计划生育与遗传优生中的一个概率模型及其启示——几何分布的一例应用
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作者:黄文莉 高军 胡中立
单位:上海医科大学(200032)
关键词:
中国卫生统计990112 问 题
中国人口众多、文化素质与经济发展很不平衡,从七十年代开始逐步实施计划生育,稍后又为更有效控制人口数量,采取了一对夫妇只生一个孩子的生育政策。而且,优生优育同时推广,这对控制人口数量、提高人口素质、促进经济发展,确实起到了效果。
但是,“一对夫妇只生一个孩子”的生育政策,并不是在全国范围的任何地方都能不折不扣的实施,例如,在农村尤其是偏远地区和经济落后地区,人们“传宗接代”、“多子多福”、“早生儿子早享福”等观念意识还很强,一对夫妇一定要生个儿子才肯罢休的现象并不少见;再如,出于“人道”的考虑,假如一对夫妇生了一个病孩,则也同意他们再生一个,而如果第二个仍是病孩,还有可能同意生育第三胎,……,是否会一直到生一个健康孩子为止。
, 百拇医药
前者是指要生儿子,后者是指要生健康的孩子,如果我们特别考虑这样的一种生育模式:即一对夫妇生育孩子 ,一直到生育一个儿子(或健康的孩子)才停止生育(简称这种生育方式为“无限生育模式”),从概率统计的角度看,显然生儿子和生健康孩子是一个问题的两个方面,本文将回答这样几个问题:
(1)这种无限生育模式下,每对夫妇平均生育了几个孩子?
(2)这种无限生育模式下,后代群体中的男女比例为多少?健康孩子和病孩比例是多少?或者说,这种生育模式对后代群体的男女比例和遗传结构会有什么影响?
答 案
1.概率分布函数及其数字特征
以生儿子为例。
若记生女儿的概率为p,生儿子的概率为1-p,假定某一对夫妇一直到第i胎才是生儿子,而此前第1,2,……,i-1胎均是生女儿,显然这一事件发生的概率就是pi-1(1-p),这正好是统计学中的几何分布,即
, 百拇医药
pi-1(1-p), i=1,2,3,……
(1)
而若特记至第i胎已生的女儿数量为j,则其分布就是几何分布的另一种表达形式,即
pj(1-p), j=1,2,3,……
(2)
上述分布的均值和方差分别列于表1〔1〕。
表1 分布函数及其数字特征 概率函数
均值
方差
pi-1(1-p),i=1,2,3,……
, 百拇医药
1/(1-p)
P/(1-p)2
pj(1-p),j=1,2,3,……
p/(1-p)
P/(1-p)2
2.生男生女问题
对于生男生女而言,由于p=1/2,1-p=1/2,所以由表1可知,每对夫妇平均生育的孩子数E(i)=1/(1-p)=2,每对夫妇平均生育的女孩数E(j)=p/(1-p)=1。即在这种无限生育模式下,一对夫妇平均生育了2个孩子,而在孩子中,男孩女孩各为1个。
由上述结果知,这种生育模式肯定是偏离了“一对夫妇只生一个孩子”的生育政策,却似乎并没有破坏后代群体男女1∶1的比例,但这是以人类生育数可以无限(i→∞)为前提的,然而这一前提是不切实际的,所以我们用另一方法探讨后代群体男女比例问题。假定前i-1胎生女儿(概率仍为p),而第i胎生儿子(概率为1),则有表2,并从而得到下述结果:
, 百拇医药
表2 生男生女模式 第1胎
第2胎
第3胎…
第i-1胎
第i胎
女
女
女…
女
, 百拇医药
女0
男
男
男…
男
男1
女孩数=+()2+()3+…+()i-1
, 百拇医药
=1-()i-1
男孩数=+()2+()3+…+()i-1+()i-1
=1-()i-1+()i-1=1
, 百拇医药
显然,后代群体中性别比=1/〔1-()i-1〕>1,而且仅当i→∞时,才有:男/女=1,男孩数+女孩数=2-()i-1→2。换言之,在这种生育模式下的后代群体中,男孩数≥女孩数
(3)
尤其是,现实生活中,一般无需太多次的生育,总可生到儿子,例如生5胎(i=5)才生到男孩的事件已经是小概率事件(概率为1/32=3.125%),按照这种模式,则后代群体中的男女比例为男/女=1/〔1-()4〕=16/15=1.0666/1。
3.遗传病患儿比例
, 百拇医药
将上述“无限生育模式”应用于讨论遗传优生问题,由于婚姻组合、遗传方式及其频率等的不同,使问题就变得较为复杂,其结果也各不相同,这里仅讨论最简单的情形。
