TEOPErMMECKAFl ΦH3MKA TOMVI

    缺=饥 ∏∕lAPoAl佃AMlZlKA

    理论物理学教程第六卷 埴

    流体动力学 (第五版)

    几氏朗道E M.栗弗席兹著李植译陈国谦审《理论物理学教程》(共十卷)是一部享誉世界的理论物理学巨著，是反.

    映经典物理学向现代物理学转变的里程碑式的重要著作，于1962年获得列宁

    奖。原著为俄文，现已有十余种文字的分卷译本，六种文字的全卷译本。本

    教程中的七卷是由诺贝尔物理学奖获得者、苏联科学院院士、伟大的理论物理

    学家几口.朗道和他的学生、苏联科学院院士、杰出的理论物理学家E. M.栗

    弗席兹在20世?E 40—50年代陆续编写而成的，另外三卷由栗弗席兹和俄罗

    斯科学院院士 Jl. ∏ .皮塔耶夫斯基等人按朗道的计划在20世纪60—70年代

    编写完成，后经不断补充完善，现已成为举世公认的经典学术著作。本套教

    程内容丰富、立论明确、论证严谨、物理图像清晰，涵盖了理论物理学从微

    观到宏观的各个领域，各卷中附有丰富的习题及解答，是学习理论物理学的

    必备参考书。

    本书是《理论物理学教程》的第六卷，根据俄文最新版译出，把流体动力

    学作为理论物理学的一个分支来阐述，全书风格独特，内容和视角与其他教材

    相比有很大不同。作者尽可能全面地分析了所有能引起物理兴趣的问题，力求

    为各种现象及其相互关系建立尽可能清晰的图像。主要内容除了流体动力学的

    基本理论外，还包括湍流、传热传质、声波、气体动力学、激波、,燃烧、相对

    论流体动力学和超流体等专题。本书可作为高等学校物理专业高年级本科生教

    学参考书，也可供相关专业的研究生和科研人员参考。

    学科类别：物理

    本书微博：WeibO.comWangChaOheP 定价109.00元

    academic.hep.com.cnTEOPErvIMECKAfl ΦM3MKA TOMVI

    ^：= π∕∣apoamhammka

    理论物理学教程第六卷

    LlUTl DONGLIXUE

    流休动力学 (第五版)

    俄罗斯联邦教育部推荐大学物理专业教学参考书

    -?f 北京 HIGHER EDUCKnON PHESS BEUING图字：01-2007-0915 号

    Λ.及.JlalIAay, E. M? JInφxπ皿? TeOPeTM≡ecκa φHSHκa. yneOHoe πocoohc

    By9OB B 10 TOMaX

    COPyri^It ? FIZMATLΓT ? PUBLISHERS RUSSlA, ISBN 5-9221-0053-X

    The ChineSe IangUage edition is authorized by FlZMATLIT ? PUBLISHERS

    RUSSIA for PUbIidIing and SaleS in the PeOPk, S RePUbliC Of China

    图书在版编目(ClP)数据

    理论物理学教程.第6卷,流体动力学：第5版

    (俄罗斯)朗道，(俄罗斯)栗弗席兹著；李植译.一北

    京：高等教育出版社，2013.1

    ISBN 978-7-04-034659-6

    I .①理??? n.①朗… ②栗???③李…m.①理论物

    理学-教材②流体动力学-教材IV.①041②0351.2

    中国版本图书馆ClP数据核字(2012)第228551号

    策划编辑王超 责任编辑王超 封面设计张志 版式设计余杨

    插图绘制尹莉 责任印制朱学忠

    出版发行高等教育出版社

    ·t 址 北京市西城区德外大街4号

    邮政编码100120

    刷涿州市星河印刷有限公司

    本 787mm X 1092mm 116

    张39

    数720千字

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    2013年1月第1版

    2013年1月第1次印刷

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    本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题，请到所购图书销害部门联系瞰

    版权所有侵权必究

    物料号 34659-00第三版序言

    在以前(1944年和1953年)曾两次出版的《连续介质力学》一书中，《流

    动体力学》是第一部分,现在单独成卷①.

    本书在内容与行文上的特点，如后附前一版序言所勾勒,在这次修改和增

    补过程中均得以悉心保持.

    虽然已经过去30年,但除了为数甚少的例外,第二版内容其实并未过时,对这部分材料只有不太大的增补和修改.同时又补充了 一系列新内容,全书因

    而增加了大约15节.

    流体动力学在最近几十年中发展迅猛,相关文献异常丰富,但这种发展大

    体是应用层面的.还有一个动向是，能够通过理论计算(包括使用电子计算机)

    求解的问题更为复杂,例如关于不稳定性及其演化的各种问题,包括非线性不

    稳定性问题.这些都超出了本书范围.以稳定性问题为例，就像前两版那样,相

    关论述基本上仅限于给出最后结果.

    本书也不包括色散介质中的非线性波理论.该理论现在是数理物理学的

    一大分支，大振幅液体表面波就是它的一个纯流体动力学对象.非线性波理论

    主要应用于等离子体物理学、非线性光学、各种电动力学问题以及其他领域,因而划归其他几卷.

    关于湍流的产生机理，在认识上发生了重大变化.尽管合理的湍流理论

    尚待确立，但有理由认为其发展终于走上了正轨.为此，我和M?U.拉宾诺维

    奇共同撰写了 3节(§3O-§32),以阐述一些已有的主要思路和结果.他如此鼎

    力相助，我不胜感激.近几十年以来,在连续介质力学中出现了 一个崭新的领

    域— —液晶力学，它同时具有流体动力学和弹性介质力学的特点，其基本原理

    拟在新版的《弹性理论》中加以介绍.

    在我有幸与列夫?达维多维奇?朗道合作撰写的著作中，本书地位特殊,?本教程第六卷《流体动力学》和第七卷《弹性理论》本来是以《连续介质力学> 为书名合在一

    起出版的,它们在单独成卷时的版次均按第三版计.一译者第三版序言

    他为此倾注了大量心血.对列夫?达维多维奇来说,流体动力学当时是一个让

    他全神贯注的新的理论物理学分支.按照他一贯的风格,他从头思考并推导了

    流体动力学的基本结果，由此催生了发表于不同杂志的一系列原创性论文.不

    过,也有许多原创性结果或观点收录于本书而未曾单独发表，甚至在某些情况

    下,后来才查明列夫?达维多维奇是原创者.我在本书新版中尽量补充了相应

    说明.

    在修订本卷和《理论物理学教程》其余各卷的过程中，许多朋友和同事

    向我提供了帮助和建议.首先应提到的是r.H.巴伦布拉特，SLB.泽利多维奇,JI.U.皮塔耶夫斯基，西奈,他们曾多次与我进行讨论.还有诸多教益得自

    A.A.安德罗诺夫，C.U.阿尼西莫夫，B.A.别洛孔，B.IL克拉依诺夫，A.I?库

    利科夫斯慕，M.A.利伯曼，P.B.波洛温，A.B.季莫费耶夫，A.JI.法布里坎特.

    我谨在此向他们全体致以真诚的谢意.

    E.M.栗弗席兹

    苏联科学院物理问题研究所

    1984年8月《连续介质力学》第二版序言节录

    本书旨在阐述连续介质力学，即液体和气体运动理论(流体动力学)以及

    固体运动理论(弹性理论或弹性力学).这些理论其实都是物理学的分支，由于

    自身的一系列特性才发展成为独立的学科.

    在弹性理论中，求解那些在数学上已经用线性偏微分方程的形式明确提

    出的问题具有非常重要的意义，所以弹性理论包含着所谓数理物理学的许多

    基本内容.

    流体动力学的特点则截然不同.流体动力学方程是非线性的，仅在一些比

    较罕见的情况下才能直接分析和求解.因此,现代流体动力学只有不断与实验

    相结合才能发展,这就使流体动力学与物理学其他分支的关系变得非常密切.

    尽管流体动力学和弹性理论实际上已经独立出来，但是把它们视为理论

    物理学的一部分仍有重要意义.这是因为，一方面，理论物理学的一般方法和

    定律适用于这两个学科,若不掌握理论物理学其他分支的基础知识，就不可能

    清晰地理解流体动力学和弹性理论.另一方面,连续介质力学本身对于解决一

    些完全属于理论物理学其他分支的问题也是必不可少的.

    在这里,我们想就本书阐述流体动力学的特点作一些说明.既然本书把流

    体动力学作为理论物理学的一个分支来阐述，这就在很大程度上决定了其内

    容在性质上与流体动力学的其他教材大不相同.我们尽可能全面地分析了所

    有能引起物理兴趣的问题，并且力求在阐述问题时能够为各种现象及其相互

    关系建立起尽可能清晰的图像.鉴于这种特点，我们在本书中既不讨论流体动

    力学的近似计算方法，也不讨论缺乏较深刻物理基础的部分经验理论.与此同

    时,这里却阐述了 一些通常未列入流体动力学教材的内容,如流体中的传热传

    质理论,声学和燃烧理论.

    本书第二版有重大修改.补充了大量新材料,尤其气体动力学部分几乎全

    部重写.例如,补充了对跨声速理论的介绍.这个问题对整个气体动力学都有

    最重要的原则性意义，因为对跨声速气流特性的研究应当能够揭示绕固体的

    定常可压缩气流的一些基本的定性性质.这个领域至今只有较少成果,许多重《连续介质力学》第二版序言节录

    要问题仅能提出而已.考虑到有必要进一步研究这些问题,我们详细介绍了这

    里用到的数学工具.

    补充了两章新内容,用以讨论相对论流体动力学和超流体动力学.相对论

    流体动力学方程(第十五章)能够应用于各种天体物理学问题,例如用来研究

    辐射起重要作用的对象.这些方程还在完全不同的其他物理学领域中有特殊

    用途,例如应用于粒子碰撞的多重产生理论①.第十六章所阐述的“二速度”流

    体动力学给出了超流体运动的宏观描述，液氨在温度接近绝对零度时就是这

    样的超流体.

    我们想衷心感谢5I.B.泽利多维奇和JLH.谢多夫，与他们就诸多流体动

    力学问题的讨论对我们大有裨益.还要感谢及B.西武欣，他阅读了本书原稿

    并提出了许多被第二版采用的意见.

    JI.朗道，E.栗弗席兹

    1952 年

    ·粒子物理学中关于两个粒子在极端相对论速度下BHe时产生多个其他粒子的理论.— —译者某些符号

    密度P

    压强0

    温度7

    质量烟S

    质量内能e

    质量粉W = ε + PIP

    热容比(质量定压热容与质量定容热容之比)7 = CPlCV

    黏度(动力黏度)〃

    运动黏度U — η∕p

    热导率κ

    温导率X = XlpCP

    雷诺数Re

    声速C

    马赫数M

    (三维)矢量和张量的角标用拉丁字母i, k, I, 表示.重复出现两次的

    角标(傀标)均表示求和.单位张量为δik.

    引用本教程其余各卷的章节号和公式号时,卷号表示：

    第二卷：《场论》，俄文第八版，中文笫一版

    第五卷：《统计物理学I》，俄文笫五版，中文笫一版

    第八卷：《连续介质电动力学》，俄文第四版，中文第一版

    笫九卷：《统计物理学II》，俄文笫四版，中文笫二版

    笫十卷：《物理动理学》，俄文第二版，中文第一版目录

    第三版序言............................................................. i

    《连续介质力学》第二版序言节录.................................... iii

    某些符号................................................................V

    第一章理想流体...................................................... 1

    §1连续性方程...................................................... 1

    §2欧拉方程.........................................................3

    §3流体静力学...................................................... 6

    §4不发生对流的条件................................................8

    §5伯努利方程..................................................... 10

    §6能流............................................................ 11

    §7动量流.......................................................... 13

    §8速度环量守恒................................................... 15

    §9势流............................................................ 17

    §10不可压缩流体................................................ 20

    §11有势绕流的阻力................................................31

    §12重力波........................................................ 36

    §13不可压缩流体中的内波........................................ 44

    §14旋转流体中的波 ............................................. 46

    第二章黏性流体..................................................... 51

    §15黏性流体的运动方程........................................... 51

    §16不可压缩流体中的能量耗散 .................................... 57

    §17管道中的流动................................................ 58

    §18两个旋转圆柱面之间的流动 .................................... 63

    §19相似律........................................................ 64目录

    §20低雷诺数流.................................................... 66

    §21层流尾迹.......................................................77

    §22悬浮流体的黏性................................................83

    §23黏性流体运动方程的精确解 .................................... 86

    §24黏性流体的振动流动........................................... 94

    §25重力波的衰减................................................. 104

    第三章湍流...................................................................................................................108

    §26定常流的稳定性...............................................108

    §27旋转流的稳定性...............................................113

    §28管道中流动的稳定性.......................................... 116

    §29切向间断的不稳定性.......................................... 120

    §30准周期流和锁频 ...............................................122

    §31奇怪吸引子................................................... 127

    §32向湍流转变的倍周期途径......................................133

    §33充分发展的湍流...............................................144

    §34速度关联函数................................................. 151

    §35湍流区和分离现象............................................. 163

    §36湍流射流......................................................164

    §37湍流尾迹......................................................169

    §38茹科夫斯基定理...............................................171

    第四章边界层.......................................................175

    §39层流边界层................................................... 175

    §40分离线附近的流动............................................. 182

    §41层流边界层内流动的稳定性................................... 187

    §42对数型速度剖面...............................................192

    §43管道中的湍流................................................. 196

    §44湍流边界层 ................................................... 198

    §45 失阻.......................................................... 200

    §46良绕体....................................................... 203

    §47诱导阻力......................................................205

    §48薄翼的升力................................................... 210

    第五童流体中的传热............................................... 213

    §49 一般传热方程................................................. 213

    §50不可压缩流体中的热传导......................................218

    §51无穷大介质中的热传导....................................... 222目录 ? Ui?

    §52有限介质中的热传导 .......................................... 226

    §53传热的相似律................................................. 232

    §54边界层内的传热 ............................................. 234

    §55运动流体中物体的加热 ....................................... 240

    §56自由对流......................................................243

    §57静止流体的对流不稳定性......................................247

    第六章扩散......................................................... 255

    §58混合流体的流体动力学方程 ................................... 255

    §59扩散系数和热扩散系数 ...................................... 258

    §60流体中悬浮粒子的扩散 ....................................... 264

    第七章表面现象.................................................... 267

    §61拉普拉斯公式................................................. 267

    §62表面张力波................................................... 274

    §63吸附膜对液体运动的影响......................................278

    第八章声音......................................................... 282

    §64 声波.......................................................... 282

    §65声波的能量和动量.............................................288

    §66声波的反射和折射.............................................292

    §67几何声学......................................................295

    §68声音在运动介质中的传播......................................299

    §69本征振动......................................................303

    §70球面波....................................................... 306

    §71柱面波 ....................................................... 309

    §72波动方程的通解.............................................. 311

    §73侧面波....................................................... 314

    §74声辐射....................................................... 319

    §75由湍流引起的声音.............................................330

    §76互易原理......................................................333

    §77声音沿管道的传播.............................................336

    §78声音散射......................................................339

    §79声音的吸收................................................... 343

    §80 声流.......................................................... 350

    §81第二黏度......................................................353

    第九章激波......................................................... 359

    §82扰动在可压缩气流中的传播 ................................... 359. IV. 目录

    §83定常可压缩气流.............................................. 362

    §84间断面....................................................... 367

    §85激波绝热线 ................................................... 372

    §86弱激波 ....................................................... 375

    §87各物理量在激波中的变化方向................................. 378

    §88激波的可演化性...............................................381

    §89多方气体中的激波.............................................383

    §90激波的波纹不稳定性.......................................... 386

    §91激波沿管道的传播.............................................393

    §92斜激波 ....................................................... 395

    §93激波的厚度 ................................................... 400

    §94弛豫介质中的激波.............................................406

    §95等温间断面 ................................................... 407

    §96弱间断面......................................................410

    第十章一维可压缩气流..............................................412

    §97气体经过喷管的流动.......................................... 412

    §98管道中的黏性可压缩气流......................................415

    §99 一维自相似流................................................. 418

    §100初始条件中的间断 ........................................... 425

    §101 一维行波.....................................................431

    §102声波中间断的形成 ........................................... 438

    §103特征线...................................................... 444

    §104黎曼不变量.................................................. 448

    § 105任意的一维可压缩气流 .......................................451

    §106强爆炸问题.................................................. 458

    §107汇聚的球面激波..............................................462

    §108浅水理论.....................................................466

    第十一章间断面的相交..............................................469

    § 109稀疏波...................................................... 469

    §110间断面相交的类型 ....... 474

    §111激波与固体表面的相交 ...................................... 479

    §112绕拐角的超声速流 ........................................... 481

    §113绕锥形物体的流动 ........................................... 485

    第十二章平面可压缩气流........................................... 488

    §114有势的可压缩气流 .......................................... 488目录 . V ?

