目录

    网友评论摘选

    前言

    引子

    第1章 数学是什么

    1.1 从一道试题开始

    1.2 数学是一门语言艺术

    1.3 集合与映射

    第2章 无穷的困惑

    2.1 数大招疯

    2.2 谁更有钱

    2.3 悖论

    2.4 出题

    2.5 破题者

    2.6 一炮而红

    2.7 颠覆想象的证明

    2.8 与时代为敌

    第3章 万物皆数3.1 西方科学的祖师爷

    3.2 毕达哥拉斯和他的暴力美学

    3.3 谁动了我的优先权

    3.4 心魔

    3.5 一张会员卡引发的血案

    3.6 根号2的逆袭

    3.7 脑洞

    3.8 极限是怎样炼成的

    3.9 实数轴的重生

    第4章 魔法传奇

    4.1 进击的函数

    4.2 幂与方程

    4.3 智力界的奥林匹克

    4.4 探秘者

    4.5 神秘新数种

    4.6 引路人

    4.7 伽罗瓦

    4.8 砸金蛋

    4.9 情商很重要4.10 最终的答案

    4.11 另一段传奇

    第5章 大时代

    5.1 地心说还是日心说

    5.2 令人无奈的乘法

    5.3 人工计算器

    5.4 钟表匠

    5.5 神奇的底数

    5.6 奇妙的身姿

    5.7 自然法则

    5.8 工匠精神

    第6章 三角术

    6.1 亚历山大里亚

    6.2 三个非主流

    6.3 变脸

    6.4 最小二乘法

    6.5 收敛!收敛!

    6.6 结构的魅力

    6.7 扫盲先锋6.8 最后的悬念

    第7章 与确定性告别

    7.1 冤家

    7.2 躺枪的理发师

    7.3 集合保卫战

    7.4 三大门派

    7.5 直觉派的大佬

    7.6 卫道士

    7.7 梦醒时分

    7.8 余波

    7.9 原本

    后记

    时间线

    附录网友评论摘选

    王且能：从小我数学就不好，但这个专栏我看得津津有味，感谢!

    Erona Wan：满满的干货，虽然我才看了一半儿，但这无疑是一类非常棒的数

    学科普文章。

    八里土人：从头看到尾，希望能买到作者签名的实体书。一个小建议：能否按

    照时间顺序为坐标轴，画两个图，一个是数学成就和数学研究热点图，一个是数学

    家的年代图，比如柯西在数学史上是什么时间出现的。对比这两个图，能更清楚地

    把握数学发展史以及各位数学家的贡献。另外给作者一个建议：封面设计好看一

    点。对作者这套介绍，点上我所有的赞。作者辛苦了，多谢多谢!

    Eicmly：希望可以在增加说明的基础上保留理论，这样更方便深入地理解方法

    ～

    郭子恒：一直关注这个系列，露个脸。这个系列非常不错，能够填完这个大坑

    不易，辛苦了!

    虾米：拜读大作，就好像第一次看几何原理一样，感觉之前完全是在走不一样

    的路。

    zyzyasdjkl：每次看到有更新都是满怀期待地点进去，作者也从来不会辜负期

    待。作为一个数学爱好者，真的学到了很多，虽然有些较为专业的……只能等我循序

    渐进学到相关地方再细细品味了。

    老兵还乡：大赞楼主，这么复杂的东西，我曾经慕名去看原文，最后放弃了，没想到今天找到了科普版，讲得好清楚!

    仙哥在1Q84：其实看到这些定义有时候会羡慕这些数学大家如此精妙的思

    维……追了这个专栏这么久，祝好!

    適莫：作者语言幽默风趣，读者喜欢。吃盒饭：这篇解答了我对为啥叫“最小二乘法”的多年疑问!还真有“最小一

    乘法”，哈哈。

    吃盒饭：十几年来第一次知道为什么叫双曲正弦双曲余弦!

    小尹：测量平差和大地重力学上来就是勒让德，球谐，拉普拉斯。只学过同济

    高等数学的表示真的力不从心。感谢作者的讲解，要是当年学习时就看到这个，后

    面就容易多了。

    小小呆：点赞，这篇文章比较简练又不失风趣。作者将网络流行语用的得心应

    手，看着带有喜感。谢谢小谦老师让我们从另一个角度来看待数学和数学对象。

    王大头：数学的学习如果离开发展史和应用，真的就只剩下炫智商的游戏了。

    手动感谢!

    肉鸡蛋：每次看到伽罗瓦的故事都感觉悲哀与无奈，这种bug般的人物要是活久

    一点该会有多大的成就啊!

    香草：很感谢楼主，一直很想看伽罗瓦本人到底把群论用在哪儿了。

    藏羚羊：希望多一些像作者这样的老师，让学习数学的孩子们不再只是在题海

    中苦苦挣扎。

    tara：作者加油!这种文章不仅对数学爱好者很有吸引力，而且对工科大学生

    帮助很大，感谢～

    一段插曲：受益匪浅，哈哈。一口气追完所有章节。

    acer：一口气看到这里，这真是一部十分好的数学史，但是康托尔那里还是意

    犹未尽啊!

    阿垃垃圾咩咩：楼主写得真的好，看完这篇情不自禁给作者和康托尔鼓了鼓

    掌。

    bananaeat：楼主写得很不错，希望能让更多人读到!

    之词，在评论区留下了许多对我的鼓励。正是由于他们的厚爱，专栏里的文章才有

    所幸结果还好，专栏推出之后，得到了许多网友的关注和喜爱，他们不吝赞美

    以活泼的。至于大家喜不喜欢，说实话，我心里没底。

    教，我写文章总是力求做到轻松有趣，我觉得数学虽然是严肃的，但数学教学是可

    生们在课堂上学习的内容提供相应的背景和延伸。由于向来反感照本宣科式的说

    我做了很长时间的准备，意图将数学历史和数学知识有机地结合在一起，为学

    《奇葩数学史》的专栏。

    学、品读数学的园地。我想了想，觉得可以，于是，便有了“知乎”上一个名为 来，组成一系列的科普文章，成为中学生以及广大数学爱好者认识数学、了解数

    受宠若惊之余，我萌生了一个更为大胆的想法，这些闲篇能不能更好地连接起

    特别激动。

    竟然出奇地好，不仅数学和物理老师听得津津有味，就连教生物的老师也表示心情

    则，鄙人瞎扯了几个关于中学数学内容的闲篇，原意只是想娱乐一下，没想到效果

    同属教育行业，饭桌上自然承担起了活跃气氛的重任。本着吹牛不上税的大无畏原

    高中母校几位老师来京进修，我尽地主之谊，请大家一起吃饭。由于我的工作

    前言

    解，这一点在学习抽象代数等近代数学显得尤为明显!

