阎育苏 译 北

    京：科学出版社，1982 年

    1.帮助学生

    第一部分 在教室中

    目的

    教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很

    简单，它需要时间、实践、热忱以及健全合理的原则。

    学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而

    得不

    到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教

    师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰

    使学生有一份合

    理的工作。

    如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使

    他感觉自己是在独立

    工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助

    学生。

    不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应

    当设身处地，应当了

    解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自

    己可能会产生的

    问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。

    2.问题、建议、思维活动在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再

    而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在

    大量的问题中，我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同

    的方式提问同一个

    问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的

    目的是把学生的注

    意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达

    到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同

    样的思维活动。

    从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型

    的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑

    选与安排的问题

    和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分

    熟悉这张表并且

    看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间

    接列举的是对解

    题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其

    发生的可能性大

    小排列的。

    3.普遍性

    表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例

    如：未知数是什么?已

    知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有

    各类问题，我们

    提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题

    目。我们的问题可

    以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题

    或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而

    且有助于我们解

    题。

    事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中

    某些问题与建议，只

    能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后

    者，则必须

    采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。

    4.常识

    我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除

    去其普遍性以外，它

    们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例

    如这条建议：看

    着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题，这条建议不

    管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问

    题并未提出具体

    的劝告。你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到

    食物的一些办法。你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会

    想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题?你若希望找出

    某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类

    似未知数的一些

    办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是

    个好建议，它向

    你提出一个常能成功的程序。

    我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且

    只不

    过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所

    提出的处理办法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。

    然而按正确道路

    行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能

    根本不会这样做；

    我们这张表却尝试去表达这些。

    5.教师与学生，模仿与实践

    当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两

    个目的：第一，帮助

    学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能

    力。

    经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对

    学生有所裨益。此表

    有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所

    以显得很自然，学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们

    对学生的帮助并

    非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做

    的还很多。

    上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的

    问题中获得成功，他

    就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问

    题具有普遍性而且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮

    助，那么他就会注

    意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问

    题。通过反复地

    提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过

    这样一次成功，他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了

    它。

    学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他

    最终能够在恰当的时

    刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活

    动。这样，学生

    就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能

    好的结果，教师

    可以做些什么事呢?

    解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当

    你学习游泳时，你模

    仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实

    地练习游泳)来学

    会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时

    的所作所为，并

    且最后通过实践来学会解题。

    希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴

    趣，然后给他们提供大

    量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应

    于我们表中的问

    题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向

    学生提出这些问

    题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路

    更吸引人一些，并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由

    于这样的指导，学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这

    样做以后，他将

    学到比任何具体数学知识更为重要的东西。

    主要部分，主要问

    题

    6.四个阶段

    在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点，或者改变考虑问

    题的

    途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解

    题时，我们对问题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就

    不同了；而当我

    们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。

    为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶

    段。

    首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么?其次，我们必须

    了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?

    为了得到解题的

    思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我

    们回顾所完成的

    解答，对它进行检查和讨论。

    上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况：一个学生想出了

    一个

    异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出

    了。如此幸运的念

    头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的

    事：即，学生通

    过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的

    情况是：学生并

    没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要

    联系或者尚未作

    出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在

    实行其计划的过

    程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已

    完成的解答，则可能失去某些最好的效果。

    7、弄清问题

    回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲

    的。

    在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求

    防止在他的班级

    里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清

    它，而且还渴望解

    出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过

    错，问题应当精选，所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎

    然，并且有时在叙

    述方式上也应当自然而有趣。

    首先，必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上

    可以检查这一点，他

    可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这

    个问题。学生还

    应当能够指出问题的主要部分，即未知数，已知数据，条件。所以老师提问时，不要错过这样的问题：未知数是什么?已知数据是什么?条件是

    什么?

    学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问

    题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与

    已知数据。如果

    对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他

    就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望

    有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还

    有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢?

    (在本书第二部分中，把“弄清问题”分成两个阶

    段：“熟悉问题”和“深

    人理解问题”)。

    8、例子

    让我们说明上节中的某几点内容。 我们选下列简单问题：已知长

    方体的

    长、宽、高，求其对角线长度。

    为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平

    面几

    何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。

    教师这时可以依

    赖学生对空间关系的朴素知识。

    教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体，其尺

    寸可

    以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的

    对角线长度。教

    师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不

    断地和教室相联

    系而使他画在黑板上的图变得更加形象。

    以下是老师与学生间的对话：

    “未知数是什么?”

    “长方体对角线的长度。”

    “已知数是什么?”

    “长方体的长、宽、高。”

    “引入适当的符号，用哪个字母表示未知数?”

    “x”

    “长、宽、高应选哪些字母?”

    “a，b，c”

    “联系a，b，c与x的条件是什么?”

    “x是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为a，b，c”

    “这是个合理的问题吗?我意思是说，条件是否充分，足以确定未知数吗?”

    “是的，是充分的。如果我们知道a，b，c，我们就知道平行六面体。如

    果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。”

    9.拟定计划

    当我们知道，或至少大体上知道，为了求解未知数，必须完成哪些计算、要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出

    一个计划，其过

    程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是

    构想出一个解题

    计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败

    的尝试和一度犹

    豫不决之后，突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的

    最大的好事是

    通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面

    就要讨论的问题

    与建议正是要诱发这样一种好念头。

    为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经

    验，回顾他自己在解

    题时碰到的困难与取得成功的经验。

    我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头

    的。如

    果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头

    的基础是过去的

    经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重

    新收集一些有关

    事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是

    不收集必需的材

    料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得

    的数学知识的某

    些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始

    工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗?

    困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它

    有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把

    力量放在主要的共同之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题来。

    如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是

    很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得

    到它的。 这里

    有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗?

    上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一

    连串

    正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这

    些问题不行，我

    们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方

    面；我们不得不变

    化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某

    些问题提示了改变

    问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部

    分条件等等；具

    体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导

    致提出某种适当

    的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去

    解决某些与此有

    关的问题。

    尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题

    进行试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危

    险。但是还有一

    个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据?你是否利用

    了整个条件?

    10.例子

    我们回到第8节中的例子。

    “你是否知道一个与此有关的问题?”……

    “看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问

    题?”

    “好，未知数是什么?”

    “平行六面体的对角线。”

    “你是否知道任何具有相同未知数的问题?”

    “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题”

    “你是否知道任何具有相似未知数的问题?”

    ……

    “你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来

    没有解决过一个未知

    数是直线长度的问题?”

    “当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。”

    “好啊 ! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解

    决，你能利用它

    吗？”

    “你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你

    以

    前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进

    某个辅助元素?”

    图1

    “看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图

    中有三角形吗?”

    我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思

    路(即引入一个在图

    1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边

    就是我们所要求

    的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白

    的提示也不能使

    学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。

    “你是否想在图1中有个三角形?”

    “在图中，你想有哪种三角形?”

    “你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那

    么现在你该怎么办呢?”

    “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗?”

    经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图

    中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其

    学生对问题的理

    解已有足够的深度。

    “我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是

    否

    有未知数?”

    “未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理

    去计算它”

    “如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗?”

    “一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。

    是的，另一边是另

    一个直角三角形的斜边。”

    “很好!现在我看出你有个计划了。”

    11.实现计划

    想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。要

    成功需要有许多条件，如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。

    但实现计划则容

    易得多，我们所需要的主要是耐心。

    计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并

    耐心地检查每一个细

    节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊

    之处为止。

    如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲

    了。现在的主要危险是

    学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据

    教师的权威来采纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞

    出来的计划(即便

    经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不

    那么容易忘记。教

    师必须坚持让学生检查每一步骤。

    根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信

    每一步骤的正确

    性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步

    骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出

    有问题的这一点

    (在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足

    够明显的；更进一

    步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!)

    主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确

    性。在某些情况老师可

    以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地

    看出这一步

    骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗?

    12.例子

    我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到

    了解题的思路。他看出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一，另一边则是六面

    体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的

    符号。他应当选

    择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚：

    解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后，陆续对这两

    个直角三角形进

    行考虑之后，他得到

    x 2 =y 2 +c 2

    y 2

    =a 2

    +b 2

    于是消去辅助未知数y，从而有

    x 2 =a 2 +b 2 +c 2

    x=a 2

    + b 2

    + c 2

    如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去

    打断他，除非必要时

    提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：

    “你能清楚地看出具有三边x，y，c的三角形是直角三

    角形吗?”

    对于这个问题，学生可能老老实实回答：“是”。但是

    如果老师不满足于

    学生的直观猜测，他应该继续提问：

    “但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?”

    除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点，否

    则教师不应当提出这

    个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提

    出问题的回答可

    能成为大多数学生的主要困难。

    13.回顾

    即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下

    论证

    后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过

    了解题的一个重

    要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与

    重新检查这个结

    果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。

    一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问

    题是可以解决得

    十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我

    们能够改进这个

    解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理

    解水平。

    现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案，检查了每一步。

    这样，他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误

    总还是可能的，特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别

    是，如果有某种快

    速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能

    检验这结果吗?

    你能检验这个论证吗?

    为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它，摸

    摸它。

    我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通

    过两种不同的证

    明使我们对结果确信无疑。因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗?当然，我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要

    问：你能一下子

    看出它吗?

    教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学

    题目之间很少有联

    系，和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解

    答的时候，我们

    自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经

    作出了真诚的努

    力并且意识到自己完成得不错，那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。

    这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何

    能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况

    下，他能再一次

    利用所使用的办法，或者应用所得到的结果。你能把这结果或

    这方法用于某个

    其它问题吗?

    14.例子

    在第12节，学生最后得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边

    为a，b，c，那末对角线为

    a 2

    + b 2

    + c 2

    你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学

    生那里得到这个问题

    的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达

    的问题比纯粹数

    字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的

    题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好

    几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”，这将表明结果中存在严重的缺点。

    “你是否使用了所有的数据?是否所有数据a，b，c都

    在你的对角线公式中

    出现?”

    “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我

    们的问题对a，b，c

    来说是对称的。你所得的公式对a，b，c对称吗?当a，b，c互换时公式是否保持

    不变?”

    “我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a，b，c，求平行六面体的对

    角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b，求

    矩形的对角线，这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?”

    “如果高c减小，并且最后等于零，这时平行六面体变

    成平行四边形。在

    你的公式中，令 c=0 ，是否得到矩形对角线的正确公式?”

    “如果高c增加，则对角线也增加。你的公式是否表明

    这点?”

    “如果平行六面体的三个量度a，b，c按同一比例增

    加，则对角线也按同

    一比例增加。在你的公式中，如将a，b，c分别代以12a， 12b ，12c，则对角线

    也将乘以12，是否这样?”

    “如果a，b，c的单位是尺，则你的公式给出的对角线

    的单位也是尺；如

    果将所有单位改为寸，则公式应保持正确，是否如此?”

    (后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节)

    上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实

    不能

    不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公

    式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深

    信无疑了，这种

    信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公

    式的细节获得

    了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更

    容易记住，学生

    的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。

    对于类似题目获

    得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概

    念：即，利用所

    有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力

    集中在这些地方

    的习惯，他解题的能力肯定会提高。

    你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合，可能需

    要逐步地重新检验论

    证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例，可

    以建议讨论以前

    提过的问题：你能证明具有三边x，y，c的三角形是直角三角

    形吗(见第12节末

    尾处)?

    你能把这结果或方法用于其它问题吗?在受到一些鼓

    励并且经过一两个示

    范例子以后，学生们很容易找到应用，这些应用实质上就是把

    问题的抽象数学

    元素赋予具体的解释。当教师在进行讨论的教室里，把教室当作问题中的长方

    体，他自己就使用了这样一种具体的解释。一个笨拙的学生可能会提议计算食

    堂的对角线，而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学生们自己提不出来

    更有想象力的内容，那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题，例如：“给

    定长方体的长、宽、高，求中心到一角的距离”。

    学生可以利用刚才解决的问题的结果，因为所求距离

    是对角线的一半。或

    者他们也可以利用引入适当的直角三角形的方法(后一种办法对于本例来说，是

    不那么显而易见的，并且多少有点笨拙)。

    在这个应用例子之后，教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体

    的结

    构，这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体

    的中心、而侧棱

    是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以后，教师应当回到

    他的问题上来：你能把结果或方法用于某个其他问题吗?现在

    学生有机会找到更

    有趣的具体应用了，例如，下面就是一个：“在一个长21码、宽16码的建筑物

    的长方形平屋顶的中心要立一个高8码的旗杆。为了支撑这根

    旗杆，我们需要四

    根等长的拉线。规定四根拉线要离旗杆顶点为2码处的同一点

    开始，而另一端是

    建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长?”

    学生可以采用上面已详细求解过的问题中所用方法，即在一个垂直平面上

    引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者

    他们也可以利用

    上面的结果：设想有一个长方体，其对角线x就是四根缆绳之

    一而它的边是

    a=10.5, b=8, c=6

    直接应用公式可求出 x=14.5 。

    更多的例子可见“你能利用这个结果吗?”那一节。

    15.不同的方法

    我们对前面8、10、12、14几节所考虑的问题继续讨

    论一下。主要的工作，即提出计划，已在第10节加以叙述。让我们观察教师用不同的

    方式来进行。 从

    与第10节相同之点出发，以后可以沿着稍许不同的路线提出下

    列各问题：

    “你是否知道任何与此有关的问题?”

    “你是否知道一个类比的问题?”

    “你看，所提的问题是关于空间的图形，它与长方体

    的对角线有关。关于

    平面中的类比问题可能是什么?它应该与长方形的对角线有

    关”。

    “平行四边形”。

    即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推测任何事

    物的学生，最后也会

    被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。此外，如果学生确实

    比较迟钝，为了

    使学生有所准备，教师应该事先讨论平行四边形的类比问题，否则不能一下子

    就端出现在的这个长方体问题。然后，教师可以继续提问如

    下：

    “这里有一个与你有关且已解决了的问题，你能利用

    它吗?”

    “为了有可能利用它，你是否应当引入某个辅助元

    素?”

