990；68(12)∶6083-
[21] Patterson MS，Foster FS.Acoustic fields of conical radiators,IEEE Trans. Sonics Ultrason.1982；SU-29(2)∶83, 百拇医药
单位：(西安交通大学 生物医学工程与仪器系，西安 710049)
关键词：有限衍射声束
生物医学工程学杂志990127 曹培杰 马 东 综述 程敬之 审校
内容摘要 和传统的高斯聚焦声束相比，有限衍射声束具有较大的声场深度，可以用于医学成像、组织定征、材料的无损检测、多普勒血流检测等许多领域。理论上非衍射声束只能由无限大孔径换能器产生，实际应用中，用有限孔径近似产生的有限衍射声束也具有很大的声场深度。本文介绍了有限衍射声束的产生、各方面特性、及在医学成像、血流估计方面的应用。
Limited Diffraction Beams and Its Application
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Cao Peijie Ma Dong Cheng Jingzhi
(Xi'am Jiaotong University, Xi'an 710049)
Abstract Limited diffraction beams have a large depth of field and thus have many applications such as medical imaging、tissue characterization、material flaw detection and blood flow detection by Doppler method.Nondiffraction beams colud be produced only by transducer with an infinity large aperture in theory. The experimental results show that limited diffraction beams produced by a limited aperture have desirable large depth of field also. The theory of this kind of beams and their applications in field of medical imaging and blood flow estimation are introduced.
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Key words Limited diffraction beams
1983年，Brittingham解电磁场的波动方程，得出了一种能量局部化波束的解形式，称为‘聚焦模式波’[1]。此种波束可以传播很大距离而只有局部较小的形变。Ziolkowski等对此种波束作了进一步研究[2～4]。1987年Durnin发现了非衍射波束(nondiffracting beams)[5]。理论上，由无限大孔径产生的非衍射波束也可以传播很远距离。Durnin称之为非衍射波束。由于任何由有限孔径产生的波束，最终都要衍射，因而将此种近似波束更名为有限衍射波束(limited diffraction beams)[6]。Durnin波束的横向轮郭呈一贝塞尔函数，又称为贝塞尔波束。在光学[7，8]和声学[9，10]领域都对此波束特性作了深入研究。近年来在贝塞尔波束基础上又发现了X形波束[11～13]、蝶形波束[14，15]。本文主要从声学角度介绍其特性及应用，称之为有限衍射声束。
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有限衍射声束具有良好的声场特性，可用于医学成像[16]、组织定征[17]、多普勒血流测量[18]、材料无损检测[19]等许多领域。
1 理论分析
1.1 贝塞尔声束
Durnin从自由空间的波动方程出发，给出了贝塞尔声束的详细理论[5]。自由空间的波动方程为：
γ为空间矢量，可以验证，对于z≥0的无源区域，下式为式(1)的精确解(exact solution)：
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式中：β2+α2=(ω/c)2；A(ψ)为ψ的任意复函数；β为实数；
式(2)表明在所有z>0且垂直于z轴平面内，声强分布形态和z=0位置相同：
I(x,y，z≥0)=1/2 E(r,t)｜2=I(x,y,z=0) (3)
当A(ψ)为常数时，声场具有轴对称性，其幅度正比于：
式中：ρ2=x2+y2；J0为第一类零阶贝塞尔函数。当α＝0时，此解为平面声波；当0<α≤ω/c时，此解为非衍射声束，声强随αρ反比例衰减。即使z→∞，声强在垂直于z轴平面内的分布也和z=0平面内相同，声场能量集中于中心轴线附近。
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由式(4)可以看出，声束由一系列平面波积分而得。对于ψ=ψ1，上式为：
E(r,t)=exp[i(βz+αρ-ωt)] (5)
上式为一平面波，传播方向和z轴具有夹角θ：
ψ取0～2π，一系列平面波叠加就构成了式(4)波束。对于有限孔径换能器，超过某一深度范围后，声场中形成一个以孔径中心轴线为中心的圆锥形无声区。此深度称为声束的最大深度zmax：
zmax=r/tanθ=r[(2π/αλ)2-1]1/2 (7)
其中：r为换能器孔径半径。
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1.2 X形声束
