图书在版编目(CIP)数据

    十分钟智商运动李永乐著.—南昌：百花洲文艺出版社，2018.12

    ISBN 978-7-5500-3096-1

    Ⅰ.①十… Ⅱ.①李… Ⅲ.①科学知识—普及读物 Ⅳ.

    ①Z228

    中国版本图书馆CIP数据核字(2018)第247667号

    十分钟智商运动

    SHI FENZHONG ZHISHANG YUNDONG

    李永乐 著

    特约策划 刘孟琳

    责任编辑 游灵通 程 玥

    特约监制 陈美珍

    出 品 人 李国靖

    出 版 人 姚雪雪特约编辑 刘孟琳

    封面设计

    版式设计 赵梦菲 阅众时刻

    内插绘图 谢 嘉 刘 恒

    出版发行 百花洲文艺出版社

    社 址 南昌市红谷滩世贸路898号博能中心I期A座20楼

    邮 编 330038

    经 销 全国新华书店

    印 刷 嘉业印刷(天津)有限公司

    开 本 710mm×1000mm 116

    印 张 15.25

    字 数 250千字

    版 次 2018年12月第1版第1次印刷

    书 号 ISBN 978-7-5500-3096-1

    版权所有，侵权必究

    发行电话 0791-86895108

    网 址 http:www.bhzwy.com

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    目 录

    2.1 能量都是从哪儿来的？

    第二章 奇妙的物理

    1.17 为啥总有人开车加塞？

    1.16 老板为啥对底层员工特别好？

    1.15 散户炒股为啥总赔钱？

    1.14 天气预报为啥总不准？

    1.13 买彩票能中大奖吗？

    1.12 数学家能在赌场中赢钱吗？

    1.11 四维空间是什么样的？

    1.10 平行线存在吗？

    1.9 怎样传小纸条？

    1.8 最厉害的民科是谁？

    1.7 1+1

    1.6 一笔能写出“田”字吗？

    1.5 比萨饼中的数学

    1.4 3.1415926…

    1.3 我说的是假话

    1.2 阿基里斯能追上乌龟吗？

    1.1 最早的学霸是谁？

    第一章 有趣的数学

    contents2.2 光速是如何测量的？

    2.3 阿基米德能撬起地球吗？

    2.4 天体之间的距离到底有多远？

    2.5 指南针为啥能指南？

    2.6 家用电是怎么产生的？

    2.7 特斯拉和爱迪生谁更厉害？

    2.8 SOS是什么意思？

    2.9 FM和AM啥意思？

    2.10 世界上第一张X光片是谁拍的？

    2.11 量子是个什么玩意儿？

    2.12 波还是粒子？这是个问题

    2.13 薛定谔的猫是死了还是活着？

    2.14 黑洞是黑色的吗？

    2.15 如何制作原子弹

    2.16 芯片为啥这么难做？

    第三章 身边的科学

    3.1 天空为什么是蓝色的？

    3.2 星星为什么是黑白的？

    3.3 正常夫妻为啥会生出色盲孩子？

    3.4 双层彩虹是怎么回事？

    3.5 炎热的夏天为啥总感觉马路上有水？

    3.6 雨中走路淋雨多，还是跑步淋雨多？

    3.7 电磁炉是怎么加热食物的？

    3.8 微波炉是如何加热的？

    3.9 电饭锅可以用来烧水吗？

    3.10 手机触屏是什么原理？

    3.11 手机是如何定位的？

    3.12 陀螺为什么不倒下？

    第一章 有趣的数学

    M——A——T——H

    1.1 最早的学霸是谁？

    ——第一次数学危机

    “学霸”这个词，现在就是指学习特别好的人。但是学霸这个

    词的本意并非如此，而是指那些在学术界利用自己的地位铲除异

    己，打压其他人的坏蛋，也叫“学术界的恶棍”。大家知道最早的

    学霸是谁吗？

    一、毕达哥拉斯：万物皆数

    在公元前500年左右，也就是中国的春秋战国时期，地球上

    并没有多少国家。那个时期的希腊，以毕达哥拉斯为代表的毕达

    哥拉斯学派获得了丰硕的数学成果。

    例如，他们提出了毕达哥拉斯定理，也就是我们熟知的勾股

    定理。这个定理告诉我们：一个直角三角形的两条直角边的平方

    和等于斜边的平方。

    同时，毕达哥拉斯学派的观点是“万物皆数”，而且都是整

    数，他们认为宇宙的本质就是数，研究数学就是研究宇宙。

    比如一根数轴，随便扔一支飞镖扎在数轴上，它可能会戳中

    一个整数点，比如A 点(x ＝-3)、C 点(x ＝3)；也可能戳中B

    点(x ＝-0.5)。那么B 点该如何写作整数呢？毕达哥拉斯说，这

    个点虽然不能写作一个整数，但是可以写作两个整数的比。。瞧，B 点还是可以用整数表示!

    二、“完美”的有理数

    我们把可以写作两个整数之比的数叫作有理数，分数就是有

    理数，而整数显然可以写作它自身与1的比，所以整数也是有理

    数。这样，毕达哥拉斯的观点可以概括为：数轴上任意一点都对

    应一个有理数。

    有理数可以分为三类：

    第一类叫作整数，例如0、1、2、…

    第二类叫作有限小数，它总可以写作一个分数的形式，例

    如：

    第三类叫作无限循环小数，它也能写作一个分数的形式。例

    如

    有同学可能要问，那0.343434…这个循环小数怎么写作分数

    呢？数学上把循环小数转化成分数的方法是首先数出循环节的位

    数，比如这里循环节是34，两位。然后再利用循环节除以循环节

    位数个9，也就是 。

    看起来一切是那样的完美!

    三、第一次数学危机在毕达哥拉斯学派为自己的成就沾沾自喜时，有一天，学派

    内部一个年轻学者希帕索斯提出了一个疑问。

    “如果一个直角三角形的两个直角边都是1，那么斜边的长度

    如何表示成两个整数的比呢？”显而易见，根据勾股定理，斜边

    的长度是 。但是 如何才能表示成两个整数的比呢？希帕索

    斯为这个问题苦苦思索却没有答案，他只好求助于他的老师——

    毕达哥拉斯。

    天真的希帕索斯以为毕达哥拉斯会给他答案，可谁知道，希

    帕索斯的问题居然动摇了毕达哥拉斯学派信仰的基础——万物皆

    是整数(或整数的比)。毕达哥拉斯实在无法解答这个问题，但

    是他又不想推翻自己已经建立的对数和宇宙的信仰。

    最终，毕达哥拉斯选择了隐藏这个问题，他把可怜的希帕索

    斯扔进爱琴海里淹死了。希帕索斯成为历史上为探究真理而献身

    的人，而毕达哥拉斯则成了历史上第一位学术界的恶棍——学

    霸。

    整个这件事，就被人们称为第一次数学危机。

    四、危机是如何解决的？

    为了解决这个问题，人们引入了无理数的概念：无理数就是

    无限不循环小数，无法表示成整数的比。例如圆周率π＝

    3.1415926…、自然对数的底e＝2.71828…、 等，都是无理数。

    现在我们知道，数轴上的点不是与有理数一一对应，而是与

    实数一一对应，而实数包含有理数与无理数两类。

    在提出了实数的概念之后，人们又想，如果把-1开平方，结

    果等于多少呢？我们知道，任何实数的平方都是非负的，所以-1

    貌似不能开平方。但是人们受到当年希帕索斯的启发，认为这个

    数的存在还是有意义的，人们把这个数叫作虚数i ，并且i

    2 ＝-1。

    后来，人们把实数和虚数又统称为“复数”。瞧，我们对数的

    认识越来越深刻了!

    1.2 阿基里斯能追上乌龟吗？

    ——第二次数学危机

    第二次数学危机是关于一个奇怪的数——“无穷小”的争论。

    这个争论的源头依然要追溯到古希腊时代。

    一、芝诺悖论

    约公元前495年，古希腊学霸毕达哥拉斯去世了。这时，一

    个5岁的孩子正在牙牙学语，他叫作芝诺。

    芝诺也是古希腊数学家，他提出了一系列悖论以反驳时间和

    空间的连续性和变化问题，比如有一个悖论称为“阿基里斯永远

    追不上一只乌龟”。

    古希腊传说中有一位跑得最快的英雄阿基里斯，是希腊联军

    第一勇士，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。阿基里斯出生

    后，忒提斯捏着他的脚踝将他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身

    刀枪不入，唯有脚踝因被忒提斯手握着，没有浸到冥河水，这是

    他唯一的弱点。在特洛伊战争中，他被敌人射中脚踝而死。

    有一天，阿基里斯遇到了一只乌龟。乌龟对阿基里斯

    说：“别看你跑得快，你永远也追不上我。”

    阿基里斯问：“为什么呢？”

    乌龟向他解释道：

    开始比赛时，阿基里斯在后方A 处，乌龟在前方B 处，二者

    同时起跑。

    阿基里斯要追上乌龟，首先要追上乌龟先跑的一段AB ，但

    是在这段时间，乌龟也在向前跑，当阿基里斯到达B 处时，乌龟

    已经跑到了C 处，还没有追上。虽然此时BC 的距离小于AB 的距

    离。

    阿基里斯会继续跑BC 这一段，但是这段时间，乌龟也没闲

    着，它跑到了D 处，虽然CD 小于BC ，但是阿基里斯还是没有追

    上乌龟。

    以此类推，阿基里斯和乌龟之间的距离只能不断缩小，但是

    永远都不会变为零。所以，阿基里斯就永远追不上乌龟啦。

    以上就是芝诺悖论。所谓悖论，一般是指同一个命题中有两

    个对立相反的结论。而芝诺对于阿基里斯追乌龟问题的解释不是

    推出对立的结论，而是完全违背常理，其实称为“诡辩”更加合

    适。

    二、这个诡辩错在哪儿？

    要推翻这个诡辩其实并不难。

    芝诺将一个追及过程分割成无限多份：AB、BC、CD、DE、…并且认为，既然段数无穷多，那么累加起来的时间自然也是无

    穷长，所以追不上。但是实际上，由于阿基里斯速度快，乌龟速

    度慢，两人之间的距离会越来越短，时间也越来越短。无穷多个

    越来越小的时间之和，并不一定是无穷长。

    为了更加清楚地解释这个问题，我们把追及过程画在一个数

    轴上，并且假设AB 之间距离为L 。为了方便起见，设阿基里斯的

    速度等于乌龟速度的两倍。

    根据速度的二倍关系，相同时间内，阿基里斯运动的距离就

    是乌龟的两倍。所以阿基里斯走过AB ＝L 时，乌龟走过的距离为；阿基里斯走过BC 时，乌龟走过的距离为 ……显

    然，第N 次追及的距离是 ，如果N 无限大，这个长度就无限

    接近于0，称为“无穷小”。

    如果阿基里斯要追上乌龟，需要追及无限多段，将这无限多

    段距离求和：

    大家经过简单计算就会发现：项数越多，这个式子的结果就

    越接近2L 。如果项数无穷多，阿基里斯跑过的距离就与2L 相差

    无穷小。直到阿基里斯追上了乌龟，他跑过的总路程也不会超过

    2L 。同样，如果阿基里斯跑过第一段距离AB 的时间是t ，那么无

    穷多段之后阿基里斯追上乌龟，需要的总时间不过是2t 。

    庄子日：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”说的就是一根

    一尺长的木棍，每天砍掉它的一半，无论经过多久，都砍不光。

    的确，我们可以把木棍分割成越来越短的无限多份，但是加起来

    依然是一根木棍那么长，这与芝诺悖论多么相似!

    三、无穷小和导数：微积分的基础

    芝诺最早提出了无穷小的概念。只可惜，希腊文明衰落之

    后，欧洲的科学一直没有太大进步。直到文艺复兴时代来临，在

    牛顿等一大批科学家的带领下，科学才重新蓬勃发展起来。

    我们都知道牛顿是伟大的物理学家，但他也是伟大的数学

    家。牛顿提出的牛顿二项式定理、牛顿二分法以及微积分，都是

    近代数学的辉煌成就。

    微积分在物理上的应用非常广泛，人们利用它解决了很多复

    杂的问题。微积分中有一个概念：导数。

    在一个函数图像上随便取两个点P 和M ，计算二者纵坐标差

    Δy ＝y 2 -y 1 与横坐标差Δx ＝x 2 -x 1 ，那么 就称为“两个点连线

    的斜率”。

    如果M 点越来越接近P 点，那么PM 的连线就会变成过P 点

    的切线，而这条切线的斜率就称为“P 点的导数”。导数可以写作

    ，这里lim就叫“极限”，Δx 就称为“无穷小”。

    四、第二次数学危机

    本来一切看起来都很自然，但是英国大主教贝克莱首先对微

    积分发难：“无穷小到底是一个什么样的数？它是0吗？如果是

    0，为什么在求导时可以做分母？如果不是0，又怎么能说刚才计

    算的是一个点的切线斜率，而不是两个点连线的斜率呢？”