    § 115定常简单波.................................................. 491

    §116恰普雷金方程(定常二维可压缩气流的一般问题)..............496

    §117定常平面流的特征线......................................... 499

    §118欧拉-特里科米方程.跨声速流............................... 502

    §119欧拉-特里科米方程在声速面非奇点附近的解................. 506

    §120声速绕流.....................................................510

    §121弱间断线在声速线上的反射.................................. 515

    第十三章绕有限物体的流动......................................... 522

    §122绕物体的超声速流中激波的形成..............................522

    §123绕尖头体的超声速流......................................... 525

    §124绕薄翼的亚声速流 ........................................... 529

    §125绕机翼的超声速流 ........................................... 532

    §126跨声速绕流的相似律......................................... 535

    §127高超声速流的相似律......................................... 537

    第十四章燃烧流体动力学........................................... 541

    §128缓慢燃烧.....................................................541

    § 129 爆轰............................................. 547

    §130爆轰波的传播................................................ 553

    §131不同燃烧方式之间的关系..................................... 560

    §132凝结间断..................................................... 562

    第十五章相对论流体动力学......................................... 565

    §133流体的能量动量张量......................................... 565

    §134相对论流体动力学方程 .......................................567

    §135相对论流体动力学中的激波 ................................. 572

    §136黏性导热介质运动的相对论方程..............................574

    第十六章 超流体动力学… …-.......................................577

    §137超流体的基本性质 ........................................... 577

    §138热机械效应.................................................. 580

    §139超流体动力学方程组......................................... 581

    §140超流体中的耗散过程......................................... 587

    §141超流体中声波的传播......................................... 590

    人名索引............................................................ ..

    名词索引............................................................ ..

    译后记.............................................................. ..第—早

    理想流体

    §1连续性方程

    对液体和气体运动的研究就是流体动力学的内容.流体动力学所研究的

    现象具有宏观性质,所以在流体动力学中可以把流体①③看做连续介质.这意

    味着,可以认为任何流体微元仍然是足够大的，以至于其中还包含着数目极多

    的分子.因此,当我们说到无穷小的体微元时，总是指“物理上”无穷小的体微

    元，换言之,它与所考虑的物体体积相比足够小，但与分子间距离相比却足够

    大.在流体动力学中，对“流体微团”、“流体点”之类的术语都应当这样理解.

    例如，在论及某流体点的位移时，我们并不是指个别分子的位移，而是指包含

    大量分子的流体微元整体的位移，尽管在流体动力学中仍把后者看做一个点.

    在数学上可以利用一些函数来描述运动流体的状态，它们给出流体的速

    度分布V = V(X, y, z, t)和任何两个热力学量的分布,例如压强分布p(iτ, y, z, t)

    和密度分布p{x, y, z, t).众所周知,根据任意两个热力学量的值和物质的状态

    方程即可确定所有的热力学量.因此,只要给定五个量：速度V的三个分量、压强P和密度P,就可以把运动流体的状态完全确定下来.

    所有这些量一般是坐标X, y,z和时间t的函数.我们强调,υ(x, y, z, O是

    在时刻t在空间的任何给定点X, y, Z的流体速度,换言之,它是空间固定点的

    流体速度,而不是随时间在空间中移动的特定流体微元的速度.这一说明同样

    ·原文使用的单词HAKOCT1.是“液体，，而不是“流体”(见下一条脚注)，而且在这类俄文文献中

    并不使用表示“流体”的单词φjnθHA (即英文中的fluid).本版按中文习惯用流体来泛指液体或气体,除非必须明确加以区分.一译者

    @为简洁起见,我们在这里和下文中只提到液体，其含义其实既包括液体,也包括气体.? 2 - 第一章理想流体

    适用于量P和0

    我们来推导一些基本的流体动力学方程.首先推导表示质量守恒定律的

    方程.

    考虑空间的某个区域?,位于该区域内的流体具有质量JpdV1式中Z)是

    流体密度,积分运算是对区域?进行的.单位时间内流过区域表面微元df的

    流体的质量是pυ?df,其中矢量d指向表面微元的法线方向，其大小等于表

    面微元的面积.我们规定d指向外法线方向.于是,如果流体流出该区域，则

    pυ?df为正;如果流体流入该区域,则该表达式为负.因此,单位时间内流出区

    域?的流体总质量是

    ^PVdft

    式中的积分运算是对该区域的整个封闭表面进行的.

    另一方面，区域化中流体质量的减少可以写为以下形式：

    让两个表达式相等,得

    命 JPdV = 一 §PV ?df. (1.1)

    把曲面积分变换为体积分：

    pv?df = J div PV d?

    于是

    (番 + divpυ) dV = 0.

    因为这个等式应当对任何区域都成立，所以被积函数应当为零，即

    票 + div ∕w = 0. (1.2)

    这就是所谓的连续性方程.

    展开表达式divpυ,也可以把(1.2)写为

    +pdivυ + V ? gradp = 0. (1.3)

    矢量

    Pfo

    称为质量流密度①，其方向与流动方向一致,而大小等于单位时间内流过与速

    度垂直的单位面积的流体质量.

    ①简称质量流.下文中的能流密度、动量流密度等量有时也这样简称.一译者§2欧拉方程

    §2欧拉方程

    设想从流体中划分出某个区域,它是由流体组成的.作用在这部分流体上

    的合力等于该区域边界上的积分①

    -§ Pdf.

    把它变换为体积分,有

    —pdf = — gradpdK

    由此可见,任何流体微元dV都受到周围流体对它的作用力-dVgradp?换言

    之,单位体积流体上的作用力等于-gradp.

    现在，让作用力-gradp等于流体的体积质量P与流体加速度dvdt的

    乘积,我们就可以写出流体微元的运动方程

    P-^ = 一 gradp. (2.1)

    这里的导数dυ∕dt并不代表空间固定点的流体速度变化，而是代表一个

    在空间中运动的给定的流体微元的速度变化.应当用一些与空间固定点相关

    的量来表示这个导数.为此,我们指出,一个给定的流体微元在dt时间内的速

    度变化dυ由两部分组成：一部分是该空间固定点的流体速度在dt时间内的

    变化，另一部分是(在同一瞬间)相距dr的两点的流体速度之差，这里的dr

    是给定流体微元在dt时间内的位移.前者等于

    这里的偏导数?υ∕?t是在X, y, Z不变时计算的，即在空间给定点上计算的.

    速度变化的第二部分等于

    于是,3o

    dr = -5-dt + (dr ? V)v,at

    ·简单而言，作用于流体的力可以分为质量力和面力(关于表面张力，见第七章).质量力通常是

    按质量分布的长程力(如万有引力)，质量力密度指单位质量流体所受的质量力.面力是按面积分布的

    力(如与流体表面相接触的物质对该表面上的流体的作用力),单位面积上的面力称为应力.在理想流

    体的情况下，面微元df上的面力(从矢量Af所指的那一侧物质作用在该面微元上的力)为-pdf.

    这里之所以有负号，是因为该面力通常表现为压力.此处只考虑面力.一译者?4? 第一章理想流体

    或者，两边都除以也①，dυ ?v Z c Z

    页=应+ SV)”. (2.2)

    把此关系式代入(2.1),得到

    ·v

    + (y ? V)υ = — — gradp. (2-3)

    这就是我们希望求出的流体运动方程,它是由L.欧拉在1755年首先得到

    的.这个方程称为欧拉方程，是基本的流体动力学方程之一.

    如果流体处于重力场中，则单位体积的任何流体还受到力Pg的作用，其

    中g是重力加速度.这个力应当加在方程(2.1)的右侧,方程(2.3)的形式从而

    变为

    + (υ? V)? - - —gradp + ff. (2.4)

    在运动流体中可能存在能量耗散过程,这是由流体的内摩擦(黏性)和流

    体不同部分之间的热交换引起的.然而，在推导上述运动方程时,我们完全没

    有考虑这样的耗散过程.所以，本章这一节和以后几节的全部论述,只适用于

    热传导过程和黏性过程都无关紧要的流体运动.讨论这样的运动就相当于讨

    论理想流体的运动.

    流体各部分之间(当然,还包括流体与相邻物体之间)没有热交换,这意味

    着运动是绝热的，并且任何一部分流体的运动都是绝热的.因此，必须把理想

    流体的运动看做绝热运动.

    当流体在空间中作绝热运动时，每一部分流体的炳在运动过程中都保持

    不变.如果用字母S表示单位质量流体的炳(质量炳)，我们就可以用方程

    来表述绝热运动条件.在这个方程中，就像(2.1)那样,对时间的全导数但表示

    给定的一部分流体的炳变化率.该导数也可以写为

    + t>?Vs = 0. (2,6)

    这是表述理想流体绝热运动条件的一般方程.利用(1.2),可以把它写为炳的

    连续性方程”： Q

    瓦(PS) + div(psa) = 0. (2.7)

    ·为了强调这样定义的导数ddt与物质运动的联系，我们称之为物质导数.

    ②即物质导数.一译者§2欧拉方程 ? 5 ?

    乘积PSV是炳流密度.

    绝热方程经常具有简单得多的形式.就像经常遇到的那样,如果流体的质

    量炳在某个初始时刻处处相同，则在此后的流动中，质量炳仍然处处相同并且

    不随时间变化.因此,这时可以把绝热方程简单地写为

    S = const. (2.8)

    我们以后通常使用这种形式的绝热方程.这样的流动称为等炳流.

    利用等炳流条件,可以把运动方程(2.3)写为略微不同的形式.为此,我们

    运用熟悉的热力学关系式

    dw = Tds +Vdp,式中W是流体的质量焙,V = 1p是质量体积,T是温度.因为S = COnSt)所以

    dw = VdP = —dp,从而 P

    1? ?

    -Vp = Vw.

    P

    因此,可以把方程(2.3)写为以下形式：

    ·v , I

    成 + (υ ? V)t> — — gradw. (2.9)

    值得注意的是，欧拉方程还有一种形式，其中只包含速度.应用矢量分析

    中的已有公式

    § grad υ2 = v× rot V + (v ? V)v,可以把(2.9)写为

    ·υ ——V × rot V = — grad

    (w+?)?

    (2.10)

    在这个方程两侧取旋度,就得到只包含速度的方程

    ·

    瓦 rot V = rot(v X rot υ). (2.11)

    有了运动方程,还应当补充在流体界面上必须成立的一些边界条件.对于

    理想流体,边界条件应当表述出流体不能穿透固体壁面的事实.这意味着，固

    体壁面上的流体法向速度分量应当等于零：

    ‰ =0 (2.12)

    (在运动壁面的一般情形下，Vn应当等于壁面速度的相应分量).■ 6 , 第一章理想流体

    在两种互不混合的流体之间的边界上应当成立两个边界条件，其一是两

    种流体的压强在分界面上相等①,其二是两种流体在分界面上的法向速度分量

    相等(并且该法向速度分量等于分界面本身的法向移动速度).

    正如在§1 一开始就指出的，运动流体的状态取决于五个量：速度?的三

    个分量以及诸如压强P和密度P的两个热力学量.因此,封闭的流体动力学方

    穗组应当包括五个方程.对于理想流体,这些方程就是欧拉方程、连续性方程

    和绝热方程.

    习题

    设a是流体微元在某一时刻t = t0的：E坐标(α称为拉格期日坐标)，写出关于变量

    a, t??的理想流体一维运动方程.

    解：在上述变量下，每个流体微元在任意时刻的坐标X可以看做t和它在初始时刻的

    坐标a的函数，H = ai(a, t).于是，流体微元的质量在其运动过程中守恒的条件(连续性

    方程)可以写为

    PdX = PO da, 即 P (祭)=p0,式中Po(a)是给定的初始密度分布.根据定义，流体微兄的速度是V = (Qxfdt)a,而导数

    (?v∕?t)a给出该流体微元在运动过程中的速度变化率.欧拉方程和绝热方程分别可以写为

    (?V^?(B)t, (I)O=O?

    §3流体静力学

    对于均匀重力场中的静止流体，欧拉方程(2.4)的形式为

    gradp - pg. (3.1)

    这个方程描述流体的力学平衡.(如果根本不存在外力，平衡方程就是VP = OI

    @如果考虑表面张力，可以参考第七章.一译者

    @虽然这些变量通常称为拉格朗日变量，但是利用这些变量表示的流体运动方程其实最初是由

    L.欧拉在得到基本方程(2.3)时同时得到的.

    ·拉格朗日坐标是用来区别不同流体点的变量，以这些变量和时间为独立自变量来描述运动的

    观点称为拉格朗日观点.此题是拉格朗日观点的简单例子,其中在拉格朗日坐标不变的条件下对时间

    的导数其实就是物质导数.相应地，以空间坐标和时间为独立自变量来描述运动的观点称为欧拉观点,这种观点在流体动力学中更为常用.§1中利用空间区域(即控制体,其表面为控制面)推导连续性方

    程的方法和§2中利用由流体组成的区域(即物质体,其表面为物质面)推导欧拉方程的方法，都是在

    欧拉观点下推导基本方程的典型方法.— —译者§3流体静力学 ? 7 ?

    即P = const,这意味着流体中的压强处处相同.)

    如果可以认为流体的密度在流体所占区域中处处都保持不变,换言之,如

    果流体在外力作用下不发生明显压缩，就能直接对方程(3.1)进行积分.让Z

    轴竖直向上,我们有

    dp dp dp

    ‰ = ? = O)瓦=f%

    从而

    P = —pgz + COnSt.

    如果静止流体具有自由面(位于高度h),即处处作用着相同的外部压强处的

    表面，则该自由面必为水平平面z = h.根据z = h时P = PO的条件,我们有

    COnSt = p0 + Pgh^

    所以

    P = Po + pg(h - z). (3.2)

    对于大量液体或气体,一般不能认为密度P处处相同,对于气体(例如大

    气)尤其如此.如果假设流体不仅处于力学平衡，而且处于热平衡，则流体中

    的温度处处相同，这时可用以下方法对方程(3.1)进行积分.应用熟知的热力

    学关系式

    dΦ = —sdT + VrdP)

    式中φ是流体的质量热力学势?,当温度不变时，dΦ = Vdp

    P

    由此可见，表达式(Vp)∕p这时可以写为VΦ,平衡方程(3.1)因而具有以下

    形式：

    VΦ = g.