    最后教师可以成功地向学生提出他所希望的概念。这

    就是把给定长方体的

    对角线想象为必须引入图中的一个合适的平行四边形的对角线

    (这个平行四边

    形是通过长方体和两个对边的平面的截面)。此概念本质上和

    前面(第10节)相

    同，但方法却不一样。在第10节是通过未知数来触及到学生的

    可用的知识的；

    我们回想起一个以前已解决的问题是因为其未知数和当前提出

    的问题中的未知

    数相同。而在本节，是用类比的方法使学生触及到解题的概

    念。

    16.教师提问的方法

    在第8，10，12，14，15各节所阐述的提问方法主要

    是先从表中一般化的问题和建议开始，在需要时，逐步转向更特殊更具体的问题和

    建议，直到在学

    生的头脑中能引出一个回答为止。如果你必须帮助学生开拓某

    种思路，如果可

    能的话，从表中一个一般化的问题或建议重新开始提问，并在

    必要时再一次回

    到某个更特殊的问题，如此等等。

    当然，这张表仅仅是这种类型的第一张表，看来对大多数简单情况是

    够用

    了。但无疑它还应该改进。重要的是，我们开始提的问题与建

    议应该简单、自

    然和一般化，同时表应当短。

    建议必须简单而自然，否则就会太唐突。

    如果我们想培养学生的能力而不是特殊技巧的话，那么建议必须一般

    化，不仅可用于目前的问题，而且可用于各类问题。

    表必须简短，使得在不同情况下，能够不矫揉造作地重复提问，从而

    有机

    会最终能为学生所掌握，并对培养思维习惯作出贡献。

    为了培养学生的独立工作能力，必需逐步改为提出特殊的建议。

    这种提问的方法不是一成不变的，幸好如此，因为在这类事情中，任

    何一

    成不变的、机械的、陈旧的程序必然很糟糕。我们允许有一定

    的灵活性，它允

    许采用各种办法(见第15节)，它可以而且应该这样来实施，使

    得教师所提的问

    题可以由学生自已提出来。

    如果有读者希望在他的班上试一试这里所提出的方法，他当然应该小

    心地

    进行，他应该仔细地研究第8节的例子和后面笫18、19、20节中的例子。他应当

    仔细地准备他打算讨论的例子，同时也考虑到各种不同的方

    法。他开始时应作

    少量试验，并逐渐摸索出他应如何掌握这个方法，学生如何学

    习这个方法并且

    需要多少时间。

    17.好问题与坏问题

    如果能很好地理解上节所提出的提问方法，则通过比较可以有助于判

    断某

    些建议的好坏，这些建议是为了帮助学生而可能提出来的。

    回到原来在第10节开始时的情况，那时提问下列问

    题：你知道一个与此有

    关的问题吗?我们从帮助学生的最好意愿出发，不问这个问

    题，而改为提问：你

    能应用毕达哥拉斯定理吗?

    我们的动机可能是极好的，但是这种提问却大概是最

    坏的。我们必须认识

    是在什么情况下提出这个问题的；然后我们会发现有一大堆反

    对意见反对这种

    类型的“帮助”。

    (1) 如果学生已接近于问题的解决，他可能理解问题的建议；

    但是如果他不

    是这样，他十分可能完全看不到问题的着眼点，因而在最需要

    帮助之处却得不

    到帮助。

    (2)这建议的针对性太强了，即使学生能利用它解决当

    前的问题，对于将来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。

    (3)即使学生理解这建议，他们也极少能理解教师怎么

    会想到提出这样一

    个问题，而学生他自己又怎样能想出这样一个问题呢?它看起

    来很不自然，很令

    人诧异，就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么启发性。

    对第10、15节中所描述的过程就提不出上述任何反对

    意见了。

    更多的例子

    18.一个作图题

    在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三

    角形的底边上，另二

    个顶点分别在三角形的另两边上。

    “未知的是什么?”

    “一个正方形”

    “已如数据是什么?”

    “一个给定的三角形，其它没有。”“条件是什么?”

    “正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一

    个。”

    “是否可能满足条件?”

    “我想如此，但不太有把握。”

    “看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所

    提问题，首先尝试去

    解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗?”

    “你说部分条件是什么意思?”

    “你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个

    顶点?”

    “四个。”

    “所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅

    保持部分条件而舍去

    其余部分。什么样的部分条件容易满足?”

    “两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形

    边线上的正方形，是

    容易画出来的!”

    “画张图!”

    学生画出图2。

    图2

    “你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到

    了

    什么程度?”

    “如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么

    它是不确定的。”

    “好!画张图。”

    学生画出图3。

    “正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它

    会怎样变化呢?”

    图3

    “你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个

    角还不在它应该在的

    地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四

    个角也是这样，它怎样变化?”……

    “如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正

    方

    形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出

    小的正方形与大

    的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么?它将怎样变化?

    教师已把学生带到非常接近于解答的地方。如果学生能猜到第四个角

    的轨

    迹是一条直线，他就得到这个主意了。

    19.一个证明题

    在不同平面上的两个角，其中一个角的每一边平行于另一角的对应边

    且方

    向相同。证明这两个角相等。

    我们要证的是立体几何的一个基本定理。这个问题可以提给那些熟悉

    平面

    几何以及立体几何中下列少数事实的学生，这少数事实构成了

    欧几里得原理中当前这个定理的预备知识。我们不但把直接引自我们表中的问

    题与建议划上线，

    而且把那些与它们相对应的问题与建议也划上线。例如，“求

    证题”是和“求

    解题”相对应的(在“求解题，求证题”标题下的第5，6小节中，我们再系统地

    讨论这种对应关系)。

    “前提是什么?”

    “两角在不同的平面上，其中一个的每一边平行于另

    一角的对应边，且方

    向相同。”

    “结论是什么?”

    “两角相等。”

    “画张图，引入适当的符号。”

    学生画出图4中的线，并在教师的或多或少的帮助

    下，标出图4中的字母。

    “前提是什么?请用你的符号表达出来。”

    “ A ， B ， C 和A'，B'，C'不在同一平面上，且 AB

    ∥A'B'， AC ∥A'C'。 AB 的

    方向与A'B'的方向相同，而 AC 的方向与 A'C'的方向相同。”

    图4

    “结论是什么?”

    “看着结论 ! 尝试想起一个具有相同或相似结沦的熟悉

    的定理。”

    “如果两个三角形全等，则对应角相等。”

    “很好 ! 现在有一个与你的问题有关的定理，且早已证

    明。你能否利用

    它?”

    “我想如此，不过我还不清楚怎么办。”

    “为了可能利用它，你是否应该引入某个辅助元素?”…… ……“好，你提得非常好的那个定理是关于三角形的，是

    关于一对全等三角形

    的。在你的图中有没有三角形?”

    “没有，但我能引进一些。让我连接 B 与 C ，B'与C'，这样就有了两个三角

    形， ABC 和A'B'C'。”

    “做得好，但是这些三角形有什么用?”

    “去证明结论；∠ BAC= ∠ B A C”

    “好，如果你希望汪明这点，你需要两个什么样的三

    角形?”

    “全等三角形。噢，对了，我可以选择 B ， C ，B'，C'，使得

    AB=A'B' ， AC=A'C' ”

    “好极了!现在你希望证明什么?”

    “我希望证明两个三角形全等，△ ABC= △A'B'C'

    如果我能证明这点，则立即可得结论∠ BAC= ∠B'A'C'。”

    “妙!你有了一个新目标，这目标是一个新结论。看着

    这结论! 并且尝试

    想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。”

    “当且仅当一个三角形的三条边分别等于另一个三角

    形的三条边时，这两

    个三角形全等。”

    图5

    “做得好。本来你有可能会选出一条较差的定理的。现在这里有了一条

    与你的问题有关的定理，且早已证明，你能否利用它?”

    “如果我知道 BC=B'C' ，我能利用它。”

    “对!那么你的目标是什么?”

    “证明 BC=B'C' 。”

    “试回忆起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。”

    “是的，我知道一个定理，它最后结束的句子

    是：‘……则两线相等’，但它并不合适。”

    “为了能够利用它，你是否应该引入某个辅助元素?”

    “你看，在图中 BC 与B'C'间并无联系，你怎么能证明

    BC=B'C'? ”…… ……

    “你利用了前提吗?前提是什么?”

    “我们假定 AB ∥A'B'， AC ∥A'C'。是的，当然我们必须

    利用这点。”

    “你是否利用了整个前提?你说 AB ∥A'B'，这是你所知道的关于这些线段

    的

    全部情况吗?”

    “不，根据作图， AB 还等于A'B'。它们彼此平行并且相

    等。 AC 和A'C'也是

    这样。”

    “两个等长的平行线——这是很有趣的图形。你以前见过吗?”

    “当然见过!对!平行四边形!让我联结 A 与A'， B 与 B'，C 与C'。”

    “这主意不太坏。现在你的图中有几个平行四边形?”

    “两个。不，三个。不，两个。我意思是说，其中有两个，你可以立刻

    证

    明它们是平行四边形。还有第三个看来是个平行四边形。我希

    望我能证明它是。

    这样证明就结束了!”

    我们可能从这个学生前面的回答已经推测到他很聪

    明。但是等他作出上述

    最后一个回答以后，我们对此就深信不疑了。

    这个学生能够猜出数学结果并且能够清楚地区分证明

    与猜测。他也知道猜

    测可以多多少少似乎是可信的。确实，他真的从数学课上得到

    了教益；他在解

    题方面有了某种实际经验，他可以看出并且摸索出一个好的解

    题思路。

    20.一个速率问题

    水以速率r流进锥形容器。容器具有正圆锥形状，底

    是水平的，顶点在下

    方，底的半径是a，高为b。当水深为y时，求水表面上升的速

    率。最后，假定 a=4

    尺， b=3 尺，r=2立方尺分， y=1 尺，求未知数的数值。

    图6

    我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念。

    “已知数是什么?”

    “圆锥底的半径 a=4 尺，圆锥的高 b=3 尺，水流入容器的

    速率r=2立方尺分，在某一时刻的水深 y=1 尺。”

    “对，从问题的叙述方式看来，是建议你先忽略具体

    数值而用字母求解，把未知数用a，b，r，y表示出来，而仅在最终得到未知数的字

    母表达式以后再

    代入具体数值。我愿意按照这条建议做。现在未知数是什

    么？”

    “当水深为y时，水面升起的速率。”

    “它是什么?你能用其他术语来说吗?”

    “水深增加的速率。”

    “它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?”

    “水深的变化率。”“对，y的变化率。但什么是变化率?回到定义去。”

    “函数的变化率是导数。”

    “正确。现在y是函数吗?如前所述，我们不管y的具体

    数值。你能否想象y

    是变化的?”

    “是的，水深y随着时间而增加。”

    “这样，y是什么的函数?”

    “时间t的。”

    “好，引入适当的记号。用数学符号，你将怎样写‘y

    的变化率’?”

    “dydt”

    “好，这就是你的未知数。你必须用a，b，r，y来表

    示它。顺便说一下，数据中有一个是‘速率’，哪一个?”

    “r是水流进容器的速率。”

    “它是什么?你能用别的术语来说它吗?”

    “r是容器中水的体积的变化率。”

    “它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?你将怎样

    用适当的记号来写

    它?”

    “ r=dVdt ”

    “ V 是什么?”

    “在时间t，容器中水的体积”

    “好，这样你必须用a，b， dVdt ，y，来表示dydt，你

    将怎样做?”…… ……

    “如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与

    此有关的问题。如果

    你到现在还看不出dydt与数据间的联系；尝试去引入某种能作

    为中间过渡踏脚

    石的更简单的联系。”

    “你看不出还有别的联系吗?例如y与 V 是否彼此独立?”

    “不，当y增加， V 一定也增加。”

    “那么说，是有联系了，这联系是什么?”

    “好， V 是锥体的体积，y是锥体的高。但我现在还不

    知道底的半径。”

    “不过，你可以考虑它。叫它什么，譬如设它为x吧!”

    “ V= x 2

    y

    3。”

    “正确，关于x又知道些什么?它是否与y独立?”

    “不，当水深y增加，自由表面的半径x也增加。”

    “这么说，它们之间是有联系的。但这联系是什么?”

    “当然是相似三角形。x： y=a ：b”

    “你看，又多了个联系，我不愿错过从它那儿得到的

    好处。别忘了，你希

    望知道的是y与 V 之间的联系。”

    “现在我有 x=ayb

    2 3

    V= a y ”

    3 b 2

    “很好，这看来像个踏脚点。难道不是吗?但你别忠了

    你的目标。未知数是

    什么?”

    “噢，是dydt”。

    “你必须找出dydt， dVdt 与其他数量间的联系。但这里有

    的却是y， V 和其

    他数量间的联系。你该怎么办?”

    “当然是微分!

    · V

    · t=2 2 ?

    a y y

    b 2

    · t

    就是它。”

    “妙!那么从已经给出的数值能得出什么结果呢?”

    “若 a=4 ， b=3 ， dVdt=r=2 ，y=l，则

    = 16 1 ? 。”也即

    2 y

    9? t

    dydt=0.358 尺分。

    第二部分怎样解题——一

    段对话

    1.熟悉问题

    我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始。

    我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜

    明。暂时先抛开细节。

    这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己

    熟悉问题，并把问题

    的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你

    的记忆力，做好

    准备去重新联想与问题有关的各点。

    2.深入理解问题

    我应该从哪儿开始?还是从问题的叙述开始。当你对

    问题的叙述已如此清楚

    并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把

    它完全忘掉时，你就可以开始下面的工作了。

    我能做什么?先把问题的主要部分剖析出来。因为前

    提与结论是“求证题”

    的主要部分。未知、已知与条件是“求解题”的主要部分。再把

    问题中的主要

    部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种

    组合中来考虑，同时把每个细节与其它细节联系起来，把每个细节与整个问题

    联系起来。

    这么做，我能得到什么好处?你会准备好并弄清楚以

    后可能起作用的细节。

    3.探索有益的念头

    应该从哪儿开始?从考虑问题的主要部分开始。当主

    要部分能很清楚地排

    列出来，想得明明白白(这应归功于你前面的工作)并且也记得

    住时，这时开始

    做下一步。

    怎样进行?从各个方面来考虑你的问题，找出与你现

    有知识有关之处。

    从各个方面考虑你的问题。分别突出各个部分，考察

    各个细节，用不同方

    法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来，从不同角

    度考虑它。试着

    在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新

    解释。

    从你现有知识中找出与问题有关之处。试想过去在类

    似的情况下有什么曾

    帮过你的忙。在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东西中，努力找出有用的东西来。

    能找出什么?一个有用的念头，也许是个决定性的念

    头，它能使你一限看

    出解决问题的途径。

    念头有什么用?它会给你指出整个或部分解题途径，它或多或少地清楚地

    向你建议该怎么做。念头多多少少还是完整的。如果你有一个

    念头，你就够幸

    运的了。

    碰上一个不完整的念头怎么办?应该加以考虑。如果

    它看来有好处，就应

    该多考虑一会儿。如果它看来是可靠的，你应当确定它能引导

    你走多远，并重

    新考虑一下形势。由于这个有益的念头，情况已经变化了。你

    要从各个方面来

    考虑新形势并找出它与你现有知识之间的联系。

    再次这样做，还能得到什么好处?如果你走运的话，你或许能找到另一个

    念头。也许下一个念头会引导你去解决问题。也许在下一个念

    头以后，你还需

    要几个有益的念头。也许有些念头会把你引入歧途。无论如

    何，你应当感谢所

    有的新念头，感谢那些次要的念头，感谢那些模糊的念头，也感谢那些使模糊

    念头得以纠正的补充性念头。即使你暂时还没有发现什么有价值的新念头，但

    如果你对问题的概念更完全了，或者更连贯、更和谐或者更平衡了，那你也应

    当表示感谢。

    4.实现计划

    应该从哪儿开始?从引导到解决问题的思路开始。当

    你感到你已抓住主要

    的联系，并且自信能提供可能需要的次要细节时，就开始。

    怎幺做?你对问题应抓得很有把握。详细地进行你以

    前认为可行的全部代

    数或几何运算。用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性，或者，如果你

    能够的话，两种方法都用。如果你的问题很复杂，你可以分

    成“大”步骤和“小”