    从牛顿发明微积分到十九世纪二十年代，关于无穷小到底是

    怎样一个数，一直没有一个统一的认识。后来，经过阿贝尔、柯

    西、康托尔等人的努力，直到十九世纪七十年代，人们才确立起

    极限基本定理，使得无穷小有了一个合理的解释。从牛顿发明微

    积分开始计算，已经过去了300年。而从芝诺最早提出的无穷小

    概念，已经过去了2500年。

    数学就是这样，为了一个看似简单的概念，可以争论几百

    年，甚至几千年。

    1.3 我说的是假话

    ——第三次数学危机

    “我说的是假话”看似平淡无奇，但是在数学上，却称得上是

    一个悖论。因为如果这句话是真的，按照字面意思，它就是一句

    假话；如果这句话是假的，那么就会得到和字面意思相反的结

    论：这是一句真话。悖论就是一个论述却可以得到两个互相矛盾

    的结论。

    一、理发师悖论

    英国数学家罗素提出了与之相似的著名悖论：理发师悖论。

    从前有一个村子，村子里只有一名理发师。这个理发师有点

    怪，他的理发店门口立了一块牌子，写着下图中这段话。

    也就是说，村子里的人分为两类，第一类人会给自己刮胡

    子，第二类人从不给自己刮胡子。而这名理发师不给第一类人刮

    胡子，只给第二类人刮胡子。

    二、集合论的问题

    有一天，一名顾客来到店里看到了这块牌子，他就问了理发

    师一个问题。

    理发师突然发现自己非常尴尬。因为他如果回答给自己刮胡

    子，他就是第一类人，按照他的规矩，就不应该给自己刮胡子；

    如果他不给自己刮胡子，他就是第二类人，按照规矩，他又应该

    给自己刮胡子。

    当然，这只是罗素悖论的通俗说法。罗素悖论是关于数学中

    集合论的一个矛盾而提出的。

    什么是集合呢？所谓集合，是由某些确定的元素构成的整

    体。例如：

    A ＝{1，2，3}是一个集合，里面有三个元素，分别是1、2、3；

    B ＝{x ｜x 是偶数}是一个集合，包含所有的偶数，有无限

    多个元素；

    C ＝{x ｜x 是拖拉机}是一个集合，任何一辆拖拉机都是这

    个集合的元素。

    但是集合的元素必须是确定的。所以有些概念不能构成集

    合，例如“美女的集合”就是一种错误的说法，因为一个人美不美

    会因为其他人的感受而异，不具有确定性。

    元素与集合的关系有“属于∈”和“不属于 ”两种，比如“1”这

    个元素，它是集合A 的元素，但是不是集合B 的元素，写作1∈A

    ， 。

    明白了这些，我们就可以讨论罗素悖论的数学表达了。罗素

    说：设集合S 是所有不属于自身的集合构成的集合，即。那么，S 是否属于自身呢？

    若S 属于自身，那么S 就不满足集合所规定的元素性质，它

    不应该属于自身S ；

    若S 不属于自身，那么S 就满足集合所规定的元素性质，它

    应该属于自身S 。

    这样一来，这个集合就得到了自相矛盾的结果，与理发师悖

    论如出一辙。

    其实，罗素主要是一个哲学家、逻辑学家、教育学家和文学

    家，并且获得了诺贝尔文学奖。

    三、第三次数学危机

    罗素为什么要提出这个数学悖论呢？

    二十世纪初，数学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中。法国

    大数学家彭加莱在1900年的国际数学家大会上公开宣称：数学的

    严格性，现在看来可以说是实现了。他说这句话是有依据的，那

    就是德国数学家康托尔所创立的集合论。

    2000多年以来，人类一直没有弄清楚无穷的概念。比如全体

    正整数1、2、3、4、…和全体正偶数2、4、6、8、…都是无穷多

    个，那么它们谁更多呢？

    也许有人会说：那一定是正整数多啊!多了3、5、7、…这

    些奇数。但是实际上两个无穷大这样比较是不行的。

    康托尔利用集合论向人类指出：如果两个集合中的元素可以

    建立一一对应的关系，那么这两个集合的元素个数就是一样多

    的。比如正整数集合就可以和正偶数集合建立一一对应关系：每

    个整数的两倍刚好对应一个偶数，即x ∈{整数}，y ∈{偶

    数}，y ＝2x 。所以正整数集合和正偶数集合元素个数是一样多

    的。

    集合论为数学奠定了坚实的基础，许多概念不清的问题利用

    集合论得到了完美的解释。数学家希尔伯特高度赞誉康托尔的集

    合论是“数学天才最优秀的作品”，是“人类纯粹智力活动的最高成

    就之一”。

    但是，从集合论诞生的那一天起，针对集合论的诘难和各种

    悖论就没有停止过。尤其以1902年罗素悖论最为有名。数学家们

    只享受了集合论带来的短暂的祥和，就又陷入了一种无法解决的

    危机之中，因为集合论已经成为了现代数学的基础，渗透到数学

    的各个分支之中，因此集合论的这个悖论才会引发这么多的关

    注。“理发师悖论”就被称为第三次数学危机。

    由于这个问题迟迟得不到解决，康托尔承受着巨大的精神压

    力，最终精神失常，死在了哈勒大学的精神病院里。时至今日，第三次数学危机依然没有完美解决。数学家们只是通过人为添加

    一些限制条件以回避悖论的出现。

    无论如何，康托尔作为最伟大的数学家之一，会永远被人类

    铭记。

    1.4 3.1415926…

    ——圆周率的计算

    圆周率π是一个十分重要的数，也是一个很神奇的数。从古

    希腊时代开始，由于科学研究和工程技术的需要，圆周率的计算

    就一直没有停止过。直到今天，圆周率依然是检验计算机计算能

    力的方法之一。日本某个无聊的出版社居然出了一本一百万位的

    圆周率的书《円周率1000000桁表》，全书只有一个数字：π。

    一、阿基米德：π≈3.14

    公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得在著作《几何原

    本》里将几何的基础简化成几条公理。其中一条公理是：过一点

    以某个长度为半径可以作一个圆。根据相似形可知：任何一个圆

    的周长与直径的比都是一个常数，这个常数被称为“圆周率π”。

    如果使用一根软绳测量圆的周长，再除以圆的直径，只能得

    到圆周率大约等于3的结果，更加精确的结果只能依赖计算。

    第一个把π计算到3.14的人是古希腊的阿基米德。

    我们都知道阿基米德的名言：给我一个支点，我可以撬起地

    球。阿基米德是第一个发现杠杆原理和浮力定律的人，是一位物

    理学家。但是同时，他也是一位数学家。公元前212年，罗马士

    兵进攻叙拉古国，城破之后，阿基米德被罗马士兵杀死。传说他

    临死时被罗马士兵逼到一个海滩，还在海滩上画圆，并且对士兵

    说：“你先不要杀我，我不能给后世留下一个不完善的几何问

    题。”

    阿基米德计算圆周率的方法是双侧逼近：使用圆的内接正多

    边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长。正多边形的边数越

    多，多边形周长就越接近圆的边长。

    阿基米德最终计算到正96边形，并得出π≈3.14的结果。阿基

    米德死后，古希腊遭到罗马士兵的摧残，叙拉古国灭亡，古希腊

    文明衰落，西方圆周率的计算从此沉寂了一千多年。

    二、刘徽和祖冲之：π≈3.1415926

    阿基米德死后五百年，中国处于魏晋时期，著名数学家刘徽

    将圆周率推演到小数点的后四位。他在著作《九章算术注》中详

    细阐述了自己的计算方法。

    刘徽的算法与阿基米德基本相同，但是刘徽提出了正N 边形

    边长L N

    与正2N 边形边长L 2N

    的递推公式，并且计算到了圆的内接

    正3072边形，得到π的值大约是3.1416。

    又过了两百年，中国数学家祖冲之横空出世。

    祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位，指

    出：3.1415926<π<3.1415927，这个结果直到一千多年后才被西

    方超越。

    但遗憾的是，“缀术”的计算方法已经失传。华罗庚等科学家

    认为，祖冲之的方法仍然是割圆法。但是如果要得到这个精度，需要分割到24576边形，从正六边形出发，还需要迭代刘徽的公

    式12次。而且在每次迭代的过程中，必须保证足够多的有效数

    字，否则就会影响到最后的结果。祖冲之通过什么神奇的方法保

    证了计算的准确性，至今仍是一个谜。

    看到这里，也许有的同学已经跃跃欲试了，我们能不能仿照

    阿基米德和刘徽的方法自己计算一下圆周率呢？

    三、割圆法到底是什么？

    其实这个问题也没那么难，我们不妨也来简单推导一下：

    首先作一个半径为1的圆。

    设圆的内接正N 边形的边长为L N

    ，如图中AB 所示。

    将正N 边形变为正2N 边形，边长L 2N

    ，如图中BD 所示。

    在三角形BCD 中列勾股定理：

    其中AB ＝L N

    ，OD ＝1，而OC 又可以在三角形OCB 中利用

    勾股定理计算：

    根据以上计算可以得到递推式：

    当N ＝6时，圆的内接正六边形边长刚好与圆的半径相等，L 6

    ＝1，用这个正多边形近似圆的周长，可以得到圆周率

    当N ＝12时，根据递推，得到 ，用这个正

    多边形近似圆的周长，可以得到

    按照这个方法一直计算下去，就可以得到更加精确的结果

    了。当然，时至今日，人们已经发明出各种各样计算π的方法。

    比如，欧拉就提出过使用级数方法计算π的值：

    这种方法要比使用割圆法快得多，也方便得多。

    话说，你能背下来多少位的π呢？我能背下来小数点后22

    位，这是因为小时候看过的一个故事：

    有位教书先生，整日里不务正业，就喜欢到山上找庙里的和

    尚喝酒。他每次临行前留给学生的作业都一样：背诵圆周率。开

    始的时候，每个学生都苦不堪言。后来，有一位聪明的学生灵机

    一动，想出妙法，把圆周率的内容与眼前的情景联系起来，编了

    一段顺口溜：

    山巅一寺一壶酒(3.14159)，尔乐苦煞吾(26535)，把酒

    吃(897)，酒杀尔(932)，杀不死(384)，乐尔乐(626)。

    1.5 比萨饼中的数学

    ——微积分的基本思想

    小学的时候我们就学过圆的面积公式S ＝πr

    2 ，其中S 是圆的

    面积，π是圆周率，r 是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得

    到的吗？

    一、圆的面积公式

    首先，我们画一个圆，这个圆的半径为r ，周长为C 。我们

    知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此C ＝2πr ，这个

    公式就是圆周率π的定义，是不需要推导的。

    然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分

    割成了很多小块。

    我们把这些扇形比萨饼一正一反地拼在一起，这样就形成了

    一个接近于长方形的图形。

    可以想象，如果圆分割得越细，拼好的图形就越接近长方

    形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形

    了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆

    的面积，只需求出这个长方形的面积就可以了。

    显然，这个长方形的宽就是圆的半径r ，而长方形的长是圆

    周长的一半 ，根据长方形的面积公式“长方形面积＝长×

    宽”，我们得到圆的面积公式：S ＝r ×πr ＝πr 2其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无

    限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基

    本思想。

    二、牛顿与莱布尼茨之争

    大家知道微积分是谁发明的吗？

    从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理

    问题了。比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆的相关问题时都

    用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直

    到十七世纪，由于物理学中求解运动——天文、航海等问题越来

    越多，对微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学

    家、物理学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼茨分别发明了微

    积分。

    1665年，牛顿从剑桥大学毕业，当时他22岁。他本来应该留

    校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。于是牛顿只好回

    到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明

    了流数法，发现了色散，并提出了万有引力定律。

    牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时

    并没有把它看得太重要，只是把它作为一种很小的数学工具，是

    自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于

    众。

    10年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了

    短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明的第一人，连

    续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的

    流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间

    通信的事只字未提。

    牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇

    家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原

    理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇

    相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。我们今

    天谈到的微积分公式，还被称为“牛顿-莱布尼茨公式”。

    他们在自己的著作中删除对手的名字，而后人却总是把他们

    的名字放在一起写。如果他们知道微积分公式现在的名字，又会

    作何感想呢？历史就是这么有趣。

    三、微积分能干啥？

    为了让大家更了解微积分及其应用，我们再来计算一个面

    积：有一块三条边为直线、一条边为曲线的木板，并且有两个直

    角。我们希望求出木板的面积。

    为了求出这个面积，我们首先把木板放在一个坐标系内，底

    边与x 轴重合。左右两个边分别对应着x ＝a 和x ＝b 两个位置，而顶边曲线满足函数f (x )。函数就是一种对应关系：每个x 对

    应的纵坐标高度是f (x )。

    如果我们把这个图形用与y 轴平行的线进行无限分割，那么

    每一个竖条都非常接近于一个长方形。长方形的宽是一小段横坐

    标Δx ，高接近于f (x )，所以一个竖条的面积就是f (x )Δx 。

    现在我们把无限多的小竖条求和，就是板子的面积，写作

    其中a 叫作下限，b 叫作上限，f (x )叫作被积函

    数，这个表达式就是积分，表示f (x )、x ＝a、x ＝b 和x 轴四

    条线围成的图形面积。

    怎么样？虽然微积分的计算比较复杂，但是明白其中的原理

    还是十分简单的，对不对？

    1.6 一笔能写出“田”字吗？

    ——欧拉与哥尼斯堡七桥问题

    只用一笔，既不离开纸面，也不重复，能写出“田”字吗？这

    实际上是十八世纪一个经典的数学问题：哥尼斯堡七桥问题。

    一、哥尼斯堡七桥问题

    在普鲁士的哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)有一个公园，公园里有七座桥，这七座桥将普雷格尔河中的两个岛屿与河岸连

    接起来。

    1736年，当地居民举办了一项有意思的健身活动：一次走过

    七座桥，每座桥只能经过一次，而且起点与终点必须是同一座

    桥。

    有许多人进行了尝试，但是都失败了。

    二、欧拉的“一笔画”

    当时世界上最伟大的数学家欧拉刚好在这里，他敏锐地发现

    这里蕴藏着深刻的数学内涵，并把它称为“一笔画问题”。

    欧拉把七座桥画作七条线段，并把问题转化为是否可以通过

    一笔将这个图形画出来。经过思考，欧拉认为这是不可能的。不

    仅如此，欧拉还得出了哪些图形可以一笔画，哪些不能一笔画的

    条件。

    首先，欧拉把图形中的点分为两种：如果过该点的线段有偶

    数条，就称为“偶点”；如果过该点的线段有奇数条，就称为“奇

    点”。比如下面的图形中，圆圈的点就是偶点，三角形的点就是

    奇点。

    欧拉指出：如果一个图形可以一笔画成，那么它的奇点个数

    一定是0个或者2个。

    如果奇点个数是0个，那么起点和终点是同一个点，从图形

    中任何一点出发都可以一笔画，比如左上图就是这样。

    如果奇点个数是2个，那么只能从一个奇点出发，画到另一

    个奇点，才能将图形画出来，这就是右上图的情况。

    理解这个问题其实并不难，因为：

    如果一个点既不是起点，也不是终点，那么线段经过该点时

    必然会一进一出，线段成对出现，一定是偶点。

    如果一个点既是起点，又是终点，那么该点有一条出发线段

    和一条结束线段，也是偶点。

    如果这个点只是出发点，或者只是结束点，这样才可能是奇

    点。

    所以，如果从一点出发，一笔画回到这个点，图形中就不会

    有奇点；如果从一点出发，一笔画到另一点，图形中就会有两个

    奇点。

    比如，我们来看看“日”是否能一笔画。

    由于日字腰上的两个点有三条线段，因此是奇点，其余点都

    有两条线段，是偶点。因此日字可以一笔画，而且必须从腰上的

    一点出发到另一点结束。按照图中1、2、3、4、5、6、7的顺

    序，就能画出来了。

    我们再来看看哥尼斯堡七桥问题。

    在这个图形中，过A、C 或D 各有3条线段，是奇点；过B 有5

    条线段，也是奇点。图中有4个奇点，因此上图是不能一笔画

    的。

    三、牛人欧拉

    不能一笔画成呢？

    说了这么多，读者是不是可以看看“田”字中有几个奇点？能欧拉向圣彼得堡科学院提交《哥尼斯堡的七座桥》的论文时

    只有29岁，在解答问题的同时，他开创了数学的一个新的分支

    ——图论与几何拓扑。

    欧拉是一个天才，他在数学史上的地位就像牛顿在物理学史

    上的地位一样伟大，我们在研究数学时会经常看到欧拉公式、欧

    拉定理、欧拉函数。他13岁进入大学学习，16岁就获得了硕士学

    位。28岁时，由于生病，欧拉的右眼失明了。晚年时，左眼也失

    明了。但是就在双目失明的情况下，欧拉还凭借心算解决了许多

    数学问题。

    他不光是数学史上里程碑式的人物，同时也是一位物理学

    家，为物理学的发展铺平了数学的道路。他一生中写出了886本

    书籍和论文。圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙了47

    年。

    不要急，后面还会多次提到这位伟大的数学家。

    1.7 1+1

    ——陈景润与哥德巴赫猜想

    总有小朋友问我，科学家为什么要研究1+1＝2这么弱智的

    问题？要讨论什么是“1+1”，要从十八世纪说起。

    一、哥德巴赫和“1+1”

    约数。比如，6是合数，因为它有约数1、2、3、6；8是合数，因

    与之对应的另外一种数是合数：除了1和它本身，还有其他

    和它本身外，这些数都没有其他约数。

    约数。比如，2、3、5、7、11、13、17等都是质数，因为除了1

    什么是质数呢？质数也被称为“素数”，只有1和它本身两个

    和。

    哥德巴赫在研究中发现：很多偶数都可以分解成两个质数的

    世(彼得大帝的孙子)的宫廷教师。

    圣彼得堡担任圣彼得堡帝国科学院教授，1728年开始担任彼得二

    有德国数学家哥德巴赫。哥德巴赫最初是一名中学教师，后来在

    彼得大帝从欧洲引进了一批科学家来建设新的国家，其中就

    得大帝修建了一座新城——圣彼得堡，并全面学习欧洲。

    十八世纪初，也就是中国的清朝时期。俄罗斯伟大的君主彼为它有约数1、2、4、8；9是合数，因为它有约数1、3、9。

    哥德巴赫的猜想就是：任何一个大偶数(x ≥4)都可以被分

    解成两个质数的和。

    比如，4＝2+2，6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7。

    是不是所有偶数都能这样呢？这就构成了一个猜想，并被称

    为“1+1”。

    哥德巴赫无法证明这个猜想，于是写信求助著名数学家欧

    拉。欧拉是堪称“优秀本秀”的科学家，到目前为止，还没有哪位

    数学家的成就能超过欧拉。但欧拉这么厉害的人也无法解答这个

    问题。

    于是这个问题流传下来，并困扰了数学界200多年。二十世

    纪，人们对这个问题展开围攻。

    1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。

    1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。

    1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。

    1937年，意大利的蕾西证明了“5+7”。

    1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。

    1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。

    1956年，中国的王元证明了“3+4”。

    1962年，中国的潘承洞证明了“1+5”。

    1962年，中国的王元证明了“1+4”。

    1965年，苏联的布赫夕太勃证明了“1+3”。

    什么是“1+3”呢？就是说一个大偶数一定可以分解成一个质

    数及不超过三个质数乘积之和的形式，即证明了对于任何一个大

    偶数x ，一定可以分解成x ＝a +b 或x ＝a +bc 或x ＝a +bcd 的

    形式，其中，a、b、c、d 都是质数。

    二、陈景润和“1+2”

