无限元法应力分析的研究及探索
作者：马轩祥 辛海涛 耿建平 应隆安 钱宗才
单位：第四军医大学口腔医院修复(马轩祥 辛海涛)；北京大学数学学院(应隆安)；第四军医大学计算机教研室(钱宗才)；中国空气动力研究与发展中心520医院(耿建平)
关键词：
实用口腔医学杂志990542 1 基本概念
无限元应力分析方法是使用大容量、高速计算机进行计算的允许在需要的时候使用无穷多个单元剖分的有效的理论力学方法〔1〕，是无限剖分思想与有限元方法的结合，即基于有限元方法基础之上，使用无穷多个而不是将所要计算的物体分割为有限个单元。
2 无限元法的原理及特点
众所周知，有限元法是将无限维空间转化到有限维空间，把连续系统转变为离散型的结构，即将连续的弹性体分割成有限个单元，以其结合体代替原弹性体，并逐个研究每个单元的性质，以获得整个弹性体性质〔2〕。从理论力学角度而言，即为利用场函数分析多项或逼近模式实现离散化过程，通过位移与应变、应变与应力、应力与内力、内力与外力的关系，建立线性方程组，由已知的外力求出结构内部应力和位移状况〔3〕。由于有限元方法以大范围全过程的数字分析作为自已的出发点，并可用任意形状的网格分割区域，和大容量高速计算机相结合等特点，使其计算较为准确、快捷，因而在口腔生物力学分析中得到广泛应用。但是，由于有限元法是以有限子空间的网格部分为基础，剖分越细计算越精确，而剖分过程则有一定的限度，并且所计算模型任意部位的应力、应变值也是该子空间区域的平均值，使其计算精度也受到限制，不能计算这些区域任意一点的应力、应变值，特别是口颌系统生物组织及修复体模型构成复杂，形态变化大，对于那些应力集中，形变剧烈的区域，使用有限元方法则有一定的困难。而无限元方法则能克服这些不足，解决此类问题。
, 百拇医药
无限元方法是在有限元理论基础之上， 将无限剖分与有限元方法相结合，允许在应力集中、形变剧烈等区域按一定的比例常数使用无限相似网格剖分，通过所剖分每一层形成的组合刚度矩阵，叠加成总刚度矩阵而求解代数方程组〔4〕，因此，无限元方法的核心问题是如何求解无穷多个单元。计算中通过改变比例常数来调整剖分和计算精度，从而计算所选部位任一点的应力、应变值，收敛速度快，效率高。
3 应用范围
由于无限元方法独特的优点，使其在国内外得到逐步推广，如解决钢铁断裂力学中的应力强度因子的计算问题，流体力学的stokes绕流问题，波传插的三维无限方法等。国家自然科学基金题目：“无限元方法在口腔生物力学中的应用基础研究”首次将无限元方法应用于医学生物力学分析中，建立起以无限元应力分析法为基础的生物力学及教学模型和系统的数据采集入输出系统，以及规范化的应用软件。
以解决牙齿、颌骨、咀嚼肌以及各类牙列缺损及口腔修复体的生物力学分析中的困难：①应力集中区域，形变剧烈区域等有限元法计算确切位置点的应力、应变值或有限元法计算时由于平均造成应力转移而影响计算准确性；②不同间质界面或同种间质界面断裂因素的应力强度因子等问题；③多种不同组织界面应力分布情况；④各类牙列缺损及口腔修复体的材料选择，结构形态设计、加工、定型等方面的生物力学性质分析；⑤口腔颌面系统的生物力学性质分析。为维护口颌系统的生理功能和研究各类牙列缺损及口腔修复体的力学性质，和牙体形态预备、修复体材料选择、义齿结构设计、义齿固位形态设计、人造牙排列形式、口腔种植体形态设计及上部结构设计等方面的力学性质，以取得最佳的修复体设计方案提供定量化的理论依据。
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4 实例
在应用研究中，我们首次利用无限元法对临床常见的成人上中切牙残根柱状螺旋牙根骨内种植体二维模型进行应力分析〔5〕，在种植体、牙本质、骨组织等规则区域按有限元法剖分，而在根尖孔附近，组织界面多、形变较大、应力集中区域〔6〕则采用无限相似部分。有限元与无限元区域边界数据交换则采用区域分解法的D-N迭代求解，利用有限输出的位移矢量以及无限元输出的应力矢量进行迭代运算，从而获得共同边界位置上的位移和应力值。所选无限元区域内在X轴、Y轴方向上，根据实际情况的需要，确定一定的步长，选取一定数量的位置点，计算其应力、应变值，揭示出柱状螺旋牙根骨内种植体根尖孔附近无限元区域骨界面的应力集中出现在根尖部和种植体底部的骨组织内；牙本质内的应力集中主要出现在牙根尖部；种植体内部的应力集中主要出现在根尖孔对应位置；牙周膜内的应力集中主要位于牙槽嵴顶，及各硬组织不同界面间断裂难易趋势。并与其它生物力学方法及有限元方法计算结果进行了对比〔7〕，验证了结果的可靠性，为进一步探讨种植体力学特性及种植体形态优化设计奠定了基础。