Jianyu Lu给出了自由空间波动方程非衍射解的一般化形式[11]，由此一般形式解出发，不仅可以得到平面波、贝塞尔声束等已知的非衍射声束，还可以衍生无数种新形式的非衍射声束。对于柱面坐标的波动方程：
式中：r2＝x2+y2；r为柱面半径；
为辐角。以下3个函数为方程的三族精确解：
式中：
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式中：T(k)、A(θ)、D(ζ)、f(s)、
2(z-ct)为k、θ、ζ、s、z-ct的任意复函数。1(r,ψ)为横向拉普拉斯方程的解：当c1(k,ζ)与k,ζ无关时，
L、ζ、K分别表示了三族非衍射声束。Lu研究了ζ，它包括了以往所知的贝塞尔声波、平面声波、及Axicon声束的非衍射部分[20]。若T(k)取冲激函数δ(k-k′)；k′=ω/c；f(s)=es；α0(k，ζ)=-iα；b(k,ζ)=i/β=iω/c1,由ζ得到Durnin的非衍射声束：, http://www.100md.com
其中：β2=k′2-α2。
如果A(θ)=ineinθ，可以得到n阶贝塞尔非衍射声束；
Jn(s)=Jn(αr)ei(βz-ωt+nψ),(n=0,1,2……) (16)如果A(θ)=ineθ；α0(k,ζ)=-iksinζ；b(k,ζ)=ikcosζ；T(k)，f(s)同式(15)，则可以得到Axicon声束的n阶非衍射部分。ζ为Axicon角度[21]：
An(s)=Jn(k′rsinζ)ei(k′zcosζ-ωt+nψ)，(n=0,1,2……) (17), 百拇医药
选择不同的参数可以形成各种新的非衍射声束。Lu构造了X形声束：令T(k)=
B(k)e-αk；α为一常数；A(θ)=ineinθ；α0(k,ζ)=-iksinζ；b(k,ζ)=ikcosζ；f(s)=es。可得：
上式中，B(k)可为任意函数。X形声束实际为Axicon声束的n阶非衍射部分被B(k)e-αk加权后的积分。若B(k)取α，式(18)积分结果为：
n=0时，零阶X形非衍射声束为：
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文献[11]计算结果表明，对于直径25 mm的换能器，零阶宽带X形声束可以在171 mm深度内保持2.5 mm的横向分辨率。X形声束中心轴线声分布均匀，不随深度变化。和Durnin声束相比，X形声束对于所有频率均为非衍射，而后者只在单一频率下保持非衍射特性[10]。
1.3 蝶形声束
蝶形声束是在贝塞尔声束、X形声束基础上产生的。对于式(16)中的
Jn、式(18)中的Xn，在某个横向空间方向上求导，例如在y方向求导，得到蝶形声束[14]。, 百拇医药
以及：
m为阶数，取正整数。对于式(20)中的零阶X形声束，文献[14]给出了其4阶及10阶蝶形声束，其中4阶蝶形声束如下：
X4=α5(35y4sin4ζ-30y2Msin2ζ+3M2)/(3M9/2) (23)蝶形声束在x-y平面内具有不对称性。式(23)所表示的声束在其求导方向上，即y方向上，声压分布同X形声束，正比于1/y1/2；在和求导方向垂直的x方向上，声压分布正比于1/x(m+1/2)。可见此声束在X方向较窄，具有较好的横向分辨率。
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2 应用
在医学成像领域，采用有限衍射声束可以获得产高的横向分辨率及较大的成像深度[16]。利用蝶形声束在x-y平面内的不对称性，采用声脉冲发射后换能器旋转90°接收技术，可以更进一步地抑制旁瓣，提高图像质量[14]。文献[15]的实验表明，采用合成孔径技术可以产生性能优良的有限衍射声束。目前医学超声成像多采用电子线阵、相控阵等一维阵列换能器，随着二维阵列换能器技术的发展完善，有限衍射声束会得到广泛应用。
在多普勒血流测量方面，有限衍射声束，特别是贝塞尔声束的频谱具有很小的深度依赖性，并且频谱形态在最高、最低频率处具有明显的双肩，因而可以比传统聚焦声束更加准确地估计血流速度及血流和声束之间的夹角[18]。
3 结论
贝塞尔声束、X形声束、蝶形声束等有限衍射声束具有较大的声场深度。在医学成像、多普勒血流测量等领域具有很好的应用前景。
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作者单位:程敬之 审校(西安交通大学 生物医学工程与仪器系，西安 710049)
参考文献
[1] Brittingham JN.Focus wave modes in homogeneous Maxwell's equations:transverse electric mode. J .Appl. Phys, 1983;54(3)∶1179
[2] Ziolkowski RW. Exact solutions of the wave equation with complex source locations. J.Math. Phys, 1985;26(4)∶861
[3] Ziolkowski RW, Lewis DK,Cook BD. Evidence of localized wave transmission. Phys. Rev. Lett, 1989; 62(2)∶145
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[4] Shaarawi AM besieris IM, Ziolkowski RW. Localized energy pulse train launched from and open, semi-infinite, circular wave-guide. J Appl. Phys,1989;65(2)∶805
[5] Durnin J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory. J.Opt, Soc. Amer 1987; 4(4)∶651