    那么我国数学家陈景润又干了些什么呢？

    陈景润是我国著名数学家。他的中学数学老师是国立清华大

    学航空系的主任。他的老师上课时喜欢讲一些科学故事，比如哥

    德巴赫猜想。老师说，数学是科学的王后，而数论是王后的王

    冠，哥德巴赫猜想就是王冠上一颗璀璨的明珠。

    陈景润对这颗明珠非常感兴趣，就一直致力于研究这个问

    题。后来他去了厦门大学读书，毕业后被分配到北京一所中学当

    数学老师。

    陈景润不善于与人交流，讲课讲得很差，跟学生的关系也不

    好，还经常生病，有人说他是高分低能。但是厦门大学校长慧眼

    识珠，认定陈景润是厦大最优秀的毕业生，于是干脆把陈景润调

    回厦大工作。

    陈景润回到厦大后专心研究数学，并把他的研究成果寄给了

    北京的华罗庚。华罗庚当时已是享誉全球的数学家，一眼看中陈

    景润，便把他调到中科院数学所担任研究员。

    陈景润回到北京后，还是不与人交流。而且当时正在“文

    革”期间，学术环境很不好。但是就在这样艰苦的条件下，他却

    用几麻袋的演算纸证明了“1+2”。

    任何一个大偶数都可以分解成一个质数及不超过两个质数的

    乘积之和。即证明了对于一个大偶数x ，可以被分解成x ＝a +b

    或x ＝a +bc ，其中，a、b、c 都是质数。

    从“1+3”到“1+2”，看似是一小步，但实际是一个很大的成

    就，被称为“陈氏定理”，获得了国际公认，也受到了周恩来总理

    和毛主席的肯定。

    遗憾的是，陈景润依然没有证明“1+1”，虽然看起来他距

    离“1+1”只有一步之遥，但直到今天，“1+1”仍然是一个谜。我

    们也正期待着新的科学巨匠的出现。

    所以，“1+1”的含义是一个质数加一个质数，而不是“1+

    1”为什么等于2。

    1.8 最厉害的民科是谁？

    ——费马大定理

    “民科”最初是民间科学爱好者的简称，意思是“爱好科学，但

    是并不在科学体系内工作的人”。这回带大家了解一下被称为“民

    科之王”的法国律师——费马。

    一、费马的一个猜想：费马数

    费马是十七世纪的法国律师，业余时间研读了很多数学著

    作，经常会提出自己的猜想，而且他的思想与眼光一点也不比专

    业数学家差，对解析几何、微积分、数论、物理学都有重大贡

    献，是那个时代法国最伟大的数学家。

    他经常会去图书馆阅读数学书籍，而且会在书的空白处写下

    自己的猜想，由此诞生了许多数学史上困扰人们的难题。有的难

    题困扰了世界几十年，甚至有的困扰了几百年。

    例如，费马曾经提出猜想： 对于所有的正整数n 都得

    到一个质数。

    n ＝0， 是质数。

    n ＝1， 是质数。

    n ＝2， 是质数。

    n ＝3， 是质数。

    n ＝4， 是质数。

    1640年，费马提出这个猜想，使得无数数学家绞尽脑汁思索

    了90多年，直到“优秀本秀”的数学家欧拉出现之后，这个问题才

    得以解决。

    欧拉在1732年出：费马这个猜想是错误的，因为n ＝5，67297＝641×6700417不是一个质数。

    9,715,484,032,130,345,427,524,655,138,867,890,893,197,201,411,522,913,463,688,717,960,921,898,019,494,119,559,150,490,921,095,088,152,386,448,283,120,630,877,367,300,996,091,750,197,750,389,652,106,796,057,638,384,067,568,276,792,218,642,619,756,161,838,094,338,476,170,470,581,645,852,036,305,042,887,575,891,541,065,808,607,552,399,123,930,385,521,914,333,389,668,342,420,684,974,786,564,569,494,856,176,035,326,322,058,077,805,659,331,026,192,708,460,314,150,258,592,864,177,116,725,943,603,718,461,857,357,598,351,152,301,645,904,403,697,613,233,287,231,227,125,684,710,820,209,725,157,101,726,931,323,469,678,542,580,656,697,935,045,997,268,352,998,638,215,525,166,389,437,335,543,602,135,433,229,604,645,318,478,604,952,148,193,555,853,611,059,596,230,657

    45,833,920,513×173,462,447,179,147,555,430,258,970,864,309,778,377,421,844,723,664,084,649,347,019,061,363,579,192,879,108,857,591,038,330,408,837,177,983,810,868,451,546,421,940,712,978,306,134,189,864,280,826,014,542,758,708,589,243,873,685,563,973,118,948,869,399,158,545,506,611,147,420,216,132,557,017,260,564,139,394,366,945,793,220,968,665,108,959,685,485,705,388,072,645,828,554,151,936,401,912,464,931,182,546,092,879,815,733,056,795,573,358,504,982,279,280,090,942,872,567,591,518,912,118,622,751,714,319,229,788,100,979,251,036,035,496,917,279,912,663,527,358,783,236,647,193,154,777,091,427,745,377,038,294,584,918,917,590,325,110,939,381,322,486,044,298,573,971,650,711,059,244,462,177,542,540,706,913,047,034,664,643,603,491,382,491,382,441,723,306,598,834,177

    319,489×974,849×167,988,556,341,760,475,137×3,560,841,906,4

    它等于

    32,317,006,071,311,007,300,714,876,688,669,951,960,444,102,66

    22048 +1＝

    时，这个数是：

    马数，发现从n ＝5开始，直到n ＝11，都不是质数。比如n ＝11

    不过，欧拉证明了n ＝5不是质数之后，人们又计算了几个费

    个约数进行尝试。我们目前的密码学也是基于这一原则。

    到一种方法可以判断一个很大的数是不是质数，只能通过一个一

    间呢？这是因为大数的质因数分解是非常困难的，人们还没有找

    有人会问，再算一个数就可以了，为什么需要花90多年的时

    这个问题困扰了数学界350年，在这350年中，世界上一流的

    ＝3时没有正整数解的情况。

    太小就不写了。150年后，神一般的数学家欧拉也只证明了n 费马管杀不管埋，1637年提出猜想后自称已经证明，但空白

    那么，n ＝3、4、5、…时，有没有正整数解呢？

    解；

    组

    n ＝2，这个方程变为x 2 +y 2 ＝z 2 是勾股数，也是无穷多

    n ＝1，这个方程变为x +y ＝z ，显然有无穷多解；

    整数解。”

    “当整数n >2时，关于x ，y ，z 的方程xn +yn ＝zn 没有正

    马大定理”或“费马最后定理”。

    相比于费马数，费马还有一个更著名的猜想，现在称为“费

    二、费马的另一个猜想：费马大定理

    太大了。

    知道，它还有一个1187位的因子没有被分解。因为费马数实在是

    决。不仅如此，就连n ＝12这个数如何进行质因数分解都还不

    数呢？虽然我们已经有了计算机，但是这个问题到现在还没有解

    于是，人们又猜想，是不是从n ＝5开始，费马数都是合数学家如欧拉、高斯、刘维尔、柯西等人都参与过猜想的证明。

    这个定理一次次被人们宣布证明完毕，又一次次被证明推导过程

    是有问题的。但是在人类向这个猜想发起挑战的过程中，产生了

    许多数学成果，很多数学分支都由此而诞生。

    还有一件有趣的事情。1908年，德国实业家沃尔夫斯凯尔临

    终时设立了沃尔夫斯凯尔奖：凡是能在他死后100年内证明费马

    大定理的人，可以得到10万马克的奖励。他之所以设立这个奖

    项，是因为他年轻时为情所困，有一天决心在午夜自杀。但是晚

    上偶然看到了费马猜想，就饶有兴趣地开始证明，不知不觉天都

    亮了，他发现数学这么有意思，也不想自杀的事了。后来成了企

    业家之后，念念不忘费马的救命之恩，所以就设立了沃尔夫奖。

    1955年，日本数学家谷山丰提出了谷山丰猜想，是一个关于

    椭圆曲线的问题。人们发现这个曲线似乎与费马猜想有着密切的

    联系。最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜

    想，费马猜想由此更名为费马大定理。怀尔斯把证明发表在《数

    学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页，题目为

    《模形椭圆曲线和费马大定理》。1996年，怀尔斯获得沃尔夫

    奖。1998年，怀尔斯获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖。

    费马一生从没接受过专业的数学教育，却成为了十七世纪法

    国最伟大的数学家，不仅如此，他还让后代无数数学家为之痴

    狂。让我们记住这个超级“民科”的名字：费马。

    1.9 怎样传小纸条？

    ——密码学的基本原理

    大家上学的时候是不是都传过小纸条？传小纸条的时候怎么

    才能不被人偷看呢？

    假如有一个人名字叫作小红，她想把一句话“Love”传给小

    绿，但是由于距离远，必须通过一个人小黄。在这个过程中，小

    黄可能会偷看纸条内容。怎么才能防止小黄偷看呢？小红决定对

    信息进行加密。

    一、对称加密

    放学的时候，小红偷偷告诉小绿：“以后我给你写的话，都

    会往后推一个字母，比如L就变成了M，o就变成了p，v就变成了

    w，e就变成了f。你收到纸条之后，把纸条内容减去一个字母，就知道我想说什么了。这样一来，就算小黄偷看了我们纸条上的

    内容，也不知道我们要说什么。”

    以上的过程就是密码学中最基本的加密算法：对称加密。也

    就是说，我们把明文(Love)按照一定的密钥(-1)加密成密文

    (Mpwf)，对方接收后，再利用同样的密钥(-1)进行解密，就

    再次得到明文(Love)。

    但是这种加密方法面临很多的问题。比如，小黄虽然不知道

    密钥是什么，但是他可以一次次地用各种方法尝试密钥。比如，在英文中26个字母出现的频率是不同的。只要截获了大量的密

    文，就可以利用频率法猜出密钥，从而破解密码。

    为此，小红和小绿只好不停地更换密钥，每天晚上放学都要

    商量一下第二天的密钥是什么。但是万一哪天两人放学没有商量

    好，或者商量密钥的时候被小黄偷听到了，那他们的密码就有可

    能被破译。商量密钥的过程就称为“密钥分发”，而密钥分发是对

    称加密算法最大的风险。

    那怎么办呢？

    二、非对称加密

    两人想出了一种新的方法：首先小绿拿着一个没有锁上的空

    盒子，这个盒子只要一扣，就可以锁上。他让小黄把箱子传给小

    红，然后小红把小纸条放进盒子里，把盒子扣上。再通过小黄把

    盒子传给小绿。盒子的钥匙只有小绿有，小绿拿到盒子之后，用

    钥匙打开，就可以拿到小纸条了。

    这种方式就是现代更加保密的加密方式：非对称加密。也就

    是加密过程(锁箱子)方法是公开的，而解密过程使用的密钥

    (钥匙)是不公开的，而且加密过程的密钥(锁)和解密过程的

    密钥(钥匙)并不相同。小黄可以截获箱子，也知道加密方法，但是由于没有钥匙，他无法打开箱子，所以就不知道信息内容是

    什么了。

    有同学可能要问，那么小黄不能通过一次次尝试找出钥匙

    吗？这就取决于这把锁是否足够复杂了。

    通过前面两小节的内容，我们已经知道了大数的质因数分解

    非常困难，在密码学中也利用了这一点设计加密和解密算法。这

    种算法除了穷举，还没有找到更快的计算方式，而穷举所花费的

    时间非常长，从而保证了密码的安全。而且，小绿可以不停地更

    换锁头和钥匙，这个过程无须与小红进行沟通，也就解决了密钥

    分发的问题。

    三、RSA算法

    那么，具体的过程是怎么实现的呢？我们来介绍一种经典的

    加密算法：RSA算法。

    RSA算法是1977年麻省理工学院的三名数学家罗纳德、萨莫

    尔、阿德曼一起提出的，RSA就是他们三个名字的首字母组成

    的。这种加密算法基于欧拉定理等数学工具。具体算法是：

    假如小红要把一个数字m 传输给小绿，那么过程是这样的：

    小绿首先找出两个质数p 和q ，计算它们的乘积n ，并把这个

    乘积传递给小红，在传输过程中，小红可以利用n 对传输的内容

    Love进行加密，并把加密后的结果返回给小绿。小绿拿到密文

    后，需要利用原来的两个质数p 和q 才能够进行解密。在这里n 相

    当于箱子(公钥)，p 和q 相当于钥匙(私钥)。

    在这个过程中，小黄可以截获大数n 和密文，但如果要解

    密，必须使用私钥p 和q ，要知道p 和q ，就必须对n 进行质因数

    分解。

    根据我们之前所说的，大数的质因数分解非常困难，计算一

    个费马数都花了90多年的时间。虽然现在有了计算机，而且计算

    能力飞速提高，但是报道过的曾被破解的RSA算法中n 最大只有

    768位二进制数，而现在所使用的RSA算法大数n 普遍有1024、2048或4096位二进制数，这么大的数字在有限的时间内，计算机

    也无法进行质因数分解，于是就保证了密码的安全性。

    不过，根据科学家的研究，如果量子计算机被发明出来，大

    数的质因数分解时间就会大大缩短，那么传统密码就会面临风

    险。不过大家不用担心，到时候，科学家们会想出更好的方法进

    行加密的。

    1.10 平行线存在吗？

    ——欧式几何与非欧几何

    什么是平行线？许多同学都会说：太简单了，就是两条不相

    交的直线。而且我们在初中就学习过，过直线外一点，只能做一

    条已知直线的平行线。

    其实，这个问题并没有那么简单，人们认清平行线的问题花

    了2000多年。

    一、欧几里得几何

    公元前300年，古希腊数学家欧几里得写了一本著作《几何

    原本》。

    这本书共15卷，研究深入透彻，两千多年以来一直是数学几

    何部分的主要教材，被翻译成多种文字在世界上流传。直到今

    天，数学家们仍然要通过借助这本书中平面几何的点、线、面和

    立体模型来开展数学研究。

    在《几何原本》中，欧几里得提出了五个基本假设，即所

    谓“公设”，公设是不可证明的。

    欧几里得的五个公设是：

    1.任意两点确定一条直线。

    2.任意线段能延长成一条直线。

    3.以一点为圆心、一个线段为半径可以作一个圆。

    4.所有直角都相等。

    5.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

    欧几里得从这五个公设出发，推导出一系列定理。这五个基

    本假设连同推导出的定理，被称为“欧式几何”，也就是我们中学

    时学习的几何。比如一个典型结论就是：三角形的内角和是180

    度。

    二、罗巴切夫斯基几何

    虽然几何研究取得了许多令人满意的成果，但是人们发现：

    第五公设的表述比较复杂。现在我们说的是简化版本，欧几里得

    最初的表述是：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边

    的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

    一些数学家怀疑这并不是公设，而是可以通过前四个公设推

    导出来的定理。于是，在很长一段时间，很多数学家都试图攻克

    这一难题，从前四个公设推导出第五公设，但大多无功而返。

    第一个获得突破的人是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。

    罗巴切夫斯基的父亲也是数学家，曾为了证明第五公设而耗

    于180度，具体的数值与三角形的面积有关：三角形面积越大，的内角和。在罗氏几何中，三角形的内角和不是180度，而是小

    罗氏几何中很多规律与欧式几何不同，比如最典型的三角形

    有多条直线与已知直线平行，创立了自己的几何：罗氏几何。

    这种假设。于是，罗巴切夫斯基将第五公设改为：过直线外一点

    既然第五公设不可证明，是一种假设，那么我们也可以更改

    证明。

    盾。他终于明白：第五公设的确是公设，不可以通过前四个公设

    改后的第五公设推导了平面几何中的所有定理，而且没有发现矛

    按照这个思路，罗巴切夫斯基用欧几里得的前四个公设与修

    藤摸瓜证明第五公设了。

    绎方法推导平面几何定理，一定能找到这个矛盾，然后就可以顺

    设相互矛盾，于是通过前四个公设以及修改后的第五公设通过演

    那么，假如第五公设可以证明，修改后，它必然与前四个公

    线外一点至少有两条直线与已知直线平行”。

    设，而罗巴切夫斯基却反其道而行之，将第五公设修改为“过直

    与前人不同的方法：前人都是研究如何从前四个公设推出第五公

    然而，罗巴切夫斯基并没有听从父亲的建议。他采用了一种

    方法，最后都失败了，我不希望你也陷入这个泥潭。”