, 百拇医药
总之，无限元应力分析方法有显著的优越性：①能给出模型的任意部位的应力和位移状况，结果更为精确，并且由算机转换成三维立体图象；②将生物医学模型转化成数学力学模型，因为不受到网格划分的影响，所以可反复使用同一模型进行各种加载状况的计算；③同一软件可应用于多种口颌系统模型的计算分析，并可模拟多种加载方式，是目前已知方法中运行最迅速的计算技术。在应用中将有限元、无限元方法互相结合，互相补充。规则区域观察应力、应变分布趋势时，如果使用有限个单元已能满足精度的要求则采用有限元法，而在应力，形变集中区域或对于无限大的区域需计算确切坐标点的应力、应变分布情况和断裂力学中的应力强度因子计算，应用无限元方法则计算精确度高、收敛快，弥补了有限元的不足。随着无限元方法日益成熟和发展，有限元、无限元方法相结合必将会提高我国口腔生物力学研究水平，为临床工作提供更准确可靠的理论依据。
参考文献
1应隆安.无限元方法. 北京:北京大学出版社, 1992
, http://www.100md.com
2 蒋孝煜编. 有限元法基础. 北京:清华大学出版社, 1992
3 应隆安, 有限元方法讲义.北京: 北京大学出版社, 1988
4 李开太，等. 有限元方法及其应用.西安: 西安交通大学出版社, 1992
5 黄辉.柱状螺旋牙根骨内种植体形态设计的有限无分析:〔 学位论文〕.西安:第四军医大学口腔医学院,1997
6 张春宝, 马轩祥. 根骨内种植体的临床应用和影响因素. 实用口腔医学杂志, 1996,12(4):286
7 张少峰,马轩祥,
,等. 种植体长度和直径对种植全口义齿应力的影响 .实用口腔医学杂志, 1997,13(3):199, 百拇医药
单位：第四军医大学口腔医院修复(马轩祥 辛海涛)；北京大学数学学院(应隆安)；第四军医大学计算机教研室(钱宗才)；中国空气动力研究与发展中心520医院(耿建平)
关键词：
实用口腔医学杂志990542 1 基本概念
无限元应力分析方法是使用大容量、高速计算机进行计算的允许在需要的时候使用无穷多个单元剖分的有效的理论力学方法〔1〕，是无限剖分思想与有限元方法的结合，即基于有限元方法基础之上，使用无穷多个而不是将所要计算的物体分割为有限个单元。
2 无限元法的原理及特点
众所周知，有限元法是将无限维空间转化到有限维空间，把连续系统转变为离散型的结构，即将连续的弹性体分割成有限个单元，以其结合体代替原弹性体，并逐个研究每个单元的性质，以获得整个弹性体性质〔2〕。从理论力学角度而言，即为利用场函数分析多项或逼近模式实现离散化过程，通过位移与应变、应变与应力、应力与内力、内力与外力的关系，建立线性方程组，由已知的外力求出结构内部应力和位移状况〔3〕。由于有限元方法以大范围全过程的数字分析作为自已的出发点，并可用任意形状的网格分割区域，和大容量高速计算机相结合等特点，使其计算较为准确、快捷，因而在口腔生物力学分析中得到广泛应用。但是，由于有限元法是以有限子空间的网格部分为基础，剖分越细计算越精确，而剖分过程则有一定的限度，并且所计算模型任意部位的应力、应变值也是该子空间区域的平均值，使其计算精度也受到限制，不能计算这些区域任意一点的应力、应变值，特别是口颌系统生物组织及修复体模型构成复杂，形态变化大，对于那些应力集中，形变剧烈的区域，使用有限元方法则有一定的困难。而无限元方法则能克服这些不足，解决此类问题。
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无限元方法是在有限元理论基础之上， 将无限剖分与有限元方法相结合，允许在应力集中、形变剧烈等区域按一定的比例常数使用无限相似网格剖分，通过所剖分每一层形成的组合刚度矩阵，叠加成总刚度矩阵而求解代数方程组〔4〕，因此，无限元方法的核心问题是如何求解无穷多个单元。计算中通过改变比例常数来调整剖分和计算精度，从而计算所选部位任一点的应力、应变值，收敛速度快，效率高。