    当常矢量g指向Z轴的负方向时,成立等式

    9 = -V(^)?

    因此，▽(史+ gz) = 0,由此得到,在整个流体中应有

    史 + gz = const, (3.3)

    ·指质量吉布斯自由能.— —译者 ? 8 ? 第一章理想流体

    gz是流体在重力场中的质量势能.我们在统计物理学中已经知道，条件(3.3)

    正是处于外力场中的系统达到热力学平衡的条件.

    我们在这里再指出方程(3.1)的一个简单推论.如果液体或气体(如大气)

    在重力场中处于力学平衡，则其中的压强只能是高度Z的函数(在给定高度

    上,假如不同位置上的压强不同，就会产生运动).于是,从(3.1)可知,密度

    也只是Z的函数.而压强和密度单值地决定给定点的温度,所以温度必定也只

    是Z的函数.因此,对于在重力场中处于力学平衡的流体,其压强、密度和温

    度的分布只依赖于高度.如果温度在同样高度的不同位置上有所不同,流体就

    不可能处于力学平衡.

    最后，我们来推导质量极为巨大的一团流体(如恒星)的平衡方程.这时,流体各部分由于万有引力而结合在一起.设φ是由流体产生的引力场的牛顿

    引力势,它满足微分方程

    ·φ = 4nGp, (3.5)

    式中G为牛顿引力常量.引力场强度等于-grad9,所以作用在质量P上的

    引力为-Pgradφ.因此,平衡条件是

    gradp = -Pgrad φ.

    等式两边除以P并取散度,再利用方程(3.5),最终得到以下形式的平衡方程：

    div (j grad= -4πGp. (3.6)

    我们强调,这里只讨论力学平衡.对于方程(3.6),绝对不必假设存在完全的热

    平衡.

    如果星体不发生旋转,则它在平衡状态下呈球形,密度和压强的分布也是

    球对称的.这时,方程(3.6)在球面坐标下的形式为

    4Q)=g (3.7)

    §4不发生对流的条件

    流体在处于力学平衡(即其中不出现宏观运动)的同时未必处于热平衡.

    方程(3.1)是力学平衡条件.即使流体中的温度不均匀,该方程也能够成立.然

    而，这时却产生了关于这种平衡是否稳定的问题.结果表明，平衡仅在一定条 §4不发生对流的条件 ? 9 ?

    件下才是稳定的.如果该条件不成立，平衡就是不稳定的，并且这种不稳定性

    会导致流体的无序流动与混合,促使温度趋于均匀.这样的运动称为对流.换

    言之,力学平衡稳定的条件就是不发生对流的条件.可以用以下方法得到这个

    条件.

    考虑位于高度Z的一个流体微元,其质量体积为V(P) S),其中P和S是

    这个高度上的平衡压强和平衡炳。假设该流体微元在绝热条件下向上移动

    了一小段距离这时其质量体积变为V(√, s),其中Pt是高度z + ξ ±的

    压强.为了使平衡稳定,一个必要条件(虽然一般不是充分条件)是,这时作用

    在流体微元上的合力应迫使它返回原位.这意味着,该流体微元应当比它在新

    位置上“排开”的流体更重一些.后者的质量体积是V(pf, ),其中√是高度

    z+ ￡上的平衡燔.因此,我们有稳定性条件

    V(p,, s') — V(p', S) > 0.

    把这一差值展开为

    , ds

    S-S=d∑ξ

    的嘉级数,我们得到

    (祭(W

    根据热力学公式,我们有

    ·?sjp- cp??TJP)

    式中CP为质量定压热容.热容CP和温度T都是正的，所以我们可以把(4.1)

    改写为

    (散 A。 (S)

    大多数物质受热膨胀，即{?V∕?T)p > 0,所以不发生对流的条件化为不等式

    ds

    石 > 0, (4.3)

    即炳应当随高度增加而增加.

    由此易求温度梯度dTdz所应满足的条件.展开导数ds∕dz,我们写出

    坐=f竺)竺+<竺)虫=坐竺_<丝)?>0

    dz ??Tjp dz ??p)τdz T dz ??T JP dz

    ·在论及一些热力学强度量时，文中经常省略“质量”二字,例如这里的熠指质量燔. 译者? 10 . 第一章理想流体

    最后,根据(3.4),把

    Ck V

    代入,得到

    dT 9βT “八 -石 < ?> (4?4)

    式中β = (?V∕8T)PIV是定压体膨胀系数.如果考虑一个气体柱的平衡，并

    且可以认为其中的气体是(热力学意义上的)理想气体，则βT = l,于是条件

    (4.4)简化为

    -S
    如果这些条件不成立，即如果温度随高度的增加而降低，并且温度梯度值超过

    (4.4), (4.5)右侧的值①，就会产生对流.

    §5伯努利方程

    在定常流情况下,流体动力学方程有明显的简化.定常流是指流体所占区

    域的任何一点的速度都不随时间变化的流动.换言之,。只是坐标的函数,因而

    ·υ C

    ^=O-

    于是,方程(2.10)化为

    -~ grad V2 — υ × rot V — — gradw. (5.1)

    我们引入流线的概念.流线是这样的一些曲线,线上任何一点的切线方向

    给出流体在给定时刻在该点的速度矢量的方向.流线由以下微分方程组确定:

    些=曳=些 (5.2)

    VX VyVZ

    在定常流中，流线不随时间变化，并且与流体微元的迹线重合.在非定常流中

    自然没有这样的一致性：流线的切线给出位于一系列空间点的不同流体微元

    在给定时刻的速度方向，而迹线的切线则给出一个给定流体微元在一系列不

    同时刻的速度方向.

    在流线上的每一点，我们用I表示单位切向矢量，并用它与方程(5.1)进

    行标量乘运算.众所周知,梯度矢量在某个方向的投影就是沿那个方向的方向

    ·对于水，(4.4)右侧的值在20oC时约为l0C∕6.7km;对于空气，(4.5)右侧的值约为loC∕100m.§6能流 . 11 .

    导数.所以,gradw在流线上的投影为?w∕?l.至于矢量V X rot”,因为它垂直

    于速度V)所以它在I方向的投影为零.于是,我们从方程(5.1)得到

    由此可知，v2∕2 + w沿流线保持不变：

    υ2 ..

    —+ w = COnSt. (5.3)

    对于不同的流线,常量COnSt 一般取不同的值.方程(5.3)称为伯努利方程①但.

    如果流动发生在重力场内，在方程(5.1)的右侧就应当补充重力加速度g.

    取重力的相反方向为Z轴方向，即向上是Z轴的正方向.那么，g与I方向之

    间夹角的余弦等于导数-dz∕dl,而g在Z上的投影为

    dz

    -ffdΓ?

    因此,现在我们有

    ·(y+w + 5Z)=O)

    而相应的伯努利方程表明，沿流线成立

    V2

    -Z- + w + gz = ConSt. (5.4)

    §6能流

    选取空间中任何一个静止的体微元，我们来确定其中的流体能量如何随

    时间变化.流体的体积能等于

    V2

    P~2 + 阳

    式中第一项是动能,第二项是内能(W是质量内能).体积能的变化取决于偏导数

    ·H+pe)?

    为了计算这个量,我们写出

    · ρυ2 y2 dp ?v

    ·i~T = ~2?t+poτi'

    ·它是由D.伯努利在1738年对不可压缩流体(见§10)建立起来的.

    ·也称为伯努利积分，因为它是欧拉方程沿流线的一个首次积分.对于定常势流也可以得到一

    个同样形式的首次积分(在整个流场内均成立)，见§9最后.— —译者第一章理想流体

    或者,利用连续性方程(1.2)和运动方程(2.3),有

    3 PV2 I??

    —— div pυ~V' gradp — pυ?(υ? V)υ.

    σt 2 2

    把最后一项中的V? (v? V)V替换为V- Vv2∕2,再利用热力学关系式

    dw = T ds + —

    P

    把压强梯度替换为PVW - PTg 我们得到

    · pv2 υ2

    庆T = -TdlV 伽- + PTV ■ Vs.

    为了变换pε的导数,我们利用热力学关系式

    dε — Tds -PdV — TdS + -^dp.

    因为ε + p∕p-ε+pV正好就是质量培w,我们得到

    d(pε) = εdp + pdε — wdp + pTds,于是

    · dp ?s

    瓦(pε) = W-^ + PT-^ = -WdiVPU - PTV ■ Vs.

    这里还利用了一般的绝热方程(2.6).

    综合以上结果,我们得到待求的能量变化

    (号 +皮)=一(初+ 奇)divpυ - 砸? ▽)(也+ 罚

    或者最终把它写为

    音(尊+时=_出{伽住+w)}?

    (6-1)

    为了阐明这个等式的意义，我们把它在某个区域上进行积分:

    音 (答 m) dv = ^∕div {pυ (τ+w)}dy'

    或者把右边的体积分化为曲面积分：

    ·(裂缶)dy=^∕(τ+w)pt,dy?

    (6?2)§7动量流

    等式左边是某个给定空间区域中的流体能量在单位时间内的变化，而右

    边的曲面积分是单位时间内流出该区域的流体的能量.由此可见,表达式

    PV 3 + 少 (6?3)

    是能流密度矢量，其大小等于单位时间内通过垂直于速度方向的单位面积的

    能量.

    表达式(6.3)表明，单位质量的任何流体在其运动过程中所携带的能量

    为w + υ2∕2?这里出现焙W而不是内能e,这一事实具有简单的物理意义.把

    w = ε + p∕p代入相应表达式,我们把通过封闭曲面的总能流写为

    d∕?

    第一项是(单位时间内)直接由流体携带着通过曲面的能量(动能和内能)，第

    二项是压力(在单位时间内)对曲面以内的流体所做的功.

    §7动量流

    我们现在对流体动量给出类似的结论.单位体积流体的动量是pυ,我们

    来确定其变化率

    景(PV)?

    我们将使用张量记号进行计算.我们有

    · , ? ?υi dp

    瓦g = P帝+瓦m?

    分别把连续性方程(1.2)和欧拉方程(2.3)写为以下形式：

    9ρ _ MPVQ

    ^?i~

    ·υi ?υi 1 dp

    瓦■ = —%瓦■感.

    利用这些方程,我们得到

    · f . ?υi ?p ?(pvk) dp ? I ? 应四)=_皿瓦_疝M = _茹_

    把右边第一项中的偏导数写为

    dp dp

    疝=M瓦? 14 . 第一章理想流体

    最后得到

    音如)=-鹭’ 心)

    其中张量7?c被定义为

    ∏ik = pδik + PViVk, (7.2)

    它显然是对称的.

    为了阐明张量∏ik的意义,我们把方程(7.1)对某个区域进行积分：

    然后把等式右边的积分变换为曲面积分?:

    畚PVidV = 一 §∏ik dfk. (7.3)

    左边表达式是所讨论的区域内第i个动量分量在单位时间内的变化，所

    以右边的曲面积分就是单位时间内通过区域边界流出的相应动量分量.因此,Ilik df∣t是流过面微元df的第S个动量分量.如果把dfk写为TIhdf的形式

    (d是面微元的面积,n是它的单位外法向矢量),我们就发现,JTifenfc是通过单

    位面积的动量流的第i个分量.我们指出，根据(7.2), Iliknk = Pni + PViVknk,其矢量形式可以写为

    Pn + PV(V ? n). (7.4)

    因此,瓦A是单位时间内通过垂直于Xfe轴的单位面积的动量流的第i个

    分量.张量丑^称为动量流密度张量.能量是标量,所以能流是由矢量确定的;

    动量本身是矢量,所以动量流是由二阶张量确定的.

    矢量(7.4)确定了 n方向上的动量流，即通过垂直于n的平面的动量流.

    例如,如果让单位矢量n的方向与流体速度方向一致,我们就发现,在这个方

    向上只输运动量的纵向分量，并且纵向动量流密度等于

    p+ ∕w2.

    在垂直于速度的方向上只输运动量(相对于V)的横向分量，并且横向动量流

    密度就是P-

    ·把封闭曲面上的积分变换为以该曲面为边界的区域上的积分,相应变换规则可以表述如下：用

    算子dv∕-替换面微元d∕i并让它作用在整个被积函数上，即d, → dV^~.§8速度环量守恒 ? 15 .

    §8速度环量守恒

    沿一条封闭曲线的积分

    Γ = υ ?dl

    称为沿该曲线的速度环量.

    考虑某时刻在流体中选定的一条封闭曲线.我们将把它看做物质线，即认

    为它是由位于该曲线的流体点组成的.随着时间的推移，这些流体点发生移

    动，整条物质线也随之移动.我们来研究速度环量这时如何变化.换言之，我

    们来计算对时间的导数

    ·∕t,dz?

    我们在这里写出的是对时间的全导数①,因为我们要计算沿运动的物质线的速

    度环量的变化,而不是沿空间中的静止曲线的速度环量的变化.

    为避免混淆,我们暂时用符号δ表示对坐标的微分,用符号d表示对时间

    的微分.此外,我们指出，封闭曲线的微元d!可以写为该线微元两端点径矢r

    之差δr,于是,我们把速度环量写为

    y v?δr.

    在计算这个积分对时间的导数时应当注意，不仅速度是变化的,封闭曲线本身

    (即它的形状)也是变化的.所以，如果把对时间的微分算子放在积分号以内,它不仅应当作用于V,而且应当作用于δr:

    d dv _ dδr

    -yv.δr = y-.δr + yv.-.

    因为速度”正好是径矢r对时间的导数,所以

    dδr βdr c. ? v2

    V ■ -r- = υ ■ 0— = V - OV — O-.

    di d￡ 2

    然而，全微分在一条封闭曲线上的积分等于零，所以上述第二个积分消失，结

    果得到

    ·AδF=y??δr?

    ·原文如此.其实,此处ddt相当于对时间t的一元函数求导(被微分的表达式不是X, y,z的

    函数).因为积分是沿物质线计算的，所以如果把ddt放在积分号以内，其含义自然就变为对时间的

    全导数(物质导数).如果积分是沿空间中的固定曲线计算的，ddt放在积分号以内就变为?∕?t.类

    似地,(1.1), (6.2), (7.3), (16.2)等公式中的?∕?t也可以写为ddt. 译者? 16 . 第一章理想流体

    现在剩下的工作就是根据方程(2.9)把加速度dυ∕dt的表达式

    dυ I

    击=- grad w

    代入以上等式.利用斯托克斯公式即有(因为rotgradw三0)

    dυ e, Γ IdVCt- C

    φ -TT , δr = rot ^jτ ' δ = O-

    J dt J at

    于是,回到前面的符号，我们最终得到①

    备QdZ = O,即

    V ?dl = COnSt. (8.1)

    我们得出结论:在理想流体中，沿一条封闭物质线的速度环量不随时间变

    化.这个结论称为汤姆孙定理(W.汤姆孙,1869)或速度环量守恒定律.我们强

    调,它是用形如(2.9)的欧拉方程得到的,所以其中包含等炳流假设.对于非等

    嫡流,该定律不成立但.