    信给他儿子说：“千万不要研究这个问题。我几乎研究了所有的

    尽一生。当他得知自己的儿子也开始研究第五公设的证明时，写内角和越小。如果三角形面积无限大，内角和甚至可以为零。我

    们可以想象在双曲面上画三角形，内角和就小于180度，所以罗

    氏几何也叫作双曲几何。

    1826年，34岁的罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会

    议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文。但是论文一提

    出，就受到传统数学家们的嘲讽，人们对非欧几何的评价是“莫

    名其妙”。后来，罗巴切夫斯基被推选为喀山大学校长，即便如

    此，数学界对他的成就始终没有认可。

    其实，在罗巴切夫斯基提出非欧几何理论时，当时世界上最

    顶尖的数学家、与欧拉齐名的数学之王、德国数学家高斯早就有

    了这种思想的萌芽。但是，高斯由于害怕新几何会激起学术界的

    不满和社会的反对，进而影响他的尊严和荣誉，所以生前一直没

    敢把自己的这一重大发现公之于世。当他看到罗巴切夫斯基的工

    作后，私下里向朋友说罗巴切夫斯基是俄罗斯最优秀的数学家，并决心学习俄语来了解罗巴切夫斯基的著作。但是公开场合却从

    没有对非欧几何进行任何支持。

    罗巴切夫斯基在抑郁中走完了自己的一生。但是历史最终给

    了他公正，他死后人们才认识到非欧几何的巨大意义。1893年，在喀山大学竖立起了世界上第一个为数学家而雕塑的塑像。这位

    数学家就是俄罗斯的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴

    切夫斯基。

    三、黎曼几何

    那么，既然罗巴切夫斯基可以把第五公设中平行线条数改为

    多条，我们也可以改为一条都没有。于是，德国数学家黎曼将第

    五公设修改为：过直线外一点没有任何一条直线与已知直线平

    行，就创立了黎曼几何。

    黎曼几何类似于在椭球上的几何，所以也称为“椭圆几何”。

    在黎曼几何中，直线可以无限延长，但是总长度是有限的，而且不存在平行线的概念。也许有同学会问，地球的两条纬线难

    道不是平行的吗？简单来讲，在球面上，只有大圆(圆心在球心

    的圆)才能称为“直线”，而任意的两个大圆都必然是相交的。

    黎曼几何在爱因斯坦广义相对论中有很大的作用，这是因为

    空间本身并不是平直的，而是弯曲的。传说爱因斯坦在研究广义

    相对论时遇到了很大的数学困难，直到他发现黎曼几何这个有力

    的工具，才顺利地用数学表达了自己的思想。

    数学就是这样，从假设与逻辑出发，演绎出许多结论。数学

    家们在研究数学时也许并不知道在生活中有什么应用，但正是数

    学家开创性的工作，才让其他学科的科学家更加方便地解释这个

    世界。

    1.11 四维空间是什么样的？

    ——欧式高维空间

    我们经常在科幻电影或者科幻小说里听到四维空间，有人

    说，四维空间就是三维空间加上时间轴，这种说法是错误的。三

    维空间加时间轴是在相对论中使用的闵可夫斯基四维时空，而不

    是传统的四维空间。

    上一节我们说到了几何分为欧几里得式几何和非欧几里得几

    何，它们的区别在于第五公设的不同。有时候我们也称欧几里得

    几何空间为平直空间，而非欧几里得空间称为“弯曲空间”。

    我们这一次就来研究一下欧几里得几何中的高维空间是什么

    样子的。三维以下的欧式空间是比较好理解的：零维就是一个

    点、一维就是一条线、二维就是一个平面、三维就是一个立体。

    我们的想象力就到此为止了，因为我们生活的空间就是三维的。

    但是，维度是一个数学概念，数学可以解释宇宙，但是数学

    本身并不需要为宇宙负责，也就是说，数学可以突破宇宙维度的

    限制。我们可以按照前面低维空间的规律向上推演，这样就可以

    得到高维空间的性质了。

    一、高维立方体

    首先，我们会发现：N 维度空间就是过空间中任意一点可以

    作N 条相互垂直的直线的空间。

    比如：零维空间就是一个点，不能作出相互垂直的直线。

    一维空间是一条线，过其中任意一点可以作出一条直线。

    二维空间是一个面，过其中任意一点可以作出两条相互垂直

    的直线。

    三维空间是立体，过空间中任意一点可以作出三条相互垂直

    的直线。

    以此类推，N 维空间就是过空间中任意一点可以作出N 条相

    互垂直的直线的空间。

    以四维空间为例，过其中任意一点可以作出四条相互垂直的

    直线。我们可以想象成两个三维立方体可以在这个空间中进行点

    点连接，造成每过一顶点都有四条直线相互垂直。

    也许有同学说：不对啊!过每个点都有四条线，我看出来

    了，但是这四条线并不是相互垂直的啊!

    这是因为我们生活在三维空间中，没办法画出四维图形，只

    能画出四维图形在三维空间中的投影。这就好像我们在纸上画一

    个立方体，立方体的每条边看起来也不是相互垂直的一样。只不

    过我们生活在三维空间中，我们可以想象出这个立方体，所以在

    脑子中我们认为三条边是垂直的。

    但是，四维空间我们没见过，所以不太好想象四维立方体中

    过一点的四个边是如何相互垂直的。而且，选取的投影面不同，四维立方体在三维空间中的投影图形长得也不一样。比如下面两

    种画法，就是四维立方体在三维空间的不同投影图。

    同理，五维空间就是过其中任意一点可以作出五条相互垂直

    的直线的空间。图形画起来就更复杂啦。

    二、高维空间中的点

    我们如何才能确定空间中的一个点呢？这就需要使用解析几

    何的知识了。解析几何是由法国学者笛卡尔开拓的，是一种利用

    代数方法研究几何问题的数学分支。

    利用解析几何，我们可以在空间中建立一个坐标系，坐标系

    就是由相互垂直的数轴构成的。这样一来，空间中的点都可以用

    一个坐标表示。那么，N 维空间中的坐标点包含有N 个数字。

    比如：

    一维空间坐标系就是一根数轴，每个点的坐标都是一个数

    字；

    二维空间坐标系称为“平面直角坐标系”，是两根相互垂直的

    数轴，每个点的坐标是一对数字(x ，y )，分别称为横坐标和

    纵坐标。

    三维空间坐标系是三条彼此垂直的数轴，空间中每一个点的

    坐标都是三个数字(x ，y ，z )，分别表示该点在三个数轴上对

    应的坐标。

    这样一来，N 维空间中的点就需要一个N 维坐标表示，也就

    是说，需要N 个数字合并在一起，才能表示出空间中的一个点。

    如果是四维空间中的一个点，就需要四个坐标(x ，y ，z ，t )

    才能把它表示出来。

    三、高维空间的距离

    而且，我们还可以定义出“空间距离”这个量。在低维空间

    中，两个点的空间距离就是两点之间一条线段的长度。

    在一维空间中，两点P 1 ，(x 1 )和P 2 (x 2 )之间的距离

    为：

    在二维空间中，两点P 1 (x 1 ，y 1 )和P 2 (x 2 ，y 2 )之间的

    距离可以用勾股定理计算，为：

    在三维空间中，两点M 1 ，(x 1 ，y 1 ，z 1 )和M 2 (x 2 ，y

    ，z 2 )之间的距离也可以通过两次勾股定理得到：

    以此类推，在四维空间中，需要四个变量(x ，y ，z ，t )

    才能表示一个点的坐标。两点(x 1 ，y 1 ，z 1 ，t 1 )(x 2 ，y 2 ，，t 2 )之间的距离计算公式为：

    按照这种方法，我们甚至可以计算N 维空间的两点间距离，这个距离称为“N 维空间的空间间隔”。

    空间间隔s 是个很重要的量，如果坐标系选取不同，每个点

    的坐标就不同，但是空间距离保持不变。比如在平面直角坐标系

    中，我们采用实线坐标系和虚线坐标系，A 和B 两点的坐标都是

    不同的。但是，在这两个参考系下，计算的空间间隔都相等。这

    是因为线段AB 的长度并不随着坐标系的变化而变化。

    四、什么是降维打击

    高维空间和低维空间有什么联系呢？其实，N 维空间沿某维

    度的投影是N -1维空间。投影这个概念如果不好理解，我们可以

    理解为“切一刀”。比如：

    如果我们在直线上切一刀，断面是一个点。

    如果我们在平面上切一刀，断面是一条线。

    如果我们在立方体上切一刀，断面是一个平面。

    同样，我们在四维空间随便切一刀，都会切出三维空间。

    刘慈欣的小说《三体》中谈到了降维打击，大体也是这个意

    思。把我们的三维空间沿着某条棱压缩，就会变为一个平面。就

    好比人家把我们压缩成平面人了，那我们不就死定了。

    除了《三体》，还有许多其他科幻小说也对高维空间有讨

    论，如埃德温·阿伯特在他的书《平面国》中讲述了在一个扁平得

    就像一张纸的二维世界中的故事。在这个正方形的眼中，生活在

    三维世界中的人们拥有近乎神的力量，因为他们能在不打破(二

    维的)保险箱的情况下从其中把东西取出，能看到所有在二维世

    界看来是被挡在墙后面的东西，甚至能站在离二维世界几英寸的

    地方来保持“隐形”。

    总而言之，高维空间与低维空间在数学上都没有什么区别。

    只是，我们使用三维空间就很好地解释了我们生活的世界，所以

    人们才感觉四维和四维以上的空间如此难以理解。我们必须明

    白，数学只是我们理解世界的工具，它本身并不需要为我们理解

    世界而负责。

    1.12 数学家能在赌场中赢钱吗？

    ——概率论

    我们经常听说这样的故事：一个数学家进了赌场，通过自己

    的专业能力赢了一大笔钱，那么现实生活中这样的事情可能吗？

    十七世纪荷兰数学家、物理学家和天文学家惠更斯最早研究

    了赌场中的数学问题。他的著作《论赌博中的计算》使用概率论

    对赌博的结果进行分析，被认为是概率论的开端。

    一、***

    在赌场中，有些赌博游戏有技术含量，但是更多的是全凭概

    率和运气的游戏。比如常见的赌场游戏：***。这是一种发扑

    克牌比较大小的游戏，荷官会将八副牌全都混合在一起，然后给

    庄家和闲家各发2～3张牌。下注后开牌，庄家和闲家各自手中的

    牌的点数相加，尾数更大的赢。

    显然，这个游戏有三种可能：庄大、闲大，以及平局。玩家

    如果下注庄大或下注闲大，获胜之后，都会获得****等额的

    奖金(一赔一)。若下注平，会获得****9倍的奖金(一赔

    九)。那么，哪一种下注方法更容易赚钱呢？

    这个问题比较复杂，我们把它简化为一个更加简单的骰子游

    戏。

    和N 的

    同。其中，事件A 包含M 种可能，那么事件A 的概率就等于M 个过程共有N 种可能的结果，而且每种结果发生的可能性相

    解决这个问题，需要采用古典概型。所谓古典概型，就是一

    二、古典概型

    请问这个规则是否公平？

    胜，一赔五。

    3.打开罐子比较，如果押大小获胜，一赔一，如果押平获

    2.摇晃后玩家下注，押庄大、闲大、平。

    骰子，每个骰子有1～6点。

    1.两个不透明的罐子分别属于庄家和闲家，里面各有一个

    游戏规则如下：比，即：

    比如，一个班级里有50名同学，20名男生，30名女生，如果

    我随机抽取一个人，那么就有50种可能的结果。“抽到男生”这个

    事件包含20种可能的结果，因此抽到男生的概率就是P (男生)

    在这个游戏中，两个骰子都有6种可能的结果，因此两个骰

    子的组合有N ＝36种可能的结果，每种结果出现的概率都是

    136。

    如果两个骰子的点数相同，那么就有1～1、2～2、…、6～6

    共计M ＝6种可能，因此出现平局的概率为：

    也就是说，如果押平，赢的概率是16，输的概率是56。

    假设以1元钱下注，按照赔率，赢了就拿走6元钱，输了就不

    三、数学期望拿钱，平均能获得几元钱呢？

    我们用输赢两种情况下的收益乘以相应的概率再相加，就可

    以计算出一个平均值。这个值在数学上称为“期望”。这里期望的

    意思就是，从统计意义上讲，每一次游戏结束后，平均可以拿回

    来的钱。

    这说明：平均来讲，每局游戏以1元钱下注，平均可以拿走1

    元钱。即如果一直押平，而庄家不出千，那么概率上讲玩家是不

    赔不赚的。

    我们再来看押大小。从刚才的表格中我们可以看出，庄大和

    闲大都包含15种可能，因此按照古典概型，任何一边大的概率都

    是：

    也就是说，押两边任何一边大，赢的概率都是512，输的概

    率是712，还是假设以1元钱下注，那么押两边任何一边大，赢了

    都拿走2元，输了不拿钱，最后获得的数学期望都是：

    我们会发现：押1元钱给任何一边大，统计意义上都会拿回

    56元，也就是说，平均会赔16元，是不合算的。

    四、能利用数学赚钱吗？

    也许有同学据此分析，只要一直押平，就可以不赔钱了。但

    是以上分析完全是建立在赌场不出千，纯凭概率的基础上。如果

    赌场出千，那么无论采取什么策略，玩家都会必输无疑。

    是平局的概率依然是16，而不会减小。

    2次开牌之间并无实质联系，就算连续开了一百次平局，下一局

    情况的可能性大小，一旦开牌，可能性就会变成确定性。而连续

    这种说法是错误的，因为概率的意义是在开牌之前计算各种

    么接下来的5次就一定是闲大了。

    的概率是512，如果连续2次开出平局，又连续开出5次庄大，那

    可以通过观察来提高自己的胜率。例如，平局的概率是16，庄大

    还有的同学会说，既然我知道了各种情况下的概率，那么我简单来说，数学会告诉你钱是怎么输的，但是不能帮助你赢

    钱。在电影《雨人》中，主角的哥哥患有自闭症，但是却具有超

    强的记忆力，靠着记忆力记下八副牌的顺序，赢了一大笔钱。而

    现实生活中是不可能的，因为荷官洗牌时并不会给你时间记牌，而当发牌到少于一定数目时，又会重新开始洗牌。想凭借数学或

    者记忆力在赌场里赚钱，是异想天开的。

    1.13 买彩票能中大奖吗？

    ——排列、组合和概率

    许多人在茶余饭后喜欢买张彩票，2元一注，中了奖当然

    好，中不了哈哈一乐就算了。也有人把买彩票当成了一份事业，花许多时间研究彩票，又花许多钱买彩票。彩票的走势真的有规

    律可循吗？长期买彩票到底是亏是赚？

    这种彩票的基本玩法是：2元一注，从000～999选择一个数

    球。

    我们首先来研究一个简单的彩票玩法：排列三，也叫作3D

    一、排列三(三位)，开奖时开出一个号码(三位)，若下注的三位数和开

    奖的三位数数字和顺序都相同，即可中奖。否则不中奖。例如下

    注时选择052，开奖时第一个球是0，第二个球是5，第三个球是

    2，即可中奖。如果中奖，奖金1040元。

    我们不妨从数学上计算一下中奖概率，再计算一下期望。

    已知，开奖时每个球都有10种可能，三个球开出三个号码，排列起来，一共有1000种可能，也就对应着下注时000～999这

    1000个数字。由于每个球开出的数字都是随机的，每种可能性概

    率都相等，所以这依然是一个古典概型。

    中奖包含多少种可能呢？因为只有一个中奖号码，因此中奖

    只有1种可能。

    这样一来，中奖的概率就是

    中奖得1040元，概率11000；不中奖得0元，概率9991000，所以玩一次返还的彩金期望是：

    也就是说，花2元下注，平均可以拿回1.04元，亏0.96元。

    二、组选六

    排列三还有另一种玩法，称为组选六，意思是说：开奖时的

    三个数字与下注的三个数字相同即可中奖，而不限次序。例如开

    奖是052，下注时选择052、025、520、502、250、205皆可中

    奖。中奖奖金173元。那么这种玩法的返奖期望又是多大呢？

    已知，开奖结果依然是1000种可能，并且每种可能性概率都

    相同，古典概型。

    中奖时，只要三个数字相同，而顺序可以随意调换。这就涉

    及一个概念：排列数。将N 个物体按照一定的顺序进行排列，请

    问共有多少种排列方法呢？

    比如，我们要把篮球、足球、排球放在有顺序的三个盒子

    里。首先研究第一个盒子，可以放任意1个球，所以有三种方

    法。在第一个盒子放好了球之后，第二个盒子就只有2个球可以

    选择，所以有两种方法。前两个盒子放好之后，只剩下一个盒子

    和1个球，因此最后一个盒子只有一种放球的方法。所以3个球放

    进三个盒子的方法数为3×2×1＝6种。我们称3的全排列等于6。

    同样，如果有N 个球，放进有顺序的N 个盒子里，称为“N 的

    全排列”，公式为：

    我们下注一个三位号码之后，可以随意调换顺序，所以需要

    把这三个数字全排列，所以无论这三个数字是什么，都有6种排

    列方法。这样，中奖的可能就从一种变为了6种。

    这样一来，中奖的概率就变成了

    中奖得173元，概率3500；不中奖得0元，概率497500，返奖期望为：

    也就是说，平均下注一次组选六，可以拿回1.038元，相比于

    直选玩法还少了0.002元。

    三、双色球

    相比于排列三，还有一种更让人热血沸腾的彩票玩法：双色

    球。

    双色球有1～33共33个红球，还有1～16共16个蓝球。2元下

    注，在红球中选6个，蓝球中选1个。开奖时开出6个红球和1个蓝

    球，如果开出的红球与下注完全相同(不计顺序)，蓝球也与下

    注相同(不计顺序)，即可中大奖500万!