3 应用范围
由于无限元方法独特的优点，使其在国内外得到逐步推广，如解决钢铁断裂力学中的应力强度因子的计算问题，流体力学的stokes绕流问题，波传插的三维无限方法等。国家自然科学基金题目：“无限元方法在口腔生物力学中的应用基础研究”首次将无限元方法应用于医学生物力学分析中，建立起以无限元应力分析法为基础的生物力学及教学模型和系统的数据采集入输出系统，以及规范化的应用软件。
以解决牙齿、颌骨、咀嚼肌以及各类牙列缺损及口腔修复体的生物力学分析中的困难：①应力集中区域，形变剧烈区域等有限元法计算确切位置点的应力、应变值或有限元法计算时由于平均造成应力转移而影响计算准确性；②不同间质界面或同种间质界面断裂因素的应力强度因子等问题；③多种不同组织界面应力分布情况；④各类牙列缺损及口腔修复体的材料选择，结构形态设计、加工、定型等方面的生物力学性质分析；⑤口腔颌面系统的生物力学性质分析。为维护口颌系统的生理功能和研究各类牙列缺损及口腔修复体的力学性质，和牙体形态预备、修复体材料选择、义齿结构设计、义齿固位形态设计、人造牙排列形式、口腔种植体形态设计及上部结构设计等方面的力学性质，以取得最佳的修复体设计方案提供定量化的理论依据。
, 百拇医药
4 实例
在应用研究中，我们首次利用无限元法对临床常见的成人上中切牙残根柱状螺旋牙根骨内种植体二维模型进行应力分析〔5〕，在种植体、牙本质、骨组织等规则区域按有限元法剖分，而在根尖孔附近，组织界面多、形变较大、应力集中区域〔6〕则采用无限相似部分。有限元与无限元区域边界数据交换则采用区域分解法的D-N迭代求解，利用有限输出的位移矢量以及无限元输出的应力矢量进行迭代运算，从而获得共同边界位置上的位移和应力值。所选无限元区域内在X轴、Y轴方向上，根据实际情况的需要，确定一定的步长，选取一定数量的位置点，计算其应力、应变值，揭示出柱状螺旋牙根骨内种植体根尖孔附近无限元区域骨界面的应力集中出现在根尖部和种植体底部的骨组织内；牙本质内的应力集中主要出现在牙根尖部；种植体内部的应力集中主要出现在根尖孔对应位置；牙周膜内的应力集中主要位于牙槽嵴顶，及各硬组织不同界面间断裂难易趋势。并与其它生物力学方法及有限元方法计算结果进行了对比〔7〕，验证了结果的可靠性，为进一步探讨种植体力学特性及种植体形态优化设计奠定了基础。
, 百拇医药
总之，无限元应力分析方法有显著的优越性：①能给出模型的任意部位的应力和位移状况，结果更为精确，并且由算机转换成三维立体图象；②将生物医学模型转化成数学力学模型，因为不受到网格划分的影响，所以可反复使用同一模型进行各种加载状况的计算；③同一软件可应用于多种口颌系统模型的计算分析，并可模拟多种加载方式，是目前已知方法中运行最迅速的计算技术。在应用中将有限元、无限元方法互相结合，互相补充。规则区域观察应力、应变分布趋势时，如果使用有限个单元已能满足精度的要求则采用有限元法，而在应力，形变集中区域或对于无限大的区域需计算确切坐标点的应力、应变分布情况和断裂力学中的应力强度因子计算，应用无限元方法则计算精确度高、收敛快，弥补了有限元的不足。随着无限元方法日益成熟和发展，有限元、无限元方法相结合必将会提高我国口腔生物力学研究水平，为临床工作提供更准确可靠的理论依据。
参考文献
1应隆安.无限元方法. 北京:北京大学出版社, 1992
, http://www.100md.com
2 蒋孝煜编. 有限元法基础. 北京:清华大学出版社, 1992
3 应隆安, 有限元方法讲义.北京: 北京大学出版社, 1988
4 李开太，等. 有限元方法及其应用.西安: 西安交通大学出版社, 1992
5 黄辉.柱状螺旋牙根骨内种植体形态设计的有限无分析:〔 学位论文〕.西安:第四军医大学口腔医学院,1997
6 张春宝, 马轩祥. 根骨内种植体的临床应用和影响因素. 实用口腔医学杂志, 1996,12(4):286
7 张少峰,马轩祥,
,等. 种植体长度和直径对种植全口义齿应力的影响 .实用口腔医学杂志, 1997,13(3):199, 百拇医药