关于用主成份分析作综合评价存在的两个问题
作者：王筑娟 吴贤毅 王黎明
单位：王筑娟(贵州工业大学基础部 贵阳550003)；吴贤毅(华东师范大学统计系)；王黎明(华东师范大学统计系)
关键词：主成份分析；综合评价；特征向量
数理医药学杂志000406
摘 要 在用主成份分析作综合评价时，对取多少个主成份作综合评价及综合得分的合理性上，作者提出了自己的看法，并用特征向量对后者作了进一步分析。
中图分类号： R 311 文献标识码： A
文章编号：1004-4337(2000)04-0298-02
在多指标体系的综合评价中，常使用主成份分析方法，且这方面的文献很多[1～8]。但笔者认为这种方法存在两个问题：一是取多少个主成份作综合评价；二是综合得分的合理性问题。本文对问题一作简要的说明，对问题二中关于特征向量的选取问题，给出了一个较为深刻的分析，并用一个实际例子来阐明这个问题。
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1 用主成份分析做综合评价的方法
设需要评价的指标共P个，记为：
X=(X1,X2,…,Xp)T
其均值为0(即假设已被中心化)，协方差矩阵为∑，相关系数矩阵为R。
一般说来可以用R或∑来计算X的主成份分析，不妨只叙述用R来计算的方法(用∑类似)。
更假设X是已经标准化了的，从而R就是X的协方差矩阵。求出R的P个特征值，记为：
λ1≥λ2…≥λp≥0
并设其对应的正则化特征向量矩阵为：
, 百拇医药
L=(L1,L2,…,Lp)
其中RLi=λiLi,i=1,2,…,P,LTL=E。作变换：
Yi=LiX,i=1,2,…,P
即：Y=(Y1 Y2 … YP)T=LTX
则向量Y称为X的主成份，Yi称为第i个主成份。
找前m个主成份Y1,Y2,…,Ym使得
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达到一定的数值(比如≥85%)，这m个主成份就以较P为少的指标个数综合体现了P个指标。为进一步综合成一个指标，用主成份Yj的贡献率
作为Yj的权。由于
是常数，对综合评价并无实质的影响，故将它略去，因此将λj作为Yj的权，对前m个主成份加权求和，得综合评价指标为：
(1)
对每个具体的个体，将其各个指标的实测值代入即可得到综合评价值(又称综合得分)。对n个个体，将每个个体计算出相应的综合得分Di，i=1,2,…,n，然后用这些Di进行排序。在实际中，R未知，通常用需要评估的n个个体资料进行估计。
, 百拇医药
2 存在的问题
2.1 关于取m个主成份的问题
在文献中，有的使用所有主成份，有的使用部分主成份(如前述的m个主成份)，问题是：为什么不用全体主成份而只使用部分主成份?使用部分主成份的理由一般有两种：一是简化计算；二是消除共线性。但是，我们首先看到这样做的后果是信息含量的损失；其次，使用部分主成份并不能在本质上减少计算量(可以说基本上不影响计算量)，从计算的角度来说，不使用全部主成份是不合理的；再者，在综合评价问题中，并不存在共线性的影响问题，因此并不需要取部分主成份。
2.2 关于综合得分的合理性问题
文献[7]已谈到此问题，这里再从数学的角度深入谈论此问题。
令a表示前m个分量为1后P-m个分量为0的P维向量即：
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aT=(1,1,…,1,0,0,…,0)T,m=1,2,…,P，将综合得分公式
作如下变换：
故 D=aTLTRX (2)
由(2)式看到，决定综合得分D的量是特征向量集LT。
这是因为当已知样本X时，相关矩阵R也是已知的，所以，对于不同的特征向量矩阵LT，相应地可以得到不同的D值，而这样的LT有2m种选择，特别地，若相关矩阵R的特征方程有重根时，关于LT的选择将会有无穷多种，这样，对同一个问题，选择不同的LT，将会得到不同的评价结果。
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2.3 实例
数据取自文献[3]，特征值的计算见文献[3]。在此基础上，我们求出了其相对应的所有可能特征向量，运用(1)或(2)可计算出综合评价值共64组，从中随机选出几组具体的综合评价值，见表1。
表1 几组综合评价结果 地区编号
综合评价1
综合评价2
综合评价3
综合评价4
综合评价5
综合评价6
综合评价7
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综合评价8
1
1.613285
1.613207
0.081517
2.943347
3.272685
3.140785
1.279835
4.141587
2
1.613285
, 百拇医药
1.613207
0.081517
2.943347
3.272685
3.140785
1.279835
4.141587
3
0.883836
0.881739
-0.095970
-1.853800
, http://www.100md.com
-1.825790
1.306171
0.302550
-1.457380
4
-1.610770
-1.626160