    情况。按照不计次序的规则，这6种情况应该算作一种。于是，在120种可能中，abc、acb、bca、bac、cab、cba 算作了不同的

    但是，如果选择的数字是a、b、c 三个，按照刚才的算法，所以一共的方法个数是：6×5×4＝120种选择。

    在余下的数字中再选一个，有4种方法。

    在余下的数字中再选一个，有5种方法。

    首先选一个数字，有6种选择方法。

    不计次序。我们可以按照下面的方法：

    比如，我们要从1、2、3、4、5、6六个数字中选三个，但是

    选择呢？

    从N 个不同的数字中选择M 个，不计次序，一共有多少种

    了解一个概念：组合数。

    数学会告诉我们什么呢？为了研究这个问题，我们首先需要我们必须将120除以6，才能得到不计次序的选择方式个数：20

    种。这里除掉的6其实就是3的全排列。

    那么同理，从N 个数字中选择M 个数字，首先从N 开始乘，乘N -1，乘N -2，…，一共乘M 个数字，得到计次序时的结果。

    然后再除以M 的全排列，得到不计次序的结果。公式写作：

    明白了这个算法，我们就可以计算双色球中大奖的概率了。

    首先计算开奖结果一共有多少种可能。从33个红球中选6

    个，可能的结果有：

    从16个蓝色球中选1个，显然有16种可能结果。

    所以，开奖结果一共的可能数为1107568×16＝17721088。

    也就是说，双色球的开奖结果大约有1700万种可能。而且，每一种开奖结果的可能性都是相同的。如果我们花2元钱买一

    注，只能买一种可能，因此中奖的概率为大约1700万分之一。

    我们来计算一下数学期望。中大奖能拿到500万，扣掉20%

    的税，还剩下400万，于是数学期望为：

    也就是说，如果只奔着大奖去，平均买一注彩票，只能拿回

    0.235元。

    当然，双色球还有二三四五六等奖，每一种奖的奖金和对应

    概率都不同，尤其是一等奖和二等奖，采用浮动奖金制度，计算

    起来更加烦琐。根据中国福利彩票发行管理中心公布的中奖规

    则，双色球返奖率大约为50%，也就是说，花2元钱下注，大奖

    小奖全算上，统计上讲，平均可以拿回1元钱，而另1元钱就是给

    福利事业做贡献了。

    1.14 天气预报为啥总不准？

    ——条件概率

    许多人说，现在科学这么发达，为什么天气预报总不准呢？

    这里涉及一个数学问题，称为“条件概率”。

    什么是条件概率呢？比如我们要确定6月15日是不是下雨，根据往年数据，下雨的概率有40%，不下雨的概率为60%，这就

    称为“概率”。如果在前一天，天气预报说6月15日下雨，这就称

    为“条件”，在这种条件下，6月15日真正下雨的概率就称为“条件

    概率”。

    一、下雨和不下雨

    天气预报根据一定的气象参数推测是否会下雨，由于天气捉

    摸不定，即便预报下雨，也有可能是晴天。假设天气预报的准确

    率为90%，即在预报下雨的情况下，有90%的概率下雨，有10%

    的概率不下雨；同样，在预报不下雨的情况下，有10%的概率下

    雨，有90%的概率不下雨。

    这样一来，6月15日的预报和天气就有四种可能：预报下雨

    且真的下雨，预报不下雨但是下雨，预报下雨但是不下雨，预报

    不下雨且真的不下雨。我们把四种情况列在下面的表格中，并计

    算相应的概率。

    下雨 不下雨

    预报下雨 40%×90%＝36% 60%×10%＝6%

    预报不下雨 40%×10%＝4% 60%×90%＝54%

    计算方法就是两个概率的乘积。例如下雨概率为40%，下雨

    时预报下雨的概率为90%，因此预报下雨且下雨这种情况出现的

    概率为36%。同样，我们可以计算出天气预报下雨但是不下雨的

    概率为6%，二者之和为42%，这就是天气预报下雨的概率。

    在这42%的可能性中，真正下雨占36%的可能，比例为

    ，而不下雨的概率为6%，占 。也就是

    说，假设天气预报的准确率为90%，预报下雨的条件下，真正下

    雨的概率只有85.7%。

    我们会发现：预报下雨时是否真的下雨，不光与预报的准确

    度有关，同时也与这个地区平时下雨的概率有关。

    二、生病和没生病

    与这个问题类似的是在医院进行重大疾病检查时，如果医生

    发现异常，一般不会直接断定生病了，而是建议他去大医院再检

    查一次，虽然这两次检查可能完全是一样的。为什么会这样呢？

    我们假设有一种重大疾病，患病人群占总人群的比例为

    17000。也就是说，随机选取一个人，有17000的概率患有这种

    疾病，有69997000的概率没有患这种疾病。

    有一种先进的检测方法，误诊率只有万分之一，也就是说，患病的人有110000的可能性被误诊为健康人，健康人也有

    110000的可能性被误诊为患病。

    我们要问：在一次检查得到患病结果的前提下，这个人真正

    患病的概率有多大？

    我们仿照刚才的计算方法，检测出患病的总概率为：

    而患病且检测出患病的概率为

    所以在检测患病的条件下，真正患病的概率为

    显而易见，即便是万分之一误诊的情况，一次检测也不能完

    全确定这个人是否患病。

    那么，两次检测都是患病的情况又如何呢？

    大家要注意，在第一次检测结果为患病的前提下，此人患病

    的概率已经不再是所有人群的17000，而变为了自己的58.8%，健康的概率只有41.2%，此处的概率就是条件概率。所以第二次

    检测的表格变为：

    在两次检测都是患病的条件下，此人真正患病的概率为：

    基本确诊了。

    三、贝叶斯公式

    对这个问题进行详细讨论的人是英国数学家贝叶斯。

    贝叶斯指出：如果A 和B 是两个相关的事件。A 有发生和不

    发生两种可能，B 有B 1 、B 2 、…、Bn 共n 种可能。那么在A 发生

    的前提下，Bi

    发生的概率称为条件概率P (Bi

    ｜A )。

    要计算这个概率，首先要计算在Bi

    发生的条件下A 发生的概

    率，公式为P (Bi)P (A ｜Bi)。

    然后，需要计算事件A 发生的总概率，方法是用每种Bi

    情况

    发生的概率与相应情况下A 发生的概率相乘，再将乘积相加。

    P (B 1 )P (A ｜B 1 )+P (B 2 )P (A ｜B 2 )+…+P (Bn)P (A ｜Bn )