    问题而形成的某个具体的理论，一旦脱离了具体背景抽象成数学语言就变得非常费

    胡今朝：用数学史的方法学数学是最好的方式，数学家都是在解决某个具体的

    豁然开朗的感觉，支持。

    汤达人：文章中有些问题和自己小时候存有的一些疑问很相似啊，读起来有些

    你要出书我肯定买一本。

    九幻琉璃：真的可以出书了，完全适合所有具有高中以上数学能力的人阅读。

    穷集合的一些结论，现在看起来还是那么有意思，希望你继续写下去。

    Coco-Leon：简直跟看故事一样精彩，以前中学在数学杂志上看到康托尔对无

    致，如果搞个最不喜欢的课程排名的话，那么数学不是高居榜首也是名列前茅。

    这些令人捧腹的花式吐槽将大家面对数学课时的畏难情绪抒发得可谓淋漓尽

    当年弯腰捡了支笔，数学课就再也没有听懂过……

    还有卖萌比惨的：

    数学课，一节更比六节长，余量还能拖个堂；

    有苦中作乐的：

    说好一起遨游数学的海洋，每次却只有你一个人上了岸；

    也有哀怨心伤的：

    数学课是一个人的狂欢，一群人的寂寞；

    关于数学有多可怕，网上流传着许多精彩的描述，有下面这种生无可恋的：

    海中的梦魇。

    厉害，而是面对数学，他们实在是有些头疼，说得更严重点，数学已经成为他们脑

    害!”(有兴趣的同学可以自行配音并脑补画面)。当然，这并不是真的说我有多

    一个教数学的老师之后都会及时地表达出他们的景仰之情：“哇，你真的好厉

    从事教师这个行业有一些年头了，大部分人(特别是一些小女生)在知道我是

    引子

    2017年10月25日于北京

    唐小谦

    本书献给她以及我们可爱的女儿。

    貌。感谢我的太太，没有她一如既往的支持和关爱，我不可能完成本书的写作，这

    了不少辛劳和努力。感谢提供各种意见和建议的网友，他们让本书有了更好的面

    为书名出版发行，我要特别感谢清华大学出版社的编辑们，他们为本书的出版付出

    了集结出版的机会。如今这些文章经过整理、修订、补充后即将以《欢乐品数学》学数学的一脸委屈，教数学的，也很无奈……

    作为知识和技艺的辛勤传播者，绝不希望自己的学生因为畏惧困难而倒在学习

    的门外，但现实往往事与愿违，经过十多年的辛苦耕耘之后，我们的孩子们对于数

    学的兴趣要么根本没有被启蒙，要么就是已经消磨殆尽了。前阵子重温《中国成语

    大会(第二季)》，一位语文老师在搭档给出“数学课”的提示后秒答出“枯燥无

    味”这个成语，实在是让人哭笑不得，不知道隔壁教研室的数学老师们看到自己同

    事的评价，心里会做何感想。

    其实跟中国的成语一样，数学也是一种文化，学习数学的过程也是一种文化的

    传承。就拿人人都认识的算盘来讲，其中包含的数学就体现出浓浓的文化韵味。我

    国长期使用的算盘叫作七珠算盘，上档两颗珠，下档五颗，下档每颗珠代表“1”，上档每颗珠代表“5”。珠算法中下档“满五”时用一颗上珠来表示，上档“满

    十”时则向前进档“进一”。这种算法我们在小学时就已经背得滚瓜烂熟，却很少

    有人留意到实际操作中每一档位的最大数值是“9”，一颗上珠和四颗下珠足以搞

    定，根本用不到七颗珠子。难不成剩下的两颗是摆设？答案自然是否定的。旧时我

    国的单位制与现时不同，一斤不是十两，而是十六两，所谓“半斤八两”说的就是

    半斤和八两是一回事儿。如此一来算盘之档位所需要表达的最大数字变成

    了“15”，上档两珠、下档五珠，不是富余，而是刚刚好。

    这样的例子还可以举出不少，教学的时候如果能够结合进来，对提升学生的学

    习兴趣想必大有好处。

    不仅如此，作为几千年的文化积累，数学是一种美的存在。体验数学之美能够

    帮助学生从心底接纳数学。

    一百五十多年前，一位名叫阿达姆的美国议员在庄严肃穆的国会大厦里发现了

    一个奇怪的现象，当他走到雕塑大厅的某个特殊位置时，耳边传来了一阵非常清晰

    的对话，他立刻下意识地环顾四周，却并没有发现有人站在他的身旁。四下张望之

    后，阿达姆注意到离他很远的地方有两个人正在交谈，莫不是自己听到的是这两个

    人的谈话？

    这种状况简直匪夷所思，阿达姆朝说话的两个人走去，想要求证事情的真相。

    然而事情却变得更加诡异，阿达姆耳边的声音非但没有变得更加清楚，反而逐渐模糊起来，当他退回到刚才的位置时，对话重新变得清晰。事后阿达姆确认他所听到

    的声音并不是什么天外之音，就是远处两人的谈话，然而他却百思不得其解这一切

    究竟是如何发生的？

    如果阿达姆是一个数学家，他只需要抬头看一看天花板，就能够立刻猜到答

    案。原来美国国会大厦雕塑厅的天花板采用了抛物面的形状，而抛物面有一个非常

    重要的性质：平行于对称轴的直线经过抛物面的反射将汇聚到抛物面的焦点。阿达

    姆所处的位置恰好位于抛物面天花板的焦点之处，自然能够把位于另一个焦点的私

    人对话听得清清楚楚。因为这一奇特的声学现象，美国国会大厦成为了最著名

    的“非电子窃听设计”建筑。

    今天，抛物面的这一特性还被广泛应用到了汽车车灯的设计，大部分汽车车灯

    的灯罩都被做成了抛物面的形状，灯泡位于抛物面的焦点，这样灯泡所发出的光线

    经过灯罩的反射就会平行的射出，照亮前方的道路。

    你看，结合历史与文化，学生们眼中枯燥乏味的数学定理一下子变得奇妙、深

    刻起来。

    数学之美一方面来源于上面这些奇妙且深刻的定理与应用，另一方面则来源于

    数学家们对数学本身孜孜不倦的追求与探索。前一种美固然醍醐灌顶，后一种美却

    更加打动人心，因为数学家们也是人，他们也有七情六欲，也有喜怒哀乐，他们在

    面临困境久久无法突破时会感到深深的绝望，在转瞬间迸发出灵感时又会难以抑制

    地欣喜若狂，无数优美的数学结果都是伴随这样精彩的故事而诞生的，是数学家赋

    予了它们美好的生命。

    所以，我们应该给予数学家们更大的尊重。

    这也是作者意在本书中着重表达的，数学既可以写得跌宕起伏又可以写得妙趣

    横生，因为数学离不开人的创造，一些有趣的人做了一些有趣的事，没道理让今天

    的我们狼狈不堪。

    作者希望能为大家准备这样一本书，它不是一本严格意义上的科普著作，也不

    是一本感人至深的个人英雄主义传记，而是凭借尽可能翔实的材料，用通俗易懂的

    语言加上一点点流行文学的表达方式，还原数学史上那些与我们息息相关而又精彩绝伦的传奇故事。因而，这可以被当作一本课外读物，阅读它当然不是学好数学的

    充分条件，甚至也不是必要条件，作者只是希望它的到来能够帮助大家在数学的王

    国里找回兴趣这个儿时最好的伙伴。如果在阅读这些数学故事的同时你还能掌握相

    关的数学知识，那就更是善莫大焉!

    数学发展到今天，依然在以你想象不到的速度生产出巨大的成果，数学家们每

    天都在对人类的智力高峰发起无数的挑战。因此，我们的选材必然受到限制。在这

    本书里，我们从现行中学数学课本的部分内容出发，选取了由此延伸出来的一系列

    有趣的数学知识，然后按照合理的逻辑将它们连接在一起，希望能够真实地反映出

    现代数学的发展历程，为数学教学，特别是中学数学的教学提供一个有益的补充。

    虽然本书的出发点是中学数学，但你可千万不要小看它，它已经足够颠覆一个正常

    人的三观了。

    需要说明的是，本书引用了众多数学文献及史料中的典故，为了阅读的流畅就

    不在书中一一说明了，全书末尾会对参考文献有一个统一的介绍。同时，书中(特

    别是第四章“魔法传奇”)包含了一些不那么平凡的专业知识，初次阅读感到困难

    十分正常，读者大可将感到困难的部分先行跳过，等到建立相关背景之后再细细品

    读，相信会有更多的收获。

    鉴于作者的水平有限，错漏难免一堆，希望读者认真发扬批判吸收的精神，自

    我思考，自我进步，这也是读好一本书的最佳方式。此外作者的遣词造句也不可避

    免地流于个人喜好，不实及不足之处还请大家拍砖指正。

    好了，让我们开始吧!

    第1章 数学是什么

    1.1 从一道试题开始

    令 ，请在直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象。

    怎么样，是不是很眼熟？此类题目在各种“某某密卷”或者“某某金牌练习

    册”中经常出现，但凡在高中数学课上经历过一年艰苦奋斗的同学大多能明白这道题虽然是让你作图，但考查的其实是如何利用三角恒等式化简f(x)。

    假如你还没有念到高中，又或者你实在想不起来自己在念高中的时候还学过这

    些玩意儿，那也没关系，你可以像小谦老师经常做的那样：假定下面的讲解都是对

    的并且愉快地接受这个事实(数学老师也不容易啊……)。

    好，让我们来看一看这道题目的解法。

    如果你对 不太感冒的话，不妨采用常见的变量替换法，令t＝ ，这样。

    注意到我们有三角恒等式 和 ，前者来自著名的勾股定理，后者是和角公式的特例：

    代入到函数g(t)中即有于是

    有请第一位同学(见图1-1)。

    准备好了吗？开始!

    记住，你花费在每份答案上的时间只有10秒哦!

    设这道题目的分值是10分，请你在30秒的时间内分别对他们的解答打出一个分数。

    (老师)，而我将从万千学子中挑选出三位同学对上面的题目给出他们的解答，假

    先别着急，这次让我们转换一下身份，现在的你是一位掌握生杀大权的判官

    个？!

    可是读到这里，你的心情难免会有点郁闷：爆米花都买了，你就让我看这

    那就会更加完美。怎么样，是不是很简单？(此处有掌声)

    上一翻就一切ok，万事大吉了!如果你还能把图象与y轴的交点 的值给算出来，sinx的图象向左平移 个单位，然后把位于x轴下方的部分按照与x轴对称的方式往

    因此，为了得到函数y＝f(x)的图象，你只需要在直角坐标系中将正弦函数图1-1

    呃……这位同学你干啥？不会也不用上吊啊，快下来，快下来!大概是做不出来

    压力太大，这位同学还没等到你出手就已经“自挂东南枝”，英勇就义了。其实大

    可不必如此，工作生活中谁还没个烦躁郁闷的时候呢，洗把脸后又是一条好汉嘛。

    当然，这位同学也还是有贡献的，至少你不用花掉10秒钟就能在他的得分栏内画上

    一个工整的“0”。

    好了，先把他拖出去，有请第二位同学(见图1-2)。图1-2

    这位同学比起刚才那位就靠谱多了，不仅概念准确，三角恒等式也背得很熟。

    但可惜他的解答犯了方向性的错误，一堆运算没起什么作用却把式子越化越繁，最

    后自创的“图象开方法”更是匪夷所思、闻所未闻。给个3分吧，2分辛苦，1分同

    情。

    只剩下最后一位同学了，希望他不要辜负我们的期望(见图1-3)。图1-3

    真乃孺子可教啊，这回你总算舒心地笑了。这就是大家眼中的学霸了吧，逻辑

    清楚，思维缜密，不仅图画得好看，最后 的值也是求得规矩漂亮。

    啥也不说了，小手一抖，满分拿走。

    任务至此，圆满完成!请不要怪我拿10秒钟的限制当了一个噱头，因为如果这

    是一道高考题的话，评卷老师在你身上花的时间恐怕比10秒钟也多不了多少。当

    然，我也不是想用这个例子来教大家如何快速标准地解答一道数学题，而是想让你

    们在过完一把判官瘾之后，认真地思考一下。

    数学是什么？如果平时不太注意对深层次问题的思考，这么一问或许会让你有种手足无措的

    感觉，学习了那么久的数学，见识过那么多的数学定义和推理，大多数人恐怕还没

    想过要给数学本身下个定义。

    数学是研究数量关系的学问吗？

    显然没那么简单，数学课本里不仅包含了众多数量关系的计算，还包含了大量

    结构关系的证明。

    数学是确定数量关系、几何大小和空间形式的方法？

    好像也不全面，按照这种说法，许多领域里的数学家都将被无情地排除在外

    (比方说抽象代数和数理逻辑)，他们对此肯定不会满意。

    要不来个狠的：数学是确定一切数量、关系、结构、空间和信息的科学!

    听上去简直完美!但一大拨从事概率论研究的学者又会跳出来告诉你，其实研

    究“骰子掷出来是几点”这样的不确定性也是数学的一部分……

    那就真的没辙了，随着知识的增长你会慢慢发现，但凡要给数学划定一个边

    界，边界以外的版图又总会出现数学的身影。数学在艺术、音乐、建筑、历史、科

    学、文学等方方面面都拥有着巨大的影响力，总不能说数学是研究世间万物一切有

    的没的、变的不变的、确定的和不确定的科学吧。

    你到底是数学家还是上帝？

    看来要想从研究的内容、方式和方法上定义数学并不是一件简单的事情，无法

    触摸到数学的本质就不能更加深刻地理解数学的含义。不过你也无须为此烦恼，历

    史上许多著名的学者已经替我们想过这个问题了，虽然他们吵了很多年也没有吵出

    一个标准答案，但不妨让我们见识一下主流学界的看法。

    首先想一想，为什么要给那位吊死在根号下的仁兄零分呢？想必你会回答：这

    位兄台虽然情节感人，但恒等式应用错误，开方后符号也不注意，基本没有给分的

    点啊；没有错，那第二位呢？啰里啰唆，答非所问；也对，那学霸同学呢？学霸就

    不一样了，每一行都答到了考点上，恒等式运用准确，推理清晰，结论还很有美感，满分是当之无愧!