    对无穷小封闭物质线8C应用汤姆孙定理,再根据斯托克斯定理对积分进

    行变换,我们得到

    §p?dl = Jrotv?d∕ ≈ δ∕? rotv = COlISt) (8.2)

    式中df是张于封闭物质线SC的物质面微元.矢量rot。常称为流动在给定点

    的涡量③④.乘积(8.2)的含义可以直观地解释为:涡量与运动流体一起移动酒.

    习题

    证明：对于非等炳流中的任何一个流体微元，表达式(Vs? rotu)∕p的值在微元运动

    过程中守恒(H.埃特尔，1942).

    解：对于非等烟流，欧拉方程(2.3)的右侧不能替换为-VW,这时应把方程(2.11)

    改为

    ·ω ,, . , 1 _ _

    瓦=rot(υ X 3)+ —J Vp X VP

    Φ此结果在均匀重力场中仍然有效，因为rotfl = 0.

    ·从数学观点看,在P与P之间必须存在单值关系(对于等熠流,方程β(p, P) = ConSt确定了这

    样的关系).此时,-Vpp可以写为某个函数的梯度，而这正是推导汤姆孙定理所需要的.

    ③ 英文术语为vorticity.

    ④ 从运动学意义上讲,rot 02等于流体微元的瞬时角速度.一译者

    ·在汤姆孙定理的条件下，涡线和涡面(即涡量的矢量线和矢量面)是保持的，即组成涡线或涡

    面的流体点在任意时刻仍然组成涡线或涡面.一译者§9势流 ? 17 ■

    (为简洁起见,这里引入了记号ω = rotv).用乘此方程.因为S = s(p, P),所以可

    以通过VP和VP的线性组合表示出来，于是VS ? (VP X VP) = 0.进一步对方程右倒进

    行如下变换：

    VS ?岑=VS ? rot(υ X 3)= — div[Vs × (v × ω)] = - div[v(ω ? Vs)] + div[α>(v -Vs)]

    =—3 ? VSdiVV — V ■ V(U> ? VS) + α> ? V(w ? Vs).

    根据(2.6), V-VS= -?a∕?t,代入后得到方程

    a

    ^(W-VS) + v? V(ω-Vs) ÷ω-Vsdivv = 0.

    前两项合在一起就是d(ω?Vs)∕dt (其中d∕dt = ?∕?t + v^)i最后一项可以根据(1.3)

    进行变换，这时PdiVV = —dp∕dt.结果得到

    d 3 ? λ

    ^-T = Q'

    这就是需要证明的守恒定律.

    §9势流

    从环量守恒定律可以导出一个重要的推论.我们首先在流动定常的假设

    下考虑一条流线,并且已知在该流线的某一点IOt? = 0.我们在该点附近画一

    条环绕流线的无穷小封闭物质线.随着时间的推移,该物质线随流体一起运动,并且一直环绕同一条流线.由(8.2)可知，因为相应乘积保持不变,所以rotv在

    这条流线上处处为零.

    因此,如果涡量在流线上的任何一点等于零，则涡量在该流线上处处等于

    零.如果流动是非定常的，这一结论仍然成立,只是必须用某个特定流体点的

    迹线来代替流线①(我们注意,在非定常流中，迹线一般不同于流线).

    初看起来，由此可以得到以下结论.考虑某任何一个物体的定常绕流.设

    来流在无穷远处是均匀的，其速度V = COnSt)于是在无穷远处的所有流线上

    rots = 0.因此可以断定,rot”沿所有流线都等于零,即在整个空间中rot。= 0.

    在整个空间内rota = 0的流动称为势流(或无旋流);反之,速度旋度不为

    零的流动称为有旋流.因此,我们似乎可以得出结论:若来流在无穷远处是均

    匀的，则它对任何物体的定常绕流必定是势流.

    类似地,从环量守恒定律似乎还可以得到以下结果.假设(流体所在整个

    区域内的)流动在某一时刻是势流,则沿流体中任何封闭曲线的速度环量都等

    ·为避免误解，我们在此立刻指出，这个结论对湍流运动是没有意义的.我们还指出，当流线穿

    过激波后，流线上的涡量可能不再为零.以后将看到，这是因为等炳流假设此时遭到破坏(§114). ? 18 . 第一章理想流体

    于零①.根据汤姆孙定理即可断言,这种情形在以后的任何时刻都将保持不变,换言之,只要流动在某一时刻是势流,它在以后任何时刻就都将是势流(例如,任何开始于静止状态的流动必为势流).下述事实也与此相应:若rotυ = 0,则

    方程(2.11)恒成立.

    然而,所有这些结论的应用范围其实非常有限.原因在于,严格地讲,关于

    等式rot。= 0沿流线成立的上述证明对于被绕流物体表面上的流线是不正确

    的，因为物体表面的存在使我们无法在流体中作出环绕这种流线的封闭曲线.

    与此相关的一个事实是,理想流体运动方程允许有这样的分离解,这时在被绕

    流物体表面上发生所谓“分离”，即曾经紧贴物体表面的流线在某个位置会离

    开物体表面并进入流体内部.所得流动图像的特征是,存在一个从物体表面延

    伸出去的“切向间断面”，流体速度在该曲面上发生间断(并且速度方向总是位

    于该曲面的切平面内).换言之，一层流体能够沿

    着切向间断面在另一层流体上滑移(图1表示具

    二二有间断面的绕流，间断面把运动流体与物体后方

    一的静止流体分开).从数学观点看，速度切向分量

    间断面是面涡.

    如果把这类间断流包括在内，理想流体运动

    方程的解就不是唯一的：除了一个连续解,还允许

    图i 有无穷多个具有切向间断面的解，这些间断面可

    以从被绕流物体表面上任何一条预定的曲线延伸

    出去.然而,我们强调,所有这些间断解都不具有物理意义,因为切向间断是绝

    对不稳定的,这种绝对不稳定性使实际流动成为湍流(见第三章).

    绕给定物体流动的实际物理问题当然有唯一解.这是因为,严格意义上的

    理想流体其实并不存在,任何真实流体多少都有黏性.这种黏性实际上在几乎

    全部流动区域中都有可能完全不起作用，但在紧贴物体的薄薄一层流体内，无

    论黏性多么小，其作用都是至关重要的.正是(被称为边界层的)这一层内的

    流动性质，实际决定了如何从理想流体运动方程的无穷多个解中挑选一个适

    当的解.此外，在任意形状物体绕流的一般情况下,不能采用的正是分离流解

    (分离流实际上将导致湍流).

    尽管如此，研究连续定常有势绕流的运动方程的解在某些情况下还是有

    意义的.虽然在任意形状物体绕流的一般情况下,真实流动和势流具有全然不

    同的图案,但是对于某些特殊形状的物体(“良绕体”,见§46),真实流动和势流

    ·为简单起见,我们在这里认为流体充满空间中的一个单连通区域.对多连通区域也可以得到同

    样的最后结论,但在讨论过程中必须对封闭曲线的选择提出一些专门的限制条件.§9势流 ? 19 ?

    却可以相差甚微(更确切地说,流动仅在物体表面附近的薄层内和物体后方相

    对较小的“尾流”区内才不是势流).

    势流的另一个重要实例是位于流体中的物体发生微小振动时出现的流动.

    容易证明，如果振幅α远小于物体的尺寸I (α ? Z),则绕物体的流动将一直是

    有势的.为了证明这个结论,我们来估计欧拉方程

    —+ (υ ? V)V = -Vw

    中各项的量级.

    速度V在物体尺寸I量级的距离上才有显著变化(速度变化和物体振动

    速度U具有同样的量级).所以,速度W对坐标的导数的量级为u∕l.速度。本

    身的量级(在距离物体不太远的范围内)取决于U的大小,从而(V ?V)t; ~ ui∕l.

    导数?v∕?t的量级为ωu,其中3是振动频率.因为3 ~ u∕a,所以?υ∕?t ~ u2∕a?

    于是，从不等式a?Z可知，(V?V)υ远小于?v∕?t,所以可以忽略不计.因此,流体的运动方程变为?v∕?t = -Vw.在此方程两边取旋度,得

    a

    -τotυ = Q,由此可得rot w = const.然而,在振动过程中，速度(对时间的)平均值为零,所

    以从rot V = COnSt可知rot? = 0.综上所述,流体的微小振动所对应的运动(在

    一阶近似下)是势流.

    现在,我们来阐述势流的某些一般性质.首先,我们还记得,等炳流假设是

    环量守恒定律的推导及其所有推论的基础.如果流动不是等炳的,该定律就不

    成立.所以,在这个条件下,即使流动在某一时刻是有势的,涡量在以后的时刻

    一般也不为零.因此,实际上只有等炳流才可能是势流.

    在势流中，沿任何封闭曲线的速度环量都等于零：

    y V ? di = j rot V ?df = 0. (9.1)

    由此可以得到的推论之一是，在势流中不可能存在封闭的流线其实，因为

    一条流线在每一点的方向就是那里的速度方向，所以沿该曲线的速度环量在

    任何情况下都不会等于零.

    在有旋运动中，速度环量一般不为零.在这种情况下，可以存在封闭的流

    线,但是必须强调，封闭流线的存在绝对不是有旋运动的必要性质.

    和任何旋度为零的矢量场一样，势流中的速度可以表示为某个标量的梯

    @对于多连通空间区域内的流动，这个结论以及(9.1)可能不再成立.如果用来计算环量的封闭

    曲线在不越过区域边界的条件下不能收缩至一点，则对于这样的区域内的势流,速度环量可以不为零.20 第一章理想流体

    度,该标量称为速度势,记作S

    V = gradφ. (9.2)

    V = Vφ代入形如(2.10)的欧拉方程

    ·υ 1—2 i _

    瓦■ + y VV -VX rot V = -Vw,我们得到

    grad(? + Y + w)=°'

    由此得到以下等式：

    碧 + 字+s = ∕(t), (9.3)

    式中(t)是时间的任意函数.这个等式是势流运动方程的一个首次积分。不

    失一般性,可以令等式(9.3)中的函数(?)为零,因为根据速度势的定义,它不

    具有唯一性.其实，因为速度等于φ对坐标的导数,所以φ可以相差任何一个

    时间的函数.

    对于定常运动,我们有(使速度势φ与时间无关)?φ∕?t = 0, (t) = const,这时(9.3)变为伯努利方程

    —+ w≈ COnSt ? (9.4)

    这里要强调的是,势流的伯努利方程和其他流动的伯努利方程有重要区别.在

    一般情况下，对于任意流动的伯努利方程，右边的COnSt沿任意一条给定流

    线保持不变,但对不同的流线一般取不同的值.在势流中,const在全部流动区

    域中都是不变的.这一点尤其提高了伯努利方程对势流研究的重要性.

    §10不可压缩流体

    在液体(和气体)流动的许多情况下，可以认为其密度是常量，即可以认

    为密度在全部流动区域中处处相同,并且在全部流动过程中保持不变.换言之,流体这时不发生显著的压缩或膨胀.这样的流动称为不可压缩流但.

    对于不可压缩流体,一般的流体动力学方程可以大大简化.的确，如果在

    欧拉方程(2.4)中让P = COnSt,则方程的形式并无变化,只是P可以放到梯度

    (D通常称为拉格朗日积分.一译者

    ·更准确地,应称为均匀不可压缩流.不可压缩流一般指流体微元的密度保持不变的流动，即满

    足(10.2)的流动.— —译者§10不可压缩流体

    算子之后：

    瓦? + (V ? V)V = -+ 9' (lθ?l)

    但是,连续性方程在P = const时简化为

    div υ = 0. (10.2)

    现在，因为密度不再像一般情况那样是一个未知函数,所以可以选取只包

    含速度的方程作为不可压缩流体的流体动力学基本方程组，其中包括连续性

    方程(10.2)和方程(2.11):

    Q

    —rotv = rot(υ X rotv). (10.3)

    对于不可压缩流体,伯努利方程也可以写为更简单的形式.方程(10.1)与

    一般的欧拉方程(2.9)的区别在于，VW被替换为V(p∕p).所以，我们只要用

    pp代替(5.4)中的焙,立刻就可以写出伯努利方程：

    + 3 + gz = const. (10.4)

    对于不可压缩流体,还可以把能流表达式(6.3)中的也替换为p∕p,其形

    式就会变为

    RA (K)句

    其实，根据熟知的热力学关系式，我们有内能变化的表达式de = Tds-pdV,所以在S = COnSt和V = l∕p- COnSt时有dε = 0,即e = const.由于能量表达

    式中的常数项无关紧要,所以可以在w = ε + p∕p中略去ε.

    不可压缩流体的势流方程特别简单.当rot。= 0时,方程(10.3)恒成立.

    如果把V = Sradφ代入方程(10.2),它就变为

    = 0, (10.6)

    这是关于速度势φ的拉普拉斯方程①.除了这个方程,还应给出流体与固体接

    触面上的边界条件:在静止的固体表面上,流体速度的法向分量Vn必须为零;

    而在一般情况下,在运动的固体表面上,寐必须等于固体运动速度在同样的法

    线方向上的分量(该速度是时间的给定函数).另一方面,法向速度等于速

    度势φ的法向导数：Vn = ?φ∕?n.因此,一般的边界条件是,边界上的?φ∕?n

    是坐标和时间的给定函数.

    ①速度势φ最初是由欧拉引入的.对于这个量，他得到了形如(10.6)的方程，这种方程后来被

    称为拉普拉斯方程.

    1035445? 22 ? 第一章理想流体

    (10.7)

    对于势流,速度和压强是由方程(9.3)相联系的.在不可压缩流体中,可以

    把这个方程中的W替换为p∕p? .

    ·φ ,v2 P

    成+有+万

    我们在这里指出,不可压缩流体的势流具有下述重要性质.设任何一个固

    体在流体中运动,如果由此导致的流动是势流,则该势流在每一时刻只取决于

    运动固体在该时刻的速度.例如,它与固体的加速度无关.其实,方程(10.6)本

    身不显含时间，时间只能通过边界条件进入解的表达式中，而边界条件只含有

    运动物体的速度.

    从伯努利方程

    V2 P

    有+ A=const

    可以看出，在不可压缩流体定常流中(不考虑重力场),压强的最大值出现在速

    度为零的点上.这样的点通常位于被绕流物体的表面(如图2中的点O))它称

    为驻点.如果U是来流速度(即无穷远处的流体速度)，灼是无穷远处的压强,则驻点压强为

    PmaX — Pθ + 号^? (IO.8)

    如果运动流体的速度分布只取决于两个坐标，例

    如a：和饥并且速度处处平行于Xy平面，则这种流动

    叫做二维流或平面流.为了求解不可压缩流体的二维

    流问题,有时采用流函数来表示速度更为方便.从连续

    性方程

    j. ?υx ?υy

    div V = -5- + = 0

    OX Oy

    可以看出，速度分量可以写为某个函数W0 y)的导数

    ·?ψ ψ

    =一 矽

    这时连续性方程自动得到满足.函数寸(￠, y)称为流函数.把(10.9)代入方程

    (10.3),就得到流函数应当满足的方程

    (10.9) VX =奇 VV

    穿+ 琴=0. (10,10)

    at ?x ?y ?y ?x V J

    知道了流函数，就能直接给出定常流中的流线形状.其实，(二维流的)流

    线微分方程是

    dx dw Hn I

    — —=—,BIJ ? ox — VaJdW = 0,VX Vy §10不可压缩流体 ?23 ?