    步骤，每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检查大步骤，以后再检验小步骤。

    这样做，我能有什么好处?这样提出的解，每个步骤

    无疑都是正确的。

    5.回顾

    应该从哪儿开始?从解答开始，它的每一个细节都应

    该是完整而正确的，怎么做?从各个方面考虑这个解，找出与你已有知识之间的联

    系。

    考虑解的细节，并尝试使它们尽可能地简单；研究解

    答中较冗长的部分，使它们更短些；试着一眼就看出整个解。试着去改进解的各部

    分，尝试去改进

    整个解，使它直观，使它尽量自然地适合于你已有的知识。总结你解题的方法，尝试看出它的要点，并且尝试把它用于其他问题。总结所得结

    果并试着把它用

    于其他的问题。

    这样做，我能有什么好处?你可能找出一个新的更好

    的解，你可能发现新

    的有趣的事实。无论如何，如果你用这方式养成研究与总结你

    的解的习惯，你

    将获得某些井然有序的，便于应用的知识，并且你将会提高你

    解题的能力。

    第三部分 探索

    法小词典

    1.类比

    类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一

    致，类比的对象则其相

    应部分在臬些关系上相似：

    (1) 长方形可与长方体类比。事实上，长方形各边之间的关系

    与长方体各面

    之间的关系相似：

    长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂

    直。

    长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂

    直。

    让我们把边称为长方形的边界元素，而面称为长方体

    的边界元素，则前述

    两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形：

    每一边界元素恰与另一边界元素平行，而与其余的边

    界元素垂直。

    这样，我们就将所比较的两个系统的对象(即长方形

    的边与长方体的面)的

    某些共同关系表达出来了。这两个系统的类比存在于关系的共

    性之中。

    (2)在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演

    方法和最高科学成

    就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用。人们常常使

    用含糊不清的，夸大的，不完全的或没有完全弄清楚的类比，但类比也可以达

    到数学精确性的

    水平。所有各种类比在发现解答方面都可能起作用，所以我们

    不应当忽略任何

    一种。

    (3) 在求解一个问题时，如果能成功地发现一个此较简单的类比问题，我们

    会认为自己运气不错。在第十五节，我们原来的问题是长方体

    的对角线，它的

    较简单的类比问题就是长方形的对角线，这个类比问题引导我

    们到达原问题的

    解答。我们将讨论这种类型的另一个例子。我们需要求解下列

    问题：

    求均匀四面体的重心。

    若不具备积分与物理知识，这问题是很困难的。在阿

    基米德与伽里略的时

    代，它是一个严肃的科学问题。因此，如果我们希望用尽可能

    少的预备知识来

    解决它，我们就应该寻求一个较为简单的类比问题。在平面上

    的对应问题很自

    然地就是下面的问题：

    求一均匀三角形的重心。

    现在，我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题

    来可

    能还更容易回答——假定这两个问题能巧妙地联系起来的话。

    (4)现在我们暂时把原来四面体的问题放在一边，而把

    注意力集中在有关三角形这一比较简单的类比问题上。为了求解这个问题，我们

    必须了解一些关

    于重心的知识。下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自

    然：

    若一物质系统S由几部分组成，每一部分的重心都位

    于同一平面上，则该

    平面也必包含此整个系统S的重心。

    对于三角形情况来说，这一原理给出我们所需要的一切。首先，它指

    出三

    角形的重心位于三角形的平面上。于是，我们可以把三角形看

    成由平行于三角

    形某边(图7中边 AB) 的许多个小条条(薄条条无限窄的平行四边形)所组成。每一

    个小条条(平行四边形)的重心显然是它的中心，而所有这些中

    心位于连线 CM 上，C 为与 AB 边相对的顶点， M 为 AB 的中点(见图7)。

    图7

    通过三角形中线 CM 的任何平面包含有三角形中所有平

    行小条条的重心。由

    此得出结论：整个三角形的重心就在这一中线上。但是，根据

    同一理由它也必

    须在其他二条中线上，所以它必须是所有三根中线的公共交

    点。

    我们现在希望用纯几何方法(与任何力学上的假设无

    关)来证明三根中线

    交于同一点。

    (5)在弄懂了三角形的例子之后，四面体的情况就相当

    容易了。因为我们

    现在已经解决了一个和我们所提问题有类比关系的问题，所以

    一旦解决这个类比问题，我们就有了一个可以照着办的模型。

    在解决我们现在用作模型的类比问题中，我们设想三角形是由平行于

    其一

    边 AB 的平行小条条所组成的。现在我们设想四面体 ABCD 也由平行

    于其一棱 AB 的

    小条条所组成。

    组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上，即位于连接边 AB 的

    中点

    M 与相对顶点 C 的那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中

    点全部位于连接

    棱 AB 的中点 M 与对棱 CD( 见图8)的同一平面上；我们不妨将此平面 MCD 称为四面体

    的中面。

    图8

    在三角形情况下，我们有象 MC 那样的三根中线，其中每一根都必须包

    含三

    角形的重心。因此，这三根中线必须交于一点，这一点就是重

    心。在四面体情

    况下，我们有象 MCD 那样的六个中面(连接一条棱中点与其对棱的平面)，其中每

    个中面都必定包含四面体的重心。因此，这六个中面必交于一

    点，这一点就是

    重心。

    (6)这样，我们就解决了均匀四面体的重心问题。为了

    完成这个求解过程，现在我们需要用纯几何(与力学上的考虑无关)来证明六个中面

    通过同一点。

    当我们解决了均匀三角形的重心问题以后，我们发

    现，为了完成求解过程，需要证明三角形的三条中线通过同一点。这个问题可类比于上

    述问题，但显然

    较为简单。

    在解决四面体这一问题时，我们又可利用较简单的三

    角形类比问题(这里，我们假定它已经解决了)。事实上，我们考虑通过从 D 点出发的三条棱 DA ， DB ，

    DC 的三个中面；每一中面同时也通过对棱的中点(通过 DC 边的中

    面经过中点 M ，见图8)。现在，这三个中面和△ ABC 所在平面交于该三角形的三

    个中线。这三条

    中线交于一点(这是前面较简单的类比问题的结果)，而这点和 D 点一样，也是三

    中面的公共点。连结这二个公共点的直线是所有三个中面的公

    共线。

    我们证明了六个中面中通过顶点 D 的三个中面有一条

    公共直线。对于通过

    顶点 A 的三个中面，同样也成立；对于经过顶点B的三中面以及经过顶点C的三中

    面也是如此。把这些事实适当地联系起来，我们就可证明这六

    个中面有一个公

    共点(通过△ ABC 三边的三中面确定一公共点和交于此点的三交

    线。于是，根据

    我们刚才证明的，通过每一交线，一定还有一个中面)。

    (7)在上述(5)和(6)中，我们都利用了一个三角形的较

    为简单的类比问题

    去解决四面体问题。但从一个重要方面来看，(5)和(6)两种情

    况是不相同的。

    在(5)中，我们是利用较简单的类比问题这一方法，逐点模仿它来求解。但在(6)中，我们则是利用了较简单的类比问题所得的结果，我们并不

    关心这结果是怎

    样得到的。有时，我们可能同时利用较简单的类比问题的方法

    及其结果。如果

    我们把上述(5)和(6)看成是同一个问题求解的两个不同部分，则上述例子就是

    同时利用类比问题的方法及结果的。

    我们这个例子是典型的。在求解所提出的问题的过程中，我们经常可

    以利

    用一个较简单的类比问题的解答；我们可能利用它的方法或者

    可能利用它的结

    果，或者可能三者同时利用。当然，在更困难的问题中，可能

    会出现我们这个

    例子中尚未出现过的复杂情况。特别是，可能发生下述情况：

    类比问题的解不

    能直接用于我们原来的问题上。那时，可能需要我们去重新考

    虑解答，去改变

    它，修改它，直到我们在试过解答的各种形式以后，终于找到

    一个可拓广到我

    们原来的问题为止。

    (8)我们希望能预测结果，或者，至少在某种似乎可信

    的程度上预测到结

    果的某些特征。这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的。

    这样，我们可能知道，均匀三角形的重心及其三个顶

    点的重心重合(即，三个质量相同的质点放在三角形的三个顶点上)。了解这点以后，我们可以猜测

    均匀四面体的重心与其四个顶点的重心相重合。

    这种猜测是一种“类比推论”。已知三角形和四面体在许多方面相似，我

    们就猜测它们在其他某一个方面也是相似的。如果把这种猜测

    的似真性当作肯

    定性，那将是愚蠢的。但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢

    甚至更为愚蠢的。

    类比推论看来是最普通的一种推论，并且可能是最主

    要的一种。它产生了

    多少似乎可信的推测，这种推测可能被经验和更严格的论证加

    以证实或推翻。

    为了预测药物对人类的影响，化学家在动物身上进行试验，再由类比得出结论。

    甚至我认识的一个小男孩也这么做。他的小狗需要到兽医那儿

    去医疗，于是他

    问：

    “谁是兽医”

    “动物的医生。”

    “哪种动物是动物的医生?”

    (9)得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类

    比结论要强。但是

    这里质量仍然比数量更为重要。清晰的类比较模糊的相似更有

    价值，安排有序

    的例子比随意收集的情况更能说明问题。

    前面【上述(8)】我们提出了一个关于四面体重心的猜

    测。这猜测就是根

    据类比而提出的；四面体的情况类比于三角形的情况。通过考察另一个类比的

    例子，均匀棒(即均匀密度的直线段)的例子，我们可以增加对

    猜测的认识。

    存在于

    线段三角形四面体

    之间的类比有许多方面。线段包含在直线上，三角形在平面

    上，四面体在空间

    中。直线段是最简单的一维有界图形，三角形是最简单的多边形，四面体是最

    简单的多面体。

    线段有两个零维边界元素(2端点)而其内部是一维的。

    三角形有三个零维及三个一维边界元素(三顶点，三

    边)，而其内部是二维

    的。

    四面体有四个零维，六个一维，四个二维边界元素

    (四顶点，六边，四面)，而其内部是三维的。

    这些数字可以列成一个表如下，其中各列分别表示零

    维，一维，二维与三

    维元素的数目，各行分别表示线段，三角形与四面体的数目：

    零维 一维 二维 三维

    线段 2 1

    三角形 3 3 1

    四面体 4 6 4 1

    只须对二项式展开有稍许的了解，便可认出这些数字

    是巴斯卡三角形中的

    一部分。我们在线段、三角形和四面体中找出了一个值得注意

    的规则性。

    (10)如果我们已经体会到我们所比较的对象是有密切

    联系的，则下列“类

    比推论”对于我们可能有某些价值。

    均匀捧的重心与其两端点的重心相重合。均匀三角形

    的重心与其三顶点的

    重心相重合。为什么我们不应该设想均匀四面体的重心与其四

    顶点的重心相重

    合呢?

    还有，均匀捧的重心按比例1：1来划分其端点间的距

    离。均匀三角形的重

    心按比例2：1来划分任何顶点与其对边中点间的距离。为什么

    我们不应该猜测

    均匀四面体的重心是按比例3：1来划分任何顶点与其对面的重

    心间的距离呢?

    说上述问题所提出的猜测是错误的，说这样美妙的一

    种规律性竟遭破坏，这点总叫人觉得极不可能。认为和谐的简单秩序不会骗人这样

    一种感觉，在数

    学及其他科学领域中指引着作出发现的人们，并表达为拉丁格

    言：

    简单是真理的标志

    [从上面讲的会想到，所讨论的结果可推广到n维。如

    果对前三维 (n=1 、2、3)成立而对维数高的n就不再成立，这看来不大可能。这种猜

    测是一种“归纳推

    论”；它表明归纳很自然地以类比为基础。参见“归纳与数学归

    纳法”一节。

    [(11)在结束本节以前，我们简单地考虑一类最重要的

    情况：在这类情况

    下，类比这一数学概念变得更精确了]。

    (I) 两个数学对象系统设为S和S'，是这样相互联系的： S的对

    象之间的某

    些关系和S'的对象之间的某些关系遵循同一法则。

    在S和S'间的这种类比可以用上述(1)中所讨论的内容

    为例说明之；把长方

    形的边作为S，把长方体的面作为S'。

    (II)在两个系统S与S'的对象之间存在一一对应，即保

    持某种关系。也就

    是说，如果一个系统的对象之间保持这样一种关系，则在另一

    系统的对应对象

    之间也保持同一关系。在两个系统中的这种联系是一种非常精

    确的类比；它称

    为同构。

    (III)在两个系统S与S’的对象之间存在一对多的对应而

    保持某种关系(这

    在高等数学研究的各分支中，特别在群论中很重要，这里不多

    赘言)。这种情况

    称为同态。同态也可看成另一种非常精确的类比。

    2.辅助元素

    我们对问题的概念在我们工作结束时远比我们开始工

    作时丰富得多(见

    “进展与成就”一节)。随着工作的进展，我们在原有考虑之

    外，增加一些新元

    素。旨在促进求解而引入的这种元素称为辅助元素。

    (1) 有各种辅助元素。解决几何问题，我们可能在图中引入新

    的线，即辅助

    线。解决代数问题，我们可能引人辅助未知数【见“辅助问

    题”，(1)】。辅助

    定理是这样一种定理，我们证明它是希望促进我们对原来问题

    的求解。

    (2)引入辅助元素有各种理由。当我们想到一个与我们

    现在的问题有关、且早已解决的问题时，我们很高兴。很可能我们能利用这样一

    个问题，但目前

    还不知道怎么利用它。例如，我们试图求解的是一个几何问

    题，而我们想到的

    早已解决的有关问题是三角形问题。但在我们的图中并没有三

    角形；为了有可

    能利用所想的问题，我们必须找到一个三角形；所以我们不得

    不在我们图中用

    添加适当的辅助线的办法引入一个三角形。一般说来，当我们

    想到一个早已解

    决的有关问题后，我们必须经常问：为了可能利用它，我们是

    否应该引入某个

    辅助元素?(第10节中的例子是典型的)。

    回到定义去，我们将有另一个引进辅助元素的机会。

    例如，说明圆的定义

    时，我们不仅应该提到其圆心和半径，而且还应该把这些几何

    元素在图中表示

    出来。如果不把它们表示出来，我们就不能对定义有任何具体的应用；叙述定

    义而不作图只不过是空口说白话罢了。

    力图利用已知结果和回到定义去，是引入辅助元素的

    一些最好的理由；但

    它们不是仅有的理由。为了使问题的概念更完整，更富于启发

    性，更为人所熟

    悉，我们可以引入辅助元素，虽然目前我们几乎不知道我们怎

    样才能利用这些

    所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那

    种方式看问题是个“好念头”。

    引入辅助元素可以出自这种理由，也可以来自别的理

    由，但总得有些理由。

    我们不能随随便便地引入辅助元素。

    (3)例子。已知三角形一角和由此角顶点向对边所作的

    高和三角形的周长，作这个三角形。

    我们引入适当的记号。令已知角为a，从角a的顶点 A

    向对边所作的高为h，已知周长为P。我们画张图，在上面很容易标上a与h。我们是

    否已利用了所有的

    数据?没有!我们的图并未包括等于三角形周长的已知长度P。

    因此，我们必须引

    入P。但是怎样做呢?