    很好很好。

    注意到了吗？你所有的判断都有一个共同的基础，那就是答题同学

    的“话”(数学推理)是不是说得漂亮。言简意赅、切中要害的拿了高分，而语无

    伦次、企图蒙混过关的也没有讨到好处。看来在不知不觉中你已经把握到“数学是

    什么？”这个问题的精髓所在了。

    1.2 数学是一门语言艺术

    数学，是一门语言，一种思维方式。只不过与我们日常生活中使用的语言不

    同，它是借助演绎逻辑在少量公理、假设的基础上发展出来的一套以研究抽象结构

    为主要目的的推理体系。数学中的对错有着客观的评价标准，它不由经验左右，也

    无须实验验证，只由合乎逻辑的数学推理所决定。所以你不能仅凭一道语文试题说

    明什么是语文，不能仅凭一道物理试题说明什么是物理，却能凭借一道数学试题窥

    探数学的本质。数学的推理本质决定了它与其他学科有一个重要区别：一个数学结

    论不管看起来有多么的荒谬，只要前提成立，推理正确，它在数学的王国里就是无

    可辩驳的真理。

    著名的“生日概率问题”就是这样一个绝佳范例。

    一场足球比赛的参赛队员加上主裁总共有23人，他们在同一天过生日的概率会

    有多大呢？初看这个问题，你可能觉得这件事情发生的概率低到可怜。毕竟一年有

    365天，总共却只有23个人，把23个苹果丢到365个不同盒子里的组合实在是太多太

    多了，两个苹果撞到同一个盒子的概率自然很小。然而当你用严谨的数学思维去认

    真思考一下，就会发现结果与你想象的大不相同。

    假设23个人的生日各不相同：第一个人总共有365种选择；第二个人则变成了

    364种；第三个人363种……依此类推，第二十三个人的选择有343种，所以所有人生

    日都不相同的概率是而至少有两人在同一天过生日的概率就为

    结果可能令你大感意外，居然超过了50%!然而这一数字还将随着人数的增加非

    常快速地逼近100%，如果有人和你打赌44位美国总统中是否有两个人在同一天过生

    日，你一定不要犹豫，因为那概率已经超过了90%，几乎是稳赚不赔。

    事实上，如果你真有兴趣去查阅一番资料，就会发现美国第十一任总统詹姆斯·

    诺克斯·波尔克和第二十九任总统沃伦·甘梅利尔·哈定的生日在同一天，都是11月2

    日。

    数学研究就像一个个“生日概率问题”，自由生长而又与现实生活紧密相连。

    一方面它抽象严谨，自成一系；另一方面诸多解决实际问题的需求又不断为它的发

    展提供目标和动力。数学没有沦为数学家们发明创造的智力游戏，很大一部分原因

    就在于它可以作为一套绝佳的工具，描述并帮助我们理解人类自身所处的繁华世

    界。

    在爱因斯坦的广义相对论之前，没有多少人敢想象我们身处的时空是弯曲的。

    但在数学世界里，弯曲的空间却不是什么秘密，数学家们早已经知道，在恰当的几

    何体系(球面几何)中，任意两条直线必然相交。正是这种有悖于欧几里得平面几

    何的新结构，为大尺度物理理论的发展提供了牢固的框架。

    即使回到我们更加熟悉的经济领域，数学发挥的作用也大到不可忽视。1996

    年，美国政府组织任命的一个委员会举行了一次秘密会议，会议修改了消费者物价

    指数(CPI)的一个计算公式。因为这一公式的修改，税收、医保、社保等与民众生

    活水平息息相关的款项支出发生了变化，成千上万的美国人受到了影响，然而公众

    却几乎没有讨论过这个新公式所带来的后果和影响[1]。如果政策的制定者们不是出于善意，或者不完全了解他们所掌控数学工具的特

    性，公众将会被动地卷入一场空前的灾难。我并非危言耸听，2008年在美国爆发并

    很快席卷全球的“次贷危机”，正是由于美国金融业的精英们忽略了一个被广泛用

    于计算资产相关性公式的先天局限性，导致对众多“次级贷款”的风险定价大大偏

    低，最终引爆了整个市场。这一被称为“摧毁华尔街的数学公式”叫作“高斯联结

    相依函数”，有趣的是，它是中国人发明的[2]。

    不管你愿不愿意，我们都必须承认，历史上还没有哪个时代像现在这样，人们

    真实感受到的客观时空被种类繁多的数学公式精准地控制着，你可以不必懂它，但

    你却无论如何也离不开它了。

    那么请问，什么是好的数学呢？

    这又是一个令人为难的问题，因为“好”这个词和困扰了人们千百年

    的“美”一样，都非常地令人难以捉摸。就好像一千个观众的眼中就有一千个哈姆

    雷特，你一定要说那位吊死在根号下的同学的行为体现出了一种壮士断腕的“悲壮

    之美”我也拿你没办法。

    但基本的取向还是应该有的。

    演绎逻辑作为数学的核心，要求我们在判断什么是好的数学时必须把概念是否

    准确、推理是否严密、结论是否完备作为最基本的标准(虽然数学家们也时常把结

    论和推理过程的简洁与美感看得很重要，但审美终究是一项较为主观的工作，不应

    当成客观的标准)。

    按照这个标准，与数学打交道的人通常可以分为三类：第一类是不得其门而入

    的人；第二类是进得了门却入不了室的人；第三类则是真正登堂入室、融会贯通之

    人。我们一开始挑选的三位同学在答题上的表现正好对应了这三类人。

    也许有同学该抓狂了：完蛋啦，我肯定属于第一类，别说数学的门了，学了十

    多年我连窗户都还没摸到……

    在这里，我想特别说明的是，上面的分类并不是一成不变的，而是随着数学知

    识的增长和数学阅历的丰富不断进行转换。如果你的数学暂时不好也不用过于灰

    心，一个少时资质平平，成绩一般，差点被赶去务农的少年在大学的图书馆里捡到几本数学版《九阳真经》之后完全有可能通过顿悟的方式跨入第三类，并最终成长

    为一代宗师，其中的代表人物：牛顿；而一个没有经历过系统的数学教育，凭借坚

    韧不拔的意志，始终勤奋刻苦，一步一个脚印，也能成长为后人景仰的国之栋梁，代表人物：华罗庚。

    所以，跟随这本书，好好读下去，来看看你和数学之间有没有二见倾心的缘

    分。

    既然数学是一套以公理化和演绎逻辑为核心的推理体系，而可以用数学来描述

    的对象又是如此的广泛，因此很有必要把我们的研究对象抽象成形式上统一的概念

    和符号，不然你说你的，我说我的，大家根本不在同一个频道上，如何一起玩耍并

    挖掘出一般规律呢？所以，这个形式上统一的概念和框架实在是太重要了，它堪称

    现代数学的基石。

    这块现代数学的基石，名字叫作集合论，高中数学课本开篇第一节就要学习

    它，足见它的重要地位。

    说来也很有趣，数学作为一门严密的理论学科在古希腊时期就已经产生了，然

    而集合论在19世纪后期才建立。在数学的发展历程中，这种前后颠倒的事情非但不

    孤立，还比比皆是，大家都先甩开了膀子玩儿命干，等到天塌了再想办法补

    (汗……)。所以数学的发展并非你所想象的那样循序渐进，而是有它独特的“客

    观”规律。

    在我们的第一位补天大神出场之前，先来了解一下他的工作背景。

    1.3 集合与映射

    我们知道，由一些确定的、不同的对象构成的一个整体称为一个集合，集合中

    的每一个对象称为这个集合的一个元素。所以，不管是天上飞的还是地上跑的，不

    管是水里游的还是墙上爬的，也不管是不是静止不动的物体，只要你愿意，几乎可

    以把所有你想到的东西拿金箍棒画个圈儿就得到了一个集合。比如说你从小到大写

    过的试卷(想起来都是泪啊……)，又比如说你从小到大交过的男(女)朋友(不会

    是个空集吧，还是泪……)，再比如说你微信朋友圈的所有好友(这个比较平常，一

    般人或多或少都会有)。在数学里，我们通常用大写的英文字母A、B、C等来表示集合，而集合中的元素

    则用小写的英文(或希腊)字母来表示，如a∈A表示a是集合A中的一个元素。

    集合的概念非常简单，但有两个内涵必须明确，一个是互异性，另一个是确定

    性。互异性好理解，一个集合中不会出现相同的元素，比如说{1，2，2，3}就不是

    一个集合，因为同一个元素“2”重复出现了两次；而确定性则是指一个集合中的元

    素不管采用描述法还是列举法都必须被明确地规定下来，所以诸如“你们班的帅

    哥”这样的元素全体[3]