    它表示流线的切线方向就是速度方向.把(10.9)代入此方程,我们得到

    ·ιψ , φ , , J

    ∕ds + ∕dg = d≠ = 0,ox σy

    从而步=COnSt-因此,令流函数≠(x, y)等于任意常数,所得曲线族就是流线.

    如果在Xy平面上的点1和点2之间引一条曲线，则通过该曲线的质量

    流量Q等于流函数在这两点的取值之差,它与曲线的形状无关.其实,如果υn

    是曲线上给定点的法向速度分量，则

    Q = PJ VndI = P J (-υy dx + vxdy) = p J d?ψ,即

    Q = P炒2-1Ψι)? (10.11)

    解决不可压缩流体绕各种剖面形状物体流动的平面势流问题的一些有效

    方法与复变函数论的应用有关①,其理论基础如下.速度势、流函数与速度分

    量之间的关系为

    ·φ ?lψ ?φ ψ % =矿或% =矿一矽

    而函数p和W的导数之间的这种关系在数学上就是众所周知的柯西-黎曼条

    件.这个条件表明，复函数

    w = φ + itψ (10.12)

    是复变量z = x + iy的解析函数，即函数W(Z)在每一点都有确定的导数

    (10.14)

    箜=器+嘿=IJLg (IOlS)

    函数W称为复势,dwdz称为复速度?复速度的模和幅角给出了速度的大小U

    和速度方向与Z轴之间的夹角θ? .

    dw -iβ

    ^=Ve

    在被绕流固体的边界上,速度应当指向切线方向.换言之,表示固体边界

    的封闭曲线应当是一条流线，亦即沿边界■应有W = CODSt,并且该常数可以取

    为零.于是，给定边界曲线的绕流问题归结为：确定一个解析函数W(Z),使它

    在给定边界上取实数值.当流体有自由面时(本节习题9提供了一道例题)，问

    题的提法更复杂一些.

    ·在许多流体动力学教科书和专著中可以找到关于这些方法的详细论述和大量应用，那里给出

    了更多的数学理论.我们在这里仅限于解释该方法的基本思路.? 24 ? 第一章理想流体

    众所周知,解析函数沿任何一条封闭曲线C的积分等于该函数在曲线C

    以内所有单极点的留数之和乘以27ri,所以

    .w,dz = 2πi ∑2 Afc)

    其中Ak为复速度的留数.另一方面,我们有

    § w'dz = ^(VX- i?)(da:十 idj∕) = ^(VXdx+ υy dy) + i (υxdy- Vy da：).

    在这个表达式中，实部正好是沿曲线C的速度环量Γ,而虚部乘以P就是通

    过曲线C的质量流量.如果封闭曲线以内没有质量源，则质量流量为零,于是

    简单地有

    Γ = 2πi^fAk (10.15)

    k

    (此时所有留数Afc都是纯虚数).

    最后,我们来研究可以把一种流体看做不可压缩流体的条件.在绝热过程

    中,如果压强变化为△》,则密度变化为

    S (筒严

    然而,根据伯努利方程,定常流中的压强变化的数量级为g.导数(?p∕?p)a

    是流体中的声速C的平方(见§64).因此,我们得到估计值

    V2

    △p ~ PR

    如果APlP ? 1,就可以认为流体是不可压缩的.我们看到,不可压缩流的一个

    必要条件是流体速度远小于声速：

    V ? c. (10.16)

    不过,这个条件仅对定常流才是充分的.对于非定常流,还必须满足一个

    条件.设T和Z是流体速度发生显著变化时的时间和距离的量级.对比欧拉方

    程中?v∕?t和(Vp)∕p这两项,我们在量级上得到VlT ~ Δp∕Zp,即?p ~ IPυ∕τ,而P的相应变化?p ~ lμυ∕τ
    项，我们就得到，导数?p∕?t在?p∕τ ? pvl即

    I

    t? — (10.17)

    时可以忽略不计(即可以认为U = COnSt).Sio不可压缩流体 ? 25 .

    只要(10.16)和(10.17)这两个条件同时满足，就可以认为流体是不可压

    缩的.条件(10.17)有一个明显的意义:声音信号传播距离I所需要的时间Zc

    远远小于流动发生显著变化所需要的时间τ.于是,这个条件使我们能够把流

    体中相互作用的传播过程看做瞬间完成的.

    习题

    1. 设圆柱形容器以恒定角速度Ω绕它的轴转动，求该容器内受重力场作用的不可压

    缩液体的表面形状P

    解：取圆柱轴为Z轴，则VX = -Ωy, Vy = Ωx, VX = 0.连续性方程自动满足，而欧

    拉方程(I(U)给出

    她=L羿就=捋,2?零+9 =。?

    P ox P σy P Oz

    这些方程的通解是

    —=^rΩ2(a^ + ya) — gz + COnSt.

    P 2

    在自由面上P = COnSt,所以自由面是抛物面Z = Ω2(aP + y2)∕2g (原点位于自由面最低点).

    2. 设一个球体(半径为R)以速度U在不可压缩理想流体中运动，求绕球体的势流.

    解：流体在无穷远处的速度应当等于零.众所周知，l∕τ和MT对坐标的各阶导数都

    是拉普拉斯方程= 0的解(原点位于球心)，并且在无穷远处为零.考虑到球体的完全

    对称性，在问题的解中只能出现一个处处相同的失量，即球体的运动速度u.因为拉普拉

    斯方程和边界条件都是线性的，所以φ必须线性地包含u.能由U和1r的各阶导教构

    成的唯一标量是标积u?V(l∕r),所以我们将寻求以下形式的φ? .

    a _ 1 A?n

    9 = 4?咋=--歹

    (n是径矢方向上的单位矢量).边界条件要求流体速度V和球体速度U在球面上的法向

    分量相等，即当r = R时w?n = u?n,由此可以确定处处相同的矢 A.这个条?件给出

    A = uΛ3∕2> 于是

    V= —2^2?-n> V= 273[3n(wn)-u].

    从方程(10.7)可以求出压强分布：

    ρυ2 ?φ P = Po-~T~p^i

    (PO为无穷远处的压强).在计算导教?φ∕?t时应当注意，原点(已经取在球心)是以速度

    移动的.于是，零=黯?il-U?g

    ·这里认为圆柱轴垂直于水平面，液体相对于容器静止(相对平衡).— —译者 26 第一章理想流体

    球面上的压强分布由以下公式给出：

    P = Po + 卒(9cos%-5) +孕 m3

    8 2

    (。是71与U之间的夹角).

    3. 问题同上，但把球体改为一个无穷长圆柱体，它垂直于自身的轴运动①.

    解：流动与轴向坐标无关，所以应当求解二维拉普拉斯方程.在无穷远处为零的解是

    Inr对坐标的一阶和高阶导教(T是垂直于圆柱轴的径矢).我们将寻求以下形式的解：

    .-I A?n

    ω = A ? V In r =-------.

    T

    利用边界条件得到A = -Λ2u,所以

    Ie Λ2ro , . I

    φ =---- u?n, V = — I2n(u ?n) — ul.

    T Ti

    圆柱面上的压强由以下公式给出：

    P-P0 + -^-(4 cos2 8 — 3) + PRn ■ u.

    4. 设椭球形容器以角速度Ω绕一条主轴旋转，求其中的不可压缩理想流体的势流,并计算容器中流体的总动量矩(总角动量).

    解：在给定时刻，我们沿椭球的轴取笛卡儿坐标X, y, z,并且让Z轴为旅转轴.客器

    壁的速度为u = Ω × r,所以边界条件Vn = ?φ∕?n = Un为

    n

    ~q^ = Ω(xn?lt — ynχ},或者，利用椭球方程

    χ2 , V2 , I

    云+ ^ + = 1,把边界条件写为

    α2 ?x b2 ?y c2 ?z ? b2 a2)

    满足此条件的拉普拉斯方程的解是

    —CQ2 - V

    ψ = ω a2+b^xy' (I)

    容器中流体的动量矩为

    M = Pj(LXVy — yυsc) dV.

    ①关于绕椭球体和椭圆柱体的势流这类更一般问题的解，可以参考以下书籍：KOHHH H.E.1 KH-

    6ejι∑> H. A., Poae H. B. TeOPeTH?ecκaH rπrzφoMexaκHκa. XL 1. Mocxea: ΦR3MaτrH3, 1963 (H. E.柯钦,U.A.基别里，H.B.罗斯.理论流体力学.第一卷(共2册).曹俊，余常昭，陈耀松等译.北京；高等教

    育出版社，1956).第七章；Lanlb H. Hydrodynamics. 6th ed. Cambridge: Ceimbridge Univ. Press, 1932

    (H.兰姆.理论流体动力学.上册.游镇雄译.北京：科学出Ktt) 1990). §103-§116.§10不可压缩流体

    对楠球体积V积分,得到

    PpV(αa-?2)2

    5(α2 + fe2),公式(1)给出了流体相对于X, y, Z轴瞬时位置的绝对运动，这些轴是固连在旋转容

    器上的.从流体的绝对速度中减去速度Ω×r,就得到流体相对于容器(即相对于旅转坐

    标系H, y, Z)的运动.把流体的相对速度记为√,我们有

    ·x

    + Ωy =

    2Ωa^ , 2 眼 ~^+^y, VV = -Σ≡+Pz,υ, x = 0.

    =些

    求方程组X = V^y = V^的积分，即可得到流体相对运动的逶线，它们是与边界椭圆相似

    的楠圆 2 2

    X y

    -+-=consi.

    5.求被■绕流物体上的驻点附近的流动(图2).

    解：物体表面在驻点附近■的一小部分可以看做平面，我们把它取为Xy平面.将夕对

    小量XJ yi z展开为级数,精确到二阶项，我们有

    伊= ax +切+ cz + Ax2 + By2 + Cz2 + DXy + EyZ + FXZ

    (φ中的常数项无关富要)?使φ满足方程△伊=0和边界条件

    W

    一 位

    W

    =

    =

    些 处

    =0,对于Z = O和所有的X, y,=0, 对于 Jr = y = z = 0 (驻点)，就可以求出常系教，由此得到

    a = 6 = c ≈ 0, C = —A — Bi E = F = O.

    适当地旋转。轴和2轴，总可以消去DXy项，结果得到

    φ = Arc2 + By2 -(为 + B)Z气 (1)

    如果流动相对于Z轴是轴对称的(绕我转体的轴对称流)，则应有A = B,从而

    φ = A(tx2 + y' — 2).

    速度分量等于

    VX = 2 Ax, Vy = 2Ag, VX — ~4Az.

    流线由方程(5.2)确定，由此给出χ2z = CIJ俨Z = c2f即流线是三次双曲线.

    如果y方向上的流动是均匀的(例如，沿Z方向的来流绕一个圆柱体流动，Bl柱轴指

    向y方向)，则在⑴中应有B = O1从而

    流线是双曲线XZ = const.-28 - 第一章理想流体

    6.设两个平面相交形成一个角形区域,求不可压缩流体绕此角形区域(在角的顶部附

    近)的势流.

    解：在垂直于上述平面交线的横截面内选取极坐标r,原点位于角的顶点,0从角的

    —条边算起.设a是角的大小.当a < π时，流动发生在角形区域内梆；当α > τr时，流

    动发生在角形区域外部.法向速度为零的边界条件表明，当θ=0和0 = α时，?φ∕?θ = 0.

    我们把满足这些条件的拉普拉斯方程的解写为以下形式坠

    Tr

    φ = Arn COS nθ, n =—,a

    从而

    Vr = nArn~1 COSnVff = —nATn sinτι^.

    当n 1

    时(角形区域内部的流动，图4), V在τ = 0时变为零.

    流函数

    ιψ = ATn SnI nθ

    给出流线形状.转和W的上述表达式是复势W = AZn的实部和虚部?.

    7.在充满整个空间的不可压缩流体中，候设一个半径为a的球形区域中的流体突然

    消失，求这样形成的空穴被流体充满所需要的时间(W.H.贝赞特，1859;瑞利，1917).

    解：空穴形成后的流动是球对称的,每一点的速度均指向空穴中心.对于径向速度

    vr ≡ V < 0,我们有欧拉方程(球面坐标下)

    ·υ ?v _ 1 dp

    成+”芬=—序

    连续性方程给出

    r2v = F(t),⑴

    (2)

    ①我们选取含有r的最小正数次籍的解(r是小量!).

    ·如果把习题5和6中的边界面看做无穷大的，则在它们的解中，常系数工和B的值仍然是不

    确定的.从这个意义上讲，相应问题属于退化的情况.在有限大小物体绕流的实际情况下，这些值取

    决于螯体问题的一些条件.§10不可压缩流体 . 29 .

    式中F(t)是时间的任意函数.此方程表示这样的事实：流过任意球面的流体体积与球面

    半径无关，因为流体是不可压缩的.

    把(2)中的。代入(1),我们得到方程

    型+俭=—电.

    r2 dr P dr

    再对r积分,从∞积分到空穴的瞬时半径

    R — —R(t) ≤ a,就得到

    ⑶ 一巡 =奥

    R 2 P ,其中V = dB(t)∕di是空穴半径的变化率，而PO是无穷远处的压强.无穷远处的流体速度

    为零，空穴表面上的压强也为零.对空穴表面上的点写出关系式(2),我们求出

    F(t) = Λ2(i)V(t),再把F(t)的这个表达式代入(3),就得到方程

    3V2 R dV2 =Po

    2 2 dJ? ~ √

    可以采用分离变量法求解这个方程.艮据初始条件(流体在初始时刻处于静止状态)，在

    R = a时Vr = S我们求出

    V dR V=击=

    于是，流体充满空穴所需的总时间为

    T =

    √(α∕R)3 - 1

    这个积分可以化为B函数(第一类欧拉积分)，最终计算结果为

    8.设浸没在不可压缩流体中的球体按给定规律R = R(t)膨胀，计算球面上的流体

    压强.

    解：记所求压强为P(t).本题计算完全类似于上一道题，区别仅仅在于，r = R处的

    压强不是零，而是P(t).结果是，上题中的方程⑶应改为

    F'(t)俨 PO P(t)

    R 2 P P ,? 30 . 第一章理想流体

    相应地，方程⑷应改为

    注意到V = dR∕dt,可以把PG)的表达式写为以下形式：

    地E + H督+ (飘?

    9.求从平面固壁上无穷长缝隙流出的射流的形状.

    解：设Xy平面上的X轴表示固壁，该轴上的线段-α∕2 WZWa2表示缝:隙，流体充

    满半平面y>0.在远离固壁处(y → 8),流体的速度为零,压强为P0-

    在射流的自由面上(图5(a)中的Bc和B,C,),压强P = O,而根据伯努利方程,速度

    具有恒定值VI = √2p√^,固壁边界是流线，并且延伸到射流的自由面.设流线ABC上

    山=0.于是,在流线A'B,C'上W = -Q∣p,式中Q = PaIVI是射流的流量(α1, VI是射流

    在无穷远处的宽度和速度).沿流线ABC和A,BfC',速度势φ都是从-8变化到+8.

    设在点B和甘有φ = 0,因此,在复变量W的平面上，流动区域对应宽度为QlP的一个

    无穷长带状区域(图5(b)—(d)中各点的记号与图5(a)中各点的记号相对应).