-1.182980
-0.810240
-0.915730
-2.010490
-1.446430
, http://www.100md.com
-1.089080
5
0.621682
0.623790
2.291082
0.121090
-0.013650
2.521586
4.321514
2.153630
6
3.872173
, 百拇医药
3.874908
3.920516
3.796908
3.490020
0.305720
0.655481
0.534608
7
-2.980150
-2.972660
-3.342070
-2.054460
, 百拇医药
-2.677180
-2.834160
-2.588340
-1.293240
将综合评价值以地区编号为横轴作图，见图1。
图1 几组综合评价折线图
由图1可见，每条折线代表一组综合评价。由此可以看出随着特征向量选择的不同，综合评价的结果差异很大。
通过以上的理论分析及实例验证，我们认为用(1)作综合评价m应取P；其次对同一个问题，选择不同的LT会得到不同的评价结果。由于实际问题中，所要的结论是未知的，那么怎么知道取哪一组呢?因此我们认为用(1)作综合评价标准，其合理性有待进一步探讨。
, 百拇医药
参 考 文 献
1，程毛林.论主成份分析法在综合评价经济效益中的应用.数理统计与管理，1992，11(2)：7～11.
2，韩彦峰.主分量法在高校科研工作综合评估中的应用.数理统计与管理，1995，14(2)：1～6.
3，杨善朝等.广西地区经济指标评价.数理统计与管理，1997，16(4)：1～4.
4，刘贤龙.我国普通高等教育发展水平的统计分析.数理统计与管理，1998，17(5)：1～4.
5，段清堂.主成份分析在《大学生体育合格标准》综合评价中的应用.数理统计与管理，1999，18(2)：13～15.
6，吴国富等.多个变量分类和综合的多元分析方法.数理统计与管理，1995，14(6)：52～59.
7，阎慈琳.关于主成份分析做综合评价的若干问题.数理统计与管理，1998，17(2)：22～25.
8，黄宁.关于主成份分析应用的思考.数理统计与管理，1999，18(5)：44～46.
收稿日期：1999-12-21, 百拇医药
单位：王筑娟(贵州工业大学基础部 贵阳550003)；吴贤毅(华东师范大学统计系)；王黎明(华东师范大学统计系)
关键词：主成份分析；综合评价；特征向量
数理医药学杂志000406
摘 要 在用主成份分析作综合评价时，对取多少个主成份作综合评价及综合得分的合理性上，作者提出了自己的看法，并用特征向量对后者作了进一步分析。
中图分类号： R 311 文献标识码： A
文章编号：1004-4337(2000)04-0298-02
在多指标体系的综合评价中，常使用主成份分析方法，且这方面的文献很多[1～8]。但笔者认为这种方法存在两个问题：一是取多少个主成份作综合评价；二是综合得分的合理性问题。本文对问题一作简要的说明，对问题二中关于特征向量的选取问题，给出了一个较为深刻的分析，并用一个实际例子来阐明这个问题。
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1 用主成份分析做综合评价的方法
设需要评价的指标共P个，记为：
X=(X1,X2,…,Xp)T
其均值为0(即假设已被中心化)，协方差矩阵为∑，相关系数矩阵为R。
一般说来可以用R或∑来计算X的主成份分析，不妨只叙述用R来计算的方法(用∑类似)。
更假设X是已经标准化了的，从而R就是X的协方差矩阵。求出R的P个特征值，记为：
λ1≥λ2…≥λp≥0
并设其对应的正则化特征向量矩阵为：
, 百拇医药
L=(L1,L2,…,Lp)
其中RLi=λiLi,i=1,2,…,P,LTL=E。作变换：
Yi=LiX,i=1,2,…,P
即：Y=(Y1 Y2 … YP)T=LTX
则向量Y称为X的主成份，Yi称为第i个主成份。
找前m个主成份Y1,Y2,…,Ym使得
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达到一定的数值(比如≥85%)，这m个主成份就以较P为少的指标个数综合体现了P个指标。为进一步综合成一个指标，用主成份Yj的贡献率
作为Yj的权。由于是常数，对综合评价并无实质的影响，故将它略去，因此将λj作为Yj的权，对前m个主成份加权求和，得综合评价指标为： (1)对每个具体的个体，将其各个指标的实测值代入即可得到综合评价值(又称综合得分)。对n个个体，将每个个体计算出相应的综合得分Di，i=1,2,…,n，然后用这些Di进行排序。在实际中，R未知，通常用需要评估的n个个体资料进行估计。
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2 存在的问题
2.1 关于取m个主成份的问题
在文献中，有的使用所有主成份，有的使用部分主成份(如前述的m个主成份)，问题是：为什么不用全体主成份而只使用部分主成份?使用部分主成份的理由一般有两种：一是简化计算；二是消除共线性。但是，我们首先看到这样做的后果是信息含量的损失；其次，使用部分主成份并不能在本质上减少计算量(可以说基本上不影响计算量)，从计算的角度来说，不使用全部主成份是不合理的；再者，在综合评价问题中，并不存在共线性的影响问题，因此并不需要取部分主成份。