    我们可以用各种方式来试图引入P。图9，10所表示的

    方式看起来很笨拙。

    如果我们自己琢磨一下为什么这两张图看来如此令人不称心，我们就可能看出

    是由于缺乏对称性的缘故。

    事实上，这个三角形有三条未知边：a，b，c。我们

    象通常所做的那样，把 A 的对边叫做a，其余两边则相应地称为b与c。我们知道

    a+b+c=P

    这里，边b与边c的作用相同；它们是可交换的；我们的问题对于b和c是对称的。

    但在图9和图10中，b和c的作用却不相同；放上长度P，我们对待b和c就不同了；

    图9和图10破坏了问题对b和c的自然对称性。我们应该这样来

    放置P，使得它和b

    和c的关系是对称的。

    图9

    图10

    上述考虑可能有助于建议象图11那样放置长度P。我

    们在三角形的边a的一

    侧，加上线段 CE ，其长为b，在三角形的另一侧加上线段 BD ，其长为 C ，使得在

    图11中线段 ED 的长度恰好是P，即：

    b+a+c=P

    如果我们对怍图题有些经验，我们就不会忘记和 ED 一起引入辅

    助线 AD 与 AE 。它

    们都是等腰三角形的底边。事实上，在问题中引入象等腰三角

    形这样简单而又

    为人熟悉的元素是合理的。

    图11

    迄今，我们在引入辅助线方面一直是十分幸运的。我们观察新图，就

    可以

    发现∠ EAD 和已知角a有一简单关系。事实上，利用等腰三角形

    △ ABD 与△ ACE ，可知∠ DAE= α 2+90 °\u30693X道这个特点以后，我们很自然地会去

    作出△ DAE 。作此

    三角形时，我们就要引入一个辅助问题，它远比原来的问题简

    单。

    (4)教师与教科书的作者不应当忘记：聪明的学生和聪

    明的读者不会满足

    于验证推理过程的每一步是正确的，他们还要求知道进行各一

    步的动机和目的。

    引入辅助元素是引入注目的一步。如果一条微妙的辅助线在图中出现得很突然，看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那末聪明的读

    者和学生将会失

    望，他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造

    的能力中充分发

    挥了数学的作用后，数学才是有趣味的。如果最引人注目的步

    骤的动机和目的

    不可理解，那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步

    骤可以理解，需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样)，或者精选问题和

    建议(象第lO、18、19、20节中所做的那样)，这需要大量的时

    间和精力，但却

    是值得一做的。

    3.辅助问题

    辅助问题是这样一个问题，我们考虑它并非为了它本

    身，而是因为我们希

    望通过它帮助我们去解决另一个问题，即我们原来的问题。原

    来的问题是我们

    要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到目的的手段。

    一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户

    上试了又试，而不去

    试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够

    或者至少能够行

    动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克

    服的障碍时，他

    会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合

    适的辅助问题。

    构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另

    一问题的清晰的

    新问题，能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智

    慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项

    重大任务。

    (1) 例子。求满足方程的x值：

    x 4

    -13x 2

    +36=0

    如果我们看到x 4

    =(x 2)

    2。我们就会发现引入

    y=x 2

    的好处。我们现在得到一个新问题：求满足方程的y值：

    y 2

    -13y+36=O 。

    这个新问题是一个辅助问题；我们打算把它用作解决原问题的

    手段。辅助问题

    的未知数y可恰如其份地称为辅助未知数。

    (2)例子。在一长方体中已知由一顶点引出的三个棱的

    长度，求该长方体

    的对角线。

    在试图求解这一问题(第8节)时，我们可由类比(第15

    节)引导到另一问题：

    在一长方形中，已知由同一顶点引出的两个边的长度，求长方

    形的对角线。

    这个新问题是个辅助问题：我们之所以考虑它是因为我们希望从对它的考

    虑中引出对原问题有用的东西。

    (3)好处。考虑辅助问题的好处可以是多种多样的。我

    们可以利用辅助问

    题的结果。譬如在例1中，通过求解y的二次方程，我们已经求

    得y等于4或等于9，然后我们推得 x 2

    =4 或x 2

    =9 ，从而求出x的所有可取的值。在其

    它情况下，我们

    可以利用辅助问题的方法。如例2中，辅助问题是平面几何问

    题；它类比于原来

    的立体几何问题，但更为简单。引入这一类辅助问题是合理

    的，因为我们希望

    它是有启发性的，它能给我们机会去熟悉以后可用于原问题的

    某些方法、操作

    或工具。在例2中，辅助问题的选择更为幸运，因为仔细地考

    察它一番之后，我

    们发现其方法与结果均可加以利用(见第15节和“你是否利用了

    所有的数据?”

    那一节)。

    (4)风险。我们不去考虑原问题，而花费时间与精力去

    注意辅助问题。如

    果我们对辅助问题的研究失败了，那末我们在它上面所花的时

    间与精力就白白损失了。所以在选择辅助问题时，我们应当加以判断。对于我

    们的选择，我们

    可能有各种正当理由。辅助问题可以比原来的问题更容易理

    解；或者它看来更

    富启发性；或者它有某种美的号召力。有时，辅助问题的唯一

    优点是它很新颖，提供了尚未被探索过的可能性；我们选择它是因为我们对原问

    题厌倦了，并且

    看来似乎所有的方法部已用尽了。

    (5)怎样找出它。发现所提问题的解，常常有赖于发现

    一个合适的辅助问

    题。令人不愉快的是，没有万灵的方法来发现合适的辅助问

    题，正如没有万灵

    的方法求解一样。但无论如何，确实有一些问题和建议，它们

    常常是有所裨益

    的。例如，看着未知数。通过问题的变化常常会使我们想到有

    用的辅助问题。

    (6)等价问题。如果两个问题中每一问题的解都蕴含另

    一问题的解，就说

    这两个问题是等价的。因此，在例1中，原问题与辅助问题等

    价。

    考虑下列定理：

    A .在任何等边三角形中，每一角均等于60 °\u12290X

    B .在任何等角三角形中，每一角均等于60 °\u12290X

    此二定理不能看作是同一条定理。它们包含不同的概

    念：一个与边的相等

    有关，另一个与三角形的角相等有关。但每一定理都可由另一

    定理得出。因此

    求证题 A 与求证题 B 等价。

    如果我们需要求证 A ，则引入求证题B作为一个辅助问题是有某些好处

    的。

    定理 B 的证明要比证明 A 容易些，而且更重要的是，我们可以

    预见到 B 比 A 容易；

    我们可以这样判断，我们可能从一开始就发现B很可能比 A 容易。事实上，定理B

    仅与角有关，它比定理 A 更“单一”，定理 A 与角和边都有关。

    如果原问题和辅助问题是等价的，则从原问题过渡到辅助问题称为可

    逆化

    归，或双向化归，或等价化归。例如， A 化归为B(见上文)是可逆的，例1中的化

    归也如此。从某个方面说来，可逆化归比其它引入辅助问题的

    方法更重要，更

    令人想往，但是那些和原问题不等价的辅助问题可能也很有用；见例2。

    (7)等价辅助问题链。等价辅助问题链在数学论证中是

    屡见不鲜的。我们

    需要解决问题 A ；我们看不出解答，但我们可能发现 A 与另一

    问题等价。考虑 B

    时，我们又可能涉及与 B 等价的第三个问题 C 。照这样下去，我们又可将 C 化为 D，如此等等，直到最后得到问题L，其解答为已知或明显可知。

    既然每一个问题都

    和前一个问题等价，则最后一个问题也必定和原问题 A 等价。

    于是我们能够从问

    题L推出原问题 A的解答，而L是辅助问题链的最后一个环节。

    这种问题链，正如我们从帕扑斯的重要章节中所见，早已为希腊数学家们

    所注意。我们重新考虑例1作为说明。让我们称(A)为未知数x

    的条件：

    (A) x 4

    -13x 2

    +36=O

    解决这个问题的一种方法是将所提出条件变换成另一个条件，称为(B)：

    (B) (2x 2)

    2

    -2(2x 2)· 13+144=O

    我们观察到条件(A)与条件(B)不同。如果你愿意，你可以说它

    们仅仅稍许有些不同。你会很容易相信它们一定等价，但它们肯定不是同一个

    方程。从(A)过渡

    到(B)不仅正确，而且有清楚的目的，这对任何熟悉求解二次

    方程的人来说都是

    显而易见的。沿此一方向继续做下去，我们可将条件(B)再变换成另一条件(C)：

    (C) (2x 2)

    2

    -2(2x 2)· 13+169=25

    照此方法继续下去，我们有

    (D) (2x 2

    -13)

    2

    =25

    (E) 2x 2

    -13= ±5

    (F) x 2

    =(13 ±5)2

    (G) x =

    13

    5

    2

    (H) x=3 或-3，或2，或-2我们所做的每次化归都是可逆的。

    于是最后一

    个条件(H)与第一个条件(A)等价，所以，3、-3、2、-2是我们

    原问题所有可能

    的解。

    上面我们从原条件(A)导出一系列条件(B)，(C)，(D)，……，每一个都等

    价于前一个。这一点值得我们给予最大的注意。等价条件是由

    同一对象满足的。

    因此，如果我们从所提条件过渡到等价于它的新条件，我们就

    有相同的解。但

    是如果我们从所提条件过渡到较窄的条件，我们就失去解；如

    果我们从所提条

    件过渡到较宽的条件，我们则得到非正常的外来解，它与所提

    问题无关。如果

    在一串连续的化归中，我们过渡到较窄的，接着又过渡到较宽

    的条件，我们可

    能完全偏离原来的问题。为了避免这种危险，我们必须小心地

    检查每次新引入

    的条件的性质：它与原条件等价吗?当我们所处理的对象不是

    像这里的单个方程

    而是一组方程时，或者当条件不是用方程来表达(例如，象几

    何作图问题)时，上述问题尤为重要。

    [请与“帕扑斯”一节，特别是评注(2)，(3)，(4)，(8)相

    比较。那里的描述受到了不必要的限制。它描述一个求解问题的链，其中每

    个问题都有一个

    不同的未知数。这里所讲的例子则相反，链中所有各个未知数

    相同，仅仅是条

    件的形式不同。当然，并不需要这种限制。]

    (8)单向化归。我们有两个都未曾求解的问题 A 与 B 。

    如果我们能解 A ，则我

    们能导出 B 的完全解。反之则不然；即，如果我们能解 B ，我

    们可能会得到 A 的某

    些信息，但我们却不知道怎样从 B 导出 A 的完全解。在这样一

    种情况下，解 A要

    比解 B 收获大。让我们称 A 为这两个问题中的期望大的而 B 为期

    望小的。

    如果从所提问题过渡到期望大的或期望小的辅助问

    题，我们称这一步骤为

    单向化归。有两类单向化归，二者在某些方面都比双向或可逆

    化归更冒风险。

    例2说明的是化归为期望小的问题的一个单向化归。

    事实上，如果我们能

    够解决属于长、宽、高分别为a，b，c的长方体的原问题，令 c=O ，得到长为a，宽为b的长方形，则我们就转到辅助问题。化沟期望小的问题

    的单向化归的另一例子是“特殊化”这一节的(3)，(4)，(5)。这些例子表明，有时

    凑巧，我们可

    能利用期望小的问题作为踏脚石，将辅助问题的解加上适当的

    补充说明，可以

    得到原问题的解。

    化为期望大的问题的单向化归也可能会成功(见“普遍

    化”这一节(2)及“归

    纳与数学归纳法”这一节(1)，(2)中所述第一问题化为第二问题

    的例子)。事实

    上，期望人的问题可能更容易着手；这就是“发明者的矛盾”。

    4.波尔查诺 (Bolzano)

    他是逻辑学家与数学家。在他逻辑学的综合性著作：

    《科学沦》中，有相

    当大一部分是关于探索法这一题目的(第三卷， 293 — 575 页)。

    在他著作的这一

    部分，他写道：“我根本不认为我在这里能够提出任何早先未

    曾为所有具有才

    华的人所察看出的研究过程；并且我也根本不想允诺你们可以

    从我这里发现这

    方面的很新颖的任何内容。但是，我将煞费苦心地用清晰的词

    句来说明所有有

    才能的人所遵循的研究规则与方法，这些有才华的人在大多数

    情况下，甚至不知道他们自己是遵循这些规则与方法的。虽然，即使正在做这

    件事的时候，我

    也不敢幻想我将会完全成功，但我仍然希望这里所提出的一孔

    之见会博得某些

    知音并在以后有所应用。”

    5.好念头

    这是对解答突然有进展的一种口语描述[参见“进展与

    成就”(6)]。好念

    头的出现，每个人都体验过，但只能心领神会而难于言传，所

    以提一提像亚里

    士多德这样古老的权威曾经偶然给过一个很有启发性的描述，可能会使人感到

    兴趣。

    大多数人会同意：想出一个好念头是一种“灵感活

    动”。亚里士多德对“灵

    感”所作的定义如下：“灵感就是在微不足道的时间里，通过猜

    测而抓住事物

    本质的联系。”例如说：“如果你看见一个人以某种方式和一个

    富翁谈话，你

    可能立刻猜想此人正在设法借钱。又如，观察到月亮发光的一

    边总是朝着太阳，你可能会突然想到为什么会这样：这是因为月亮是由太阳光照

    亮的。”

    第一个例子并不坏，但太庸俗了；关于富翁和钱这类事情不需要多少灵感

    来加以推测，并且那个念头也并不怎么高明。但第二个例子却

    给人以深刻的印

    象，如果我们发挥一点想象力把它联系其适当的背景来看的

    话。

    我们应当认识到，在亚里士多德的时代，因为没有钟

    表，如果他想知道时

    间，他必须观察太阳和星星；因为没有路灯，如果他计划在夜

    间旅行，他必须

    观察月亮的月相。他比现代的城市居民对天空熟悉得多，并且

    他的天生的智慧

    未被天文学理论的报刊出版物的生搬硬套的片言只语所蒙蔽。

    他把整个月亮看

    成是一只平盘，和太阳这只平盘相类似，但光辉暗淡多了。他

    一定曾经奇怪过

    月亮的形状和位置为什么老是在变化。他偶然也在白天观察过

    太阳，大约是在

    日落或日出的时候，并且终于发现“月亮发亮的一边总是朝着

    太阳”，这本身

    就是一个令人可敬可佩的成就。于是，现在他看出月亮变化着

    的外表好象一个

    从一侧照亮的球，所以它一半亮，另一半黑。他不再想象太阳和月亮是平盘了，而把它们想象或球状，一个发光，另一个受光。他理解本质的

    联系，他“在微不足道的时间里”突然改变了他以前的概念：想象力有了一个

    突然的跳跃，产

    生了一个好念头，这是天才的一次闪烁。

    6.你能检验这结果吗?