    最后，用上述两个概率相除。完整的贝叶斯公式就是：

    贝叶斯公式在社会学、统计学、医学等领域，都发挥着巨大

    的作用。

    下次遇到天气误报、医院误诊，不要完全怪气象台和医院

    啦，有时候，这是个数学问题。

    1.15 散户炒股为啥总赔钱？

    ——博弈论基础

    不知道各位同学中有没有炒股的，虽然股市不停地在牛熊市

    之间转换，但是散户大多数都是赔钱的。关于炒股赔钱这件事，有人认为是自己智商不够，有人认为是自己运气不好。那么，在

    股市里有没有什么更深刻的数学内涵呢？

    股市类似于一种零和游戏，每个人都希望别人赔钱，而自己

    赚钱。这就涉及一个数学过程：博弈。博弈的本意是下棋，现在

    引申为通过一定的策略，使自己的利益最大化。

    博弈论最早是由计算机之父冯·诺依曼提出的，后来经过约翰

    ·纳什等人发扬光大。博弈论不同于概率论，博弈论是指参与者可

    以主动调整自己的策略，从而获得最大收益，它是现代数学的一

    个分支，在金融、政治、计算机等领域都有广泛应用。

    一、美女与男人的硬币游戏

    为了理解博弈论，我们来举一个经典的例子，称为美女与男

    人的游戏。

    有一个男人在酒吧里喝酒，一位美女走过来，对他说：我们

    玩个游戏吧。规则如下：

    1.每个人手里各拿一个硬币，扣在桌子上(不让对方看

    到)。

    2.两人同时把手拿开，看硬币的正反面。

    3.如果硬币都是正面，那么美女给男人3块钱。如果都是反

    面，那么美女给男人1块钱。如果硬币是一正一反，男人给美女2

    块钱。

    如果从概率论的角度来考虑，很容易感觉这是一个公平的游

    戏。因为如果两个人都是随机扣下硬币，那么两个都正面的概率

    为14，两个都反面的概率为14，一正一反的概率为12，那么男

    人收益的情况如下：

    按照概率来计算，一次游戏中，男人收益的数学期望就是：

    也就是说，经过一次游戏，男人的平均回报为0，既不赚

    钱，也不亏钱。

    事实真的如此吗？

    二、美女会采用什么策略？

    在这个游戏中，男人和女人并不是抛硬币，而是自己选择出

    硬币正面还是反面。显然，男人和女人都不可能一直出正面或者

    一直出反面，因为这样会被对手摸出规律。但是他们依然可以在

    多次游戏中将自己出正面的频率设定在某个值附近，从而获得统

    计意义上的收益，这就使得游戏从一个概率问题，变成了一个博

    弈问题。

    为了解决这个问题，我们假设男人出正面的频率为x ，则男

    人出反面的频率为1-x ；设女人出正面的频率为y ，则女人出反面

    的频率为1-y 。各种情况出现的频率如表格所示。

    结合男人的收益表格和频率表格，男人的收益期望等于各种

    情况出现的概率与收益的乘积之和。

    所以，男人在一次游戏后的数学期望是：

    E ＝3xy -2(1-x )y -2x (1-y )+(1-x )(1-y )＝8xy -3x -3y +

    1

    博弈双方对这个结果是有不同预期的。女人希望男人一直赔

    钱，所以希望男人的收益期望是负的。而男人希望自己一直赢

    钱，所以希望自己的收益期望是正的。两人可以采用的策略就是

    调整自己出正面的频率x ，y ，这两个频率都在0和1之间。

    因为游戏是女人设计的，所以我们不妨从女人的角度考虑。

    女人希望调整自己的正面频率y ，使得无论男人的正面频率x 为

    多大，不等式8xy -3x -3y +1<0总是成立的。那么她能达到目的

    吗？

    我们做一个移项，得到(8x -3)y <3x -1，这个不等式要分

    为三种情况：

    1.若8x -3＝0，即 ，则不等式变为 ，显然，这是永

    远成立的。

    2.若8x -3>0，即 ，则不等式变形为 。要保证

    这个不等式一直成立，就需要y 小于 的最小值。

    画出 的图像，我们会发现：在 和 两个范围

    内，函数都是单调递减的。

    当 时，函数单调递减，所以x ＝1时， 取得最小

    值，最小值为 。所以在 时，使不等式一直成立的解

    为

    3.若8x -3<0，则由于变号原因，不等式变形为 。

    要保证这个不等式一直成立，就需要y 大于 的最大值。根据

    图像，在 时，x 越小，函数值越大，x ＝0时，函数取得最大

    值，即 。也就是说，当 时， 才能保证不等号

    永远成立。

    综上所述，当y 的取值在 之间时，无论x 是多大，不等

    式都是成立的。也就是说，如果女人的硬币出正面的频率在

    之间，那么无论男人采取什么策略，他的收益期望都是负

    的，统计意义上一定会赔钱。

    三、庄家是如何收割散户的？

    这是不是很像股市？在股市中，庄家可以操纵股价上下翻

    飞，让你的心痒痒的，就好像美女一般。在庄家拉升股价时，我

    们做多，就可以盈利。庄家打压股价时，我们做空，也可以盈

    利。但是如果庄家做多，我们做空，或者相反，就会亏损。在这

    样的规则下，每个人都觉得自己可能是个幸运儿，可以通过自己

    的运气或者策略获得正的收益。

    但是事实上，庄家有比散户更强的控盘能力和模型计算能

    力，他们会采用一种更好的策略，使得散户无论采取什么方式炒

    股，统计意义上都会赔钱。当然，不排除有些散户的运气特别

    好，在一段时间内大赚了一笔。但即便如此，我们依然要说，在

    这样的规则下，长期炒股的散户，才会多数都赔钱。

    1.16 老板为啥对底层员工特别好？

    ——再谈博弈论

    不知道大家发现没有，公司老板总是对底层员工态度特别

    好，就算员工犯了错，老板也是和风细雨。但是老板对自己的副

    手以及中层领导就没那么客气了，有时候还会随时提防着。这是

    为什么呢？

    一、三姬分金

    为了能够通俗地理解这个问题，我们不妨从一部动画片《天

    行九歌》中的桥段《三姬分金》说起。

    在这个桥段中，韩非子去找大将军姬无夜筹措军饷。

    发现大帐之中除了将军外，还有三名美女在玩抢金币的游

    戏。韩非子对三位美女说，咱们不妨玩得更有趣一些。新的游戏

    规则是：

    1.抽签决定三个人的顺序A、B、C，按照顺序进行分金币

    的提议；

    2.如果提议未能获得全体人员半数以上(不包括半数)通

    过，提议人被处死，由下一个人提议；

    3.如果提议获得全体人员半数以上通过，按该提议分金

    币，游戏结束。

    在这个游戏规则下，抽到第一名提议的美女非常恐慌，因为

    0。此

    以A 的任何提议都会被通过，因此A 的提议是A 100，B 0，C 3.A 知道以上结果，有B 的支持，A 自己也支持自己，所

    转而支持A 的一切提议；

    2.B 知道以上结果，所以B 的策略是绝对不能让A 死掉，了两个人，C 获得利益最大；

    数以上支持，B 被杀死。C 不光可以拿到全部金币，还杀掉

    时无论B 提出什么建议，C 都可以反对，这样提议没有获得半

    1.首先假设A 已经被杀了，那么只剩下B 和C 两个人，此

    在这样的假设下，我们开始讨论这个问题。

    人。

    3.美女都是邪恶的，在利益最大化的前提下，尽量多杀

    2.美女都是理性的，以自己的利益最大化为目标；

    1.美女都是聪明的，知道自己的决策会导致什么结果；

    设：

    为了使用博弈论分析这个问题，首先我们必须做出几点假

    二、博弈策略

    然后杀死自己。但是情况真的是这样吗？

    她觉得后面两个人为了拿更多的金币，必然会否定自己的提议，时C 反对已经没有任何意义了。

    最终A 拿到了全部的金币，B 和C 什么都拿不到。

    我们可以使用框图来表示这个过程。

    和C 就一定支持自己，此时A 反对已经没有任何意义了。

    都拿不到，于是只要M 给B 和C 每人一个金币，自己拿98个，B 显然，拉拢B 和C 更好。因为如果自己死掉，B 和C 什么

    人。

    两个

    同意自己，至少需要三个人支持，除了自己之外，他还需要拉拢

    的金币，而B 和C 什么都拿不到。而且，四个人要有超过半数

    会知道以上结果。他知道如果自己死掉，那么A 会分走全部

    如果大将军姬无夜M 也要玩这个游戏，并且M 第一个提议，他

    我们不妨设想，如果四个人玩这个游戏，结果又是如何呢？

    三、四个人玩，结果如何？所以M 的提议会是M 98，A 0，B 1，C 1。用框图表示如下：

    有人可能会想，A ，B ，C 为什么不联合起来把M 干掉，约

    定干掉之后，她们每人拿33个金币？的确，她们可以这样做，但

    是当M 被干掉之后，就面临一个问题：A 会不会反悔呢？假如M

    死了，A 反悔了，提议自己拿100个，B 和C 还是什么也拿不到。

    当然，B 和C 此时也可以联合起来把反悔的A 干掉，然后约

    定每人拿50个金币。但是如果A 死了，C 又会不会反悔呢？如果

    C 反悔了，B 一定会死。

    因为每个人都是理性的，又是邪恶的，他们不会相信其他人

    的承诺，不敢冒这个风险，所以M 的分配关系还是会通过。

    四、现实生活中的博弈问题

    在现实生活中，这样的例子比比皆是。M 就像是一个大公司

    的老板，他具有先手优势，因此可以为自己谋取最大的利益。B

    和C 属于底层员工，他们比较安全，但是收益很少。不过，M 特

    别喜欢拉拢B 和C ，就好像很多公司老板都对底层员工特别照

    顾，总是施以小恩小惠一样，因为他们是最好拉拢的。

    但是A 的位置很尴尬，他既没有先手优势，也不属于大老板

    拉拢的对象。他要获得最大利益，就必须干掉M ，自己成为先

    手。所以历史上臣弑君、君杀臣的现象屡见不鲜。

    国家之间的关系也是一样。例如美国作为世界老大，总是联

    合一些三四流国家整老二。当年的苏联是老二，美国通过意识形

    态把苏联搞散了；后来日本是老二，广场协定把日本搞残了；再

    后来俄罗斯越来越厉害，通过石油，把俄罗斯搞废了；现在中国

    是老二，美国又通过贸易战开始搞中国。因为他担心老二总想取

    代自己的位置。

    博弈论是一种数学结论，在一定的假设条件下成立。现实生

    活远远比模型要复杂，所以，请不要把数学结论死套在生活中，也不要用生活中的个别案例来否定数学。

    1.17 为啥总有人开车加塞？

    ——纳什均衡

    北京的道路情况非常糟糕，下点小雨或者有个事故，就会堵

    成一锅粥。主要原因是车太多，但是也有一部分原因是有些司机

    喜欢加塞。本来可以走的路，就都堵死了。

    为什么许多人喜欢开车加塞呢？这其实也是一个数学问题：

    纳什均衡。

    纳什均衡是博弈论中的一种情况，指的是在一个博弈过程

    中，博弈双方都没有改变自己策略的动力，因为单方面改变自己

    的策略都会造成自己收益减少。纳什均衡点可以理解为个体最优

    解，但并不一定是集体最优解。

    为了解释这个问题，我们举两个最典型的例子：囚徒困境和

    智猪博弈。

    一、囚徒困境

    囚徒困境是说：有两个小偷集体作案，然后被警察捉住。

    警察对两个人分别审讯，并且告诉他们政策：

    如果两个人都坦白交代作案过程和赃物去向，就可以定罪，两个人各判8年。

    如果一个人交代，另一个不交代，那么一样可以定罪。但是

    交代的人从宽处罚，批评教育就释放。不交代的人从严处罚，判

    10年。

    如果两个人都不交代，没法定罪，每个人判1年意思一下。

    我们把两个人的收益情况写在表格里。由于判刑是一种惩

    罚，所以收益写作负的。

    首先我们考虑A 的决策。A 会想，我如何才能获得更大收益

    呢？如果B 坦白了，那么我坦白就会判8年，抗拒就会判10年，为

    了让自己的收益更大，我应该坦白；如果B 抗拒了，我坦白会判0

    年，我抗拒会判1年，我还是应该坦白。所以最终A 会选择坦白。

    同样，B 也会这样想，因此最终两个人都会坦白，每个人都

    判8年。

    而且在两人都坦白的情况下，没有任何一方愿意单方面改变

    决策，因为一旦单方面改变决策，就会造成自己的收益下降。这

    个都坦白的点就称为“纳什均衡点”。

    显然，集体最优解是两个人都抗拒，这样一来，每个人都判

    1年就出来了。但是，纳什均衡点却不在这里。这就说明个人理

    性的结果未必是集体最优解。

    这与我国开车加塞的例子很像。如果大家都不加塞，是整体

    的最优解，但是按照纳什均衡理论，任何一个司机都会考虑：无

    论别人是否加塞，我加塞都可以使自己的收益变大。于是最终大

    家都会加塞，加剧拥堵，反而不如大家都不加塞走得快。

    那么，有没有办法使个人最优变成集体最优呢？方法就是共

    谋。两个小偷在作案之前可以先说好，咱们如果进去了，一定要

    选择抗拒。如果你这一次敢反悔，那么以后道上就再也不会有人

    跟你一起了。也就是说，在多次博弈过程中，共谋是可能的。但

    是如果这个小偷想干完这一票就走，共谋就是不牢靠的。

    在社会领域，共谋是靠法律完成的。大家约定的共谋结论就

    是法律，如果有人不按照约定做，就会受到法律的惩罚。通过这

    种方式保证最终决策从个人最优的纳什均衡点变为集体最优点。

    二、智猪博弈

    智猪博弈是另一个纳什均衡的典型例子：一个食槽中装有10

    份食物，但是控制按钮在另一端，需要到另一端按下按钮，食物

    才能掉下来。大猪和小猪都在食槽一端，它们两个都可以跑到另

    一端按下按钮再回来，二者速度相同，消耗相同的体力，并且一

    只猪跑去按按钮，会造成另一只猪先吃食物。

    我们假设每只猪跑去按按钮都要消耗2份食物的体力，并且

    大猪比小猪吃食物快：

    如果大猪先吃食物，二者吃食物的比例为9∶1；

    如果小猪先吃食物，二者吃食物的比例为6∶4；

    如果二者同时吃食物，吃食物的比例为7∶3。

    两只猪都可以选择去按按钮，也可以选择等待。比如大猪去

    按按钮，小猪等待，那么小猪先吃食物，二者吃的食物比例为

    6∶4。但是大猪消耗2份体力，所以最终大猪收益为4，小猪不消

    耗体力，收益为4。按照这种方法，我们可以写出各种决策时两

    只猪对应的收益：

    我们来考虑均衡点。

    小猪会思考：如果大猪去，我跟着去获得收益1，我等着获

    得收益4，因此我应该等着；如果大猪不去，而我去，我获得收

    益-1，如果我们都等着，我收益为0，因此我还是应该等着，这样

    一来，小猪的决策一定是等待。

    在小猪等待的情况下，如果大猪去按按钮，获得收益4，如

    果大猪不去按按钮，获得收益0，因此大猪会选择去按按钮。这

    个(4，4)的收益就是纳什均衡点。

    这和国家或者公司进行基础研究研发新产品很像。比如一款

    新的芯片研发需要花很多钱，成功后也能获得更大的收益。在这

    样的情况下，小国家小公司是没有动力进行研发的，他们会等待

    大国家大公司研发好了之后，直接利用现成的技术获得收益。

    我们的芯片产业就是这样一个局面，多年以来，我们一直认

    为自己是发展中国家，没有大力推动半导体产业的基础研究，许

    多人秉着“做不如买，买不如租”的观点。现在美国对中国展开贸

    易战，禁止芯片出口，一下子就击中了一处弱点。

    发现“纳什均衡”的约翰纳什是一位传奇人物，他是位数学

    家，却获得了诺贝尔经济学奖。晚年时精神分裂。想了解纳什的

    一生，可以去看看电影《美丽心灵》，这部电影拍得不错。

    第二章 奇妙的物理

    P—H—Y—S—I—C—S

    2.1 能量都是从哪儿来的？

    ——能量的转化与守恒

    我们都知道一个概念：能量。用日光灯需要电能；开汽车需

    要石油的化学能；动物能够活动，因为具有生物能。那么能量到

    底是从哪里来的呢？

    我们不妨从常见的电能来解释一下能量的来源。我们的家用

    电是由发电厂发出来的。发电厂为了发电，必须使发电机转动起

    来。要使发电机转动起来，就必须消耗其他能量。

    一、煤和石油的能量

    我们首先看火力发电。

    火力发电机的基本原理是：燃烧煤粉将水变为高压蒸汽，通

    过高压蒸汽推动汽轮机，汽轮机转动带动发电机转动，这样就可

    以产生电能。在这个过程中，煤的化学能被燃烧消耗，转化为机

    械能，机械能转化为电能。

    煤的化学能是从哪里来的呢？煤和石油是千百年前动植物尸

    体在一定条件下形成的。详细地说，动植物死亡后，尸体沉积在

    地下，如果微生物分解尸体的速度没有沉积速度快，那么动植物

    尸体就会越来越多。在一定条件下，这些尸体中的有机物会发生

    变化，经过相当长的时间变成煤和石油。所以，煤和石油的化学

    能是从遥远古代的生物能转化而来的。

    那么，生物的能量又是从哪儿来的呢？我们知道，食肉动物

    吃食草动物，食草动物吃植物，这就是食物链。食物链上级消耗

    者的生物能(食肉动物)来源于下级能量消耗者(食草动物)和

    生产者(植物)。也就是说，动植物的生物能本质上来源于植

    物。

    那么，植物的能量是从哪儿来的呢？除了蘑菇等依靠腐殖质

    生存的植物之外，大部分植物都有叶绿素。叶绿素可以进行光合

    作用。所谓光合作用，就是通过太阳能，将空气中的二氧化碳和

    吸收的水分转化成有机物，同时释放氧气的过程。在这个过程

    中，植物的生物能变多，看似产生了能量，所以称为生产者。但

    是实际上，植物必须利用太阳能才能完成这个过程。所以依然是

    能量的转化：把太阳能转化为了有机物的能量，或者称为“生物

    能”。

    我们继续想，太阳能又是从哪里来的呢？

    太阳是一个大火球，每时每刻都在释放着巨大的能量。太阳

    之所以能发光发热，是因为太阳内部有大量的氢元素。氢原子是

    自然界最小的原子，原子核中只有一个质子，原子核外有一个电

    子。但是，氢原子核里的中子个数可以不同，据此可以把氢元素

    分为三种同位素，分别是有没有中子的氕、一个中子的氘、两个

    中子的氚。

    在极高的温度下，氘和氚原子核可以发生聚变反应，生成一

    个氦原子核和一个中子，同时释放巨大的能量。于是，这个能量

    就通过辐射的形式散发到宇宙中。

    所以，太阳能来源于太阳内部的核聚变反应——核能。

    核能是从哪里来的？这个问题人类还没有理解。因为在大爆

    炸之初，核能就存在于宇宙之中了。而大爆炸之前的事，科学家

    们还没有任何头绪。

    总结起来，火力发电的能量转化过程是太阳核能通过聚变转

    化为光能，光能通过光合作用转化为植物的生物能，植物的生物

    能通过食物链布满生物圈，生物能通过一定的环境形成煤的化学

    能，化学能通过燃烧加热蒸汽推动发电机，继而发电机就把这种

    能量转化为电能。

    二、风和水的能量

    如果我们用水电站发电，能量又是从哪儿来的呢？

    要利用水能发电，首先要在有山脉的地区建设水坝，让水形

    成落差。然后，水受到重力作用向下运动，可以推动水轮机转

    动，这样发电机就可以工作了。由于水在高处可以向下流动带动

    发电机，于是我们就说高处的水具有能量，这种能量称为“重力

    势能”。水电站是把水的重力势能转化为电能。

    水从高处到达低处之后，重力势能减小，高山上流下来的水

    汇集到一起，最终流到大海中去。那么，高山上的水为什么不会

    流干呢？这又涉及了自然界水的循环。

    由于太阳的照射，海洋水可以蒸发成气体，升到空中。在风

    的带动下，重新来到高山上空形成降雨，这样水就可以从低处跑

    回到高处，重力势能增加。但是在这个过程中，太阳的照射必不

    可少，因为蒸发需要吸热，而这个热量来源就是太阳光。所以，水能也是太阳能转化而来的。

    同样，风力发电是利用了风的能量，而风的能量同样是源于

    太阳能。太阳的能量中，只有22亿分之一到达了地球，可这22亿

    分之一却把地球变成了一个欣欣向荣的世界。

    三、除了太阳还有其他能量来源吗？

    地球上大部分能量都来源于太阳。但是，还有其他两种能量

    来源。

    比如核电站。目前，像太阳那样的核聚变能量，人类只能用

    来制造氢弹，还没有掌握能够控制核聚变反应速度的技术用它来

    发电。但是人们已经掌握了可控核裂变技术。

    核裂变是指重原子核可以裂变成较轻的原子核，同时释放能

    量的过程。比如，铀235就是一种常见的核反应原料。当一个中

    子撞击铀235原子核时，会裂变出氪原子核Kr和钡原子核Ba，同

    时释放出三个中子。三个中子再撞击三个铀235，可以释放出9个

    中子……这个过程称为“链式反应”。链式反应可以释放巨大的能

    量。

    人们建设核反应堆，让链式反应缓慢地进行，放出大量的热

    把水变为高压蒸汽，推动发电机发电，这就是核电。

    相比于火电，核电带来的污染小得多，所以很多国家都在大

    力发展核电。核电的能量来源是地球上储存的铀235，不是太

    阳。此外，还有一种能量不是来源于太阳——地热，地热来源于

    地球内部的岩浆，而岩浆的能量来源是地球内部的核裂变反应。

    能量还有一种来源是月球。由于太阳和月球的引力作用，地

    球上的水会发生涨潮和落潮，而月亮对地球上潮汐的影响更大。

    如果在潮水中安装发电机，潮水就可以推动发电机发电，这

    就是潮汐电站的原理。潮汐能从本质上讲是地球和月球具有的机

    械能转化而来的，这种机械能在地球和月球形成之初就存在了。

    说了这么多，大家是不是已经明白了，能量总是在相互转

    化。而地球上绝大多数的能量来源有三个：太阳、地球和月球。

    其中，太阳能是主要能量来源。宇宙形成之初，就有了核能和机

    械能，这些能量在不停地转化，所以才让这个世界精彩纷呈。

    2.2 光速是如何测量的？

    ——伽利略、罗默、迈克尔孙测光速方法

    大家都知道：光的传播速度非常快，一秒钟就能走30万公

    里，一秒钟就可以绕地球七圈半。这么快的速度，人类是如何测

    量的呢？

    一、伽利略的测量在古希腊时代，对于光速的数量级，人们并不是很清楚。一

    些科学家，比如亚里士多德，甚至认为光速是无限大的。更好玩

    的是，有人认为，光是从眼睛中发射出来的，我们一睁眼就能看

    到遥远的星星，所以光速一定是无限大的。

    文艺复兴之后，近代科学的先驱伽利略做了第一个测量光速

    的实验，当时是1638年。

    伽利略和他的助手站在两个相隔较远的山头上，每个人手里

    拿着一盏灯。伽利略首先遮住灯，助手看到伽利略遮住灯之后，立刻遮住自己的灯。伽利略的设想是测量从遮住灯到看到助手遮

    住灯相差的时间，这段时间内，光刚好在两人之间传播了一个来

    回，这样就可以测出光速了。

    然而，光速如此之快，以至于这个实验根本不可能测出光

    速。如果不计两人的反应时间和遮住灯的时间，光传播这段距离

    的时间只需要几微秒，以当时的条件无法完成测量。伽利略也承

    认，他没有通过这个实验测出光速，也没有判断出光速是有限的

    还是无限的。不过，伽利略说：“即便光速是有限的，也一定快

    到不可思议。”

    二、利用木星测光速

    真正意义上的光速测量是从丹麦天文学家奥勒·罗默开始的。

    1610年，伽利略利用自己改进的望远镜发现了木星的四颗卫

    星，其中，木卫一最靠近木星，每42.5小时绕木星一圈。而且，木卫一的轨道平面非常接近木星绕太阳公转的轨道，所以，有时

    候木卫一会转到木星背面，因为太阳的光无法照射到木卫一，地

    球上的人就看不到这颗卫星了，称为木卫一蚀。

    我们来看一个示意图，地球绕着太阳A 在圆轨道FGLK 上逆

    时针运动，木卫一绕着木星B 也在逆时针运动。木星背后CD 之

    间是木星的阴影区，如果木卫一进入这部分阴影，太阳光照射不

    到它，人们就无法看到它。也就是说，当木卫一到达C 点时就会

    消失，称为“消踪”，如果木卫一从阴影出来，就能够被人们观察

    到，也就是木卫一到达D 点时就会出现，称为“现踪”。

    罗默就是利用这个现象测量光速的。

    首先，我们研究地球靠近木星时发生的消踪和现踪现象。

    当木卫一到达C 点时进入阴影，这个现象的光需要传播一段

    距离才能到达地球。假设光从C 传播到地球时，地球位于F 点，那么人们观察到消踪现象就比木卫一进入阴影时间晚了一些，这

    段时间等于CF 长度与光速之比。

    当木卫一到达D 点时走出阴影，重新反射太阳光。这个现象

    也需要一段时间才能到达地球。由于地球在运动，假设这束光到

    达地球时地球位于G 点，那么，人们观察到现踪现象也比木卫一

    走出阴影时间晚了一些，这段时间等于DG 长度与光速之比。

    但是，由于CF ，比DG 长，所以消踪现象延迟比现踪现象延

    迟多一些，即晚发现消踪，早发现现踪。消踪与现踪的时间间隔

    比木卫一在阴影中的时间要短。我们可以用一个线段图表示这个

    关系。

    同样，我们可以讨论地球选离木星时的消踪和现踪现象。

    如果地球到达L 发现木星消踪，到达K 发现木星现踪，由于

    地球在远离木星，所以LC 的长度小于KD 的长度，早发现消踪，晚发现现踪，人们观察到消踪与现踪的时间间隔就会比木卫一实

    际在木星阴影中的时间要长。

    1671年到1673年，罗默进行了多次观测，并且得出在地球远

    离木星时，消踪、现踪时间差比靠近时长了7分钟，并得出了光

    的速度在108 ms量级的结论。

    牛顿和惠更斯这两位科学巨匠虽然在光到底是粒子还是波的

    问题上争执不休，但是在光速测量上，都支持了罗默的方法。牛

    顿还测量了光从太阳发射到地球需要8分钟的时间，也就是说，我们看到的太阳是8分钟以前的太阳。

    三、迈克尔孙和傅科实验

    200年之后，第一个把光速测量精度大幅提高的人是美国物

    理学家迈克尔孙。

    1877年到1879年，迈克尔孙改进了傅科发明的旋转镜，示意

    图如下：

    和M 3 反射回八面镜，经过镜面3反射后进入观察目镜。只有在如

    2 、M 3 ，让一束光经过八面镜中的镜面1反射后发出，再通过M 2

    M 迈克尔孙在相隔较远的两处分别放置八面镜M 1 和反射装置图所示的位置时，观察目镜处才会有光。如果八面镜转动一点，经过镜面1反射的光就无法照射到M 2 ，观察目镜上就看不到光