2.2 关于综合得分的合理性问题
文献[7]已谈到此问题，这里再从数学的角度深入谈论此问题。
令a表示前m个分量为1后P-m个分量为0的P维向量即：
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aT=(1,1,…,1,0,0,…,0)T,m=1,2,…,P，将综合得分公式
作如下变换：故 D=aTLTRX (2)
由(2)式看到，决定综合得分D的量是特征向量集LT。
这是因为当已知样本X时，相关矩阵R也是已知的，所以，对于不同的特征向量矩阵LT，相应地可以得到不同的D值，而这样的LT有2m种选择，特别地，若相关矩阵R的特征方程有重根时，关于LT的选择将会有无穷多种，这样，对同一个问题，选择不同的LT，将会得到不同的评价结果。
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2.3 实例
数据取自文献[3]，特征值的计算见文献[3]。在此基础上，我们求出了其相对应的所有可能特征向量，运用(1)或(2)可计算出综合评价值共64组，从中随机选出几组具体的综合评价值，见表1。
表1 几组综合评价结果 地区编号
综合评价1
综合评价2
综合评价3
综合评价4
综合评价5
综合评价6
综合评价7
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综合评价8
1
1.613285
1.613207
0.081517
2.943347
3.272685
3.140785
1.279835
4.141587
2
1.613285
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1.613207
0.081517
2.943347
3.272685
3.140785
1.279835
4.141587
3
0.883836
0.881739
-0.095970
-1.853800
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-1.825790
1.306171
0.302550
-1.457380
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-1.626160
-1.182980
-0.810240
-0.915730
-2.010490
-1.446430
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-1.089080
5
0.621682
0.623790
2.291082
0.121090
-0.013650
2.521586
4.321514
2.153630
6
3.872173
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3.874908
3.920516
3.796908
3.490020
0.305720
0.655481
0.534608
7
-2.980150
-2.972660
-3.342070
-2.054460
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-2.677180
-2.834160
-2.588340
-1.293240
将综合评价值以地区编号为横轴作图，见图1。
图1 几组综合评价折线图
由图1可见，每条折线代表一组综合评价。由此可以看出随着特征向量选择的不同，综合评价的结果差异很大。
通过以上的理论分析及实例验证，我们认为用(1)作综合评价m应取P；其次对同一个问题，选择不同的LT会得到不同的评价结果。由于实际问题中，所要的结论是未知的，那么怎么知道取哪一组呢?因此我们认为用(1)作综合评价标准，其合理性有待进一步探讨。
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参 考 文 献
1，程毛林.论主成份分析法在综合评价经济效益中的应用.数理统计与管理，1992，11(2)：7～11.
2，韩彦峰.主分量法在高校科研工作综合评估中的应用.数理统计与管理，1995，14(2)：1～6.
3，杨善朝等.广西地区经济指标评价.数理统计与管理，1997，16(4)：1～4.
4，刘贤龙.我国普通高等教育发展水平的统计分析.数理统计与管理，1998，17(5)：1～4.
5，段清堂.主成份分析在《大学生体育合格标准》综合评价中的应用.数理统计与管理，1999，18(2)：13～15.
6，吴国富等.多个变量分类和综合的多元分析方法.数理统计与管理，1995，14(6)：52～59.
7，阎慈琳.关于主成份分析做综合评价的若干问题.数理统计与管理，1998，17(2)：22～25.
8，黄宁.关于主成份分析应用的思考.数理统计与管理，1999，18(5)：44～46.
收稿日期：1999-12-21, 百拇医药