    你能检验这结果吗?你能检验这论证吗?对这些问题若

    能给出很好的回答，将加强我们对答案的信任并巩固我们的知识。

    (1) 数学问题的数字结果可以这样来检验，把它们与观测值或

    可观测数字在

    常识上的估计值相比较。由于产生于实际需要或天生好奇心的

    问题几乎总是以

    事实为基础的，所以可以预期这种与可观测事实作比较的步骤

    一般不能省略。

    但是每一个教师都知道学生在这方面能做出不可思议的事来。

    有些学生求出船

    的长度为 16,130 英尺，船长的年龄为8岁零二个月，顺便说一

    下，这位船长已经

    是一位祖父，对于这样一件事，他们也会坚信不疑，泰然自

    若。如此不顾明显

    的谬误并不一定说明他们愚蠢，而只不过对人为编造的问题漠

    不关心罢了。

    (2)“字母题”比“数字题”更容易接受有趣的检验(见第14节)。作为另

    外一个例子，我们考虑底为正方形的棱台。设下底边长为a，上底边长为b，高

    为h，则其体积为

    (a 2

    +ab+b 2)h3

    我们可用“特殊化”一节所讲的方法检验这结果。事实

    上，若 a=b ，则棱

    台成为棱柱，公式成为a 2

    h；若 b=O ，则棱台成为角锥体，公式

    成为a 2

    h3。我们

    还可用“量纲检验法”。事实上，公式的量纲是长度的立方。还

    有，我们可用

    数据的变化来检验公式；事实上，若正数值a，b或h中的任一个增大，则公式的

    数值也增大。

    这类检验不仅可用于最后结果，也可用于中间结果。它们是如此有

    用，值

    得讨论，参见“问题的变化”这一节第(4)点。为了能利用这种检验，我们可能

    发现把“数字题”加以普遍化并变为“字母题”是有好处的，参

    见“普遍化”

    这一节第(3)点。

    (3)你能检验这论证吗?在逐步检验论证时，我们应当避免单纯的重复。

    首

    先，单纯的重复容易令人厌烦，缺乏启发性，使人注意力涣

    散。其次，在我们曾经跌过一次跤的地方，如果环境与从前一样，我们可能再次

    跌跤。如果我们

    感到需要把整个论证重新逐步检查一遍，我们至少应当改变各

    步的次序，或者

    改变它们的分组，以引入某些变化。

    (4)排出论证中最薄弱的环节并首先加以审查，这只需

    要较少的劳力，而

    且更有兴趣。在挑出论证中值得审查之点时，一个很有用的问

    题是：你曾否利

    用了所有的数据?

    (5)很清楚，我们非数学方面的知识不能完全奠基在形

    式逻辑的证明上。

    我们日常知识的较可靠的部分是不断被我们每天的经验所检

    验，所加强的。在

    自然科学中，这种检验采取了细心试验与测量的形式，并与数

    学论证结合在一

    起。我们的数学知识能否只以形式逻辑的证明为基础呢 ?

    这是个哲学问题。我们不能在这里辩论。但肯定的

    是，你的数学知识，我

    的数学知识，或者你的学生的数学知识，都不是仅仅以形式逻

    辑证明为基础的。

    任何可靠的知识，必有深厚的实验基础，而且通过每个已成功地检验其结果的

    问题使这种基础更加坚实。

    7.你能用不同方式导出这一结果吗?

    当最终所得结果冗长而复杂时，我们自然揣测存在着

    某个更清楚而且少迂

    迥的解：你能用不同方式导出这一结果吗?你能一下子看出它

    吗?即使我们成功

    地找出一个令人满意的解，我们可能仍然对找出另一个解感兴

    趣。就象我们期

    望通过两种不同的知觉去感觉到一个物体一样，我们也期望用

    不同的推导方法

    去取得对理论结果的有效性的信心。就象我们看到一个物体后还想摸摸它一样，在有了一个证明后，我们希望找到另一个证明。

    两个证明比一个好。“抛两个锚更安全”。

    (1) 例子。求正圆台的侧面积S，已知它的下底的半径 R，上

    底半径r和高h。

    这个问题可用各种方法求解。例如，我们可能知道整个圆锥的

    侧面积的公式。

    由于圆台是从圆锥切去一个较小的圆锥而得到的，所以它的侧面积是两个圆锥

    侧面积之差；于是剩下要做就是把它用 R ，r，h来表示。把这

    个思路付诸实现，我们最后就得到公式

    S= π (R+r) ( R ? r )

    2

    + h 2

    在用这种或那种方法求得这结果以后，经过较长的演算后，我

    们可能希望有一

    个更为清楚并且较少迂迥的论证。你能用不同方式导出这结果

    吗?你能一下子看

    出它吗?

    为了能直观地看出整个结果，我们可以从尝试看出其

    各个部分的几何意义

    开始。这样，我们可能看出)

    2

    2

    ( R ? r + h

    是斜高的长度(圆锥可看作是由一个等腰梯形绕平行两边中点连线旋转而成的，斜高是该等腰梯形的腰；见图12)。此外，我们还可能发现

    π (R+r)=(2 π R+2 πr)2

    是圆台两底周长的算术平均值。注意公式的这同一部分也可改

    写为

    π (R+r)=2 π(R+r)2

    这就是圆台的中截面之周长(这里，我们称平行于圆台上底和

    下底并等分其高的

    平面与圆台的交为中截面)。

    在找到各部分的新解释以后，我们现在可以从不同角

    度来看整个公式。于

    是，我们可以这样读它：

    侧面积= 中截面周长×\u26012X高

    这里，我们可能回忆坦梯形面积的公式

    面积= 中线×\u39640X

    图12

    (此中线平行于梯形的两个平行边并等分其高)。只要

    直观地看到圆台侧面

    积和梯形面积这两种陈述间的类比关系，我们就可以“几乎一

    下子”看出圆台

    的整个结果。这就是说，对于以上经过冗长计算所得到的结

    果，我们现在感到

    非常接近于它的一个简短而直接的证明了。

    (2)上面的例子是典型的。我们不完全满足于我们所导

    出的结果，而希望

    去改进它，改变它。因此，我们研究这个结果，尝试去更好地

    理解它，尝试看

    出它的某个新侧面。我们可能对于结果的某一小部分首先成功

    地观察出一个新

    的解释。然后，我们可能相当幸运地发现观察其他部分的新方

    式。

    一个接一个地，审查各个部分，尝试用各种方式去考

    虑它们，我们可能终

    于能从不同角度看出整个结果，而我们关于结果的新概念可能

    给出一个新证明。

    人们可能认为，这种现象对于处理某个高级问题的有

    经验的数学家要比那

    些解决某个初等问题的初学者更有可能发生。可是，具有大量

    数学知识的数学

    家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危

    险。但作为补偿

    的是，有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重

    新解释，并且能

    把它们积聚起来，最终重新写出整个结果。

    不过，即使在低年级，学生也可能提出一个不必要那

    么复杂的解。于是，教师至少一次或者两次指出下列各点，他不但应该指出如何更

    简捷地解题，而

    且也应该指出如何找出存在于结果本身的更简短解答的线索。

    参见“归谬法与间接证明“一节。

    8.你能利用这个结果吗?借助于自己的方法来找出问题的解是发明创造。如果

    问题不太难，这发明

    创造也不大，但无论如何它毕竟还是发明创造。有了某个发明创造，尽管不大，我们也应该探索它后面是否有更多的东西。我们不应该错过由

    这新结果所开创

    的可能性，我们应该再尝试使用一次我们已经使用过的方法。

    要利用你的成功!

    对某个别的问题，你能利用这个结果或方法吗?

    (1) 如果我们对变化一个问题的主要方法，如“普遍化”，“特

    殊化”，“类

    比”，“分解和再组合”比较熟悉的话，我们就很容易想出一个

    新问题。我们

    从所提出的问题出发，用刚才提到的那些方法由它导出其他问

    题，从这些问题

    再导出别的问题，如此等等。从理论上说，这一过程是无限

    的，但在实际中，我们很少进行得很长，因为这样所得到的问题容易成为棘手的

    问题。

    另一方面，我们可以构造出新问题，这些新问题我们

    很容易利用以前所解

    决的问题加以解决，但这些易解的新问题又容易显得索然无

    味。

    找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易，这

    需要经验、鉴别能力

    和好运气。但是，当我们成功地解决了一个好问题以后，我们

    应当去寻拔更多

    的好问题。好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长。

    找到一个以后，你应当在周围找找；很可能在附近就有几个。

    (2) 我们打算用第8， 1O ，12，14，15节中讨论过的同一个例

    子来阐明上述

    论点。所以，我们从下列问题开始：

    已知长方体的长、宽、高，求外接圆的直径。

    棱锥体的底面是一长方形，其中心为棱锥体的高的

    足。已知棱锥体的高及

    其底面的各边，求各侧棱。

    已知空间中两点的直角坐标(x 1 ，y 1 ，z 1 ) ，(x 2 ，y 2 ，z 2 ) ，求此两点

    的距离。

    我们容易解决这些问题，因为它们和已知其解的原问

    题相差不多。在每一

    情况中，我们都对原问题加些新概念，如外接圆，棱锥体，直

    角坐标。这些概

    念容易加进去，也容易去掉，并且当去掉它们之后，我们又回到了我们原来的

    问题。

    由于我们引入原问题的概念是有趣的，所以上述问题

    也有一定的趣味。最

    后一个问题，即由两点的坐标确定其距离尤其重要，这是由于

    直角坐标很重要

    的缘故。

    (3)如果我们已知原问题的解，这里还有另外一个我们

    很容易解决的问题：

    已知长方体的长、宽和对角线，求其高。

    事实上，我们原问题的解主要在于：为四个量(即长

    方体的长、宽，高和

    对角线)建立一个关系式。如果这四个量中的任意三个为已

    知，则我们可以由这

    关系式求出第四个。于是新问题可解。

    对于从已有解的问题导出易解的新问题，这里有个模

    式；我们设原来未知

    数为已知，并将原来的已知数之一作为未知数。在这新、老两

    个问题中，联系

    已知数与未知数的关系式相同。在一个问题中找出关系式，我

    们即可把它用于

    求解另一个问题。

    这个通过变换数据的地位以导出新问题的模式和第(2)

    点中的模式迥然不

    同。

    (4)我们现在用其他的办法导出某些新问题。

    对我们的原问题很自然地使之普遍化，就得到下列新

    问题：已知一个平行

    六面体从对角线一个端点出发的三条棱以及三棱间的三个夹

    角，求平行六面体

    的对角线。

    用特殊化的办法，我们得到下列问题：已知正方体的棱长，求它的对

    角线。

    用“类比”的办法，我们可得无数多的各种各样变型的

    问题。下面几个是

    从第(2)点中所考虑的问题导出来的：已知正八面体的棱，求它的对角线。

    已知正四面体的棱，求外接球的半径。

    已知地球(假定为球体)表面上两点的几何坐标(经度和

    纬度)，求两点间的

    球面距离。

    所有上述问题都很有趣，但是只有用“特殊化”办法所

    得到的那个问题，才能直接在原问题的解的基础上求出它的解。

    (5)我们可以把原问题的某些元素看成变量，用这个办

    法从原问题导出新

    问题。

    第(2)点所述问题的一个特例是：已知正方体的棱，求

    它的外接球的半径。

    让我们把正方体和正方体与球的公共中心看成是固定不变的，但是可以改变球

    的半径。如果球的半径很小，则球在正方体内，随着半径的增

    大，此球胀大(就

    像一个橡皮的气球在充气的过程中)。在某一时刻，此球碰到

    这正方体的表面；

    再过些时候，碰到它的棱；再晚些，此球通过其顶点。在这三

    个关键时刻，球

    的半径应取何值?

    (6)如果一个学生从来就没有机会去解决一个他自己所

    发明创造的问题，那么他的经验是不完整的。教师可以向学生示范如何从一个刚

    刚解决的问题引

    出新问题，这样做可以引起学生的好奇心。教师也可以留一部

    分创造发明给学

    生。例如，他可以谈到刚才所讨论的那个膨胀的球，他可以问

    学生：“你打算

    计算什么?半径的哪些值特别有趣?”

    9.实现

    想出一个计划与贯彻一个计划是两码事。在某种意义

    上，这点对数学问题

    也成立；因为在实现求解的计划和想出这个计划二者之间，其

    工作特点是不同

    的。

    (1) 就像建桥时搭架来支持桥身一样，当我们考虑数学上最后

    的和严格的论

    证时，我们也可以利用临时的与仅仅似乎有理的论证。不过，当工作充分进展

    之后，我们拆去棚架，桥自己应能站得住。同理，当求解过程

    充分进展之后，我们将除去所有临时的和仅仅似乎有理的论证，而结论只能由

    严格的论证所支

    持。

    在制定求解的计划时，我们不应该过于害怕那些仅仅

    是似乎有理的，探索

    性的论证。这时任何能导致正确概念的东西都是对的。但当我

    们开始实现求解

    计划时，我们必须改变这种观点，这时我们应该仅仅承认确凿的、严格的论证。

    实现你的求解计划，同时检验每一步。你能清楚地看出这个步

    骤是正确的吗?

    在实现计划时，我们检验每一步花的力气越多，那么

    在制定计划时，我们

    就可以更自由地应用探索性论证。

    (2)我们应当适当考虑实现计划细节的工作程序，特别

    当问题是复杂的情况下更应如此。我们不应该略去任何细节，应该了解我们面前

    的细节对于整个

    问题的关系。我们不应该忽视主要步骤间的相互联系。因此我

    们应该按适当的

    次序进行。

    特别是，在我们有充分理由相信论证的主要步骤是正

    确的以前，我们去检

    验次要的细节是不合理的。如果论证的主要思路有破绽，那么

    检查这个或那个

    次要细节将无济于事。

    实现论证细节的次序和制定论证细节的次序可能是迥

    然不同的；而当我们

    把这些论证的细节最后写出来时，其次序可能更不同。欧几里

    得几何原理把论

    证的细节用一种刻板的、系统的次序提出来，这一点常为人效

    仿，但也常受人

    指责。

    (3)在欧几里得的著作中，所有论证都按同一方向进

    行：在“求解题”中，是从已知数据走向未知数，而在“求证题”中，是从前提走向结

    论。任何新元

    素如点、线等等，都必须正确地由已知数据推出或者从以前各

    步已正确导出的

    元素所推出。任何新推断都必须正确地由前提或者从以前各步已正确证出的推

    断所证明。每一步新元素，每一个新推断，当首次碰到时，都必须加以审查，因此它只须审查一次；我们可以把全部注意力只集中于当前这一步，我们既不

    必瞻前，也不必顾后。这最后的新元素(我们必须加以检验它的推导过程)就是

    未知数。这最后的新推断(我们必须审查它的证明过程)就是结论。如果每步都

    正确，则最后一步也正确，从而整个论证是正确的。

    如果目的是洋细审查论证，则欧几里得的论证展开方

    式很值得毫无保留地

    加以推荐。特别是，当论证是我们自己弄出来的，如果它冗长

    而复杂，同时我

    们不仅已经搞出来了，而且也已经从大的方面研究过它，所以

    除了审查其本身

    每个细节以外，再没有什么其他的事好做了，这时最好就是用

    欧几里得方式把

    整个论证写出来。

    如果目的是把论证传授给读者或一个从来没有听到过它的听众，那么

    就不

    能无保留地推荐欧几里得的论证展开方式。对于说明每一特定点而言，欧几里

    得论证展开方式是优越的，但在阐述论证的主要思路方面，则

    不那么好。“聪

    明的读者”很容易看到每步是正确的，但要看出其来龙去脉、目的以及整个论

    汪的联系，则具有很大的困难。造成困难的原因是：欧几里得

    论证展开方式所

    遵循的顺序，相当经常地与创造它时的自然顺序刚好相反[欧几里得论证展开方

    式严格地服从“综合”的程序；参见“帕扑斯”一节，特别是其中

    的评论(3)，(4)(5)]。

    (4)现在我们小结一下。欧几里得论证展开方式是严格

    地从已知到未知，从前提到结论，这对于详细检验论证是完美的，但对于了解整

    个论证的主要线

    索却远非完美无缺。

    我们非常期望学生能应用欧几里得方式来检验他自己

    的论证，但是这种工

    作也不应当搞得过分死板。我们并不期望教师用纯粹欧几里得

    方式给出许多证

    明。但是，在进行了本书所推荐的讨论，即学生在教师的指点

    下尽可能独立地

    发现求解的主要思路以后，再用欧几里得方式展开论证则是非常有用的。有些

    教科书采用的方式是：首先给出主要思路的直观提示，然后再

    用欧几里得的论

    证顺序说明各个细节，这看来也是合理的。

    (5)为了想知道自己的命题是否为真，认真的数学家尝

    试去直观地看出它，并给以形式逻辑的证明。你能清楚地看出它是正确的吗?你能

    证明它是正确的吗?