    就肯定不是一个集合，因为萝卜白菜各有所爱，一些同学在

    你的眼里土得掉渣，在别人眼中却反而帅得冒泡，颜值这种东西，实在没有办法被

    量化。

    在了解了集合的定义之后，中学里关于集合的练习大都局限在了维恩图(Venn

    diagram)以及一大堆集合的交、并、补等运算之上，关于集合本身思想的讨论反

    倒被搁置一旁了。不知道有几个老师会向你们强调集合论真正的撒手锏其实是集合

    之间的映射呢？不太客气地讲，大部分人学习和研究数学，只是在和集合(及其上

    结构)以及集合与集合之间的映射打交道。比如高中数学课本里那些令人头疼的各

    种函数不过是实数集 的子集之间的映射，而我们放弃角度制引入弧度制也不过是

    想把三角函数统一到与其他初等函数相同的框架中来。

    用数学的语言讲，集合A到集合B的映射是一个对应法则，它把集合A中的每一个

    元素唯一地对应到集合B中的某个元素。比如，图1-4向我们展示了各含有两个元素

    的集合A与集合B之间所有可能的映射。图1-4 集合之间的映射

    如果A中的任意两个元素都不对应B中的同一个元素，我们称这个映射为单射；

    如果B中的每个元素都至少有A中的一个元素与之对应，我们称这个映射为满射。集

    合之间的映射有很多值得研究的地方，但有一条是尤为重要的，那就是一一映射，请注意，它将在我们今后的讨论中扮演极为重要的角色。

    简单地讲，一一映射就是两个集合的元素按照一定的法则一一匹配对应起来，无一遗漏。换句话说，既单且满的映射就是一一映射，它不仅把集合A中的每一个元

    素唯一地对应到集合B中的元素，而且在这种对应法则之下集合B中的每个元素都有

    集合A中唯一的一个元素与之对应，例如图1-4中的(3)和(4)就都是一一映射。

    举个生活中的例子，你可以想一想在一个集体婚礼的现场，所有新郎组成的集

    合与所有新娘组成的集合之间是否有一个一一映射呢？答案是一定的，不一一对应的话麻烦就大了。

    再想一想在一列坐满了乘客的火车上所有乘客组成的集合与所有车厢座位组成

    的集合之间是不是也有一个一一映射呢？答案是不一定，因为火车票除了坐票之外

    还有站票……当然如果你把这个例子中的火车改成飞机那就有一一映射了(你上去站

    一个试试)。

    一一映射的概念非常简单，若是能够巧妙利用，往往可以收到四两拨千斤的奇

    效。比如下面这个例子，你负责一次网球比赛的组织工作，报名参赛的选手总共有

    136名，假设比赛采用单败淘汰制，你能迅速告诉赞助商一共会有多少场比赛吗？

    立刻拿出纸笔准备计算一下的同学可以先停一停，因为136不是2的方幂，如果

    按照通常的思路将选手之间两两配对进行比赛，三轮过后就会遇到麻烦，此时剩下

    17名选手，再进行下去，必将有1名选手需要轮空。你当然能够想出各种办法解决这

    个麻烦，比如抽签晋级、高排位选手晋级等，甚至在一开始就设置一些资格赛，但

    不管你采用什么样的办法，总的比赛场次是不会变化的，它是一个唯一确定的数。

    奥妙就隐藏在“单败淘汰”这四个字中。打一场比赛，输掉的人淘汰，这在比

    赛组成的集合与被淘汰选手组成的集合之间建立了一个一一映射。不管赛制如何规

    划，冠军只有一个，为了决出最后的冠军，需要淘汰135名选手，自然也就需要135

    场比赛。

    一一映射，可谓一剑封喉。

    反过来，如果你在实际生活中忽略了一一映射，也可能引起意想不到的大麻

    烦。

    下面这个例子是从一位老教授那里听来的，在20世纪50年代，我国开始施行汉

    字简化的工作，本来汉字字形的简化在数学上并没有什么不妥，但麻烦就麻烦在我

    们的汉字不仅字形减了，字数也减了，换句话说：在所有繁体字组成的集合与所有

    简体字组成的集合之间是一个多对一而并非一一对应的关系。比如说“頭

    髮”的“髮”和“發財”的“發”在简体字中都对应“发”，而“歷

    史”的“歷”与“曆法”的“曆”在简体字中都对应“历”。

    这种多对一会带来多大的麻烦呢？这么说吧，如果你想把一本繁体字写成的书翻译成简体字(不考虑不同地区习

    惯用语的不同)，那很容易，你只要把简繁对照表编成一个小程序，借助计算机瞬

    间就可以完成。但如果你想反过来把一本简体字写成的书快速翻译成繁体字，那可

    就没那么容易了，你要是敢把“周润发”翻成“周潤髮”，他的粉丝不拿刀砍你才

    怪。但要让我们的计算机根据上下文自动选择一个简体字的准确原像，对现有的单

    机软件来说还是一个难以完成的任务，以至于在今天的出版界，你在中国内地能看

    到很多华人作家的作品，但在其他华语地区却不太容易发现内地作家的踪影。造成

    这个局面的原因竟然与数学有关，真是跌破人的眼镜。

    一一映射还有个了不起的作用就是比较集合之间的大小(我们很快会看到)。

    关于集合的大小，想必你的老师也不会在课堂上跟你们过分地强调，最多就是告诉

    你一个集合的大小就是这个集合中所包含元素的个数，比如你所有的手指头组成集

    合的大小就是“10”，而你们班所有同学组成集合的大小就是你们班的人数。

    没错，那对于一个一般的集合，我们又该如何确定它的元素个数呢？

    有同学实在听不下去了：真笨!你不会数啊？

    恭喜你!你已经接近正确答案了，不过你大概不会想到，数(shǔ)数

    (shù)，有时候也不是那么容易的事儿。

    [1] 引自爱德华·弗伦克尔.爱与数学[M].北京：中信出版社，2016.

    [2] 李祥林，中金公司原首席风控官。

    [3] 这句话指“你们班的帅哥”这个由帅哥作为元素构成的全体不是一个集合。

    第2章 无穷的困惑

    2.1 数大招疯

    科普名著《从一到无穷大》里记载了一个数学圈中广为流传的笑话：两位土豪

    某天闲来无事做一个游戏，他们各自想一个自己脑海里所能想到的最大数字，然后

    比一比谁想到的数字更大，输的人要付给赢的人一枚金币。土豪A自告奋勇先来，他抓耳挠腮想了许久，说出了一个他所能想到的最大数字……3(你没听错，就是3，1、2、3的3)。现在轮到土豪B了，对手说了个“3”，按照常理来说，只要不是想

    洗钱的肯定不会输了。没想到，土豪B绞尽脑汁花了更长的时间，最后憋出一句：好

    吧，你赢了……

    这个结果真是令人大跌眼镜，哭笑不得。通常我们用这个故事来挖苦土豪们的

    文化水平普遍不高，因为只要掰掰手指头就能轻松地超越“3”这个数字，断不可能

    让一个“3”给活活憋死，如果让我们去玩这个游戏的话这两个土豪都会破产对不

    对？

    可是，你要相信用手指头数(shǔ)数(shù)这件事情(“屈指计数法”)不

    是从来就有的，如果这两个土豪是生活在古老非洲部落或者澳洲的土人，那么一切

    就变得合情合理，因为有充分的证据表明，那些地方的人可能并不知道比“2”更大

    的数字。如果你要采访一个部落首领问他有多少个孩子？他只能尴尬地告诉你：一

    堆……因为他根本数不清。用时下流行的认知科学的概念来说，这两位土豪的数感

    (也就是对数的感觉)不太好，不过这也不能怪他们，这是人类智力发展的必经阶

    段，如果把一串物品一溜摆在一个未受教育的婴儿面前，她的数法很有可能也

    是“1，2，1，2，1，2…”。

    人类从对数的粗浅感知到发展出一套完备的计数系统经历了一段漫长的历史时

    期，在这段历史长河中有两个时期是特别值得一提的：一个是古巴比伦时期；一个

    是古印度时期。

    古巴比伦作为四大文明古国之一，其创造的璀璨文明编写成整整一本书也不过

    分，有兴趣的读者可以查阅相关的文献资料，我们在此就不赘述了。在数学上，古

    巴比伦文明最亮眼的成就是发明了以六十进制为主要计数工具的计数系统并将之广

    泛地应用到生产生活和天文历法当中。为什么说它最亮眼呢？因为只有进位制计数

    方式被引入之后，大数的表示才成为可能。试想一下，如果我们都像上文中的两个

    土豪一样不懂如何表达更大的数字，大批量的商业贸易如何结算？大范围的土地房

    屋如何丈量？大规模的工程建设如何计算工时和劳力？要知道古巴比伦文明发祥于

    两河流域的美索不达米亚平原，那里土地肥沃、交通发达，人民的生产实践极为丰

    富，是这些生产实践倒逼了数学的萌芽与发展，而数学的发展反过来又成为人类文

    明产生实质飞跃的坚实基础。事实上，人类有据可考的最早文字不是诗歌，不是法条，而是数字(财经文件)。图2-1为大家展示了古巴比伦的数学是如何表达数字

    的。

    图2-1 古巴比伦数字

    (图片来源：维基百科英文版词条.Babylonian numerals，由Josell7上传，版权许可：GNU Free Documentation

    License1.2 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International License.)

    可以清楚地看到，古巴比伦数字系统中60以下的数字用以1和10为基本单位组合

    而成的特殊符号来表示。至于60以上的数字，则由这些特殊符号按照位置顺序依进

    位制算法排列而成。例如，数字3916的表示方法为(见图2-2)。

    图2-2 古巴比伦数字中的3916

    (图片元素取自图2-1)如今这些文字被历史学家们称为“楔形文字”，而承载它们的材料称为“泥板

    书”。由于泥板在晒干之后坚硬易于保存，古巴比伦时期的大量文明成就得以流传

    下来，其中最出名的要数古巴比伦王朝的一位国王在公元前1700年左右颁布的人类

    历史上第一部成文的法典——《汉谟拉比法典》，现保存于法国巴黎的卢浮宫。

    3700多年后，有一位青年参观了一个关于美索不达米亚平原的文化展，他有感

    而发，与搭档一起创作出了一首引领华语流行乐坛的歌曲。这位青年的名字叫作方

    文山，他的搭档是周杰伦，那首歌的名字叫《爱在西元前》。

    古巴比伦数学的进位制看起来很美好，但用起来就未必那么美好了，以今人的

    观点来看它有一个明显的缺陷：它无法表达在某一个位置上没有数字。例如图2-2中

    表达3916的符号排列看起来拥有固定的形式但却可能表达两个完全不同的数字，除

    了3916外，它还可能代表216316。原因在于，为了表达3916，我们把图2-2中表示

    1的符号看成是从右边数起第三个位置上的数，而在表达216316时则把这个符号看

    成是从右边数起第四个位置上的数，从而

    1×603

    +5×601

    +16×600

    ＝216316

    这当然会给实际应用带来诸多不便。为了避免这些不必要的误会，聪明的古巴

    比伦人想到了一个办法，他们把两个数字隔开一些以表示这两个数字中间还有一个

    位置没有数字。但即使这样，数字的表达也是相当混乱，隔开多少距离算是隔开？

    隔开多少距离算是隔一个位置，多少距离又算是隔两个？要是看书的人是个老花

    眼，他完全有可能把216316当成3916。究其原因，古巴比伦数学的计数系统中没

    有“0”这个数字，他们尚无法接受“零”这个虚无缥缈的概念。

    同时期的埃及人倒是做了一些有益的尝试，他们使用以十为基底的单位制，在

    每个单位级别上放置相应个数的代表符号来表达具体的数字。图2-3为我们展示了这

    种表示方法。

    代表1000的符号像不像《植物大战僵尸》里面的向日葵？不过这不是向日葵

    啦，而是莲花(Lotus)。埃及象形文字中最大的常用数字单位是1000000，用一个

    高举双手的小人表示，表达人们在意识到如此大的数字时的惊叹之情。理论上，这

    套计数系统可以表达任意大的数字，但由于没有像古巴比伦人那样采用进位制，操

    作起来会很麻烦。如果你想表达诸如十亿这样的大数，你需要将代表1000000这个数字的小人连续画上一千遍，这绝对是个惩罚人的活儿，画的人没疯看的人也会

    疯。当然，这毕竟是一个天文数字，在古埃及时期多半是不会用到的。更可怜的是

    古罗马时期，最大的常用数字单位仅是千(M)，别说搞人口普查，点个兵就让人够

    崩溃了……

    图2-3 埃及象形文字中的数字

    开个玩笑，古罗马人也不傻，他们采用的是兵团制，在数不清总人数的情况下

    采用了“化整为零”的好办法，而到了中世纪以后，罗马人也想出了其他一些能够

    方便地表示大数字的方法。但无论如何，在数学上，上面提到的两个缺陷都是明白

    无误的，解决它们还要把时间轴往后推很久。具体的时间和人物已经无从考证，我

    们只知道古印度某个不知名的数学家在公元后的前几个世纪正式引入了“0”这个符

    号并把它看成一个真正的数字。此后，利用0～9这十个阿拉伯数字构作的十进制位

    置计数法开始流行并在经过一段艰难的历程后最终被广泛接受，人们对于数字的书

    写得到了极大的简化。而对于像30000000000000000这样的大数字我们还有另一种

    写法3×1016

    ，如今称为科学计数法，据传也是古印度时期某个佚名数学家所发明

    的。

    可以看到，人类为了数字的准确表达展现出了多么巨大的创造才能，尽管不太

    起眼，古印度人所做的却是一项划时代的伟大发明。

    2.2 谁更有钱让我们先从计数法的历史中出来一会儿，两个土豪的事儿还没了结呢。土豪A

    以“绝对优势”赢得了比赛，按照规定土豪B要付给他一枚金币。土豪B也不含糊，甩出一枚金币：“老子有的是钱!”一听这话，赤裸裸地挑衅啊，土豪A不干

    了：“你有钱？老子比你更有钱!”

