百分位数的可信区间估计
作者：陈健美 陈峰
单位：陈健美 镇江医学院(212001); 陈峰 南通医学院
关键词：
中国卫生统计990328 百分位数(percentile)是用于描述计量资料尤其是偏态分布资料极为常用的指标体系。如用于允许区间的估计，变异度的描述，百分位数回归等。但百分位数本身亦存在抽样误差，有必要对其进行区间估计。本文介绍百分位数的bootstrap区间估计，并与二项分布近似法进行比较。
一、Bootstrap法
它是以原始数据为基础的模拟抽样统计推断法，其基本思想是：在原始数据的范围内作有放回的再抽样，样本含量仍为n，原始数据中每个观察单位每次被抽到的概率相等，为1/n，所得样本称为bootstrap样本。于是可得到参数θ的估计值θ(b)，这样重复若干次，记为B。设B=1 000，就得到该参数的1 000个估计值。当θ(b)的频数分布近似正态分布时，以其均数作为点估计，用正态原理估计可信区间；当θ(b)的频数分布为偏态时，以其中位数作为点估计，以上、下2.5%分位数作为其95%可信限。
, 百拇医药
二、二项分布近似法：
根据二项分布原理按下列公式分别求可信区间上下限的百分位x%。
其中n为样本量，uα为标准正态分布的分位数，p为所求总体百分位数的百分位。然后按公式
分别求出相应百分位数的可信区间。
三、实例分析
取文献〔3〕中资料(表1)，其中生存时间为正偏态分布，计算5%、50%、95%百分位数为P5=3.73，P50=10.11，P95=69.86。我们首先用bootstrap法来估计以上几个百分位数的可信区间。步骤为：在26个个体(编号为1，2，…，26)中作有放回的抽样，每个个体被抽到的概率为1/26，抽样次数仍为n=26，这可以用计算机产生1～26的均匀分布的随机数，相应的编号即为抽中的个体，由这些个体组成的样本就是一个bootstrap样本。如此重复B次(分别取B=200,500,1 000,1 500，2 000)可算得
、
、
,b=1,…，B。从其频数分布可知是偏态分布，故以上、下2.5%分位数作为其95%可信限，结果见表2。在整个计算过程中，只是重复地抽样，重复地计算各样本百分位数，根据其频数分布的分位数即得到了可信区间，无需繁杂的数学推导。
, http://www.100md.com
表1 26例浆液性卵巢上皮癌患者的生存时间 1.00
2.50
4.50
7.50
9.50
11.50
12.50
14.50
15.00
15.00
17.50
18.50
, http://www.100md.com
24.00
24.00
25.20
32.70
36.00
36.00
43.00
44.00
46.00
69.00
70.00
83.40
83.50
, http://www.100md.com
156.00
表2 总体百分位数的可信区间
bootstrap法
二项分布法
B=200
B=500
B=1 000
B=1 500
B=2 000
P5
3.40～4.02
3.40～4.03
, http://www.100md.com
3.40～4.03
3.40～4.09
3.40～4.09
3.40～4.10
P50
7.57～12.48
7.60～13.99
7.64～14.16
7.64～14.83
7.64～14.83
7.64～5.00
, http://www.100md.com
P95
21.89～31.33
24.55～124.17
25.65～124.17
27.05～124.17
27.17～124.17
27.18～24.17
四、讨 论
1.bootstrap法估计的误差是多少?bootstrap统计量的抽样误差包含了两个部分，一是原样本(经验分布)的抽样误差SF；二是bootstrap再抽样误差S(1)B。当B充分大小时，bootstrap再抽样误差就趋于消失，bootstrap估计的误差就接近抽样误差。B要取多大?据Efron〔5〕提出，B的大小与原分布有关，一般取50～200之间即可，但若原数据的变异较大，则B的取值相应增加。从例1亦可看出，原始资料变量值小的一侧相对稳定，B=200与B=2 000时P5的可信区间很接近，而P95在B=200与B=2 000时则相差很大，提示我们对于变异较大的数据，特别是存有极大值或极小值，B宜取大一些，如本例B=1 000时，P95的可信区间才趋稳定。
, 百拇医药
2.在作医学参考值范围估计时，常用的方法有两大类：一是适用于正态分布或经变量变换能转换为正态分布的资料，最常用的是正态分布法；另一适用各种分布型资料，最常用的是百分位数法；对偏态分布用正态分布法会得怎样的结果?如本例若用正态分布法处理得X=34.70，均数的区间估计为27.94～41.46，与bootstrap、二项分布相差甚远。因此对偏态分布资料，我们常用百分位数法进行医学参考值的估计，常用的百分位数为P2.5，P5，P95，P97.5等，对百分位数的区间估计，目前应用较少，从本文应用结果来看，用bootstrap法对百分位数作区间估计，不失为一种可行、高效的估计方法。
参考文献
1.陈峰.Bootstrap估计及其应用.中国卫生统计，1997，14(5)：5.
2.杨树勤主编.中国医学百科全书*医学统计学.上海：上海科学技术出版社，1985，86.
3.余松林等.临床随访资料的统计分析方法.北京：人民卫生出版社，1991，127.
4.Efron B & Tibshiirani RJ.An Introdution to the bootstrap.New York:Chapman & Hall,1993.