    图5

    引入一个新的复变量 复速度的对数：

    -m[τ?麴=崂+「资+。) ⑴

    (t?e2是射流在无穷远处的复速度).在A,B,上有￠ = 0;在>48上0 = -们在BCI和

    B1C上。=处，并且在无穷远处的射流中θ = -τr∕2,所以，在复变量ζ的平面内，流动

    区域对应右半平面内宽度为Tr的一个半无穷长带状区域(图5(c)).现在，如果能够找到

    一个共形变换,它把W平面内的无方长带状区域变换为〈平面内的半无穷长带状区域(各 §11有势绕流的阻力 ? 31 ?

    点的对应关系如图5所示)，我们就能够确定.W对dwdz的函数关系，然后通过简单的积

    分运算即可求出w.

    为了得到所需变换,再引入一个辅助复变量U,使U平面内的流动区域对应上半平面,并且点B和B'对应点U = ±1,点C的C 对应点U = O5无穷远点A和4'对应点

    U = ±8 (图5(d)). S对这个辅助变量的函数关系由一个共形变换给出，它把u平面的上

    半平面变换为W平面上的带状区域.按照各点的上述对应关系，该变换是

    W = — — Inu. (2)

    pπ

    为了得到C对U的函数关系，应当找到一个把ζ平面上的半无穷长带状区域变换为U平

    面上的上半平面的共形变换.如果把该带状区域看做顶点之一位于无穷远处的三角形，就

    可以利用熟知的施瓦茨-克里斯托费尔公式得到所需变换：

    ζ = —i iE∣xcsin u. (3)

    公式⑵和(3)给出问题的解，因为它们确定了 dwdz和W之间参数形式的依赖关系.

    我们来确定射流的形状.在BC上有w = φ,ζ = i(τr∕2 + 0),并且U的变化范围是从

    0到1.从⑵和⑶得到

    9 =一差ln(— cos 0), (4)

    而根据⑴有d
    dz ≡ da: + i? = —eIedW = —e,β tan θ dθ.

    Vl π

    于是，积分后(利用θ = -π时J = 0, z = α∕2的条件)就求出以参教形式表示的射流形

    状.例如，射流的收缩比为

    · = ?=θ-61?

    §11有势绕流的阻力

    考虑不可压缩理想流体绕任何一个固体的势流问题.当然,这个问题完全

    等价于该固体在流体中运动时出现的流动问题.为了从前者确定后者,只要转

    换坐标系,使流体在无穷远处静止即可.我们将在下面论述的就是固体在流体

    中运动的情形.

    首先确定远离运动物体处的流体速度分布特性.不可压缩流体的势流满

    足拉普拉斯方程?v> = o.我们应当考虑这个方程在无穷远处为零的那些解,因为流体在无穷远处静止.我们把坐标系原点取在运动物体内的任何一点上

    (该坐标系与物体一起运动,不过我们研究的是流体在某一给定时刻的速度分

    布).众所周知,拉普拉斯方程有一个解l∕r,其中r是到原点的距离.1r对坐 第一章理想流体

    标的一阶和更高阶的导数也是方程的解,所有这些解(及其线性组合)在无穷

    远处都为零.因此,拉普拉斯方程的解在远离物体处的一般形式为

    a . _ 1

    φ =---- -A-V------ -- ? ?,T T

    其中α, A与坐标无关,略去的项含有MT的高阶导数.容易看出，常数a必须

    为零.其实,速度势φ = -a∕r给出速度

    —a ar

    V = —V— = —7-

    r ri

    我们来计算通过任何一个封闭曲面的流量,例如通过半径为R的球面的流量.

    速度在球面上处处相同并等于a快,所以总流量是p(a∕R2) .47γR2 = 4πpa.然

    而,不可压缩流体通过任何封闭曲面的流量显然必须为零,所以我们下结论说,应有a = 0.

    于是,φ只含有1户和更高阶的项.因为我们在求远处的速度，所以可以

    忽略高阶项，从而得到

    .? 1 A?n ,9 = 4.咋=--,? (H-I)

    对于速度V = grad 9则有

    Z . l、Ll 3(A?n)n — A 八?“ ? = (A-V)V- = 一----- (11.2)

    (n是指向T方向的单位矢量).我们看到,速度在远处像l∕r3那样减小.矢量

    A取决于物体的实际形状和运动速度.要想确定这个量,必须考虑运动物体表

    面上的相应边界条件，并在全部区域中完全求解方程Δφ = 0.

    在(11.2)中出现的矢量A与绕固体流动的流体的总动量和总能量之间存

    在着一定的关系.流体的总动能(不可压缩流体具有不变的内能)为

    E = § ∣υ2dV,其中积分是对物体以外的整个空间进行的.选取该空间的一个区域V,其外边

    界是半径R很大的球面，球心位于原点.我们将先在区域V上积分，然后令

    R趋向无穷大.我们有恒等式

    J V2 dV = y u2 dV + J(υ + ω) ? (v — ω) dV,式中U是物体的速度.因为W是与坐标无关的量，所以右边第一个积分显

    然等于u2(V - Kl))其中?是物体的体积.在第二个积分中，把v + u写为

    V(^+ u?r),再利用连续性方程divD = 0以及divu ≡ 0,我们有

    J V2 dV = u2 (V — Vo) + Jdiv{(φ + U ? r)(v — τ)} d?§11有势绕流的阻力 ? 33 ?

    把第二个积分变换为在球面S和物体表面SO上的曲面积分：

    [υ2 dV = w2(V -Vo) +
    J J S+So

    根据边界条件,在物体表面上,。和U的法向分量相等，而矢量df正好指向

    表面的法线方向，所以SO上的积分显然恒等于零.在计算远处曲面S上的积

    分时,我们把9和。的表达式(11.1), (11.2)代入,并略去那些当R→∞时变

    为零的项.把球面S上的面微元写为df = nE2do,其中do是立体角微元,我

    们得到

    Jυ2 dV = u2 (?足—%) + { 3(A?n)(ω?n) — (u? n)2E3) do.

    最后，完成积分运算①并乘以p∕2,我们得到流体总能量的以下表达式：

    E = g(4τr4??u-W)? (11.3)

    前面已经指出，为了准确地计算矢量A,需要在具体的物体表面边界条件

    下完全求解方程Δφ = 0.然而，A对物体速度U的依赖关系的一般性质,却

    可以直接从下述事实中获得：9的方程是线性的,并且这个方程的边界条件也

    是线性的(对于9和口都是如此)?由此可知，4应当是矢量U的分量的线性

    函数.因此由公式(11.3)给出的能量E是矢量U的分量的二次函数,可以写

    为以下形式：

    E = ^mikUiU.k, (11.4)

    式中mik是某个对称的常张量,其分量可由矢量A的分量计算出来.该张量

    称为附加质量张量.

    知道了能量E,就可以得到流体总动量P的表达式.为此，我们指出，E

    和P的无穷小变化之间存在以下关系%

    dE — U ?
    ①对d。进行积分等价于计算被积函数在所有矢量n的方向上的平均值，然后再乘以4”.为了

    计算形如(Λ?n)(B?n) ≡ AiniBknlC的表达式的平均值(A, B为常矢量)，我们有

    (A ? n)(B ? n) — AiBknink — ^?δi∣tAiB∣, = -i-A? B.

    ·其实，设物体在任何一种外力F的作用下加速运动，流体的动量因而增加.设在dt时间内,动量增量为dP.这个增量与力的关系为dP = Fdt,乘以速度U之后得到U dP = F udt)这就是

    力F在路程Vdt上的功，而它本身应当等于流体能量的增量dE.

    应当注意，直接采用对流体所占全部区域的积分∫pvdV来计算动量是不可行的，因为这个积分

    (速度P按照(11.2)分布)在下述意义上发散.这时，积分结果虽然是有限值，这个值却与积分方法有

    关：当我们在尺度随后趋于无穷大的区域中进行积分时,所得结果与区域的形状(球形、圆柱形等)有

    关.我们在这里使用的计算方法以关系式u?dP = dE为基础，最终给出一个完全确定的结果(由公

    式(11.6)表示)，它显然满足动量变化率与物体上的作用力之间的物理关系.? 34 ? 第一章理想流体

    由此可见,如果E由(11.4)表示,P的分量就应当具有以下形式：

    Pi Z= TIrlitζUfζ (1L5)

    最后，比较公式(11.3)-(11.5),结果表明，P可以用A表示为

    P = 4πpA — PVOu. (11.6)

    必须注意,流体的总动量是一个完全确定的有限值.

    单位时间内由物体传递给流体的动量为dP∕dt.显然,这个量取相反的符

    号就给出流体的反作用力F,即作用在物体上的力：

    F = 一詈. (11.7)

    力F平行于物体速度的分量称为阻力，而垂直于物体速度的分量称为升力.

    当物体在理想流体中匀速运动时,假如有可能出现有势绕流,则总动量P

    保持不变(因为U = COnSt),从而F = O.换言之，这时既不存在阻力，也不存

    在升力，即流体对物体的压力相互抵消(这个结果称为达朗贝尔佯谬).对阻力

    而言,产生这个佯谬的原因特别明显.其实,如果在物体匀速运动过程中存在

    阻力，这就意味着为了维持运动，必须有外力连续不断地做功，并且这种功或

    者耗散于流体内部,或者转变为流体的动能,结果导致在运动流体中一直有能

    量被输运向无穷远处.但是,按照定义,在理想流体中没有任何能量耗散,并且

    对于由物体引起的流动,流体速度在远离物体时迅速减小，所以在无穷远处并

    不存在任何能流.

    然而,必须强调,所有这些论述仅仅适用于物体在无界流体中运动的情形.

    例如,如果流体有自由面,则平行于自由面匀速运动的物体将受到阻力的作用.

    这种阻力(称为波阻)的出现与沿自由面传播的表面波有关，因为表面波能够

    连续不断地向无穷远处输运能量.

    假设一个物体在外力f的作用下发生振动①.如果前一节中讨论的那些

    条件成立,物体周围的流体的运动就是有势的，所以可以使用上述关系式来推

    导物体的运动方程.力f应当等于系统总动量对时间的导数，而总动量等于

    物体动量MU (M是物体的质量)与流体动量P之和：

    dP 尘 Mdr÷dΓ = ?f?

    利用(11.5),由此得到

    ①力不包括流体对物体的作用力.— —译者 §11有势绕流的阻力 ? 35 ?

    还可以把它写为

    δik+mik) = fi. (11-8)

    这就是浸没于理想流体中的物体的运动方程.

    现在,我们来考虑某种意义上的反问题.设流体本身在任何一些外部因素

    (不包括浸没于流体中的物体的作用)的影响下发生振动.在这种振动的影响

    下,物体也开始运动?.我们来推导物体的运动方程.

    我们将假设，流体的运动速度在物体特征尺寸量级的距离上只发生微小

    的变化.设P是假定物体不存在时在物体所处位置上的流体速度，换言之,V

    是未受扰动的流体速度.根据上面的假设,可以认为V在物体所占据的整个区

    域内处处相同.就像前面那样,我们仍用U表示物体的速度.

    可以用以下方法确定使物体运动的力.假如物体被流体完全带动起来(即

    假如0=m,则作用在物体上的力等于假定物体不存在时作用在物体所占区

    域中的流体上的力.这部分流体的动量是PVOυ,所以它受到作用力PVOdυ∕dt.

    不过，实际上物体并非完全与流体一起运动，物体有相对于流体的运动，而流

    体本身也因此产生某种附加运动,与此相关的附加动量等于mik(uk-vk)(在

    表达式(11.5)中，现在必须把U替换为物体相对于流体的速度u-υ).该动

    量随时间变化,所以物体上的附加作用力等于-mjjfcd(独-理)此 因此,作用

    在物体上的合力等于

    (Ufc-Wfc)-

    这个力必须等于物体动量对时间的导数，于是得到以下运动方程：

    ￡(Miii) - PVo^ _ m论￡(牲-υjfc).

    对时间积分,得到

    (Mδik + Tnik)也 k = (Tnik + pV6δik)υk- (11.9)

    积分常数取为零，因为物体运动是由流体引起的，当流体速度V等于零时,物

    体速度U也应当等于零.根据所得关系式，可以从流体的速度确定物体的速

    度.如果物体的密度等于流体的密度(M = p?>),则? = ?,而这正是我们预期

    的结果.

    ·例如，可以考虑有声波传播的流体中的物体的运动，并且要求声波的波长远大于物体的尺寸.■ 36 . 第一章理想流体

    习题

    1, 写出在理想流体中振动的球的运动方程，以及械?振动流体带动的球的运动方程.

    解：在§10习题2中已经得到绕球势流的9的表达式.与(11.1)进行对比,我们看出

    A = 7?3?

    2

    (H是球的半径).根据(11.6),被球带动的流体的总动量为P = 2πpjR3u∕3,所以张量Tnik

    等于 2π

    771 讷=-T-P-R 6访? o

    作用在运动的球上的阻力等于

    F = -?3dU

    3 di ,而在流体中振动的球的运动方程具有以下形式：

    坪(P。+号浩=厂

    (Po是球的密度).可以把du∕d的系数看做球的某种等效质量,它是球本身的质量与附加

    质量之和，而后者这时等于球所排开的流体质量的一半.

    如果球的运动是由流体引起的，则对于它的速度,我们从(11.9)得到表达式

    3p U= —V.

    P÷ 2p0

    若球的密度大于流体的密度(PQ > P))则U
    流体.

    2. 用矢量4表示在流体中运动的物体所受的力矩.

    解：我们从力学中知道,作用在物体上的力矩M可由它的拉格朗日函数(在本题中

    就是能量E)确定，关系式为δE = Λf δ0,其中 御 是物体的无穷小转动矢量，而8E

    是该转动过程中的相应能量变化.物体转动一个角度曲(分量mifc从而也有相应改变),可以替换为流体相对于物体转动角度速度U从而也有相应改变.在转动过程中有

    δu = -δθ X Ui 所以

    8E = P ? Su = —83 , (U X P).

    利用P的表达式(11.6),由此得到所求的公式：

    M — -U XP = PA X u.

    §12重力波

    在重力场中，处于平衡状态的液体自由面是平的.如果液体自由面在任

    何一种外部扰动的影响下在任何一个地方偏离了它的平衡位置，在液体中就

    会出现运动.这种运动将以波的形式沿液体的整个自由面传播,这样的波称为 §12重力波 ? 37 ?

    重力波，因为它们起因于重力场的作用.重力波主要发生在液体自由面上,但

    它们也影响液体内部，只不过随着深度的增加,其影响越来越小.

    我们在这里将考虑这样的重力波,其中运动液体微元的速度如此之小，以

    致于欧拉方程中的(?-V)v这一项与?v∕?t相比可以忽略不计.容易解释这

    个条件在物理上的含义.在重力波中，液体微元发生振动，它们在与振动周期

    T的量级相当的时间间隔内移动了与波的振幅a的量级相当的距离.所以,液

    体微元速度D具有量级a∕τ.此外,在T量级的时间间隔内,以及在沿着波传播

    方向的λ量级的距离内(λ是波长),速度V有显著的变化,所以速度对时间的

    导数的量级为υ∕τ,对坐标的导数的量级为υ∕λ.因此,条件(v?V)υ?δ√?i

    等价于?

    ÷σ-7?v

    即

    α?λ, (12.1)

    P = -PgZ

    即波的振幅应当远小于波长.我们在§9中已经知道,如果可以忽略运动方程

    中的(r?V)v这一项，流动就是有势的.再假设流体不可压缩，我们就能应用

    方程(10.6)和(10.7),并且在方程(10.7)中,现在可以忽略速度平方项υ2∕2.令

    (t) =0并在重力场中引入项pgz,我们得到

    ^?? (12.2)

    这里，Z轴就像通常那样被选取为竖直向上，而Xy平面位于液体的平衡自由

    面上.