    “哟……不服啊？”

    “不服!”

    “不服比比啊!”

    “比就比!”

    这哥儿俩算是杠上了，他们决定比一比谁更有钱。可是连数(shù)都数

    (shǔ)不清，恐怕也不知道自己有多少钱，怎么比呢？要说这土豪之所以成为土豪

    还是有两把刷子的，他们很快就想出了一个绝妙的办法：两个人轮流拍出自己手中

    的金币，你拍一枚，我拍一枚，谁先拍光谁就输了。仔细想一想，这个办法确实

    好，它允许你在不知道两个集合元素个数的情况下比较它们的大小，是不是很神

    奇？你能说出它背后的数学原理吗？

    如果把土豪A手中的金币记作集合A而把土豪B手中的金币记作集合B的话，两人

    交替拍出自己手中金币的过程其实是在集合A与集合B之间构作一个对应法则。说得

    详细一点，我们把土豪A第n次(n是一个正整数)拍出的金币记为an，把土豪B第n次

    拍出的金币记为bn，若是土豪B的金币先拍光，那么把每个bn映至an的过程给出了集

    合B到集合A的一个映射，显然这个映射是一个单射但不是满射，这说明集合A中的元

    素比集合B中的元素多，即土豪A更有钱。

    相反，若是土豪A的金币先拍光，那么把每个an映至bn的过程给出了集合A到集

    合B的一个映射，并且这个映射是一个单射而非满射，这说明集合B中的元素比集合A

    中的元素多，即土豪B更有钱。

    如果两人的金币同时拍光，那么上面构作的两个映射就都是一一映射，这时集

    合A与集合B的元素一样多，两个土豪一样有钱。

    费了那么多口舌，我们来总结一下重点：如果你能在两个集合之间构作出一个一一映射的话，那么这两个集合的元素个数就一样多，这两个集合一样大。

    看上去是不是很像一句废话？但我想告诉你的是：如果不预先把讨论的集合限

    定为有限集而是允许它们拥有无穷多个元素，这句话就没那么容易被人接受了，人

    类历史上对于这个问题的一系列考量闪烁着无比耀眼的思辨之光。

    2.3 悖论

    第一个认真思考“无穷”这个概念的人并不出自四大文明古国当中的任何一

    个，而是身处公元前5世纪的古希腊时期。这一点很好解释，因为从实用主义的观点

    出发，我们的生活其实跟无穷集合没多大关系，我们目之所及的所有事物都能用有

    限的数字来衡量。例如，地球上的人口数量总是有限的，粮食产量总是有限的，工

    业产值总是有限的，就算是天上的星星、山川河流中的石砾水珠，只要你有愚公移

    山、水滴石穿的精神也总有一天是可以穷尽的。原子这个单位小吧？但有人粗略地

    估算过，目前所见宇宙中所有原子的总数大概也就在1085

    这个数量级，尽管很大，但

    依然有限。所以“无穷”并不来源于实际生活而是一个心之所感的产物，作为一个

    数学概念，它只有在数学脱离了实用主义成为一门智力学科的时候才会诞生，而创

    造它的将是一个以思考人生和研究数学为职业的人群，学名为哲学家和数学家，大

    家比较熟悉的有苏格拉底(Socrates)、柏拉图(Plato)和亚里士多德

    (Aristotle)等人。

    古希腊时期之所以会诞生如此众多的哲学家和数学家，完全是经济基础决定上

    层建筑——吃饱了饭没事儿干。说得严肃点儿，由于社会生产力和商品贸易的发

    展，奴隶制关系和自由民内部的阶级逐渐分化，希腊各地建立起了以城市为中心的

    诸多奴隶制城邦，它们相互依存又相互竞争，环境相对和平思想却激烈交锋。在这

    些城邦之中，除了奴隶之外的成年公民被赋予很大的自由，他们参与城邦的统治和

    管理，经常在一起思考人神天地和社会伦理，在整个社会宽松的学术氛围的影响

    下，碰撞出了许多精彩的火花。

    这些人当中，有一些尤其擅长以归结谬误的方式反驳对手的观点，他们在对手

    承认的前提之下，采用情景假设和逻辑推理的办法，一步一步推导出一个自相矛盾

    的结论以使对手的观点不攻自破。像这样在同一个前提下推导出的自相矛盾的结论

    被人们称为悖论，尽管很多悖论的制造者经常通过偷换概念的方式达到目的因而被冠以“诡辩家”的头衔，但也有一些悖论是极富启发性的，尝试理解它们是一项极

    为烧脑的运动。

    第一个利用“无穷”这个概念跳出来捣乱的是希腊哲学家芝诺(Zeno)。芝诺

    约公元前490年出生于意大利半岛南部的埃利亚，是希腊著名哲学家巴门尼德

    (Parmenides)的学生。在一次与师父游历雅典的旅行中，芝诺提出了几个关于时

    间、空间和运动的著名悖论。这几个悖论在历史上的地位是如何拔高都不过分的，也许有人还没有听说过，我们来大致了解一下。

    在芝诺所处的那个时代，人们对于空间概念的数学抽象已经达成了基本的共

    识，“距离”被抽象成了两点之间一条线段的长度。为了方便计算这样的几何大

    小，人们有意无意地忽略了线段的宽度，从而两条线段如果相交，相交部分就是一

    个没有大小的点。这种逻辑使得希腊人的“二分法”成为一种确实的运算，任意一

    条线段都能够取到中点分成两半，一半再取一半，过程可以无限地持续下去。形象

    地说，空间具有了“无限可分”的性质，一条线段是由无穷多个点所组成的。当

    然，这种说法并不是从一开始便成为主流，为了确保任意两条线段的长度可“公

    度”，希腊人还曾认为线段是由有限个不可分割的基本点所组成，只不过随着无理

    数的出现，这一想法很快破灭了。

    与空间不同，希腊人对时间和运动，有着截然不同的观点。一种观点认为时间

    并不像空间那样无限可分，它拥有最小的不可分单元。因此运动不是连续平顺的，而是像放电影那样由一帧一帧的画面构成，就算你像电影导演李安的新作那样做到

    了极致的清晰与流畅，运动也依然存在着最小的孤立单元；另一种观点则认为时间

    和空间一样都是无限可分的，它们由一系列没有大小的时刻和点构成。以这种观点

    来看，运动不是一些孤立画面的总和，而是一个连续平顺的过程。

    针对第一种观点，芝诺设计了下面这个悖论。

    【阿基里斯与乌龟】

    阿基里斯(Achilles)是希腊神话中一个骁勇善战的英雄，其名有时也被译为

    阿喀琉斯，著名的阿喀琉斯之踵说的就是他。在《荷马史诗》诸多人物之中，阿基

    里斯是非常擅长跑步的，但我们的芝诺老师偏偏让他和乌龟进行了一场别开生面的

    跑步比赛，结果还颇为惊人：阿基里斯永远也追不上乌龟!倒不是阿基里斯跑着跑着脚踝折了……(芝诺老师不玩冷幽默)，而是阿基里斯与乌龟的出发点并不相

    同，就是这一丝丝的差别造就了阿基里斯与乌龟之间那道无法逾越的鸿沟。

    我们来看看芝诺是如何设计这场比赛的：假设阿基里斯的跑步速度是10米秒，而乌龟的速度为1米秒(小谦老师，你家乌龟开挂了好吧……别纠结，姑且这么假

    定)，因为乌龟跑得慢，所以让乌龟在领先阿基里斯100米处开始比赛(这很合理，反正发令枪一响，乌龟很快就会被追上)。

    在这场赛跑中有一些重要的时刻需要被标记下来，第一个时刻是阿基里斯前进

    100米到达乌龟的出发点时，此时时间过去了10秒，而乌龟前进了10米，乌龟在前；

    第二个时刻是阿基里斯追到乌龟在上一个时刻所处的位置(110米)时，此时时间又

    过去了1秒，乌龟前进了1米，依然处于领先；第三个时刻是阿基里斯追到乌龟在第

    二个时刻所处的位置之时，这段过程同样消耗了一些时间而乌龟在这段时间里又往

    前爬了，所以乌龟还是领先……

    遵循同样的逻辑我们会发现，每当阿基里斯追到乌龟在上一时刻所处的位置

    时，乌龟都利用他所耗费的时间又往前爬了一段距离，尽管这段距离非常微小但乌

    龟始终领先。这样在整个比赛的过程中我们就标记出了无穷多个时刻，如果时间确

    实具有最小的不可分单元的话，那么无穷多个这样的不可分单元累积起来一定是一

    段无限长的时间，所以阿基里斯永远也追不上乌龟!

    真是见了鬼了!今天就连小学生都知道阿基里斯赶超乌龟只需要 ＝ 秒的时

    间，怎么可能永远也追不上呢？芝诺老师不是白痴，他要的就是你瞪大眼睛的效

    果。从逻辑上讲，芝诺的论证并没有什么问题，那唯一出问题的就只有“时间具有

    最小的不可分单元”这个假设了，完成无穷多个步骤有时候并不需要无限长的时

    间。如果你懂一点等比数列求和的话，阿基里斯追上乌龟的时间可以由下面这个无

    穷级数[1]

    来表达：

    结果与小学生算法完全一致。不过这个看起来非常漂亮的无穷级数中隐藏了一

    个微妙的假设：时间与空间一样无限可分，时间轴可以截取到任意小的长度!亚里士多德说：这有什么好奇怪的？我们本来就承认时间无限可分嘛。哈哈

    哈，太好了，无限可分派开始鼓掌了，先别得意，芝诺很快为你们奉上了第二道悖

    论。

    【飞矢不动】

    为了描述这个悖论，我们来设计一场跨越两千多年的对话，对话的主角是小明

    和芝诺(小明从小学开始就当主角了，比较有经验)。

    芝诺首先发问：请看一支离弦之箭，这支箭在射出去之后是否一直在运动？

    小明心想：老师你在逗我玩吗？它当然在动啊。

    芝诺继续发问：很好，那么在每一个确定的时刻，这支箭的末端是否占据着它

    的运动轨迹上的一个点？

    小明回答：确实，箭的末端占据着一个点。

    芝诺：那么在这个时刻，箭是运动的还是静止的？

    小明：是静止的，老师。

    芝诺：在这一时刻是静止的，那么在其他时刻呢？

    小明：在其他时刻也是静止的。

    芝诺：所以，这支箭在整个过程中的每一个时刻都是静止的，它一直保持着静

    止的状态，根本就没动对吗？

    小明：呃……

    小明同学当场懵圈了，这个结论也太不符合事实了吧，一支飞行的箭怎么可能

    一直保持静止的状态呢？可他自己也不明白怎么就被芝诺老师一步步给带到沟里去

    了。

    有文化真可怕啊!让我们来帮助小明分析一下他是如何掉进沟里的。首先芝诺的论证完全遵循了

    时间无限可分的前提，在这个前提之下，时间没有最小的不可分单元，而是由无穷

    多个没有大小的时刻构成。由于时刻没有大小，所以箭在被射出去之后的每一个时

    刻都必须处于静止的状态，而所有这样的静止状态累积在一起依然是一个静止的状

    态，因此箭根本没动。

    芝诺的论证看起来无懈可击，但我估计很多同学在读完之后不太服气，认为芝

    诺不过是耍了一个文字游戏而已：在每一个时刻静止并不意味着一直不动啊!