    在这方面，数学家很像一个到商店买布的妇女，为了想知道布

    的质量如何，她

    总是希望看看它，摸摸它。直观的洞察和形式逻辑的证明是感

    知真理的两种不

    同方式，这堪与通过视觉与触觉两种不同的感官来感知物体相

    比拟。

    直观的洞察可能远远超前于形式逻辑的证明。任何一

    个聪明的学生，无须

    任何系统的立体几何知识，当他弄清楚名词术语之后，他立刻

    能看出平行于同

    一直线的两直线彼此平行(此三条直线可以在同一平面上，也

    可不在同一平面

    上)。但证明这个命题则需要冗长、细致和创造性的准备工

    作，如欧几里得几何

    原理第11分册命题9所给出的那样。

    逻辑规划与代数公式的形式演算比直观要深入得多。

    几乎每个人都可立刻

    看出：任意取三根直线可划分平面为7部分(请看着它唯一确定

    的部分，由三根

    直线所围成的三角形)。但几乎没有人能看出(即使他是全神贯

    注、聚精会神地

    来看)；任意取的5个平面将空间分成26个部分。但是可以严格

    证明其准确数字

    确实是26，而且证明过程既不长也不难。

    实现我们的计划，同时检验每一步。检验每一步时，我们可以依赖直

    观洞

    察或形式法则。有时直观在前，有时形式推理在前。同时用两

    种方式来做则是

    个有趣又有用的练习。你能清楚地看出这一步是正确的吗?是的，我能很清楚地

    看出它来。这是直观走在前面了；但形式推理能否紧紧跟上

    呢?于是，我们问：

    你是否也能证明它是正确的?

    尽可能形式地证明我们所直观看到的，以及尽可能直观地看出我们所形式

    证明过的，这是一种增进智力的练习。不幸，在教学中，并不

    总有足够的时间

    来这样做。第12，14节所讨论的例子在这方面是典型的。

    10.条件

    条件是“求解题”的一个主要部分。参见“求解题，求

    证题”一节第(3)

    点，还可参见“新旧术语”一节第(2)点。

    如果一个条件包含了过多的部分，则此条件称为多余

    的。如果一个条件的

    各部分互相矛盾并且互不相容以致无对象可满足此条件，则此条件称为矛盾的。

    这样，如果条件用比未知数个数多的线性方程来表

    达，则它不是多余就是

    矛盾的；如果条件用比未知数个数少的方程来表达，则它是不

    充分的，不足以

    确定未知数；如果条件用与未知数个数一样多的方程来表达，那么在通常情况

    下，它对于确定未知数正好是充分的，但在例外情况下，也可

    能是矛盾的或不

    充分的。

    11.矛盾

    参见“条件”一节。

    12.推论

    推论是一个定理，它是在研究另外一个刚求得的定理

    时很容易推出来的定

    理。推论(Corollary)这个字来源于拉丁文，一个更口语化的泽

    法是“小费”或

    “酒钱”。

    13.你能从已知数据导出某些有用的东西吗?

    在我们面前有个未解决的问题，一个随便用什么方法

    处理的问题。我们必

    须找出已知与未知间的联系。我们可以把我们待解的问题表示

    成已知与未知之

    间的广阔空间，当作已知与未知之间的一道鸿沟，在其上需要

    架桥。我们架桥

    可以从任何一边(从未知或者从已知)开始。

    看着未知数!试想出一个具有相同或相似未知数的熟

    悉问题。这是建议你

    从未知数开始进行工作。

    看着已知数!你能从已知数导出什么有用的东西吗?这

    是建议你从已知数

    开始进行工作。

    通常，从未知数开始论证似乎更为可取(参见“帕扑斯”和“倒着干”这

    两节)。但另一种起步方法是从已知数开始，也有成功的可

    能，也必须常常试试，并值得加以说明。

    例子：给定三点 A ， B ， C 。过 A 作一线与 B ， C 等距

    离。

    已知是什么?给定三点 A ， B ， C 的位置。我们画一张

    图，表示已知的事项(图

    13)。

    图13

    未知是什么?一条直线。

    条件是什么?所求直线过 A ，且与 B ， C 等距离。我们

    把未知事项与已知事项放在一张图中，表示出所需要的关系(图14)。根据点到直线距

    离的定义，图14

    上表示出了定义中所包含的直角。

    这样画出的图未免太“空旷”。把未知的直线与已知的

    A ， B， C 相连结，看来不能令人满意。图14需要某条辅助线，还要加点什么——

    但是要加什么呢?

    一个高水平的学生对此也可能一筹莫展。当然，有各种办法可

    试，但帮助学生

    精神重新振作起来的最好问题是：你能从已知事项导出什么有

    用的东西?

    图14

    实际上，已知是什么?就是图13中表示的三个点，再

    没有别的了。我们迄今尚未充分利用过点 B 和 C ；我们必须从它们导出什么有用的

    东西。但是只有两

    个点，你能做什么呢?把它们用一条直线连起来。这样，我们

    就画出图15。

    图15

    如果我们把图14和图15叠起来，问题的解答可能突然

    闪现出来。这里有两

    个直角三角形，彼此全等，还有一个十分重要的新交点。

    14.你能重新叙述这个问题吗?

    你能重新叙述这个问题吗?你能否重述得更不同些?提

    出这些问题的目的

    是找出合适的“变型的问题。”回到定义去。参见“定义”一节。

    15.分解与重新组合

    分解和重新组合是重要的智力活动。

    研究一个引起你兴趣或者挑起你好奇心的对象：如，一间你打算租用

    的房

    子，一封重要而又神秘的电报，或者任何一个来龙去脉及其目

    的部使你困惑不

    解的事物，或者任何一个你打算解决的问题均可做为研究的对

    象。你对于这个

    对象有一个整体的印象，但这印象很可能还不够明确。你想起

    了一个细节，你

    便集中注意力于它。然后，你又注意到另一个细节；以后又注

    意到其他一个。

    细节的各种组合都可能呈现出来，过了一会儿，你又把对象当

    作整体来加以考

    虑了，但现在你是从不同的角度来看它了。你把整体分解成许

    多部分，然后你

    又把各个部分重新组合成或多或少有些不同的整体。

    (1) 如果你钻到细节中去，你可能会在细节中迷途。过多或过细的具体情节

    是脑力的一种负担。它们如一叶障目会阻碍你充分注意主要之

    点，甚至使你完

    全看不到主要之点，只见树木而不见森林。

    我们当然不希望为不必要的细节去浪费我们的时间，我们应该把我们

    的精

    力用到主要内容上。困难就在于我们事先说不出哪些细节最后

    会变成主要的，而哪些又不会。

    因此，我们首先应当把问题作为一个整体来了解。在弄清了问题之

    后，我

    们将处于较有利的地位来判断哪些具体细节可能是最主要的内

    容。在研究过一

    两个主要之点以后，我们将会处于更有利的地位来判断还有哪

    些细节可能值得

    较细致的研究。让我们进入细节并将问题逐步地加以分解，但

    不要超过我们所

    需要的程度。

    当然，教师不能期望所有的学生都在这方面干得很出色。正相反，有

    的学

    生有一种非常愚蠢、非常坏的习惯，他们在把问题当作整体来

    了解之前就贸然

    从细节开始工作。

    (2)我们将考虑教学问题，“求解题”。

    在把问题作为一个整体加以理解，并了解过其目的，其主要点之后，我们

    希望开始了解细节。我们应该从哪儿开始?几乎在所有的情况

    下，从考虑问题的

    主要部分(即，未知数，已知数与条件)开始是合理的。我们要

    在几乎所有的情

    况下奉劝读者从下列问题开始详细研究：未知数是什么?已知

    数是什么?条件是

    什么?

    如果我们希望研究进一步的细节，我们应当怎么办?

    通常适当的办法是去

    研究每个数据本身，并且把条件的各个部分分开，再研究每一

    部分本身。

    特别是当我们的问题比较困难时，我们可能感到很有

    必要进一步把问题再

    分解成几部分，并研究其更细微的末节。这样，我们就可能有

    必要回到某个术

    语的定义去，需要引入此定义所涉及的新元素，并加以研究。

    (3)分解问题以后，我们试用某个新方式重新组合其元

    素。尤其是，我们

    可能尝试把问题的元素重新组合成某个新的、更好下手的问

    题，这个问题我们

    可能当作一个辅助问题。

    当然，重新组合的可能性是无限的。困难的问题需要

    有一种神奇的、不寻

    常的、崭新的组合。而解题者的才能就在于组合的独创性。但

    也存在着某些普

    通的、相对简单的组合，它们对于较简单的问题而言已经够

    用。对于这样的组

    合我们应当彻底加以了解并且首先试用，即使我们最后不得不

    求助于不太显而

    易见的方法。

    以下是个形式上的分类，其中简洁地列出了最普通和

    最有用的组合。从所

    提问题构造出一个新问题，我们可以：

    (I) 保持未知数不变而改变其他(已知数与条件)；或者

    (II) 保持已知数不变而改变其他(未知数与条件)；或者

    (III)同时改变未知数和已知数。

    我们将研究上述几种情况。 [ 情况(I)与情况(II)是交叠的。事实上，有可能同时保持未知

    数和已知数

    不变而只改变条件的形式来变换问题。例如下列两个问题，虽

    然看起来等价，但并非完全相同：

    给定一边，作一个等边三角形。

    给定一边，作一个等角三角形。

    在本例中，两个命题的差别很小，但这点差别在别的

    情况下则可能至关重

    要。后面这类情况虽然在某些方面很重要，但我们在这里却不

    能占用过多的篇

    幅来讨论它们。请与“辅助问题”那节的第(7)点最后一点说明相

    比较]。

    (4)为了变换所提的问题，保持未知数而改变已知数与

    条件是经常用到的。

    “看着未知数”的建议是针对具有相同未知数的问题的。我们可

    以回忆一个早

    已解决的同类问题：尝试想起一个具有相同或相似未知数的熟

    悉问题。如果想

    不起来，就努力创造一个：你能想起便于确定未知数的其他已

    知数吗?

    一个新问题与所提问题关系越密切，则其有用的可能

    性越大。所以，我们

    要保持未知数不变，同时也试图保持某些已知数和某一部分条

    件，并在允许的

    范围内使改变尽可能地少，只改变一两个已知数和一小部分条

    件。一个好办法

    是：我们只略去某些东西而不增添任何东西；我们保持未知

    数，保持仅仅一部

    分条件，舍去其他部分，但不引人任何新的条件或巳知数。关

    于这种情况的例

    子和说明见第7，8点。

    (5)保持已知数不变，同时我们可以尝试引入某些有用

    的和更好着手的新

    未知数。这样一个未知数必须是由原数据得到的。于是，当我

    们问：“你能不

    能从已知数导出某些有用的东西?”时，我们脑海中就有了这样

    一个未知数。

    我们注意到最好能满足下面两点：第一，新未知数应当更好着手，即，它

    比原来的未知数更容易从已知数求得。第二，新未知数应当是有用的，即求出

    它以后，它应该在求解原未知数方面能起到某些肯定的作用。

    简而言之，新未

    知数应该是一块踏脚石。它是小河中间的石块，它和我们的距

    离比我们所欲到

    达的彼岸更近，当我们踏上这石块时，它会帮助我们向彼岸迈

    进。

    新未知数应当是既好着手又有用，但在实际中，我们往往不得不只满

    足于

    其中的一点。如果提不出什么更好的东西，那么从已知数导出

    某些可能有用的

    东西也是值得的；同样，引入一个和原未知数密切相关的新未

    知数，即使这个

    新未知数乍一看来并不特别好下手，这样做也是合理的。

    例如，如果我们的问题是找出平行六面体的对角钱

    (如第8节)，我们可以

    引入一个平面上的对角线作为新未知数。我们这样做或者是因

    为我们知道从平

    面上的对角线可以求出空间的对角线(如第10节)；或者是由于

    我们看出平面上

    的对角线容易求，而我们猜测它在找出空间的对角线方面可能有用(请与“你是

    否利用了所有的已知数?”一节相比较)。

    如果我们的问题是作一个圆，我们必须找出两样东西：圆心和半径；

    我们

    可以说，这问题有两部分。在某些情况下，一部分较另一部分

    更好着手，因此，在任何情况下，我们都可以合理地对下述可能性考虑片刻：

    你能解决问题的

    一部分吗?在提这个问题时，我们应当衡量衡量各种可能性：

    是集中注意力于圆

    心呢，还是集中注意力于半径?选这个作新未知数，还是选那

    个作新未知数?哪

    个上算?这类问题常常是非常有用的。在更复杂或更高级的问

    题中，决定性的念

    头经常出现在把某个更好着手，同时又是主要的部分从问题中

    剖析出来的过程

    之中。

    (6)同时变换未知数和已知数。这样做，我们离开原问

    题比上面更远。我

    们当然并不喜欢这样；我们意识到这样会有完全失去原问题的

    危险。但如果其

    他变动较少的办法不能得出又好着手又有用的东西，那我们就

    迫不得已只好使

    用这种变动较大的办法了；或者，如果这样得出的新问题有较

    大成功的希望，我们就可以被吸引到离开原问题如此远的地方来。如果需要的

    话，你能不能改变未知数已知数，或者两者都改变，以使新未知数和新已知数

    彼此更接近?