    了。

    如果让八面镜旋转起来，并且角速度逐渐增大，会发现某个

    角速度下又可以从观察目镜中看到光了。这是因为镜面1刚好倾

    斜45°角时，光线经过镜面1反射到达M 2 ，再返回八面镜时，八

    面镜刚好转动一格(18周期)，于是镜面2刚好跑到图中镜面3的

    位置，将光线反射进入观察目镜。由于视觉暂留现象，观察目镜

    中就好像一直可以看到光。

    假设左右两套装置相距为L ，当八面镜转动周期为T 时，可

    以从观察镜中看到光。由于L 远远大于其他部分的长度，所以光

    从界面1反射到左侧，再回到八面镜走过的距离近似为：

    S ＝2L

    根据刚才的分析，光来回运动一次，八面镜刚好走过1格，时间为：

    t ＝T 8

    因此光的速度为

    与我们今天测量的更加精确的值非常接近。

    根据这个原理，迈克尔孙测出光的速度为299853士60kms，现在，人们使用更加精确的方法测出光在真空中的速度为

    299792458ms，并且利用光速来定义“米”的概念。1米就等于光在

    真空中传播1299792458秒内传播的距离。如果距离非常大，人们

    就使用光年的概念：1光年等于光在一年时间里走过的距离，大

    约9.5×1015 m。我们之所以能看到几百万光年之外的恒星，那是

    因为那些恒星早在几百万年前就开始发光了，直到今天，它们发

    出的光才到达地球。

    2.3 阿基米德能撬起地球吗？

    ——地球半径和质量的测量

    我们小时候就知道阿基米德的名言：给我一个支点，我可以

    撬起地球。说的是利用一根杠杆可以省力。

    阿基米德真的能够撬起地球吗？要做出判断，首先要知道地

    球的质量，而要测量地球的质量，首先要测出地球的半径。

    一、测出地球半径的人

    人们在很早的时候就知道了地球是球体。最早的学霸毕达哥

    拉斯第一个提出了地球的概念，而亚里士多德总结了证明地球是

    球体的三种方法：

    1.越往北走，北极星越高；越往南走，北极星越低；

    2.远航的船只先露出桅杆顶，慢慢露出船身；

    3.在月食的时候，地球投到月球上的形状为圆形。

    既然地球是球体，那如何测量地球的半径呢？古希腊的埃拉

    托斯特尼第一个测量了地球的半径。

    他的测量方法是这样的：夏至日，太阳光直射北回归线。而

    埃及的城市阿斯旺刚好在北回归线附近，所以夏至日的正午，太

    阳光会垂直于阿斯旺的水平面，射入阿斯旺的一口深井中。

    与此同时，阿斯旺北方的城市亚历山大，太阳光并不直射地

    面。他通过测量此时亚历山大城中一个石塔的高和影子长度的关

    系，得到了此时太阳光与垂直地面方向的夹角，大约为7°。

    大约是地球圆周长的7360。通过测量两座城市之间的距离，就得

    大和阿斯旺与地心连线的夹角就是7°，所以两座城市之间的距离

    达地球时接近于平行光。从上图中的几何关系可以看出：亚历山

    由于太阳到地球的距离远远大于地球的半径，因此太阳光到到了地球的周长和半径。如今我们知道，地球赤道的周长大约

    40000km，而半径大约6400km。

    二、测出地球质量的人

    虽然早在两千多年前，地球半径就被测量出来了，但是测量

    出地球质量却是十八世纪的事了，也就是三百多年前。

    牛顿为了解释苹果为什么能落地，提出了万有引力定律：自

    然界的任意两个物体之间都相互吸引，引力大小与二者质量的乘

    积成正比，与距离的平方成反比。写成公式就是：

    体的质量，r 是二者的距离。

    其中，F 是引力，G 是万有引力常数，m 1 、m 2 分别是两个物如果两个物体的尺寸远远小于它们之间的距离，就可以把物

    体当作点来处理。但是如果物体距离比较近，那么二者的距离究

    竟从什么地方开始计算，就比较复杂了。但是，如果是质量分布

    均匀的球体，二者之间的万有引力还是比较好算的，那就是把它

    们球心的距离代入表达式中的r 即可。

    比如，地球上有一个苹果。苹果相比于地球半径很小，所以

    可以把苹果看作一个点。此时，苹果与地心之间的距离就是地球

    半径R ，设地球质量为M ，苹果质量为m ，二者之间的万有引力

    就是：

    常数，得以计算地球质量，所以人们称卡文迪许为“测出地球质

    以计算地球质量了，大约是6×1024 kg。卡文迪许测量了万有引力

    小的引力，怪不得牛顿没有测出来。通过以上步骤，人们终于可

    两个质量为1kg的球相距1m时，引力只有6.67×10-11 N，这么

    秤实验测量出了G 的数值，G ＝6.67×10-11 Nm2 kg2 。

    个量。直到100多年之后，英国科学家卡文迪许才通过精巧的扭

    了万有引力定律，但是限于实验条件，牛顿自己并没有测量出这

    牛顿在1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中完整地提出

    量出万有引力常数，就可以知道地球的质量了。

    之后，人们又测量出了重力加速度g ＝9.8Nkg，所以，只需要测

    古希腊时代人们就测量出了地球半径R ＝6400千米，牛顿

    公式”。

    这样，我们就可以得到GM ＝gR 2 。这个公式就称为“黄金

    量的比称为“重力加速度”：

    这里，我们姑且认为它就等于物体的重力。人们把重力与物体质

    这个力就是地球对物体的吸引力，它接近于物体的重力，在量的人”。为了纪念卡文迪许，英国剑桥大学物理系实验室被命

    名为“卡文迪许实验室”，这也是目前世界上最顶尖的实验室之

    一。

    三、阿基米德能撬起地球吗？

    现在我们终于可以讨论撬地球的问题了!我们知道，阿基米

    德的时代，人们还没有理解引力的概念。我们姑且认为阿基米德

    是要在地球上撬起一个与地球相同质量的物体，那么他是否能做

    得到呢？

    根据阿基米德发现的杠杆原理：一个杠杆要平衡，两段施加

    的力与力臂的乘积应该相等，即F 1 D 1 ＝F 2 D 2 ，这样一来，如果

    想用小力去撬动大物体，就需要小力的力臂远远大于大物体重力

    的力臂。

    假设阿基米德有100kg，而地球质量为6×1024 kg，如果阿基

    米德要撬动地球，力臂就需要是地球那一段力臂长度的6×1022

    倍。

    如果阿基米德要把地球撬起1cm，那么根据杠杆臂长的比例

    关系，阿基米德一端所需要下降的距离就是6×1020 m，大约相当

    于6万光年。也就是说，阿基米德想凭借自身重力撬起地球的

    话，即使一切实验设备都准备好了，而且他能够以光速运动，他

    也需要6万年的时间才能将地球撬起1cm。显然，这是不可能的。

    阿基米德的豪言壮语点破了杠杆原理，但是却忽视了地球与

    人在质量上的巨大差别。

    2.4 天体之间的距离到底有多远？

    ——视差法、开普勒定律和金星凌日

    我们晚上看天空，会看到美丽的星星。除了太阳系内部的几

    颗行星外，大部分肉眼可见的星星都是其他星系的恒星，这些恒

    星距离我们非常遥远，就算是跑得最快的光到达我们，也需要许

    多许多年的时间。那么，我们如何测量这些星球到地球的距离

    呢？

    一、视差法和秒差距

    测量恒星的距离，最基础的方法是三角视差法。

    我们不妨先从一个简单的例子说起。假如有一棵树非常高，那么我们如何才能测量出这棵树的高度呢？

    首先我们观察树根和树梢，得出两个观察方向，并且测量它

    们的夹角。然后我们再测量出观察点和树之间的水平距离，根据

    三角形的知识，就可以求出树的高度。

    三角视差法基本原理与之类似。由于地球绕着太阳旋转，一

    年中的不同时刻，从地球上观察某个遥远的星球，视线的方向是

    不同的，我们可以在冬天和夏天记录观察星球时的视线方向，并

    且测量两个方向的夹角。

    我们知道，一个圆周角为360°，每度又可以分为60′，每分又

    可以分为60″，于是1″就等于11296000圆周，是一个非常小的角

    度。假如冬天和夏天观察同一颗恒星时，观测方向夹角为2″那么

    恒星与地球的连线和恒星与太阳连线的夹角就约等于1″，此时我

    们就称恒星距离地球为一个秒差距(pc)。

    星，它到地球的距离为1.3pc，大约相当于27万个天文单位，银河

    根据这种方法，人们测量了距离地球最近的恒星——比邻

    206265ua，也就是接近于20万个天文单位。

    1pc＝ 以计算出地球和天体之间的距离SD 为一个秒差距，大约是

    (E )和该天体(D )画成一个三角形，根据三角形的关系可

    球 我们再把日地距离写作一个天文单位ua，把太阳(S )地系中心到地球大约8000秒pc，大约相当于16亿个天文单位。

    二、开普勒三定律

    可是，为了测量出具体的数值，我们还必须测量一个天文单

    位，也就是地球到太阳的平均距离到底是多少。这个距离又是如

    何测量的呢？

    也许有同学说：我们可以发射一束激光到太阳上，等它反射

    回来，再测量时间差。这种方法是不行的，因为日地距离太遥远

    了，我们发射的激光很难到达太阳。就算激光到达了太阳，反射

    光也会淹没在巨大的太阳辐射光中，没法分辨。

    为了了解日地距离的测量方法，我们首先从一个天文学家说

    起。

    开普勒是十七世纪德国的天文学家和数学家。当时普鲁士皇

    帝鲁道夫二世的御用天文学家是从丹麦来的第谷，而开普勒是第

    谷的助手。第谷死后，开普勒致力研究第谷留下的海量天文观测

    数据，写成了巨著《新天文学》。

    在《新天文学》以及相关著作中，开普勒提出了著名的行星

    运动三大定律：

    1.行星绕太阳做椭圆轨道运动，太阳在椭圆的一个焦点

    上；

    2.行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积；

    3.行星轨道半长轴三次方与周期二次方的比值是常数。

    通过开普勒的研究，人类第一次认识到行星运动轨道是椭

    圆，而不是圆，因此行星运动时存在“近日点”和“远日点”。地球

    的近日点是在每年的1月初，远日点是在每年的7月初。不过，地

    球轨道近日点和远日点与太阳的距离相差不大，地球的轨道还是

    接近于圆的。

    开普勒第二定律是说：如果把行星与太阳做连线，并且终过

    一段固定的时间，无论行星在何处，这个连线会扫过相等的面

    积。因此，为了保证面积相等，任何一个星球在近日点处速度都

    快一些，而在远日点处速度都慢一些。

    开普勒第三定律是说：太阳系的行星，轨道半径不同，从小

    到大依次是水星、金星、地球、火星、木星、土星等。它们的周

    期也各不相同，而且轨道半径小的周期也小，轨道半径大的周期

    也大。

    为了简单起见，我们把行星轨道当成圆形来处理。开普勒发

    现：如果行星的轨道半径三次方与周期平方做比，那么太阳系的

    几颗行星的这个比值都是相同的。

    开普勒是从大量的天文数据中通过拟合和猜想得到上述结论

    的，但是他并没有解释这是为什么。随后，科学巨匠牛顿受到开

    普勒三定律的启发，提出了万有引力定律，成功地解释了开普勒

    三定律的物理内涵。通过开普勒三定律，我们就可以测量日地距

    离了。

    三、哈雷和金星凌日

    1678年，年仅22岁的天文学家哈雷提出：可以通过金星凌日

    的办法测量日地距离。这个哈雷就是著名的哈雷彗星的哈雷。

    我们知道，金星轨道比地球轨道小，称为“内地行星”。有时

    候，金星会经过地球和太阳的连线，称为“金星凌日”，此时在地

    球上观察，金星像一个黑点一样扫过太阳。

    由于地球和金星围绕太阳公转的周期T 1 和T 2 可以通过观测

    得到，因此根据开普勒第三定律，地球轨道半径r 1 和金星轨道半

    径r 2 就满足方程：

    而且，金星凌日时，我们还可以通过三角测量法测量地球到

    金星的距离。我们可以把这个原理简化如下：

    在地球上两个地点A 和B 分别观测金星，通过测量金星方向

    与垂直地面方向的夹角α 和β 以及AB 两点对应的地心角γ ，再加

    上人们已经知道的地球半径R ，就可以通过几何方法计算出金星

    到地球的距离d 。而这个距离刚好就是地球轨道半径与金星轨道

    半径之差。

    d ＝r 1 -r 2 (2)

    联系这两个方程(1)和(2)，就可以得到日地距离，也就

    是地球的轨道半径r 1 ，这就是一个天文单位ua。

    遗憾的是，由于金星与地球的轨道并不完全重合，金星凌日

    的周期比较复杂。金星凌日的时间间隔分别是8年、105.5年、8

    年、121.5年，每243年循环一次。也就是说，有的人一生中会遇

    见两次金星凌日，有的人一生中一次都没有。

    哈雷提出这种测量方法后，下一次金星凌日是在83年之后，哈雷知道自己无法亲眼见证这个时刻了，但是人们一直在等待这

    个时刻。

    1761年，人类第一次使用金星凌日测量日地距离，但是很遗

    憾，没有获得很好的数据。经过精心的准备，8年之后的1769

    年，英国的科学家在库克船长的带领下，去太平洋上测量金星凌

    日。当时英法七年战争刚刚结束，英法还处于对峙状态，法国政

    府特地要求海军不能攻击库克船长的船队。

    在当时，航海是一件非常艰苦的事，库克的船在经过了8个

    月的航行之后，终于到达了目的地——塔希提岛。此时已经有5

    名船员病死，还有1名船员受不了压力而跳海自杀。1769年6月3

    日，科学家们终于如愿以偿地观测到了金星凌日。

    1771年，法国天文学家拉朗德(Lalande)根据这次珍贵的观

    测资料，首次算出了地球与太阳间的距离大约为1.5亿公里，并命

    名为一个天文单位ua。人们根据这个数字，推算出了各天体到地

    球的距离。

    在我们教科书上一个简单的数字，都是要经历一代又一代科

    学家数百年的努力才能得到。我们不得不惊叹于科学的伟大和科

    学家们孜孜以求的精神。

    2.5 指南针为啥能指南？

    ——磁场的形成

    指南针是我国的四大发明之一。东汉王充《论衡》中说“司

    南之杓，投之于地，其柢指南”。是早期对司南比较清楚的描

    述。考古学家根据古代文献的描述复原了司南，而这是不是指南

    针的雏形，学术界还有很大的争议。

    但是没有争议的是，在宋元时期，指南针就已经开始应用于

    航海等人类活动中。指南针的基本原理就是一个可以自由旋转的

    小磁针，在地磁场的作用下，小磁针一端指南，一端指北。指南

    的一端就被称为“南极”(S极)，指北的一端就被称为“北极”(N

    极)。一般我们把指北的一端涂成红色，所以也有人把指南针叫

    作指北针。

    一、指南针为什么指南北？

    指南针为什么能指南北呢？这是因为地球具有磁场。

    我们知道，磁铁有两极，N极和S极，而且同名磁极相互排

    斥，异名磁极相互吸引。也就是说，我们用一个磁铁的N极靠近

    另一个磁铁的S极，就会发现二者相互吸引。如果用一个磁铁的N

    极靠近另一个磁铁的N极，就会发现二者相互排斥。

    为了理解磁铁间的这种作用，人们引入了磁场的概念。磁场

    是存在于磁体周围一种看不见摸不着的物质，这种物质的作用是

    对磁铁有力的作用。也就是说，一个磁铁会在周围空间产生磁

    场，而这个磁场就会对另一个磁铁有力的作用。如果在磁铁周围

    放置一堆小磁针，那么小磁针的N极(下图中深色部分)指向就

    会与磁场方向相同。也就是说，在磁体外部，磁场是从磁体的N

    极指向磁体的S极。

    人们根据指南针在地球表面可以指南北的特点，推断出地球

    是具有磁场的，这就被称为“地磁场”。地球的磁场与条形磁铁的

    磁场非常像。根据小磁针N极向北指的特点，人们分析出地磁场

    的的方向是从南向北的，这就得出了地磁场的N极其实在地理南

    极附近，而地磁场的S极在地理北极附近，地磁南北极与地理南

    北极是相反的。

    而且，地磁南北极与地理南北极也并不是完全重合的，而是

    存在着一个夹角，称为“地磁偏角”，中国的科学家沈括在《梦溪

    笔谈》中写道：“方家以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也。”是世界上最早关于磁偏角的记录。现代指南针都通