    坦率地讲，这确实抓到了要害，但并非是什么文字游戏，而是数学概念的混

    淆，搞清楚它要等到2300多年之后了。

    在芝诺所处的那个时代，这两个悖论的出现直接冲击着人们时空观念的基础，导致在此后很长的一段时间里，数学家们都不敢触碰“无穷”这个概念，像亚里士

    多德一样，他们只敢承认无穷多个步骤这样的“潜无穷”(potential

    infinity)而没有勇气去承认一条线段上有无穷多个没有大小的点这样的“实无

    穷”，阿基米德(Archimedes)甚至因此错过了微积分的发明(这个故事我们后面

    会讲)。

    如今，芝诺悖论在数学上已经有了比较圆满的解释，所谓的“潜无穷”是可数

    无穷，可数无穷多个数是可以相加并且结果完全可能是有限的，就像我们前面提到

    的那个无穷级数；而所谓的“实无穷”是一种不可数无穷，不可数无穷多个数是无

    法相加的，哪怕是不可数多个“0”也无法相加，因此，“每一个时刻的静止状态累

    积在一起依然是一个静止的状态”这句话在数学上本身就无法成立(详细解释需要

    测度论的知识)，芝诺的飞矢不动自然就不再是一个悖论了。

    当然，也有很多的哲学家和物理学家(特别是搞量子力学的)压根不认为这是

    一个数学问题，对此我们也不去过多地纠缠，我们只想指出：芝诺悖论真正的伟大

    之处在于它促使人们去思考数学概念与人类感官所感知的客观时空之间其实并不具

    有相同的外延，而“无穷”作为一个纯粹的数学概念需要被理性地定义和分析。

    芝诺悖论简化版：一条线段包含了无穷多个点。如果点有大小，无穷多个点的

    大小就必定无穷大，这条线段不可能有有限的长度；如果点没有大小，这条线段也

    不会有长度，因为它是由一些没有大小的点构成的。小明：老师你饶了我吧……

    2.4 出题

    尽管古希腊时期的数学家还没有办法从智力上厘清“无穷”这个概念，但在实

    际运算上他们对于无穷概念的使用倒是蛮宽容的，除了一些几何比例关系的证明

    外，还有一个非常重要的例子，就是圆周率π的计算。

    所谓圆周率，即为圆周长与直径的比值。由于在古希腊圆被认为是最完美的几

    何图形之一，这个比值就显得尤为重要。在数学家的眼中，π就如同一个女神一般，人人都在追求它的精确数值。你当然可以通过观察和实验的方法测量圆的周长及直

    径以达到估算圆周率的目的，但这种方法属于经验科学中的归纳方法而并非数学上

    的严密论证，第一个真正借助数学过程能够把π的值精确到任意精度的科学家是阿基

    米德(那个梦想着撬动地球的男人)。

    阿基米德的方法很简单，他首先画出一个圆，然后用边数越来越多的正多边形

    去外切这个圆。从直观上看，随着边数的增加，正多边形把整个圆包围得越来越紧

    密，它的周长也就越来越接近圆的周长，因此我们可以用这些正多边形的周长与圆

    直径的比值来逼近π的真实值。应用阿基米德时代已经掌握的一些方法，人们能够计

    算出某些特殊正多边形的周长。特别地，阿基米德先后用正6、正12、正24、正48

    和正96边形去外切一个圆，给出了圆周率的一个上界3.14271。另外，阿基米德又

    用边数越来越多的正多边形去内接一个圆，这些正多边形的周长比圆周长略小但也

    越来越接近，它们与圆直径的比值就从另一个方向慢慢逼近π的真实值，依然利用正

    96边形，阿基米德给出了圆周率的一个下界3.14103，因此π的真实值就介于

    3.14103～3.14271(见图2-4)。图2-4 阿基米德计算圆周率

    今天我们知道这个结果距离π的真实值还有一段不小的距离，但阿基米德工作的

    伟大之处不在于他计算出了圆周率小数点之后多少多少位，而在于他所使用的方法

    在数学上保证了圆周率计算可以达到任意的精度。事实上他的方法已经包含了后世

    称为“无穷小分析”的全部要素，但遗憾的是由于对无穷概念的模糊与恐惧，阿基

    米德并没有说清楚所谓逼近π的真实值的含义，而这一概念恰恰是两千年之后微积分

    学得以创立的基石。

    阿基米德使用的方法就是所谓的“穷竭法”，在他之前的很多希腊数学家包括

    欧几里得(Euclid)在内这个方法都运用得不亦乐乎，而在古代中国，这个方法有一个更为形象的名字：“割圆术”[2]

    (请注意“形象”这个词，它深刻揭示了古代

    中国与古代希腊在数学上的重要区别)，发明者是魏晋时期的刘徽(为《九章算

    术》所作的评注)，比阿基米德晚了几百年。南北朝时期的数学家祖冲之将圆周率

    计算到了小数点后第7位也是基于同样的方法。

    令人惊奇的是，除了极限概念偶尔萌芽之外，在近一千多年的时间里数学家们

    对于无穷本身就再也没有什么有益的探索了，他们甚至像对待牛鬼蛇神般唯恐避之

    不及。等到下一个向无穷发起挑战的人出现居然就到了文艺复兴时期，这个人的名

    头还挺响亮：近代科学之父——伽利略。

    伽利略作为实验科学的大力推崇者，打破了长久以来亚里士多德经院哲学的神

    秘垄断。他制作了望远镜，发明了温度计，观察了自由落体运动，总结了单摆运动

    规律，在他的坚持倡导下，数学与实验科学相结合，重塑了人们的物质观和精神世

    界。

    与这些工作相比，伽利略对于“无穷”特别是“实无穷”概念的讨论并没有在

    学术界掀起什么波澜，但却成为历史上第一份关于无穷集合问题的文件，它所关注

    的，正是两个无穷集合之间一一映射的问题。确切地说，伽利略把我们之前对于有

    限集所作的总结“两个有限集之间如果能够构作出一个一一映射，它们就拥有相同

    的元素个数”用到了无穷集合之上。1636年，伽利略的著作《两门新科学的对话》

    在荷兰出版，书中伽利略通过对话的形式描述了下面两个悖论。

    先看图2-5中的三角形△ABC，分别记边AB与边AC的中点为D和E，过D作边BC的

    垂线交BC于F，过E作边BC的垂线交BC于G。显然，对于线段DE上的每一个点H，我们

    都可以通过作BC垂线的方式将之与线段FG上唯一一个点I对应，由此我们构作了一个

    从线段DE上点的集合到线段FG上点的集合之间的映射，这个映射是一个一一映射，因为它的构作方式是可逆的。因此，如果通过构造映射比较有限集大小的方法对于

    无穷集合也成立，线段DE上的点与线段FG上的点就应该一样多。

    但是，对于线段DE上的每一个点，我们可以作连接它与点A的直线与BC相交，从

    而得到线段BC上唯一一个点(见图2-6)，这样我们又构作了一个从线段DE上点的

    集合到线段BC上点的集合之间的映射，这个映射同样是一个一一映射，因为它也是

    可逆的，因此线段DE上的点与线段BC上的点也应该一样多。图2-5图2-6

    现在问题来了，线段FG上的点与线段DE上的点一样多，线段DE上的点又与线段

    BC上的点一样多，那么线段FG作为线段BC的一部分岂不是拥有与整个线段同样多的

    点？这可是直接违背我们的固有直觉“整体大于部分”啊(这是欧几里得《几何原

    本》五条公理的最后一条)，伽利略通过一个轻巧的转换就向我们展示了一个不可

    思议的悖论。

    如果你觉得这个例子还不够清楚的话，伽利略还给你准备了第二个。考虑所有

    正整数组成的集合 ，然后构造一个从 到 的映射f，f将每一个正整数n映

    到n2。显然f是一个单射，因为对于正整数而言，m2

    ＝n2

    可以立即推出m＝n；但f不

    是一个满射，因为不是所有的正整数都是某个整数的平方，因此像集f( )是

    的一个真子集而f给出了 到f( )的一个一一映射。如果你承认构造一一映射可

    以比较无穷集合之间大小关系的话，那么 与它的真子集f( )具有相同的元素

    个数，这里再次出现了整体与部分一样多的“荒谬”事件。伽利略的悖论事实上向我们提出了一个非常犀利的问题：当我们从有限集合过

    渡到无穷集合的时候，需不需要颠覆一些关于大小的固有观念(例如，整体一定大

    于部分)，一个无穷集合到底有多少个元素，无穷集合之间是否真的可以比较大

    小？

    大科学家就是大科学家啊!