    同时改变未知数和已知数的一个有趣的方式是把未知

    数与数据之一进行

    互换(参见“你能利用这结果吗?”一节第3点)。

    (7) 例子。已知三角形一边a、垂直于a的高h和a的对角a，作

    一个三角形。

    未知是什么?一个三角形。

    已知是什么?两条线段a，h和角a。

    现在，如果我们对几何作图问题还比较熟悉的话，我

    们可尝试把这样一个

    问题化简为点的作图问题。

    我们画线段 BC 等于边长a，所有余下要找的就是三角形

    图16

    中a边所对的顶点 A( 见图16)。这样我们就有了个新问题。

    未知是什么?点 A 。

    已知是什幺?直线h，角a，已给定位置的两点 B ， C 。

    条件是什么?点 A 到直线 BC 的垂直距离应为h，∠ BAC= α。

    事实上，我们已经变换了我们的问题，改变了未知和已知。新的未知

    是一

    个点，老的未知是一个三角形。在这新老两个问题中，某些已

    知事项是共同的，即线段h和角α；但在老问题中给定的是长度a，而现在则代之

    以给定两点 B 与 C 。

    新问题不难。下列建议使我们十分接近于解。

    把条件的各个部分分开。本题的条件有两部分，一个

    与已知的h有关，另一

    个与已知的α有关。对这个未知点要求：

    (I) 对直线 BC 的距离为h；

    (II)成为一角的顶点，此角大小为α，其两边通过给定

    点 B， C

    如果我们只保留一部分条件，而舍去其余部分，则此

    未知点不能完全确定。

    有许多点都可满足条件中的(I)这一部分，这就是那些位于平行

    于 BC 且相距为h

    的平行线上的所有点。这根平行线是满足部分条件(I)的点的

    轨迹。满足部分

    条件(II)的点的轨迹是一圆弧，其端点为 B 与 C 。我们可画出这

    两个轨迹；它们

    的交点就是我们所求作的点。

    ——————

    ：过 B 与 C 的直线把平面一分为二，我们选择其中之一在它上

    面作出 A 。所以这

    里我们可以只考虑 BC 的一根平行线，否侧我们应当考虑两根这

    样的平行线。

    方才所用的程序颇有趣味；解决几何作图问题时，我

    们常常可以成功地按

    照其模式，即：把问题化简成作一个点，并将此点当作两轨迹

    的交点来作图。

    但这个程序的某一步具有更普遍的意义，在解决任何类型的“求解题”时

    我们可遵循它的模式，即：仅仅保留一部分条件，合去其余部

    分。这样做，我

    们所提问题的条件减弱了，我们对未知数的约束减少了。这样

    未知数能确定到

    什么程度?它能怎样改变?通过提问这点，我们实际上是建立了

    一个新问题。如

    果未知的是平面上的一个点(如我们例中的情况)，那么确定此

    点所作出的轨迹

    就蕴含了该新问题的解。如果未知的是其他类型的数学对象(在第18节中是一个

    正方形)，则我们必须恰当地描述并精确地规定对象的某个集合的特征。 即使

    这未知事项不是个数学对象(如下述8中的例子)，我们去考虑并找出其特征，去

    描述或列举那些满足原问题中关于未知事项的部分条件的对象

    也可能是有用

    的。

    (8)例子。在一个纵横填字字谜中，允许使用同音异义的双关语和倒字，我们发现该字谜有下列暗示：

    ————————

    译注：倒字指颠倒一字的字母顺序而成的字，如live

    与 evil

    “一个机器中的向前与向后的部分 (Forward and backward part

    of a

    machine)( 有五个字母)”

    未知数是什么?一个字。

    条件是什么?这个字有五个字母。它与某种机器的某

    部分有关。当然，它

    应该是个英文字，并且我们希望它不是很生僻的字。

    这条件对于确定此未知数是否充分?不，或者不如

    说，这条件可能是充分

    的，但现在已经清楚的那部分条件肯定是不充分的。满足它的

    字太多，如“lever”

    (操纵杆)，或“ screw ”(螺钉)等等。

    此条件表达得含混不清——当然是故意的。如果找不

    到什么东西可以似乎令人可信地描述为机器的“向前部分”，如果对其“向后部分”也

    是这样，我

    们可以猜测它可能指的是向前和向后阅读。研究字谜暗示的这

    种解释也许是个

    好念头。

    把条件的各个部分分开。此条件有两个部分，一个与

    字的意义有关，另一

    个与拼法有关。对此未知字的要求是：

    (I) 是一个短字，它的含义是某种机器的某个部分；

    (II)是一个有五个字母的字，它倒过来拼时还成为一

    个字，它的意思是某

    个机器的某个部分。

    如果我们仅保留条件的一部分而舍去其余部分，未知

    字就无法完全确定。

    有许多字满足条件的部分(I)，这也是一种轨迹。我们可以“描述”这个轨迹(I)，

    并“跟踪”它直至得到它和轨迹(II)的交点。比较自然的程序是

    集中力量于条

    件的部分(I)，去收集具有规定含义的字，在收集到若干个这样

    的字以后，我们

    检查它们的字长是否合乎规定，是否能倒过来念。这样，在得

    到正确的字以前，我们可能收集到下述几个字：lever(操纵杆)， screw( 螺钉)，wheel( 轮)，shaft(轴)， hinge(铰链)，rotor(发电机的转子)。

    当然是“rotor”(发电机的转子)。

    (9)在上述(3)中，我们对提出的“求解题”的元素重新

    组合得到一个新“求

    解题”的种种可能性进行了分类归纳。如果我们所引进的并不

    正好是一个新问

    题，而是两个或多个新问题，那么就有更多的可能性。这点我

    们必须提到，但

    不打算分类归纳了。

    还有别的可能性。特别是，“求解题”的解可能依赖于“求证题”的解决。

    我们只是提一提这种重要的可能性。由于篇幅所限，不再予以讨论。

    (10)对于“求证题”，我们只需少量的附加说明。这些

    说明和前面“求解

    题”较为广泛详尽的说明【(2)至(9)】相类似。

    对求证题的整体有了了解以后，我们一般应当研究它

    的主要部分，即我们

    欲证或欲推翻的定理的前提和结论。我们必须彻底了解这些部

    分。前提是什么?

    结论是什么?如果需要停下来注意更多的特定点，我们可以把

    前提的各部分分

    开，并且考虑每个部分本身。然后我们可以考虑其他细节，一

    步步深入地把问

    题分解成许多部分。

    在分解问题以后，我们尝试用某种新方式将其元素重

    新组合。特别是，我

    们可以把元素重新组合成另一定理。在这方面有三种可能性。

    (I) 我们保持结论不变而改变前提。我们首先试图找出这样一

    个定理：看着

    结论!并试想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。如果

    找不到，我们就创造一个：你能否想起另外一个很容易导出结论的前提?我们可

    以用省略某些东西

    而不是添加某些东西的办法来改变所提问题的前提：只保留前

    提的一部分，而

    舍去其余部分，这结论是否仍有效?

    (II)我们保持前提不变而改变结论：你能从前提导出

    某些有用的东西吗?

    (III)我们同时改变前提和结论。如果只改变一个不

    行，我们可能倾向于

    同时改变两个。如果需要的话，你能否改变前提，或结论，或

    二者都改变，以

    使新前提和新结论彼此更接近?

    我们这里不打算对下述情况所引起的各种可能性加以

    分类归纳。这些情况

    是：为了解决所提出的“求证题”，我们引人两个或更多的

    新“求证题”，或

    者我们把“求证题”和适当的“求解题”联系起来考虑。

    16.定义

    一个术语的定义就是用其他假定已为人所周知的术语

    来阐明该术语的意

    义的一个语句。

    (1) 数学中的专业术语有两类。有些作为原始术语不加定义而

    被接受。其余

    则当作派生的(导出的)术语而用适当的形式加以定义；也就是

    说，其意义用原

    始术语和先前已经定义过的派生术语来加以陈述。这样，对于

    点，直线，平面

    这样的原始术语，我们并不给出形式的定义。但对于“分角线”，“圆”，“抛

    物线”这类概念，我们要给出形式定义。

    ————————————

    ：在这方面，自欧几里得及其希腊追随者的时代以来，观念

    已经有所变化。他

    们曾定义过点、直线与平面，然而他们的定义与其说是形式定

    义，还不如说是

    一种直观的说明。当然，直观说明是允许的，在教学中，甚至

    是非常希望的。

    上述最后一个带引号的术语可定义如下：抛物线是下

    述点的轨迹，这个点距离一定点和一定直线的距离相等。该定点称为抛物线的焦

    点，而该定直线称

    为抛物线的准线。不言而喻，所有上面所考虑的元素是在一确

    定平面中并且上

    述定点(焦点)不在定直线(准线)上。

    我们假定读者并不知道所定义的术语：抛物线，抛物

    线的焦点，抛物线的

    准线。但我们假定读者知道所有其他各个术语的意义，如点，直线，平面，点

    与另一点间的距离，确定的轨迹等等。

    (2)字典中的定义从表面上看来，和数学定义并无多大

    区别，但他们是以

    不同的旨意写的。

    字典的作者关心各个字当前流行的含义。当然，他接

    受这流行的意义并以

    定义的形式尽可能简洁地加以陈述。

    可是数学家却不关心他的专业术语有什么流行的意

    义，至少他主要不关心

    这点。“圆”或“抛物线”或其他这类专业术语在日常说话中可能

    表示什么，也可能不表示什么，这与他无关。数学定义产生数学上的意

    义。

    (3)例子。已知抛物线的焦点和准线和一直线，求作此

    抛物线与已知直线

    的交点。

    我们解决任何问题的方法必定由我们知识的状况所决

    定。所以，目前这个

    问题的解决方法主要取决于我们对抛物线性质的熟悉程度。如

    果我们对抛物线

    知道得不少，那么我们可以尝试去利用我们的知识，从这些知

    识中汲取有益的

    东西：你知道一个能被利用的定理吗?你知道一个与此有关的

    问题吗?如果我们

    对抛物线、焦点、准线所知甚少，那么这些术语不免令人望而

    生畏，我们自然

    想摆脱它们。怎样摆脱它们呢?请听下面教师与学生关于这个

    问题的一段对话。

    他们选取了适当的记号：P为任何未知交点，F为焦点，d为准

    线，c为与抛物线

    相交的直线。

    “那么，未知是什么?”

    “点P”

    “已知是什么?”

    “直线c与d，与点F。”

    “条件是什么?”

    “P是直线c和抛物线的交点，抛物线的准线为d，焦点

    为F。”

    “对。我知道你对抛物线了解不多。但我想你能够说

    出抛物线是什么?”

    “抛物线是与焦点和准线距离相等的点的轨迹。”

    “对。这定义你记得很对。那很好，但我们还必须利

    用它；回到定义去。

    根据抛物线的定义，关于点P你有什么可说的吗?”

    “P在抛物线上。因此，P与d和F的距离相等。”

    “好，画张图。”

    学生在图17上引入线 PF 与 PQ ，后者是P点向d所作垂

    线。

    图17

    “现在，你能重新叙述这个问题吗?”

    “利用刚才引入的线，你能重新叙述这个问题的条件

    吗?”

    “P是在线c上使 PF=PQ 的点。”

    “好，请用文字说明： PQ 是什么?”

    “P到d的垂直距离。”

    “好，现在你能重新叙述这个问题吗?请用明确而又简

    洁的句子加以叙述。”“在已知直线c上作点p，使它和已知点F及已知直线d

    等距离。”

    “看看从原来的说法到你现在的说法之间有多大进步

    吧!对这问题，原来

    的说法充满了不熟悉的专业术语，抛物线呀，焦点呀，准线

    呀；听起来未免有

    点装腔作势和趾高气扬，而现在一点儿也没有那些不熟悉的专

    业术语了；你已

    经使这个问题简练了。干得好!”

    (4)消去专业术语。上面例子的工作结果就是消去了专

    业术语。我们从一

    个包含某些专业术语(抛物线、焦点、准线)的问题的陈述开

    始，而最终找到了

    没有这些术语的陈述。

    为了消去一个专业术语，我们必须知道这个专业术语

    的定义；但仅知其定

    义还不够，我们还必须利用定义。在上例中，只记得抛物线的

    定义是不够的。

    决定性的一步是在图中引入直线 PF 和 PQ ，根据抛物线的定义这

    二者是相等的。

    这过程是典型的。我们在问题的概念中引入适当的元素。我们

    在定义的基础上建立所引入的元素之间的关系。如果这些关系完全表达了术语

    的含义，则我们

    就已经利用了定义。利用了定义，我们同时也就消去了专业术

    语。

    刚才所叙述的过程可称为：回到定义去。

    用回到一个专业术语定义的办法，我们除去了这个术

    语，而代之以新元素

    和新关系。这在我们的问题的概念中所产生的变化可能很重

    要。无论如何，对

    问题的某种重新叙述，“问题的某种变化”是与结果密切相关

    的。

    (5)定义与已知定理。如果我们知道“抛物线”这个名词

    并且关于其曲线

    形状具有某些模糊概念，但此外别无所知，那么我们的知识显

    然不足以解决作

    为例子的这个问题或其他有关抛物线的重要几何问题。为此目

    的，我们需有哪

    类知识呢?

    我们可以认为几何这门学科是由公理、定义与定理所组成。在公理

    中，并未提及抛物线，公理只处理点、直线等这类原始术语。有关抛

    物线的几何论证

    和任何涉及抛物线的问题的求解都必须利用关于抛物线的定义

    或定理。为了解

    决这样的问题，我们至少必须了解其定义，当然如果还知道某

    些定理则更好。

    显然，我们关于抛物线所说的一番话，对于任何派生概念都同样成

    立。当

    我们开始解决一个涉及这种派生概念的问题时，我们还不知道

    在定义或某些有

    关它的定理中，我们选用哪一个比较好一些；但有一点是肯定

    的，我们必须选

    其中一个。

    然而在有些情况下，我们并没有选择的余地。如果我

    们只知道概念的定义，别无其他，我们就只好被迫采用这定义。如果我们所知并不比

    定义为多，我们

    最好的机会可能是：回到定义去。但是，如果我们知道有关概

    念的许多定理，并且已有许多使用这些定理的经验，那么我们就有机会找到一

    个涉及上述概念

    合适的定理。

    (6)几个定义。球通常定义为：与一定点保持定距离的

    点的轨迹(现在所说

    的是空间的点，不限于平面)。但球也可定义为：一圆绕直径旋转所描画的表面。

    我们还知道另外一些关于球的定义，可能还有许多其他的定

    义。

    当我们必须求解含有派生概念(如“球”，“抛物线”)的

    问题，并且当我

    们希望回到它的定义去的时候，我们可能需要就各种定义进行

    选择。在这种情

    况下，选择适合情况的定义至关紧要。

    在阿基米德时代，求出球面积是个伟大而艰巨的任

    务。阿基米德曾经就我

    们刚才所引述的两种球的定义进行选择。他宁愿把球看成由一

    个圆环绕一个固

    定直径旋转而成。他在圆内内接一正多边形，边数为偶数，多

    边形的固定直径

    连接相对的顶点。此多边形近似于圆，且与圆一起旋转，产生

    了一个凸面，其

    两端为两个锥体，顶点在固定直径的两端，中间是若干个圆

    台。此复合表面近

    似于球，阿基米德就用它来计算球面积。但如果我们把球看成

    距离中心距离相

    等的点的轨迹，那么对于球面就提不出如此简单的近似。

    要。

    (7)在考虑论证时，回到定义去固然重要，但在检验论证时，这点也很重

    有的人提出了自称为阿基米德球面问题的新解答。如果他对球仅有模糊

    的

    概念，则他的解不会有任何高明之处。如果他对球的概念是清

    楚的，但却不会

    在论证中使用它，那么我就无法知道他究竟有没有什么概念，从而他的论证也

    不会是高明的。所以，我在倾听别人论证的时候，我总期待在某一时刻他将说

    出某些关于球的实质性内容，用到球的定义或者某个关于球的定理。如果等来

    等去总等不到这样一个时刻，那么他的解答一定不行。

    我们不仅应当检验别人的论证，而且当然也应当用同

    样的方式检验我们自

    己的论证。你是否已经考虑了问题中所包含的所有基本概念?你是怎样利用这个

    概念的?你是否利用过它的意义，它的定义?你是否利用了它的

    基本事实，有关

    它的已知定理?