[6] Lu J, Zou H，Greenleaf JF. Biomedical ultrasound beam forming. Ultrason. Med Biol, 1994; 20(5)∶403
[7] Indebetow G.Nodiffracting optical fields:Some remarks on their analysis and synthesis. J Opt. Soc. Amer. A 1989; 6(1)∶150
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[8] Vicari L. Truncation of nodiffracting beams. Optics Commun. 1989; 70(4)∶263
[9] Hsu DK， Margetan FJ, Thompson DO. Bessel beam ultrasonic transducer:Fabrication method and experimental results. Appl. Phys. Lett, 1989; 55(20)∶2066
[10] Campbell JA，Soloway S. Generation of a nodiffracting beam with frequency independent beam width. J.Acoust. Soc. Amer, 1990;88(5)∶2467
[11] Lu J, Greenleaf JF. Nodiffracting X waves-Exact solution to free-space scalar wave equation and their finite aperture realizations, IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr. 1992; 39∶19
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[12] LU J Greenleaf JF. Experimental verification of nodiffracting X waves. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr, 1992；39(5)∶441
[13] Factemi M，Arad MA. A novel imaging system based on nondiffracting X waves. IEEE 1992 Ultrason. Symp. Proc, 1992；1(92ch-3118-7)∶609
[14] Lu J, Bout limited diffraction beams for low-sidelobe and large depth of field imaging,IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr,1995；42(6)∶1050
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[15] Lu J.Producing bowtie limited diffraction beams with synthetic array experiment, IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr, 1996；43(5)∶893
[16] Lu J,Song TK.Kinnick RR et al.In vitro and in vivo real-time imaging with ultrasonic limited diffraction beams,”IEEE Trans. Med. Imag,1993;12(12)∶819
[17] Lu J，greenleaf JF.Evaluation of a nondiffracting transducer for tissue characterization. IEEE 1990 Ultrason. Symp. Proc,1990；2(90ch2938-9)∶795
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[18] Lu J, Xu XL,Zou H et al.Application of Bessel beam for Doppler velocity estimation,”IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Contr.1995;42(5)∶649
[19] Lu J，Fgreenleaf J,Producing deep depth of field and depth-independent resolution in NDE with limited diffraction beams,” Ultrason. Imag, 1993；5(2)∶134
[20] Ziolkowski RW，Lewis DK,Verification of the localized wave transmission effect. J. Appl. Phys, 1990；68(12)∶6083-
[21] Patterson MS，Foster FS.Acoustic fields of conical radiators,IEEE Trans. Sonics Ultrason.1982；SU-29(2)∶83, 百拇医药