    按照通常剧本的发展，这种级别的科学家不会把难题留给后人，伽利略将敏锐

    地观察到无穷集合之间的微妙差别，创造出一种本质上刻画无穷集合的新方式，并

    最终解答人类千百年来的智力困惑从而青史留名。

    但可惜的是，在提出了问题之后，伽利略大师——也怂了。他没有意识到“整

    体与部分一样多”这样的事情是否荒谬完全取决于我们采用什么样的比较方法，他

    天真(或者无奈)地认为所有的无穷集合都一样大，压根没什么好比的。

    就这样，在正确的逻辑道路上燃起的一丢丢火星很快湮灭了。

    而随着微积分与代数学的蓬勃发展以及分析学的严密化，在数学上对“无

    穷”这个概念进行澄清已经变得刻不容缓。终于，在伽利略的著作发表两百多年

    后，一位惊世骇俗的数学家大方地承认：对于无穷集合而言，整体与部分一样大本

    身并没有什么了不起，这个条件甚至还可以成为无穷集合的定义[3]。这位数学家就

    是集合论的创始人——康托尔(Cantor)，他在后台已经等待了太长的时间，让我

    们隆重欢迎他出场。

    2.5 破题者

    1845年3月3日，俄国圣彼得堡一个有着犹太血统的富商家庭里诞生了一个婴

    儿，与大多数初为人父的男人一样，婴儿的父亲既紧张又喜悦，他对自己的长子抱

    有很高的期待，也许会成为一位创造财富的商人，也许会成为一位受人尊敬的工程

    师，但再高的期待恐怕也没想过这个儿子将来竟有一番超越时代的作为。这位男婴

    就是我们的主角康托尔，全名乔治·斐迪南·路德维希·菲利普·康托尔。按照今天的说

    法，康托尔含着金钥匙出生，是一个标准的富二代，但伴随他的，却不是一种先天

    的优越感，因为康托尔的祖父和父亲都比较倒霉，不是经历过战乱就是经历过破

    产。康托尔的祖父曾经居住在丹麦，19世纪初，英国对丹麦在美国独立和法国大革

    命中连续保持中立的态度表示非常不满，不宣而战。这场战争名义上是“看你不

    爽”，实际上还是利益的纠葛，但对康托尔的祖父而言，实在是一场没来由的无妄

    之灾，他的家业在英国人的炮击中毁于一旦，被迫举家迁往俄国。在俄国，康托尔

    的父亲从经商开始，逐步转向国际贸易，再次壮大了家族的产业，一度还把生意做

    到了大西洋两岸，只不过好景不长，后来因为不明原因破产，借助股票交易才逐渐

    恢复元气。生活的逆境给康托尔的父亲带来了一场难以忘怀的磨炼，他对孩子的教

    育也有了高于常人的开阔视野。

    1856年，康托尔全家移居德国。按照平常人的想法，未成年的子女最好留在身

    旁，既方便监督学业又方便照顾生活，但本着“吃苦要从娃娃抓起”的理念，康托

    尔很快被送到了荷兰阿姆斯特丹的一所六年制的寄宿中学就读。康托尔也没有辜负

    家人的期望，在中学时期，他就展现出了对数学的浓厚兴趣，但是他的父亲依然提

    醒他要广泛地学习各科文化知识，因此康托尔在科学和艺术两方面都具备很高的素

    养，例如，康托尔从小就学习小提琴并且他的绘画水平也相当不错。

    6年之后，17岁的康托尔开始大学生活，他的大学之路与我们想象的不太一样，那是真正的游学之路(非有钱人难以实现)。现在的大学生在学校里想换个专业都

    十分不易，康托尔却在半年多的时间里连续换了三所学校：瑞士苏黎世大学、德国

    哥廷根大学和法兰克福大学(全是世界名校)，他畅快地追寻着心目中理想的高等

    学府，直到一件事情的突然发生。

    1863年，康托尔的父亲因为感染肺结核病逝了，这件事情给了康托尔很大的打

    击，他结束了半年的游学生活来到柏林，在柏林大学数学系重新开始学习。从表面

    上看，父亲的离世改变了康托尔的学习状态，使得他再也无法四处游历，但当你了

    解完整个故事之后用心体会，就会发现康托尔父亲的影响绝不仅限于此，他的离世

    很有可能抽掉了康托尔在人生困境中最可依赖的那一根精神支柱。

    但到目前为止，康托尔的生活还算一帆风顺，彼时的柏林大学在数学家库默尔

    (Kummer，也是个神人，他的故事后面会讲)等人的带领下正在形成一个数学教学

    和研究的中心，分析学严密化的领导者魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和大数学家

    克罗内克(Kronecker)都是这个中心的代表人物，正是跟随这三位数学大师学

    习，康托尔逐渐坚定了投身纯粹数学研究的志向。1866年，年仅21岁的康托尔凭借数论方面的研究成果获得了博士学位，虽然当

    时德国(或许应该称普鲁士)的大学学制没那么严谨，但在中学毕业之后的三年时

    间内拿下博士学位还是一件令人叹为观止的事情。

    毕业之后的康托尔继续留在柏林大学从事研究工作。他的早期研究集中于数论

    和经典分析方面，充分展现了一名成熟数学家的良好素养，这帮助他于1869年在德

    国哈雷大学获得教职，不久之后便升为副教授。

    如果康托尔的研究兴趣始终没有转变，他大抵上会继承库默尔的衣钵成为一名

    优秀的数论学家，但上天似乎有意要使康托尔成为那名划时代的破题者，他给康托

    尔安排了一个分析学难题——讨论任意函数三角级数展开的唯一性，康托尔很快就

    被这个难题所吸引。

    2.6 一炮而红

    到目前为止，你并不需要了解函数的三角级数展开究竟是怎么一回事，只需要

    知道这个问题的难度在于放宽被展开函数的限制，康托尔的思路是尽可能地放开对

    这些函数上的“坏点”(学名间断点[4])个数的要求，于是很自然地，他转向了点

    集元素个数的研究。1872年，康托尔已经能够证明具有无穷多个间断点的函数也满

    足三角级数展开的唯一性，正是为了刻画由这无穷多个间断点所组成的点集的性

    状，康托尔不得不开始认真地考察“实无穷”了。

    不幸的是，前人的经验对康托尔并没有太大的帮助，无穷集合特别是“实无

    穷”就像一个神秘的禁忌般无人敢碰。直到康托尔所处的那个年代，数学家们对于

    无穷的见解依然停留在“无穷只是描述一个极限过程的说话方式”[5]

    这样的陈词滥

    调上，要是有人敢把无穷当作数学上一个明确的研究对象，他估计会被当成疯子或

    者被当成一个未经训练的民间科学家。

    但康托尔不管这些，他扛起炸药包就往里冲了，扎实的数学基础和敏锐的数学

    直觉告诉他是时候向“无穷”概念发起冲锋了，“无穷”不仅可以而且也必须被当

    成一个整体对象加以研究。年纪轻轻就拿下博士学位的康托尔自然不是乱放空炮，在伽利略的悖论中他就已经意识到所有的“无穷”并非都是一样的，他给自己的亲

    密战友数学家戴德金(Dedekind)写信：“潜无穷”和“实无穷”可以用明确的数学语言加以区别!

    这里的数学语言指的就是一一映射，人们很快就将见识到这种思路的神奇之

    处。1874年，康托尔轰下第一个堡垒，他的论文“关于一切代数实数的一个性

    质”在久负盛名的《克雷尔》数学杂志发表，立刻引起了轰动。在这篇论文中，康

    托尔首先定义了可数集(最小的无穷集)，然后证明了有理数集可数而实数集合不

    可数，最后证明了所有代数数组成的集合是可数的从而超越数不仅存在并且有不可

    数多个。

    听起来是不是有点儿晕？这些结论中的某些概念你可能连听都没听过。但客观

    地讲，要理解它们并不十分困难，让我尝试用比较通俗的语言慢慢给你解释。

    首先，你能想到的最简单的无穷集合恐怕就是正整数集了，我们给这个集合一

    个符号 。 里的所有元素可以一字排开1、2、3…，有起点却看不到尽头，一旦

    你取定了一个足够大的n，n+1又是一个更大的正整数，所谓“子子孙孙无穷匮

    也”，这使得 不可能是一个有限集。同时正整数集似乎也是最小的无穷集合，因

    为从一一映射的角度看，但凡一个集合S包含了无穷多个元素，S中就一定可以找到

    一个子集与 建立一一对应[6]。既然 在所有的无穷集合中有着基本的重要性，那

    么好，康托尔说：我把所有可以与正整数集建立一一对应的集合称为可数集，它们

    是最小的无穷集合。

    不难理解，所谓的可数集，就是指这个集合里的所有元素可以按照某种顺序一

    个一个地拉出来，像幼儿园里的小朋友一样排排坐，吃果果，无一遗漏。

    除了 以外，所有整数组成的集合 ＝{0，-1，1，-2，2，…}也是一个可数

    集，进而 中所有的无穷子集都是可数集，例如，所有奇数组成的集合、所有偶数组

    成的集合、所有平方数组成的集合等。在康托尔的眼中，伽利略提出的悖论是再正

    常不过的现象，无穷集合本来就跟有限集有着天壤之别，凭什么要求无穷集合要拘

    泥于有限集的性质呢？康托尔和戴德金甚至得出结论：一个集合有无穷多个元素当

    且仅当这个集合可以与自己的某个真子集建立一一对应[7]

    ，这一下子抓住了无穷集

    合的本质。

    整数集可数是一个非常明显的命题，因为 中的元素有一种近乎天然的排序方

    式：按大小。按照绝对值从小到大，我们真的可以把所有整数都排列出来，一个也跑不掉。那有没有看起来没那么平凡的可数集呢？

    康托尔说：有啊，所有有理数组成的集合就是。这是康托尔的工作中得出的第

    一个令人感到意外的结论。

    所谓有理数，就是那些可以写成两个整数的商的数(俗称“分数”)，比如 ，其中m和n都是整数。有理数集这个集合很有意思，因为它在数轴上是稠密的，什么

    意思呢？任意给出两个有理数a
    一个有理数c，使得a
    麻”，没有间隙，这与整数在数轴上的分布明显不同，而这条性质也将导致一个非

    常严重的后果，如果你想按照大小给有理数进行排序那纯粹是自虐，排好了两个中

    间又会冒出第三个，永远也排不完。

    这样诡异的集合也是可数集？

    这事儿一开始恐怕连康托尔自己都不信，但他确实看到了一个绝妙的办法证明

    全体有理数也是可以排序的。怎样做到呢？

    首先，全体有理数除了“0”以外都是一正一负成对出现，所以只要证明了全体

    大于0的有理数组成的集合是一个可数集我们就结束战斗了。如此，康托尔把所有的

    正有理数平铺在一张没有边界的表格之中，表格中的第一行是分母为1的那些有理

    数，按照分子为{1，2，3，…}也就是正整数的顺序排列，第二行是分母为2的那些

    有理数，排序方式与第一行一样，第三行是分母为3的有理数，第四行是分母为4的

    有理数。

    依此类推，康托尔得到了一个填满所有正有理数的方形表格，只不过这个表格

    的行数和列数都是无穷大(准确地说是可数无穷大)。如果我们用am，n来表示这个

    表格中位于第m行、第n列的那个元素，那么显然有 。现在，对每个正整数

    k≥2，我们构造一个集合S(k)＝{am，n|m+n＝k}，这是一个有限集，事实上描述

    了表格中第k-1条反对角线上的元素，当k走遍所有大于1的正整数时，把所有的

    S(k)并在一起自然也就覆盖了表格中的所有有理数。

    现在，正有理数集是一个可数集的结论已经呼之欲出了，你只需要对每

    个S(k)中的元素规定一个排序，然后按照k＝2，3，4，…的顺序将S(2)、S(3)、S(4)，…中的元素串在一起(重复出现的元素保留第一个，其余删掉)，你就得到了全体正有理数的一个排序方式，比如图2-7。这样康托尔就

    证明了整个有理数集是可数的。

    图2-7 有理数排序的反对角线法则

    这个结果确实令人大感意外，它告诉我们一个数集是否能够依序排列并不依赖

    几何上是否存在直观的间隔，也再次说明了人类的直觉有时是多么的不靠谱，在数

    学的王国里，逻辑才是王道。

    顺便说一句，我们提到的这个排序方式并不是唯一的，你一定还能找到别的方

    式对有理数进行排序，不妨开动脑筋想一想，也算是学以致用，触类旁通。

    既然有理数集这样稠密的集合都是可数集，你估计会想：不会所有的无穷集合

    都是可数集吧？这是一个非常自然的想法，也确实在一开始给康托尔的思路带来了很大的误

    导，他试图证明实数集 也是可数的。

    整个故事中最为精彩的地方出现了，如果上述结论是正确的，那么康托尔的理

    论即使看上去非常有趣也必然不会引起轩然大波，因为所有的无穷集合都一样，就

    失去了多样性所带来的各种不同和可能。所幸康托尔证明实数集 可数的每一次尝

    试都以失败告终，他开始反过来想：会不会实数集 根本就不可数呢？这一转念，思路豁然开朗。

    经过仔细的思考之后，康托尔给出了明确的答案：不可数集是存在的，实数集

    即是，所以单论元素个数的话无理数要比有理数多得多!