    巴斯卡也曾强调过“回到定义去”在检查论证的有效性方面的重要性。他

    叙述过这样一条规则：“在心里用定义的事实代替被定义的术

    语。”哈达马得

    曾强调：“回到定义去”在想出论证方面也是重要的。

    (8)回到定义去是一项重要的智力活动。如果我们希望

    了解为什么字的定

    义如此重要，那么我们应当首先认识到，字是重要的。如果不

    用字，不用符号

    或某种记号，我们几乎不能思维。所以，字和符号是有威力的。原始民族信仰

    字和符号具有魔力。我们可以理解这种信仰，但却不可苟同。

    我们应当知道：

    字的威力不在于它的声音，也不在于说话者送出的一阵气息，即“热气”，而

    在于字给我们提示的概念以及这些概念最终所依据的事实。

    因此，寻求字面背后的意义和事实是一种健全的倾向。对于回到定义

    去，数学家寻求的是：掌握那些在专业术语后面数学对象间的实际

    关系；物理学家

    寻求的是：专业术语后面的明确实验；而具有某种常识的普通

    人则希望找出铁

    的事实而不仅仅为字面所愚弄。

    17.笛卡尔

    笛卡尔是大数学家与大哲学家。他计划给出一个解题的普通方法，但

    是他

    仅留下他的未完成遗作：“思维指导法则”。在他死后从他的手

    稿中所发现并

    印刷出版的这篇论文的片断比他那篇更为人所知的文章：“方

    法论”包含有更

    多的也更有趣的有关解题的材料，虽然“方法论”比“法则”的写

    作日期还要

    晚。看来，笛卡尔下面这段话叙述了写“法则”的动机：“当我

    年青的时候，我听见有关天才的发明，甚至在我还没有读过作者的著作以前

    我就尝试自己去

    发明它们。这么做，我发觉我在某种程度上利用了某些规则。

    18.决心，希望，成功

    认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重

    要。

    半心半意和懒洋洋地同意做一点事情，对于在教室中做代公式

    题可能是够了。

    但是，去求解一个严肃的科学问题需要坚强的意志才能成年累

    月地含辛茹苦和

    百折不挠。

    (1) 决心随着希望与失望，称心与挫折而波动摇摆。当我们认

    为解答就在眼

    前时，决心很容易维持；当我们陷入困境，无计可施时，决心

    很难保持下去。

    当我们的推测成为现实时，我们欢欣鼓舞。当我们以某种信心

    所遵循的道路突

    然受阻时，我们又不免垂头丧气，我们的决心也随之动摇了。

    “你能无望而受命，百折而不挠。”这才称得上意志坚强，受人尊敬和信

    受职责，才是一个具有崇高目标的高尚的人，然而这类决心对

    于科学家则大可

    不必，科学家应当抱有某些希望才开始工作，并且应当有某种

    成功才继续干下

    去。在科学工作中，决心的大小必须灵活地根据前景而定。除

    非你对一个问题

    有某些兴趣，你才去着手解答它；如果这问题看来有指导意

    义，那么你就定下

    心来认真地去作；如果它很有搞头，你就全力以赴。一旦你目

    标已定，你就要

    锲而不舍，但你的日标对你自己来说不可过高。你不要轻视微

    小的成功，相反，你要追求它们：如果你不能解决所提问题，首先尝试解决某个

    有关的问题。

    (2) 当一个学生的错误实在很大或者迟钝得令人恼火时，原因

    几乎总是相同

    的：他根本不想解题，甚至不愿正确理解这个问题，所以他对

    问题并未理解。

    因此，凡是真心希望帮助学生的教师首先应当挑起学生的好奇

    心，给他某种解

    题的愿望。同时教师也应当给学生一一些时间，使他下定决

    心，定下心来做他

    的功课。

    教学生解题是意志的教育。当学生求解那些对他来说

    并不太容易的题目

    时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待

    主要的念头，学

    会了当主要念头出现后全力以赴。如果学生在学校里没有机会

    尝尽为求解而奋

    斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。

    19.诊断

    这里，诊断用作一个教育方面的专业术语，其含义

    是：“对学生的工作进

    行更细致的鉴定。”分数虽然对学生也是一种鉴定，但多少有

    些粗糙。希望改进学生工作的教师需要对好的地方和坏的地方作更细致的鉴

    定，就象一个希望

    改进病人健康状况的医生需要诊断一样。

    这里我们特别关心学生解题的效率。我们如何鉴定它

    呢?我们可以利用解

    题四阶段间的差异。事实上，学生在不同阶段的行为是很有特

    点的。

    由于思想不集中而造成的对问题了解不完整大概是解

    题中最为常见的毛

    病。至于在制定一个计划并得到求解的一个总的概念这一阶段

    中，常见的是两

    种截然不同的毛病。有的学生没有任何计划或总的概念，就急

    急忙忙地选人具

    体计算和作图；另外一些学生则笨头呆脑地干等着某个念头的

    降临，而不会做

    任何事情去加速其来到。在实现计划阶段，最常见的毛病是粗

    枝大叶，不耐心

    检查每一步。根本不检查结果是屡见不鲜的；学生乐意得到一

    个答案，丢下笔

    结束，对于最靠不住的答案他们也满不在乎。

    对这类毛病作出细心的诊断以后，教师有某种可能来

    医治它，办法是向学生不断提出表中所列的某些问题。

    20.你是否利用了所有的已知数?

    由于我们的知识是逐步增加的，我们对问题的概念在

    结束时要比开始时丰

    富得多(参见“进展与成就”一节第1点)。但现在它怎么样了?我

    们已经得到所

    需要的了吗?我们的概念足够吗?你是否利用了所有的已知数?

    你是否利用了整

    个条件?对于求证题，相应的问题是：你是否利用了全部前提?

    (1) 作为说明，让我们回到第8节(接下来是第10，12，14，15

    节)中所讲的

    “长方形问题”。有可能出现下述情况：学生想到了怎样计算一

    个平面的对角

    线，a 2

    + b 2

    ，然后他停滞不前了。教师可以帮助他而提问：你利用了所有的

    已知数吗?这时学生差不多总会看出：表达式a 2

    + b 2。中未包含第三个数据c。

    因此，他应当试试让c出现。这样一来，他很有可能发现那个

    关键的直角三角形，其二边为a 2

    + b 2

    ，和 c而其斜边就是所求的长方体的对角线(见“辅助元素”

    一节第(3)点，那里有另一个说明)。

    我们这里所讨论的问题非常重要。它们在寻找一个解

    答时的用处在前例中

    已很清楚。它们可能帮助我们找出对问题的概念中的弱点。它

    们可能指出一个

    被遗漏的元素。当我们知道有某个元素仍被遗漏时，我们自然

    会设法让它出现。

    这样，我们就有了线索，就有了明确的探索途径，就有了好机

    会去找到关键的

    思路。

    (2)所讨论的问题不仅对构造一个论证有帮助，而且对

    检验它也有帮助。

    为了更具体些，我们需要检验一个定理的证明，其前提包含三

    部分，所有这三

    部分对于定理的成立都是必要的。这就是说，如果舍去前提的

    任何部分，定理

    将不成立。因此，如果证明时，忽视了利用前提的任一部分，则证明必有错误。

    此证明利用了全部前提吗?它利用了前提的第一部分吗?哪儿用

    了前提的第一部

    分?哪儿用了第二部分?哪儿用了第三部分?回答所有这三个问

    题，我们就检验了

    证明。

    这类检验是有效的，富于启发的，并且当论证冗长而

    复杂时，为了彻底理

    解它几乎是必不可少的(见“聪明的读者”一节)。

    (3)我们所讨论的问题以审查我们对问题的概念的完整

    性为目的。如果我

    们没有把任何主要的数据，或条件，或前提考虑进去，那么我

    们的概念肯定不

    会完整。但如果我们不体会某个主要术语的意义，则我们的概

    念也不完整。因

    此，为了检查我们的概念，也应该提问：你已考虑了问题中所

    包含的所有必要

    的概念吗?(见“定义”一节第(7)点)。

    (4)不过，对上述说明需加小心并加以某些限制。实际

    上，它们只能直接

    用于“陈述完善的”而且“合理的”问题。

    一个陈述完善的而且合理的“求解题”必须具有所有必

    需的已知数，而没

    有任何多余的已知数；并且它的条件必须恰好充分，既不矛

    盾，也不多余。在

    解决这样一个问题时，我们当然必须利用所有的已知数和整个

    条件。

    求证题的对象是数学定理。如果问题是陈述完善的并

    且是合理的，那么定

    理前提中的每一句对于结论都是必要的。证明这样一个定理

    时，我们当然必须

    利用前提中的每一句话。

    在传统的教科书中所提的数学问题被假定是陈述完善的，合理的。但

    我们

    不应该过分信赖这点；即使有最微小的怀疑，我们也应该

    问：“满足这条件可

    能吗?”试图回答这个问题，或者其他类似问题，我们可以至少在某种程度上相

    信我们的问题提得正确，正如所假设的那样。

    只有当我们知道我们面前的问题的陈述是完善的，合理的，或者我们

    至少

    没有理由作相反的猜测时，我们才能原原本本地提问本节所提

    到的问题以及与

    之有关的问题。

    (5)有些非数学问题在某种意义上也是“陈述完善的”，例如，精彩的棋

    局假定只有一个解并且在棋盘上没有多余的棋子，等等。

    但“实际问题”通常远非“陈述完善的”，从而需要对本节所提的问题认

    真地重新予以考虑。

    21.你知道一个与此有关的问题吗?

    我们几乎不能想象有一个问题是绝对的新颖，和我们以前解决过的任

    何问

    题都不相似，都无关系；但若居然有这样一个问题存在，它将

    是不可解的。事

    实上，当解决问题时，我们总利用以前解决的问题，用其结果

    或用其方法，或

    利用解决它们时所得到的经验。当然我们所利用的这些问题必

    须在某一方面与

    我们当前的问题有关。所以，我们提这个问题：你知道一个与此有关的问题吗?

    想出一个与我们当前问题多少有关的已解决的问题，通常并不困难。相反，我们可能发现这样的问题太多了，从中选出一个有用的问题反

    倒可能有困难。

    我们必须找出联系密切的问题：我们看着未知数，或者我们寻

    找一个早已解决

    的问题，这个问题与我们当前的问题通过“普遍化”，“特殊

    化”或“类比”

    而发生联系。

    我们这里所讨论的问题的目的是把以前所获得的知识

    调动起来(见“进展

    与成就”一节第1点)。我们数学知识的一个主要部分是以过去

    证明过的定理形

    式存储在我们大脑中的。所以有下列问题：你知道一个可能用

    得上的定理吗?

    当我们的问题是一个“求证题”(即必须证明或推翻一个提出的

    定理)时，上述

    问题可能特别合适。

    22.画张图

    参见图形一节。引入适当的符号：见“符号”一节。

    23.检验你的猜测

    你的猜测可能是对的，但是把一个逼真的猜测当作已

    被证明的真理来看待

    却是愚蠢的(原始人常这样)。你的猜测也可能是错的，但是把

    一个逼真的猜测

    完全弃之不顾也同样是愚蠢的(书呆子有时如此)。某类猜测是

    值得我们加以研

    究并认真对待的，例如下列猜测：即那些在我们仔细考虑并真

    正理解了我们所

    确实感兴趣的问题之后而提出的猜测。虽然这样的猜测往往很

    少表明全部真理，但却至少包含一部分真理。如果我们适当地研究这样一种猜

    测，我们就有可能

    提炼出整个真理。

    在许多情况下，猜测最后被证明是错误的，但它们在

    诱导出一个更好的猜

    测方面仍然是有用的。

    除非我们没有鉴别能力，否则任何念头都不会真正地

    坏。如果我们根本就

    没有念头，那才真正糟糕。

    (1) 别这样。这里是一个有关约翰·\u29756X斯先生的典型故

    事。琼斯先生在一家

    公司里工作。他曾经希望能长点工资。但他的希望(就象希望

    常常那样地)落空

    了。他的某些同事的工资增加了，而他的工资依然照旧。琼斯

    先生对此不能无动于衷。他烦恼不已，并且最后他猜疑布鲁恩董事应对他的不

    提升一事负责。

    我们不能责备琼斯先生产生这样一个怀疑。确实有某

    些迹象是与布鲁恩董

    事有关。真正的错误是琼斯先生在有了那个怀疑以后，对所有

    相反的迹象视而

    不见了。他因固执地相信布鲁恩董事就是他的敌人而庸人自

    扰，他的所作所为

    愚不可及，以致他几乎使该董事成为他真正的敌人。

    约翰·\u29756X斯先生的毛病在于他的行为和我们大

    多数人一样。他永不改变他

    的主要意见。他改变他的次要意见倒不少见，并且十分突然；

    但他对他自己的

    意见，无论大小，从不怀疑，并且坚持到底。他从不怀疑他自

    己的意见，不问

    自己这些意见对不对，也从不严格检验这些意见——如果他了

    解严格检验意味

    着什么的话，他将会格外憎恨严格检验。

    让我们承认约翰·\u29756X斯先生在一定程度上无可

    非议。他很忙，他在公司里

    和在家里都有任务，他很少有空来怀疑或检验。充其量，他只

    能检验他信念中的一小部分，如果他没有时间检验上述那个怀疑，他为什么应

    当检验呢?

    然而我们仍然要奉劝各位，莫学约翰·\u29756X斯先

    生。莫要让你的怀疑，你的

    猜测，或者你的推想不经检验而继续增长以致根深蒂固。从理

    论上说，在任何

    情况下，最好的念头也会因不批判地加以接受而受损，因严格

    检验而兴盛。

    (2)一个数学例子。在周长一定的所有四边形中找出面

    积最大的一个。

    未知是什么?四边形。

    已知是什么?四边形周长一定。

    条件是什么?所得四边形的面积应大于任何周长 ......