    如果用ζ表示液体自由面上的点的Z坐标，则，是z, y和t的函数.在

    平衡时< =0,所以C是液体自由面在振动时在竖直方向上的位移.设作用在

    液体自由面上的压强PQ保持恒定,则根据(12.2),在自由面上有

    PO = -P成-P 罪.

    只要重新定义速度势9 (加上与坐标无关的量P0t∕p),就可以消去常量Po,从

    而让液体自由面上的条件具有以下形式：

    Ut

    =0. (12.3)

    波的振幅很小,这意味着位移ζ也很小.因此,可以认为自由面上的点的垂直

    速度分量在同样近似下等于位移 < 对时间的导数：PZ = ?ζ∕?t.但如=?φ∕?z,再利用(12.3),则有

    H蓦=T整LK ?φ

    ·z. 38 ? 第一章理想流体

    因为振幅很小,所以在这个条件中可以用Z = O时的导数值代替z = <时

    的导数值.于是,我们最终得到用来确定重力波运动的以下方程组：

    △9 = 0, (12.4)

    (? + 7?)2=O = O- (12?S)

    下面在研究液体自由面上的波时,我们将认为自由面是无界的.此外，我

    们还将假设波长远小于液体深度,从而可以把液体看做无穷深的.所以，我们

    不再写出液体侧面和底部的边界条件.

    考虑沿X轴传播并且在y方向上均匀的重力波.对于这样的波,所有的量

    都与坐标y无关.我们将寻求这样的解，它是时间和坐标X的简单周期函数：

    φ = (Z) COS (kx — ωi),式中3是波的圆频率(我们将把它简称为频率)，k是波数,A = 2π∕fc是波长.

    把这个表达式代入方程(12.4),对f(z)得到方程

    书-叱=。.

    随深度增加(即当ZT -∞时)而衰减的解是

    φ -= AefcZ COS (kx — (JJf). (12.6)

    我们还要满足边界条件(12.5).把(12.6)代入其中，得到波数与频率之间

    的关系(即波的所谓色散关系)：

    ω2 = kg. (12.7)

    只要计算速度势对坐标的导数，即可得到液体内的速度分布：

    VX = -Ak^Z sin(?τ — ωt),. (12.8)

    VZ = Ake COS(A— ωt).

    我们看出，液体的速度随深度的增加按指数律减小.在空间的任何给定点上

    (即当X, Z给定时),速度矢量在HZ平面内匀速旋转,其大小保持不变.

    我们再来确定重力波内液体点的迹线.暂且用;C, Z表示运动的液体点(W

    不是固定不动的空间点)的坐标，用X0, Zo表示液体点的平衡位置的￠, Z的

    值.于是，也 dz

    VX= di' UZ =在，§12重力波 39

    并且在小振幅波的情况下可以近似地用?, ZQ代替(12.8)右边的X) z.对时

    间进行积分,我们得到

    X-XQ = —A— ekx° cos(kx0 — ωt),； (12-9)

    Z-Z0- -A— ekz° sin(fcs0 — ωi).

    因此,液体点围绕点(%, ZO)作圆周运动,相应半径随深度按指数律减小.

    重力波的传播速度U等于?ω∕?k,这将在§67中加以证明.把3 = 面

    代入其中，我们就得到无穷深液体的无界自由面上的重力波的传播速度

    cz47I=? 皿10)

    它随着波长的增加而增加.

    重力长波.上面研究了波长远小于液体深度的重力波,现在研究相反的极

    限情况— —波长远大于液体深度的波.这样的波称为长波.

    首先考虑长波在渠道中的传播.我们将认为，渠道具有无穷大的长度(渠

    道沿着X轴的方向)，而其横截面形状可以是任意的，并且可以沿长度方向变

    化.用S = S(x, t)表示渠道中液体的横截面积，并假设渠道的深度和宽度都

    远小于波长.

    我们在这里将讨论液体沿渠道运动时出现的纵波.在这样的长波中,速度

    沿渠道长度方向的分量V5c远大于分量vυ, υz.

    如果略去速度分量υx的下标X,再忽略小项，就可以把欧拉方程在X方

    向和Z方向上的投影分别写为以下形式：

    ·υ 1 dp 1 dp-- =-------.-----=—Q

    ·t P ?x P ?z

    (这里之所以忽略速度的二次项,是因为仍然像前面那样认为波的振幅是小量).

    注意到在自由面(Z = O上应有P = PO)我们从第二个方程得到

    P = P0 + 9p(ζ - z)?

    (12.11)

    把这个表达式代入第一个方程,得到

    ·v ?ζ

    而=3虱

    可以像推导连续性方程那样得到用来确定两个未知量和C的第二个方

    程,它实质上就是上述情况下的连续性方程.我们来考虑渠道中相距迫的两

    个横截面之间的液体区域.在单位时间内，有体积为(SV)X的液体从一个横截 ? 40 ? 第一章理想流体

    面流入,还有体积为(SV)X+dx的液体从另一个横截面流出.因此,两个横截面

    之间的液体体积改变了

    5 ? E 、 ?(Sυ).

    (Sv)x^dx ~ (Sv)x = dτ.

    但是,根据液体的不可压缩性,这个变化只能是由液面高度的变化造成的.单

    位时间内上述横截面之间液体体积的变化等于

    9S

    ^?i

    dx,所以可以写出

    即

    这就是所需的连续性方程.

    ·S. ?(Sv} A

    ^dx = 一方厂曲

    (12.12)

    f÷T-?

    设SO是渠道中液体的横截面积在液体静止时的值,则S = So S',其中

    Sl是该横截面积在有波动时的变化.因为液面高度在波动过程中只有很小的

    变化,所以可以把SI写为bζ的形式,其中b是液体自由面的相应宽度.于是,方程(12.12)的形式变为

    (12.13)

    把(12.13)对t微分,再把(12.11)中的?υ∕?t代入其中，就得到

    y ^??(?)

    =0. (12.14)

    如果渠道的横截面沿整个渠道保持不变，则So=Const,从而

    ·2ζ gS0?2ζ-----— ------------------ - — I I

    ·t2 b ?x2 .

    (12.15)

    这种形式的方程称为波动方程.在§64中将证明，与此相应的是以速度U传

    播的波，并且U与频率无关，它等于?2ζ∕?x2的系数的平方根.因此,渠道中

    重力长波的传播速度等于

    U = yψ? (12.16)

    用类似方法可以研究大水池中的长波,这时假设水池在(Xy平面的)两个

    方向上都是无穷大的.用字母h表示水池中液体的深度.在速度的三个分量

    中,UZ现在是小量.欧拉方程具有类似于(12.11)的形式：

    ·vx ?ζ (12.17)§12重力波 ? 41 ?

    采用类似于(12.12)的推导方法可以得到连续性方程，其形式为

    ·h a(hux) 3(码)

    把深度i写为h = hq,其中h0是平衡时的深度，于是

    g + ?)+?) =O (12.18)

    OT OXdy

    假设水池底面水平(h0 = const).把(12.18)对t微分，再用(12.17)进行代换,得到

    + =O- Q2?19)

    这仍然是一个(二维)波动方程,相应的波具有传播速度

    U = y∕gh^. (12.20)

    习题

    L设液体深度为h,其表面无界,求表面上的重力波的传播速度.

    解：在液体底部,速度的法向分量应为零，即

    当 Z = —h 时，VZ =掌=0.

    az

    由此可以求出通解

    φ = (AefcX + Be~kz) cos(?α: — ωt)

    中的常数A和B之间的关系，结果得到

    φ — Acos(kx — ωt) CoSh(Z + h)].

    从边界条件(12.5)求出A;和3之间的关系

    ω2 = Sfctanh(?Δ).

    波的传播速度为

    U = 1 J . ?rrr tanh(fc∕ι) H------?~~-.

    2 V tanh(??) L V y CoSh12 (M).

    当 初》1时可以得到结果(12.10),而当kh<^l时可以得到饴果(12.20).

    2.设有上下两层液体，其密度和深度分别为p,i H和p, h (并且P > P)上层液体顶

    部和下层液体底部都以静止水平平板为边界.求这两层液体分界面上的重力波的频率和波

    长之间的关系.? 42 ? 第一章理想流体

    解：取两层液体平衡时的分界面为她平面.我们寻求在两层液体中分别具有以下形

    式的解：

    φ = A COSh[机 Z + Λ)] cos(?x — ωt), (】)

    φ' = B cosh[fc(z - Λ,)] cos(Λx — ωt)

    (这时上层液体顶部和下层液体底部的边界条件都能得到满足,见习题1的解).在两层液

    体的分界面z = <上，压强应当是连续的.根据(12.2),这给出以下条件：

    pgζ+P 碧=pgζ + 票,即

    ]

    g(p - P9

    此外，两层液体在分界面上的速度分量VZ应当相同，这给出以下条件:

    当Z = O时,?φ _ ?ψ

    ·z ~ ?z (3)

    进一步，于是,把⑵代入此式,得到

    ·φ _ ?ζ

    ·z ~~ ?t1

    S(P-Pz)? = P?^p?? ⑷

    把⑴代入⑶和(4),我们得到两个关于A和B的齐次线性方程,其相容条件给出

    ω2 = kg(p 一 时

    pcoth(kfo) + Pf ∞th(fcfo,)

    当kh ? 1, khf ? 1时(两种液体都很深)

    y=旧，而当kh ? 1, kh, ? 1时(长波)

    ,,2 _ ,.2 9(P-P')hh'

    Phf + Nh

    最后，如果kh > 1, kh! ? 1,则

    ^=^gh>P≡PL.

    P

    3.设有两层液体，下层液体(密度为P)无穷深，上层液体(密度为Pz)深度为h,,其

    上表面为自由面.求在两层液体的分乔面和上表面上同时传播的重力波的频率与波长之间

    的关系.§12重力波 ? 43 .

    解：取两层液体平衡时的分界面为Xy平面.我们寻求在下层液休和上层液体中分别

    具有以下形式的解：

    φ = AefeZ COS(AiX — ωt),9' = (BeiZ _|_ CekZ) cos(kx — ωt).

    在两层液体的分界而上(即当Z = O时)成立条件(JL习题2)

    · = ?> S遗=。整-嘴， (2)

    而在上层液体的自由面上(即当z = h'时)有

    喝 1 ?aφ, _

    ·z g ?t2 ~ (3)

    把⑴ 代入⑵ 中的第一个方程，由此给出A = C-B,于是其余两个边界条件给出关于

    B和C的两个方程.利用这两个方程的相容条件,我们得到关于ω2的二次方程,它的根是

    (S)(I 一 e)

    当H T 8时，这些根分别对应着在两层液体分界面和上层液体自由面上独立传播的波.

    4.设宽为α长为b的矩形池中有深度为h的液体，求液体振动的固有频率(见§69).

    解：沿水池两边取a;轴和y轴.我们寻求具有驻波形式的解：

    φ = f(x, y) cosωtcoβh[fc(z + Λ)].

    对于『得到方程

    名+麝+盼=。.

    ax2 OyZ

    同习题1 一样，自由面上的条件给出关系式

    ω2 = gktmh(kh).

    选取关于f的方程的以下形式的解：

    f = CoSPXCoeqyi p2 + ?3 = A2.

    在水池侧壁上应当满足条件：

    当 x = 0, α 时，VX = = 0;

    OX

    当? = 0, 时，Vy =毁=0.

    ·y

    由此求出

    τnτr TITr

    q=ρ

    其中Tn) Ti是整数.因此，k2的可能取值为

    A2^2(?÷?)?? 44 ? 第一章理想流体

    § 13不可压缩流体中的内波

    有一种特殊的重力波能够在不可压缩流体内部传播，传播过程与流体的

    不均匀性有关,而这种不均匀性是由重力场引起的.流体的压强(同时还有炳

    S)必然随高度变化，所以一部分流体在高度方向上的任何位移都将导致力学

    平衡的破坏,从而引起振动.其实，由于运动是绝热的,这一部分流体在移动到

    新位置后仍然具有原来的炳S,但它不同于炳在新位置上的平衡值.

    下面，我们将假设波长远远小于能够让密度因重力场的作用而发生显著

    改变的距离色 同时，我们将把流体本身看做不可压缩的，这意味着可以忽略

    由于波中压强变化而引起的密度变化.由热膨胀引起的密度变化绝对不可忽

    略,因为正是它决定了整个现象.

    我们来写出所研究的运动的流体动力学方程组.设下标O表示各物理量

    在力学平衡时的值，撇号表示它们在波动过程中对平衡值的微小偏离，则炳

    S= S0+√的守恒方程在精确到一阶小量时可以写为

    —+v?Vs0 = 0, (13.1)

    其中的So就像其他量的平衡值那样是竖直方向上的坐标Z的给定函数.

    其次,仍然忽略欧拉方程中(?-V)?这一项(因为是小振动),再考虑到平

    衡态下的压强分布满足方程VPO=POgI我们在同样的精度下得到

    嘉=_平+。= _碧+渊λ

    如上所述,密度变化只与烟变化有关，但与压强变化无关,所以可以写出

    这样就得到以下形式的欧拉方程：

    票咔(器(13,2)

    这里之所以可以把PO移入梯度算子，是因为平衡密度在与波长相当的距离上

    的变化根据前面的论述终归是可以忽略的.基于同样的原因,在连续性方程中

    ·密度梯度与压强梯度之间的关系为

    VP = 侥) = E

    式中C是流体中的声速.所以，从流体静力学方程VP = Pg有VP = Pfl∕c2.由此可见，在重力场中,在I ≈ C?的距离上才会有显著的密度变化.对于空气，i ≈ 10 km;对于水,I ≈ 200 km.§13不可压缩流体中的内波 ? 45 ?

    也可以认为密度是常量,这时连续性方程就变为GI

    divv = 0. (13.3)

    我们来寻求方程组(13.1)-(13.3)的平面波解：

    V = COnSt ? 4E-3t),对和有类似的表达式.代入连续性方程(13.3)就给出

    Vfc = O) (13.4)

    即流体速度处处垂直于波矢k (横波).方程(13.1)和(13.2)给出

    W = ^?Vs0, -iωυ = —f繁)s'g 一 -p,,PO ?^so∕p PO

    对第二个方程使用条件(13.4),得到

    即=(器[SN

    再从这两个方程消去υ和s',就得到所需的色散关系— —频率与波矢之间的

    关系：

    ω2 = ωθ sin2 θ9 (13.5)

    其中

    晚=-若(戳 Q3?6)

    在这里和以后，我们省略表示热力学量平衡值的下标0,并且规定Z轴竖直向

    上,而。是Z轴与方向之间的夹角.S(Z)的平衡分布的稳定性条件(不发生

    对流的条件,见§4)保证了表达式(13.6)的右侧大于零.

    我们看到,频率仅仅依赖于波矢的方向而与其大小无关.当0 = O, τr时可

    以得到3 = 0.这表明，这种类型的波在波矢指向竖直方向时是根本不可能存

    在的.