假定致病基因为显性记为A,正常基因为隐性记为a,某个初始人群中有病(Aa)和正常(aa)个体的比例为q∶1-q,且假定遗传方式为常染色体显性遗传(即男女人群相同),婚姻关系为随机婚配,则上下代之间具有表3所示的关系〔2〕。
表3 后代群体的遗传结构 父
母
qAa
(1-q)aa
qAa
, 百拇医药
(1-q)aa
(1-q)2aa
由表1,按照无限生育模式,可知Aa×Aa夫妇平均生育的孩子数为E(i)=1/(1-)=4个,其中,平均生育的病孩数E(j)=()/(1-)=3个,正常孩子为1个;同理,Aa×aa夫妇平均生育的孩子数为E(i)=1/(1-)=2个,其中病孩数为E(j)=1个,正常孩子1个;而aa×aa夫妇平均生育的孩子数为E(i)=1/(1-0)=1,均为正常孩子。
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那么在这种无限生育模式下,整个初始人群平均每对夫妇生育的孩子数就为q2×4+2q(1-q)×2+(1-q)2×1=(1+q)2
(4)
而其中平均生育的病孩数就为
q2×3+2q(1-q)×1=q(q+2)
(5)
对病孩所占的比例特记为
R∞=(A-)/(A-+aa)=q(q+2)/(1+q)2
(6)
, 百拇医药
又,如果初始人群保证一对夫妇绝对只生一个孩子,则其后代群体中病孩所占的比例为(推导过程同上):
R1=q(1-q)
(7)
从而,在不同生育模式下的两种后代群体中的病孩比例,R∞≥R1
(8)
因为,二者的比值:
R∞/R1=4(q+2)/〔(1+q)2(4-q)〕≥1
(9)
, 百拇医药
表4 两类后代群体病孩比例的比较 q
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
R∞/R1
2
1.61
1.36
1.19
, 百拇医药
1.08
1
启 示
虽然本文讨论的仅是一种十分简单、而又完全理想化的生育模式,但其理论结果却有其现实的指导意义。如果我们在推行计划生育的过程中,采用这种“人道”的方式主导人类的生育,一则偏离了“一对夫妇只生一个孩子”的政策,再则可能或多或少地破坏人类后代群体的男女平衡与遗传平衡(这种生育模式的遗传后果也就是一种“逆选择”〔2〕),而且,小概率事件的作用还可能使这种“破坏平衡”的效应得以加强(换言之,在计划生育、优生优育过程中采取的这种“人道”作法,一定要有分寸)。当然,人类群体很大,这种生育模式在现实社会也并不广泛,所以其效应也远未达到足以让人们注目与担心的程度。
参考文献
1.金丕焕主编.医用统计方法.上海:上海医科大学出版社,1993:127
2.田中克已(日).基础人类遗传学.东京裳华房,1981:205, http://www.100md.com
单位:上海医科大学(200032)
关键词:
中国卫生统计990112 问 题
中国人口众多、文化素质与经济发展很不平衡,从七十年代开始逐步实施计划生育,稍后又为更有效控制人口数量,采取了一对夫妇只生一个孩子的生育政策。而且,优生优育同时推广,这对控制人口数量、提高人口素质、促进经济发展,确实起到了效果。
但是,“一对夫妇只生一个孩子”的生育政策,并不是在全国范围的任何地方都能不折不扣的实施,例如,在农村尤其是偏远地区和经济落后地区,人们“传宗接代”、“多子多福”、“早生儿子早享福”等观念意识还很强,一对夫妇一定要生个儿子才肯罢休的现象并不少见;再如,出于“人道”的考虑,假如一对夫妇生了一个病孩,则也同意他们再生一个,而如果第二个仍是病孩,还有可能同意生育第三胎,……,是否会一直到生一个健康孩子为止。
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前者是指要生儿子,后者是指要生健康的孩子,如果我们特别考虑这样的一种生育模式:即一对夫妇生育孩子 ,一直到生育一个儿子(或健康的孩子)才停止生育(简称这种生育方式为“无限生育模式”),从概率统计的角度看,显然生儿子和生健康孩子是一个问题的两个方面,本文将回答这样几个问题:
(1)这种无限生育模式下,每对夫妇平均生育了几个孩子?
(2)这种无限生育模式下,后代群体中的男女比例为多少?健康孩子和病孩比例是多少?或者说,这种生育模式对后代群体的男女比例和遗传结构会有什么影响?