    过技术手段修正了这个偏角。

    二、奥斯特实验：电流产生磁场

    那么，地球为什么能够产生磁场呢？这个问题更加普遍的问

    法是：磁场到底是怎么产生的？

    最初，人们认为电与磁是完全不相关的现象。但是随着人类

    认识自然越来越深入，逐渐发现了电与磁可能是相关的，最典型

    的就是被闪电劈过的铁矿石可能具有磁性。人们想到，也许电可

    以产生磁。

    丹麦物理学家奥斯特第一个发现了电流与磁场之间的联系。

    1806年，他应聘哥本哈根大学教授，每个月他都会给学生准

    备一节特别的课程，用来介绍科学界的最新成果。在有一次讲课

    时，他发现，当用通电导线靠近指南针时，指南针发生了转动。

    他和他的学生共同见证了这一历史时刻，但是他当时并没有对这

    种现象给出解释。经过几个月的思索，他终于明白了，电流可以

    产生磁场，而磁场可以对小磁针有力的作用。此时，人们才正式

    把电和磁联系在一起。

    为了纪念奥斯特，丹麦政府把哥本哈根市中心的公园命名为

    奥斯特公园，里面竖立着奥斯特的雕塑。美国物理教师协会还特

    别设立了奥斯特奖章，来奖励优秀物理教师。

    人们仔细研究了各种形状的通电导线形成的磁场。比如，通

    电直导线周围的磁场是同心圆环，并且与导线中电流方向符合右

    手螺旋定则。也就是说，右手握住导线，大拇指指向电流方向，四指的绕向就是磁场方向。

    另外还有一种典型情况：通电螺线管。就好像在一根弹簧上

    通电，所产生的磁场与条形磁铁的磁场很类似。判定方法依然是

    右手螺旋定则：右手握住螺线管，四指方向与电流方向相同，则

    大拇指指向螺线管相当于条形磁铁的N极。

    如果这个螺线管只有一圈，就变成了通电圆环，它的磁场也

    类似于条形磁铁，判定方法还是右手螺旋定则。

    法国物理学家安培最早对这个问题形成了清晰的认识，所以

    右手螺旋定则也称为“安培定则”。

    安培详细研究了各种通电导体的磁场，并提出了导线中电流

    与其产生磁场之间的定量关系，即安培定律。后来，安培的著作

    《关于电动力学现象之数学理论的回忆录》出版，电动力学作为

    一个新名词，登上了科学的舞台。

    三、安培分子电流假说：磁体产生磁场

    安培不满足于研究电流的磁场，他进一步思考：既然各种电

    流都产生相应的磁场，那么永磁体，例如磁铁，它的磁场是如何

    产生的呢？

    安培产生了一个大胆的想法：也许磁体内部也有电流，是这

    些电流形成了磁体的磁场。这就是著名的安培分子电流假说。

    安培认为，在磁体内部可能存在着很小的环形电流，称

    为“分子电流”。每个分子电流都有N极和S极。如果这些分子电流

    的取向是杂乱无章的，那么磁场彼此抵消，宏观上就没有磁性。

    但是如果在外界磁场的作用下，分子电流的取向变得大致相同，那么宏观上就表现出磁场，两端形成磁极。

    在安培的时代，人们并不清楚组成物质的原子是什么样的，更不知道原子里面有原子核和电子，所以安培的这种说法只能停

    留在“假说”阶段。现在的科学界认为，电子围绕原子核的运动和

    电子的自旋具有磁场，安培分子电流假说是具有一定正确性的。

    既然磁体的磁场也是由电流产生的，人们总结出一个结论：

    一切磁现象都是由电流产生的，或者叫一切磁现象都有电本质。

    四、地球磁场

    那么，地球的磁场究竟是什么原因产生的呢？对于这个问

    题，科学界还没有统一的认识。有人认为，在地球内部流动的岩

    浆会造成电流，产生地磁场；也有人认为在大气中存在电荷，大

    气运动会造成电流，产生磁场。但无论如何，地球的磁场也一定

    是由电流产生的。

    其实，地球磁场并不是一成不变的，地磁南北两极每时每刻

    都在缓慢移动，而且在历史上，地球磁场的南北极调换过多次，上一次调换是在78万年前。地磁场对生命有重要意义，例如它可

    以防止太阳风中的各种射线直接射向地球表面，从而保护地球上

    的生命。一些生物可能需要磁场进行导航。如果磁场发生巨大变

    化，那么一定会对生物产生巨大的影响，甚至能造成生物的大灭

    绝呢。

    2.6 家用电是怎么产生的？

    ——电磁感应现象

    每天我们都离不开电，我们也知道家用电是从发电厂发出来

    的。但是发电厂是如何发电的呢？是谁第一个发现了这个原理

    呢？要了解这些，我们首先要从一个人物——法拉第——说起。

    一、电磁感应现象

    丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效应之后，英国物理学

    家法拉第就想到：既然电流能够产生磁场，那么反过来，磁场是

    否能够产生电流呢？因为在法拉第的时代，人们用电都是使用

    锌、铜和盐水制作的伏打电池，这种电池制作麻烦、电压小，发

    出的电不适于普通人使用。但是自然界的磁铁资源非常丰富，如

    果使用磁铁发电，那么电就能进入千家万户了。

    法拉第为了这个理想而进行了艰苦的实验，他最初的想法是

    将一块磁铁放在螺线管中，期待着电路中产生电流，但是一直没

    有获得成功。终于，在1831年，法拉第的实验获得了突破，他发

    现：只有在磁铁插入或者拔出螺线管的过程中，电路中才会产生

    电流。

    我们用现代的方法可以把法拉第的实验等效成上面的情况：

    用一个螺线管连接电流表，将一根磁铁插入螺线管的过程中，电

    流表就会产生示数。而且，插入的速度越快，电流表指针的偏转

    就越大。同样，在磁铁拔出螺线管的过程中，电流表指针也会偏

    转，只是方向相反。但是，如果磁铁在螺线管中保持静止不动，电路中就没有电流产生了。

    法拉第终于明白：只有在运动和变化的过程中，磁铁才能够

    产生电流。于是，法拉第将他的发现总结成五种情况，其中，应

    用在现代发电机的情况是：在磁场中切割磁感线的导体可以产生

    电流。

    比如，我们将一根导线与电流表相连，并且使得导线向右运

    动，这样导线就好像刀一样切断了磁感线，电路中就会出现电

    流。而且我们可以使用右手定则判断电流的方向：如果磁感线穿

    过右手的手心，大拇指指向导线运动的方向，那么右手四指的方

    向就是产生的电流方向。

    按照这个原理，法拉第制作了早期的发电机，而英国财政大

    臣对发电机的用途表示怀疑。

    果然，现在电已经成了我们生活中必不可少的一部分，谁家

    用电不交钱呢？

    二、直流电和交流电

    早期的发电机产生的都是直流电。所谓直流电，就是电流方

    向不发生变化的电流。现在，我们的家用电都是交流电，所谓交

    流电，就是方向周期性变化的电流。

    具体来说，两孔插座中有一根线称为“零线”，零线电压与大

    地相同，所以触摸零线不会触电。另一根线称为“火线”，火线电

    压一会儿比大地高，一会儿比大地低。由于电流从高电压流向低

    电压，所以电流有时候从火线流过用电器，再流回零线，有时候

    从零线流过用电器再流回火线，每个周期是150s，称为50Hz的交

    流电。交流电与直流电相比，最大的优点就是改变电压十分方

    便，从而可以进行高压传输以减小损耗。

    那么，这种交流电又是如何产生的呢？

    交流电可以通过一个线圈在磁场中转动产生。比如图中这种情况：在线圈旋转时，右侧导线向上运动，根据右手定则，产生

    的交流电从c 流向d ；左侧导线向下运动，产生的交流电从a 流

    向b ，所以整个电路中的电流流向是c—d—a—b 。在线圈外端通

    过两个电刷与外部电路相连，于是电流就可以通过电刷从上向下

    流过灯泡。

    半个周期之后，线圈旋转半周，ab 与cd 交换位置，电流方

    向就会变为b—a—d—c ，这样一来，电流就会从下向上流过灯

    泡。于是就形成了交流电。如果线圈匀速转动，就形成了正弦交

    流电。

    也就是说，只要能让线圈与磁铁发生相对转动，就可以产生

    电流。在现代发电机中，旋转的其实不是线圈，而是磁铁，称

    为“转子”。而线圈是不动的，称为“定子”。同时，出于工程商的

    需要，发电机线圈有三组，任意两组线圈都夹60度角。

    这样一来，当磁铁在线圈中匀速转动时，三组线圈中分别产

    生三个正弦交流电，而且每一个都比前一个滞后13周期。

    这三个交流电会具有共同的零线(中性线)和不同的火线

    (输出线)。在供电时，如果我们把一根火线和零线接入用电

    你，科学是很辛苦的，而且没有多少回报。”

    戴维看过法拉第的简历之后，对他说：“年轻人，我要告诉

    示了自己愿意为科学献身的想法。

    家戴维的演讲。他还把整理好的演讲记录写信邮寄给戴维，并表

    在书店一位老主顾的帮助下，20岁的法拉第有幸聆听了化学

    学深深地迷住了。

    了大量的图书，接触到了普通人无法接触到的各种文献，他被科

    辍学了，成为了一名订书匠的学徒。不过，这份工作让他接触到

    法拉第生于一个铁匠家庭，由于家庭贫困，他只上了两年小学就

    我们还要再谈谈法拉第——这个将人类带入电气时代的人。

    三、没上过学的科学巨匠

    此进入了电气时代。

    发电机被发明之后，各种用电器如雨后春笋般出现，人类自

    其他形式的能量转化成电能的机器。

    动涡轮机。这个过程需要消耗外界的能量。总之，发电机就是把

    电机是靠扇叶使发电机转动，火力发电机是靠燃烧加热水蒸气推

    电机的种类。水力发电机是靠水的冲击使得涡轮机转动，风力发

    那么，我们如何才能使得线圈或磁铁转动呢？这就取决于发

    成了工业用电380V。

    器，也就是家用电220V，如果我们把两根火线接入用电器，就变法拉第回答道：“我认为科学本身就是一种回报。”

    戴维被感动了，法拉第终于成为了戴维实验室的一名助手，他的科学梦想从戴维实验室开始成为了现实。后来，法拉第在物

    理、化学方面都取得了惊人的成就，成为了那个时代最伟大的科

    学家。

    法拉第还是一个品德高尚的人。由于自己早年的经历，他非

    常重视对青年学者的培养，并且鼓励了一批如麦克斯韦一样的科

    学巨匠。他拒绝了对自己的封爵，还两次拒绝成为皇家科学会会

    长，并表示不愿安葬在西敏寺——牛顿等人的长眠地。于是，人

    们将他安葬在其他墓园，却在西敏寺牛顿的墓碑旁树立了他的纪

    念碑。

    顺便说一下，他的入门恩师戴维也是一位著名的化学家，人

    们认为戴维最大的贡献就是发现了法拉第。

    2.7 特斯拉和爱迪生谁更厉害？

    ——交流电与直流电之争

    最初法拉第发明的发电机是产生直流电的直流发电机，但是

    我们今天很多时候使用的都是交流电。那么交流电与直流电相

    比，有什么优势呢？我们通过讲述历史上一段耐人寻味的“电流

    大战”来了解一下吧。

    一、发明大王爱迪生和他的直流发电机

    在法拉第发现了电磁感应定律——磁场可以产生电流之后，各种用电器就如雨后春笋般出现了，这里面最重要的一项发明就

    是电灯泡。有一个人靠改进电灯泡积累了巨额财富，这就是美国

    发明大王托马斯·爱迪生。

    ＝UI

    发电厂发出来的电功率P 等于电压U 与电流I 的乘积：P 用 等于发电厂发出来的功率P 减去导线上损耗的功率P 损 。

    在用户用电的时候，导线上也会损耗一部分能量。用户的功率P

    当发电厂产生电能之后，电能需要通过导线来传输给用户。

    但是，直流电有一个巨大的缺陷：直流电不能变压。

    并迅速积累了巨额财富。

    直流电力公司，负责向用户提供灯泡等用电设备以及电力供应，从此名扬世界。1882年，爱迪生在纽约金融街旁边创办了自己的

    上，爱迪生展出一台重27吨、可供1200只电灯照明的发电设备，到了可以点亮一千多个小时的灯丝材料。1881年，在巴黎世博会

    1878年到1880年，爱迪生与助手一起研制电灯泡，并最终找，电压越大电流越大，传输的功率越大。导线上损耗的功率等于

    电流平方与电阻R 的乘积PR ＝I

    2 R ，电流越大，导线电阻越大，损耗的功率就越大。用户获得的功率是两者之差P 用 ＝UI -I

    2 R 。

    如何才能降低导线上的功率损耗呢？首先人们想到了减小电

    阻R 。一般而言，铜的电阻较小，所以导线一般使用铜制作，同

    时，减小导线长度、增加导线截面积也可以降低导线电阻。但是

    即便是这样，当用户多、电流大的时候，导线上的损耗依然很

    大。这么大的热功率不仅浪费电能，更重要的是，会使导线变

    热，引起火灾。

    那么，要进一步降低导线上的能量损耗，就需要减小电流I。但是在功率P 一定的情况下，减小电流就必须提高电压U 。比

    如，输电功率同样是100W，如果电压是100V，那么电路中的电

    流就是1A；如果电路中电压是1000V，那么电流就是0.1A。电流

    减小了10倍，那么损耗功率就会变为原来的百分之一。

    不过，发电厂发出的电压也不能特别高，因为这样的话，用

    户一端的灯泡全都会因为承受不了高压而爆掉。

    那怎么办？爱迪生的回答是：“那好吧，我们就每隔1英里建

    一个发电站，这样导线的电阻就小了。”

    显然，这种方式会使得用电的成本大大提高。

    二、变压器和高压输电

    有没有办法在输电的时候使用高压，到达用户阶段，再使用

    低压呢？比如，现代的电网基本原理就是下面这样：

    首先，发电厂发出的电压通过一个升压变压器变为高压，通

    过高压电线输电，到达用户一端时，首先通过降压变压器降压，再输送给用户。

    为了理解这个过程，我们就需要对变压器知识有所了解。

    变压器也是靠电磁感应而工作的。有一个“回”字形的铁心，铁心左端缠绕着一个导线线圈，称为“原线圈”，铁心右端也缠绕

    着一个线圈，称为“副线圈”。当一个变化电流(交流电)通过原

    线圈时，由于原线圈电流发生了变化，造成原线圈的磁场也发生

    变化，这个磁场会通过副线圈，造成副线圈的磁场也发生变化，就好像法拉第实验中的磁铁插入或者拔出线圈一样，副线圈中就

    会产生电流。而且，根据法拉第电磁感应定律，如果原线圈有N 1

    匝，副线圈有N 2 匝，原线圈电压U 1 ，副线圈电压U 2 ，那么两个

    电压之间的关系为：

    U 1 ∶U 2 ＝N 1 ∶N 2

    通过调整两个线圈的匝数关系，就可以实现升压和降压了。

    但是变压器要工作，必须使用交流电。因为恒定电流通过原

    线圈时，由于电流不变，磁场也不变，副线圈中就不会产生电磁

    感应现象。于是，一些科学家就想到：是否应该使用交流电来代

    替直流电。

    三、交流电之父：尼古拉·特斯拉

    说到交流电，就不得不提到尼古拉·特斯拉。

    特斯拉是塞尔维亚的科学家，年轻时就一直思考着交流电和

    交流发电机的构想，但是一直没有实现。他觉得世界上有一个人

    可以帮助他实现梦想，这个人就是爱迪生，于是，他在1884年来

    到纽约，并加入了爱迪生的公司。

    特斯拉向爱迪生阐述了自己的想法，但是并没有获得爱迪生

    的支持，不过爱迪生还是雇佣了特斯拉，并请特斯拉改进自己公

    司的直流发电机。爱迪生许诺：直流发电机改好之后 ......