    如果流体不仅处于力学平衡态，而且处于完全的热力学平衡态，则它的温

    度处处相同，于是可以写出：

    dz ??pjτ dz p9 ??p)τ

    ·其实，“不可压缩流体”本身就意味着div V = O(Ja 20页的脚注).— —译者? 46 ? 第一章理想流体

    最后,利用熟知的热力学关系式

    例如,对于热力学意义上的理想气体,这个公式给出

    3。= ? (13,S)

    频率对波矢方向的依赖性导致波的传播速度U = ?ω∕?k和波矢k具有

    不同的方向.如果把函数关系3闵写为

    的形式(V是竖直向上的单位矢量)，则进行微分运算之后得到

    2

    U — --τ(,nf?υ)[u - (n? ι∕)n], (13.9)

    式中n = k∕k.此传播速度垂直于波矢k,它的大小等于

    U=牛CO8 0,而在竖直方向上的投影为

    U-U =—竺 COS θ Sin Θ.

    k

    §14旋转流体中的波

    当不可压缩流体作为一个整体匀速转动时，在流体中能够出现另外一种

    特殊类型的内波,其传播过程与流体转动时产生的科里奥利力有关.

    我们将在与流体一起运动的坐标系中研究问题.众所周知，这时在力学运

    动方程中应当引入两种附加的力— —离心力和科里奥利力.因此,在欧拉方程

    右侧也应当补充上这些力(质量力).离心力可以用梯度V(f2xr)2∕2的形式

    表示出来,式中Ω是流体转动的角速度矢量.如果引入表观压强

    P = P- p(Ω × r)2, (14-1)§14旋转流体中的波 ? 47 ?

    就可以把离心力与力-WlP合并在一起.科里奥利力等于2? X Ω,它仅在流

    体相对于转动坐标系运动时才会出现(V是该坐标系中的速度).把这一项移

    动到欧拉方程的左侧，我们写出以下形式的欧拉方程：

    匚 + (。? V)V + 2Ω ×υ =-----VP. (14.2)

    σt P

    连续性方程仍然具有原来的形式.对于不可压缩流体,该方程化为divυ = O.

    我们仍然认为波的振幅很小并忽略方程(14.2)中的速度平方项，于是该

    方程的形式变为

    瓦■ + 2Ω ×υ = -■ VP\ (14.3)

    其中p,是压强在波动过程中发生变化的部分,而p = const.在方程(14.3)的

    两侧取旋度rot,立刻就能消掉压强，因为方程的右侧变为零.在方程的左侧,考虑到流体的不可压缩性,我们有

    rot(17 ×υ) — Ω div υ — (Ω? V)? = -{Ω? V)υ.

    让Z轴指向Ω的方向，我们把所得方程写为以下形式：

    斜捉=2〃蚩. (14-4)

    我们寻求平面波解

    V = Aei(?r-ωt? (14.5)

    并让它满足横波条件(根据方程div V = 0)

    fc ? A = 0. (14.6)

    把(14.5)代入方程(14.4),得出

    ωk ×v- 2iΩkzv. (14.7)

    从这个矢量方程消去V,就可以得到波的色散关系.用k在方程的两侧进

    行矢量乘运算,我们把结果改写为

    -ωk2v — 2iΩkzk X υ,再对比这两个等式，就得到所需的函数关系ω(fc):

    3 = 2J2?^? = 2∕2cos0, (14.8)

    式中。是与々之间的夹角.? 48 ? 第一章理想流体

    利用(14.8),等式(14.7)化为以下形式:

    n×υ = iv,式中n = kk.如果把波的振幅表示为复数形式A = a + ib,其中a和b是实

    矢量，则由此可知n X ? = a,即矢量a和b (它们位于垂直于矢量k的平面

    内)互相垂直并具有相同的大小.选取这两个方向作为Z轴和!轴的方向，然

    后分离(14.5)的实部和虚部,我们得到

    VX = a cos(ωt — fc?r), Vy = —αsin(ωt -k?r).

    因此,波具有圆偏振性：在空间的每一点，矢量?随时间而旋转，其大小保持

    不变
    波的传播速度为

    (14.9)

    __ ?ω 2Ωr f 、i

    U=Qk = -j^-[^-n(n?ι)],式中是〃方向上的单位矢量.就像重力内波的情况那样，该传播速度垂直

    于波矢 它的大小和在Ω方向上的投影分别为

    U —晋 Sm θ, U?v =碧 sin2 0 = C7 sin θ.

    所研究的波称为惯性波.因为科里奥利力不对运动流体做功，所以这样的

    波所携带的能量全部是动能.

    有一种特殊形式的轴对称(非平面)惯性波能够沿流体的转动轴传播，参

    见习题.

    最后,我们就旋转流体中的定常运动再给出一点说明，这种运动与波的传

    播没有关系.

    设I是这种运动的特征长度,U是其特征速度.在方程(14.2)中,项? V)V

    的量级为U2〃,项2Ω×υ的量级为Ωu.如果u∕ZΛ?l,则前者与后者相比可

    以忽略,定常运动方程从而可以化为

    2X2 ×t? =-----NP (14.10)

    即

    CC IBPCC 1 ?P

    2ωVy = 7 ‰, 2施=-?宙,?P n

    ·注意，这里研究的是相对于转动坐标系的运动!相对于静止坐标系而言，这种运动还要叠加上

    全部流体作为一个整体的转动.§14旋转流体中的波 ? 49 ?

    式中χ,y是与旋转轴垂直的平面上的笛卡儿坐标.由此可见,P与纵向坐标Z

    无关,% Vy因而也与坐标Z无关.此外,从前两个方程消去P,得到

    ·υx?υv

    再从连续性方程div” = O即可看出?υz∕?z = 0,因此，在快速旋转的流体中,(相对于旋转坐标系的)定常运动是两种独立运动的叠加：一是与旋转轴垂直

    的平面上的平面运动,二是与坐标Z无关的轴对称运动(J.普劳德曼,1916).

    习题

    1.设不可压缩流体作为整体绕轴转动，试确定沿该轴传播的轴对称波(W.汤姆孙,1880).

    解：沿角速度矢量n取Z轴并引入柱面坐标r, φ, Z.在轴对称波中，所有的量都与

    角度φ无关.对时间和坐标Z的函数关系可由形如e,(fcχ-ωt>的因子给出.用分量形式写

    出方程(14.3),我们有

    · OO 1 ?p,-IaWr — 2Ωvφ =---- J

    P UT

    [jc

    -iωυφ + 2Ωvr = 0, -iωvz =--- p>.

    P

    此外，还应当写出连续性方程

    1 ? , 、 . f λ--^(rυr)+ιkvx = 0.

    T UT

    令速度分量1?对r的函数关系为

    Vr = F(r)ei(fcz-Wt).

    利用⑵和(3)把t?和P'通?过表示出来,再把它们代入(1),我们就得到函数F(r)的

    方程 π

    + 717+ [^-^fc2^ ?] F = O- (4)

    该方程的解是

    ⑴

    ⑵

    (3)

    式中JI是一阶贝塞尔函数.这个解在r = 0时等于零.

    波动图策被一系列同轴圆柱面分割为诸多区域，圆柱半径rn分别满足等式

    其中XI,如，…是?? Ji(X)的一系列相邻的零点.在这些圆柱面上听=0,换言之，流

    体永远不会穿过这些的面.? 50 ? 第一章理想流体

    我们指出，对于无界流体中的上述波动,频率ω不依赖于k.不过,可能的频率值受到

    条件ω<2fi的限制.如果此条件不满足,方程(4)就没有有限的解，而解的有限性是一个

    必须满足的条件.

    如果发生转动的流体位于半径为R的圆柱形壁面以内，就应当考虑该壁面上的条件

    υr =0,从而得到关系式

    当n的值已经给定时(即当流体中已经给出同轴圆柱面的数目时)，它给出3与jfe之间的

    关系.

    2.试推导描述旋转流体中任意的压强小扰动的方程.

    解：用分量形式写出方程(14.3),如B 1 dp ?vy On 1 ?ρ ?v2 1 dp

    - 2Ωυv =--- -H-J 3+2fh? =— —-Hr =— —f

    ·t PdX OT P ?y ?t P ?z

    分别取这三个方程对a y, Z的导数并把结果相加，根据方程div V = 0得到

    ⑴

    -Δ√ = 2Ω

    取这个方程对t的导数,再利用方程(1),结果是

    耘M =4。噤.

    再次对i求导,最终蛤出方程

    备5必窘=。? ⑵

    对于频率为3的周期性扰动，此方程化为

    ·? + ?+(1^?)S^=0? (3)

    若波具有(14.5)的形式，则由此显然可知，色散关系就是前面已经得到的(14.8),并且

    3 <22,而方程(3)中?2p'∕?2^的系数小于零.源自一点的扰动沿一个圆锥的表面传播,该圆锥以Ω为轴，以26为孔径角，其中sin? = ω∕2β.

    当3 > 2Q时，方程(3)中8rip'∕?zi的系数大于零，并且只要沿Z轴进行显而易见的

    尺度变换，就可以把这个方程化为拉普拉斯方程.这时，源自一点的扰动对全部流体都有

    影响，它按照到扰动源距离的暴次规律衰减.第二章

    黏性流体

    §15黏性流体的运动方程

    我们来研究流动中的能量耗散过程对流动的影响.这些过程是流动在热

    力学上不可逆的表现,而这种不可逆性在这样或那样的程度上总是存在的，它

    与内摩擦(黏性)和热传导有关.

    为了得到描述黏性流体运动的方程，必须在理想流体运动方程中补充一

    些项.至于连续性方程，从其推导过程显然可以看出，它对任何流体的运动都

    是同样有效的,黏性流体也不例外.欧拉方程则不然,应当有所修改.

    我们在§7中已经看到，欧拉方程可以写为以下形式：

    其中∏ik是动量流密度张量.由公式(7.2)定义的动量流代表完全可逆的动量

    输运，它只与流体不同部分从一处到另一处的机械运动以及流体所受压强有

    关.流体的黏性(内摩擦)则是因为从速度大的地方向速度小的地方的另外一

    种附加的不可逆动量输运而出现的.

    因此,如果在“理想”动量流表达式(7.2)中补充上表示流体中不可逆“黏

    性”动量输运的一项gk,就可以得到黏性流体的运动方程.于是,我们把黏性

    流体的动量流密度张量写为以下形式：

    Ilik = PSik + PViVk — σ'ik = -σik + PViV. (15.1)

    张量

    σifc = -pδik + σ?fe (15.2)

    称为应力张量,而σ'ik称为黏性应力张量.张量代表与流体质量输运所伴 ? 52 ? 第二章黏性流体

    随的直接动量输运无关的那部分动量流

    可以用以下方法确定张量Ejt的一般形式?流体中的内摩擦过程只出现

    于不同流体点以不同速度运动，使得流体各部分有相对运动的情况，所以Ejk

    应当依赖于速度对坐标的导数.如果速度梯度不太大,就可以认为由黏性引起

    的动量输运只与速度的一阶导数有关.在同样的近似下,还可以认为Ejfc对导

    数，?∕3α?的这种依赖关系是线性的.在儿的表达式中应当没有与?υi∕?xk

    无关的项，因为当V = COnSt时σt ik应当为零.我们进一步指出，当全部流体作

    为一个整体匀速旋转时,σl ik也应当为零,因为对于这样的运动,在流体中没有

    任何内摩擦.在以角速度Ω匀速旋转时,速度V等于矢量积Ω×r.导数之和

    ·Vj ?Vk

    ·Xk ?xi

    是?υi∕?xk的线性组合,并且当υ = Ω×r时等于零.因此,σ>ik所包含的应当

    正好就是导数?υi∕?xk的这种对称的组合.

    满足这些条件的二阶张量的最一般形式为

    儿=??(￡ + ?^膈剧+海器 (W3)

    其中的系数7和：与速度无关.在得到这个结果时使用了各向同性流体的性

    质,而这样的性质只能由一些标量(此时为〃和C来描述.(15.3)中的各项之

    所以这样组合，是为了让括号中的表达式在缩并(即对i = k的分量求和)后

    为零.系数7?和C称为黏度(并且C经常称为第二黏度)。在§16和§49中

    将证明，它们都是正的：

    η>0, ζ>Q. (15.4)

    现在,只要在欧拉方程

    (?Vi ?Vi ? dp

    p?^?i+υk?^) =

    右边加上?σl ik∕?xk的表达式,直接就得到黏性流体的运动方程.于是,我们有

    p(?+u?)=^B+? Kfe+? ^ Ij?fe?)]+? (徽)?

    (15.5)

    这是黏性流体运动方程最一般的形式.量T7和 < 一般是压强和温度的函数.在

    一般情况下,P和T在整个流体内并非处处相同,T7和C因而也是如此，所以

    η和 < 不能移到微分算子之外.

    ·下面我们将看到，σ, ik包含与6ik成正比的一项，即与pδik形式相同的项.因此,严格地说，当

    动量流张量的形式这样变化后,应当更明确地解释压强p有何含义.见§49最后关于这个问题的说明.

    ·系数1也称为剪切黏度，C也称为体积黏度.— —译者§15整性流体的运动方程 ? 53 ?

    不过,在大多数情况下，流体中的黏度只有很小的变化，所以可以认为它

    们是常量.于是,方程(15.5)可以写为矢量形式：

    + (V ■ V)V = - gradp + τ∕?υ + (￠+ y j grad div υ. (15.6)

    此方程称为纳维-斯托克斯方程.

    如果可以认为流体是不可压缩的,则方程(15.6)大为简化.这时div V = 0,该方程右边的最后一项消失.在研究黏性流体时,我们实际上将总是认为它是

    不可压缩的，因而将使用以下形式的运动方程Gl:

    票 + (t)? V)V = —— gradp + -Av.

    Ut P P

    (15.7)

    不可压缩流体中的应力张量也取简单的形式:

    (15.8)

    σik = ~pδik + η(^e +

    我们看到,不可压缩流体的黏性只由一个系数描述.因为在实际应用中经

    常可以认为流体是不可压缩的，所以通常正是这个黏度η有重要作用.比值

    T

    称为运动黏度,系数η称为动力魏度.我们在下表中列出某些流体的。和值

    (温度为20°C).我们指出,在给定温度下,气体的动力黏度与压强无关,而运动

    黏度与压强成反比.

    (15.9)

    η g?s-1 ?cm-1 U Cm2 'S-1

    水 0.010 0.010

    0.00018 0.150

    0.018 0.022

    8.5 6.8

    0.0156 0.∞12

    可以从方程(15.7)中消去压强，所用方法与前面从欧拉方程中消去压强

    的方法相同.在方程两边取旋度，我们得到

    a

    —rot V = rot(υ × rot υ) +1∕? rot V

    (请与理想流体的方程(2.11)进行对比).因为这里在讨论不可压缩流体，所以

    ①方程(15.7)首先是由纳维根据一些模型概念提出的(C?L.纳维，1827),斯托克斯也得到了方

    程(15.6), (15.7)(不含带有ζ的项)，其推导方式很接近现代方式(G.G.斯托克斯，1845)., 54 ? 第二章IS性流体

    只要按照矢量运算法则展开此方程右边第一项，再利用等式div V = 0,就可以

    把它写为另外的形式：

    a

    —rot V + (υ ? V) rot υ 一 (rotυ? V)V = ι∕? rot v.

    在已知速度分布时，可以通过求解泊松方程类型的方程

    A Ui ?υk ?^ViVk

    ^P=-Pd^d^ = ~p?^^i

    Ui ?υk __

    (15.10)

    (15.11)

    来计算流体中的压强分布.对方程(15.7)取散度即可得到这个方程.

    我们在这里还列出不可压缩黏性流体二维流动的流函数峋,y)所满足

    的方 ......