答 案
1.概率分布函数及其数字特征
以生儿子为例。
若记生女儿的概率为p,生儿子的概率为1-p,假定某一对夫妇一直到第i胎才是生儿子,而此前第1,2,……,i-1胎均是生女儿,显然这一事件发生的概率就是pi-1(1-p),这正好是统计学中的几何分布,即
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pi-1(1-p), i=1,2,3,……
(1)
而若特记至第i胎已生的女儿数量为j,则其分布就是几何分布的另一种表达形式,即
pj(1-p), j=1,2,3,……
(2)
上述分布的均值和方差分别列于表1〔1〕。
表1 分布函数及其数字特征 概率函数
均值
方差
pi-1(1-p),i=1,2,3,……
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1/(1-p)
P/(1-p)2
pj(1-p),j=1,2,3,……
p/(1-p)
P/(1-p)2
2.生男生女问题
对于生男生女而言,由于p=1/2,1-p=1/2,所以由表1可知,每对夫妇平均生育的孩子数E(i)=1/(1-p)=2,每对夫妇平均生育的女孩数E(j)=p/(1-p)=1。即在这种无限生育模式下,一对夫妇平均生育了2个孩子,而在孩子中,男孩女孩各为1个。
由上述结果知,这种生育模式肯定是偏离了“一对夫妇只生一个孩子”的生育政策,却似乎并没有破坏后代群体男女1∶1的比例,但这是以人类生育数可以无限(i→∞)为前提的,然而这一前提是不切实际的,所以我们用另一方法探讨后代群体男女比例问题。假定前i-1胎生女儿(概率仍为p),而第i胎生儿子(概率为1),则有表2,并从而得到下述结果:
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表2 生男生女模式 第1胎
第2胎
第3胎…
第i-1胎
第i胎
女
女
女…
女
, 百拇医药
女0
男
男
男…
男
男1
女孩数=+()2+()3+…+()i-1
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=1-()i-1
男孩数=+()2+()3+…+()i-1+()i-1
=1-()i-1+()i-1=1
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显然,后代群体中性别比=1/〔1-()i-1〕>1,而且仅当i→∞时,才有:男/女=1,男孩数+女孩数=2-()i-1→2。换言之,在这种生育模式下的后代群体中,男孩数≥女孩数
(3)
尤其是,现实生活中,一般无需太多次的生育,总可生到儿子,例如生5胎(i=5)才生到男孩的事件已经是小概率事件(概率为1/32=3.125%),按照这种模式,则后代群体中的男女比例为男/女=1/〔1-()4〕=16/15=1.0666/1。
3.遗传病患儿比例
, 百拇医药
将上述“无限生育模式”应用于讨论遗传优生问题,由于婚姻组合、遗传方式及其频率等的不同,使问题就变得较为复杂,其结果也各不相同,这里仅讨论最简单的情形。
假定致病基因为显性记为A,正常基因为隐性记为a,某个初始人群中有病(Aa)和正常(aa)个体的比例为q∶1-q,且假定遗传方式为常染色体显性遗传(即男女人群相同),婚姻关系为随机婚配,则上下代之间具有表3所示的关系〔2〕。
表3 后代群体的遗传结构 父
母
qAa
(1-q)aa
qAa
, 百拇医药
(1-q)aa
(1-q)2aa
由表1,按照无限生育模式,可知Aa×Aa夫妇平均生育的孩子数为E(i)=1/(1-)=4个,其中,平均生育的病孩数E(j)=()/(1-)=3个,正常孩子为1个;同理,Aa×aa夫妇平均生育的孩子数为E(i)=1/(1-)=2个,其中病孩数为E(j)=1个,正常孩子1个;而aa×aa夫妇平均生育的孩子数为E(i)=1/(1-0)=1,均为正常孩子。
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那么在这种无限生育模式下,整个初始人群平均每对夫妇生育的孩子数就为q2×4+2q(1-q)×2+(1-q)2×1=(1+q)2
(4)
而其中平均生育的病孩数就为
q2×3+2q(1-q)×1=q(q+2)
(5)
对病孩所占的比例特记为
R∞=(A-)/(A-+aa)=q(q+2)/(1+q)2
(6)
, 百拇医药
又,如果初始人群保证一对夫妇绝对只生一个孩子,则其后代群体中病孩所占的比例为(推导过程同上):
R1=q(1-q)
(7)
从而,在不同生育模式下的两种后代群体中的病孩比例,R∞≥R1
(8)
因为,二者的比值:
R∞/R1=4(q+2)/〔(1+q)2(4-q)〕≥1
(9)
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表4 两类后代群体病孩比例的比较 q
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
R∞/R1
2
1.61
1.36
1.19
, 百拇医药
1.08
1
启 示
虽然本文讨论的仅是一种十分简单、而又完全理想化的生育模式,但其理论结果却有其现实的指导意义。如果我们在推行计划生育的过程中,采用这种“人道”的方式主导人类的生育,一则偏离了“一对夫妇只生一个孩子”的政策,再则可能或多或少地破坏人类后代群体的男女平衡与遗传平衡(这种生育模式的遗传后果也就是一种“逆选择”〔2〕),而且,小概率事件的作用还可能使这种“破坏平衡”的效应得以加强(换言之,在计划生育、优生优育过程中采取的这种“人道”作法,一定要有分寸)。当然,人类群体很大,这种生育模式在现实社会也并不广泛,所以其效应也远未达到足以让人们注目与担心的程度。
参考文献
1.金丕焕主编.医用统计方法.上海:上海医科大学出版社,1993:127
2.田中克已(日).基础人类遗传学.东京裳华房,1981:205, http://www.100md.com