5.Efron B.Better bootstrap confindence interuals(with discutions).J.Amer.Statist.Assoc,1987,82:171～200., 百拇医药
单位：陈健美 镇江医学院(212001); 陈峰 南通医学院
关键词：
中国卫生统计990328 百分位数(percentile)是用于描述计量资料尤其是偏态分布资料极为常用的指标体系。如用于允许区间的估计，变异度的描述，百分位数回归等。但百分位数本身亦存在抽样误差，有必要对其进行区间估计。本文介绍百分位数的bootstrap区间估计，并与二项分布近似法进行比较。
一、Bootstrap法
它是以原始数据为基础的模拟抽样统计推断法，其基本思想是：在原始数据的范围内作有放回的再抽样，样本含量仍为n，原始数据中每个观察单位每次被抽到的概率相等，为1/n，所得样本称为bootstrap样本。于是可得到参数θ的估计值θ(b)，这样重复若干次，记为B。设B=1 000，就得到该参数的1 000个估计值。当θ(b)的频数分布近似正态分布时，以其均数作为点估计，用正态原理估计可信区间；当θ(b)的频数分布为偏态时，以其中位数作为点估计，以上、下2.5%分位数作为其95%可信限。
, 百拇医药
二、二项分布近似法：
根据二项分布原理按下列公式分别求可信区间上下限的百分位x%。
其中n为样本量，uα为标准正态分布的分位数，p为所求总体百分位数的百分位。然后按公式
分别求出相应百分位数的可信区间。
三、实例分析
取文献〔3〕中资料(表1)，其中生存时间为正偏态分布，计算5%、50%、95%百分位数为P5=3.73，P50=10.11，P95=69.86。我们首先用bootstrap法来估计以上几个百分位数的可信区间。步骤为：在26个个体(编号为1，2，…，26)中作有放回的抽样，每个个体被抽到的概率为1/26，抽样次数仍为n=26，这可以用计算机产生1～26的均匀分布的随机数，相应的编号即为抽中的个体，由这些个体组成的样本就是一个bootstrap样本。如此重复B次(分别取B=200,500,1 000,1 500，2 000)可算得
、、,b=1,…，B。从其频数分布可知是偏态分布，故以上、下2.5%分位数作为其95%可信限，结果见表2。在整个计算过程中，只是重复地抽样，重复地计算各样本百分位数，根据其频数分布的分位数即得到了可信区间，无需繁杂的数学推导。, http://www.100md.com
表1 26例浆液性卵巢上皮癌患者的生存时间 1.00
2.50
4.50
7.50
9.50
11.50
12.50
14.50
15.00
15.00
17.50
18.50
, http://www.100md.com
24.00
24.00
25.20
32.70
36.00
36.00
43.00
44.00
46.00
69.00
70.00
83.40
83.50
, http://www.100md.com
156.00
表2 总体百分位数的可信区间
bootstrap法
二项分布法
B=200
B=500
B=1 000
B=1 500
B=2 000
P5
3.40～4.02
3.40～4.03
, http://www.100md.com
3.40～4.03
3.40～4.09
3.40～4.09
3.40～4.10
P50
7.57～12.48
7.60～13.99
7.64～14.16
7.64～14.83
7.64～14.83
7.64～5.00
, http://www.100md.com
P95
21.89～31.33
24.55～124.17
25.65～124.17
27.05～124.17
27.17～124.17
27.18～24.17
四、讨 论
1.bootstrap法估计的误差是多少?bootstrap统计量的抽样误差包含了两个部分，一是原样本(经验分布)的抽样误差SF；二是bootstrap再抽样误差S(1)B。当B充分大小时，bootstrap再抽样误差就趋于消失，bootstrap估计的误差就接近抽样误差。B要取多大?据Efron〔5〕提出，B的大小与原分布有关，一般取50～200之间即可，但若原数据的变异较大，则B的取值相应增加。从例1亦可看出，原始资料变量值小的一侧相对稳定，B=200与B=2 000时P5的可信区间很接近，而P95在B=200与B=2 000时则相差很大，提示我们对于变异较大的数据，特别是存有极大值或极小值，B宜取大一些，如本例B=1 000时，P95的可信区间才趋稳定。
, 百拇医药
2.在作医学参考值范围估计时，常用的方法有两大类：一是适用于正态分布或经变量变换能转换为正态分布的资料，最常用的是正态分布法；另一适用各种分布型资料，最常用的是百分位数法；对偏态分布用正态分布法会得怎样的结果?如本例若用正态分布法处理得X=34.70，均数的区间估计为27.94～41.46，与bootstrap、二项分布相差甚远。因此对偏态分布资料，我们常用百分位数法进行医学参考值的估计，常用的百分位数为P2.5，P5，P95，P97.5等，对百分位数的区间估计，目前应用较少，从本文应用结果来看，用bootstrap法对百分位数作区间估计，不失为一种可行、高效的估计方法。
参考文献
1.陈峰.Bootstrap估计及其应用.中国卫生统计，1997，14(5)：5.
2.杨树勤主编.中国医学百科全书*医学统计学.上海：上海科学技术出版社，1985，86.
3.余松林等.临床随访资料的统计分析方法.北京：人民卫生出版社，1991，127.
4.Efron B & Tibshiirani RJ.An Introdution to the bootstrap.New York:Chapman & Hall,1993.
5.Efron B.Better bootstrap confindence interuals(with discutions).J.Amer.Statist.Assoc,1987,82:171～200., 百拇医药