    为了证明这个结论，康托尔首先给出了一个足以惊掉你下巴的引理：一条有限

    长度线段(比如[0，1]区间)内的点与一条无限长直线(比如实数轴)上的点一

    一对应!

    这个引理真是比伽利略的悖论还要令人崩溃，不同长度线段的点可以一一对应

    也就算了，无限长的直线来凑什么热闹，难道长度与点的个数之间完全没有关系

    [8]？不管你相不相信，这个引理确实是逻辑上不可推翻的事实，康托尔的证明如此

    简单而巧妙，我画两个图你就立刻明白(见图2-8、图2-9)。

    图2-8 半圆AB除去端点与(0，1)开区间一一对应图2-9 半圆AB除去端点与实数轴 一一对应

    以半圆AB为媒介，康托尔证明了实数轴上的点与(0，1)开区间内的点可以建

    立一一对应。现在，要证明实数集合 不可数，康托尔只需要证明(0，1)区间内

    的全体实数不可数。康托尔用了反证法，假设(0，1)区间内的全体实数是可数

    的，那么[0，1]闭区间内的全体正实数就是可数的(此集合与(0，1)开区间相

    比多了一个“1”)。康托尔把这些正实数都写成无限小数的形式，例如0.5用

    0.49999…来代替，1用0.99999…来代替(之所以可以这样做与康托尔构造实数系

    的方式有关，我们在下一章会看到)。接下来这些无限小数可以一个一个的排列出

    来：

    r1＝0.b1，1b1，2b1，3b1，4…

    r2＝0.b2，1b2，2b2，3b2，4…

    r3＝0.b3，1b3，2b3，3b3，4…

    康托尔发觉这个列表不可能把[0，1]闭区间内的所有正实数完全覆盖，原因

    在于他能够轻易地构造出一个大于零的无限小数r＝0.b1b2b3b4…，这个小数满足对

    任意的正整数i有bi>0但bi≠bi，i，显然r∈[0，1]但r并不等于上面列表中的任何

    一个，如果r等于某个rk，那必有bk＝bk，k，与构造方式矛盾。因此，实数集可数的假设并不正确，实数集 是不可数的!

    这实在是妙不可言啊，同样包含了无穷多个元素，实数集与整数集还真有着本

    质上的不同。若干年后，大数学家希尔伯特(Hilbert)举了一个“无穷旅馆”的

    例子，很好地描述了实数集 这种不可数的特性。

    这个例子是这样说的：有个老板在城里开了一家旅馆，这家旅馆有个非常奇特

    的地方，它有无穷多个房间，每个房间都匹配唯一一个正整数作为它的编号。某天

    夜里，风雨大作，一位顾客走进旅馆想要住宿，不巧的是所有房间都已经满了，没

    有空房。

    那就走呗？可是这位顾客并不想离开，他拜托老板想下解决办法。老板想了

    想，好办!他请1号房的住客搬到2号房，2号房的住客搬到3号房，3号房的住客搬到

    4号房。依此类推，所有住客的房间都往后挪了一间，而1号房被腾了出来。完美!

    顾客顺利入住，老板得意地笑。

    不多久，一位导游走了进来，导游说我有一个旅行团，有全体整数那么多个团

    员，老板你想想解决办法。老板看了导游一眼，小样儿，你难不倒我!他请1号房的

    住客搬到2号房，2号房的住客搬到4号房，3号房的住客搬到6号房。依此类推，n号

    房的住客搬到2n号房，这样，所有奇数编号的房被腾了出来，旅行团的团员得以依

    次入住，老板又得意地笑。

    最后，康托尔走了进来：老板我有一个旅行团，有全体实数那么多个团员，你

    想想解决办法。老板一听直接怒了：你自己想办法!

    哈哈。

    虽然希尔伯特的例子被我演绎成了一个笑话，但至此，困扰人类千百年的“潜

    无穷”和“实无穷”概念终于得到了明确区分，“无穷”也正式成为现代数学研究

    中一个不可忽视的主角。所有致力于完善数学理论体系的数学家都兴奋得摩拳擦

    掌，因为数学的基础即将被改写，进而展现出全新的面貌。

    顺便提一句，康托尔对于实数集不可数的证明后世称为“对角线方法”，此方

    法还被广泛地应用于其他定理的证明，百世流芳。康托尔用“可数”与“不可数”从本质上区分了整数集与实数集，这是人类理

    性的一次巨大飞跃。然而事情发展到这一步却并没有结束，更令人惊讶的还在后

    面，康托尔利用实数集不可数的事实给出了一个超越数存在的全新证明!

    这在当时的数学界可是一件了不得的大事，因为超越数这个东西，实在是太难

    得啦。

    2.7 颠覆想象的证明

    所谓超越数，就是那些不能作为任何一个整系数多项式方程的根的(复)数。

    单从定义来看，你也许还意识不到超越数有多重要，但如果你知道大名鼎鼎的圆周

    率π和自然底数e都是超越数，你就该对超越数肃然起敬了。

    在数学上，人们把整系数多项式方程的根称为代数数，所以超越数组成的集合

    其实就是代数数组成的集合在复数系中的补集。

    有理数当然都是代数数，因为任何一个有理数α都可以写成两个整数的商 ，从

    而α是一次方程

    nx-m＝0

    的根。无理数也有可能是代数数，例如 就是无理数，但它同时是二次方程

    x2

    -2＝0

    的根。至于超越数存不存在，这从一开始就是个难题。

    在19世纪的数学圈内，人们更加信赖构造性的证明方法：你要证明一个东西存

    在，那么就明明白白地把它构造出来。基于这个想法，法国数学家刘维尔

    (Liouville)仔细研究了一个无理数要想成为代数数所必须具备的条件，然后他

    巧妙地造出了一批不满足这些必要条件的无理数，数学上称为Liouville数。按照

    构造方法，Liouville数拥有规范的无穷级数的表达形式，我们举一个例子：就是一个Liouville数。可以看到，小数点后两个非零数字之间的间隔越来越

    长，这是Liouville数的特征。虽然Liouville数看起来很特别，但它们真实存

    在，并且不满足无理数成为代数数的必要条件，因此它们必须是超越数。换句话

    说，刘维尔用构造性的方法证明了超越数的存在性，这在人类历史上是第一次。

    对待同样的问题，康托尔却并不按常理出牌，他不去具体地构造超越数，而是

    去证明一个关于代数数的结论：全体代数数组成的集合是一个可数集。如何证明

    呢？首先对每一个整系数的多项式方程

    康托尔匹配了一个正整数

    称为多项式f的高。显然对任意的正整数m，N(f)＝m的整系数多项式方程f＝

    0只有有限多个。另外，任意一个一元n次多项式方程最多只有n个根[9]

    ，所以

    当N(f)依次走遍所有正整数时，我们可以把全体整系数多项式方程，进而把全体

    代数数一个一个地排列出来，换句话说，所有代数数组成的集合是一个可数集。然

    而我们已经知道实数集 是不可数的，因此作为代数实数在实数集中的补集，超越

    实数不仅存在并且有不可数多个!

    这，就很尴尬了……刘维尔费了九牛二虎之力硬生生地造出了一批超越数，康托

    尔连超越数的边都没摸到就证明了它们的存在，简直就是耍流氓嘛!

    当时持有这种观点的人并不在少数，但康托尔却没有停下脚步，他在“耍流

    氓”的道路上一发不可收。1877年，康托尔证明了[0，1]区间内的点不仅与实数

    轴上的点一一对应，还与任意n维欧式空间 中的点一一对应，所以一条直线上的

    点与一个平面上的点一样多，一个平面上的点与整个三维空间中的点一样多，这就

    好比你在纸上画只猫，康托尔告诉你从构成元素数目的角度来说，这只猫与现实生

    活中的猫没什么区别。

    这个结论再次刷爆了人们的底线，之前我们遇到过一个类似的例子：有限长度

    线段上的点与无限长度直线上的点一一对应。在那个例子中，直线虽然无限长但好歹跟线段一样都是一维的，现在不同维度的事物居然也包含了相同多的基本单位，这下子连康托尔本人也忍不住惊呼：“我看到了它，但我简直不敢相信啊!”

    基于以上种种发现，康托尔引入了“势”的概念来描述集合的大小，两个集合

    之间如果可以构建一一映射，则称这两个集合等势。康托尔把所有可数集的势记为

    (发音：阿列夫零)，把实数集 的势记为c，他在1874年的论文相当于证明了。

    你大概想问：既然所有 的势都是c，那还有比c势更大的集合吗？康托尔非常

    巧妙地回答了这个问题，对任意一个集合S(有限或无穷)，康托尔考虑由S中所有

    子集组成的集合P(S)，他证明了S与P(S)之间无法构建一一映射，换句话

    说，P(S)的势严格大于S的势。若这里的S是实数集 ，我们就得到了一个新的集

    合P( )，它的势严格大于c。

    康托尔把P( )的势记为2c

    ，这个记法来源于有限集的性质：任何一个含有n

    个元素的有限集，其所有子集组成的集合元素个数恰为2n

    ，因此P(S)通常称为S的

    幂集。

    这时候，你是否已经从康托尔的证明中发现了一个重要的结论：不可数集合并

    不是只有实数集 一种，通过反复取幂集的过程，我们事实上构造了一个不可数集

    合的无穷序列

    更进一步，康托尔证明了 ，也即P( )与实数集 之间可以构建一一

    映射，这为上面提到的序列补充了重要的第一环

    于是我们就得到了一个关于无穷集合的“无穷谱系”。

    无穷集合不仅存在，而且还有无穷多种，康托尔的这些工作可以说是数学上极

    富想象力的天才创造，它们充分说明了“无穷”在数学上不仅可以成为一个被研究的对象，而且具有非常丰富的含义和层次，人类数千年来关于无穷集合的固有印象

    被完全颠覆了。

    2.8 与时代为敌

    任何颠覆时代的思想必然会遭到保守势力的抵制和反击，这是历史上屡试不爽

    的经验法则，康托尔在数学上遇见了光明，但他的生活很快陷入了黑暗。

    由于康托尔的超穷数理论过于玄幻，几乎是从一开始，他的许多方法和结论就

    受到了广泛的质疑。如果要把质疑者们列个名单，恐怕将会囊括当时数学界的半壁

    江山，为了突出重点，我们挑几个重要的反对派。

    一号人物施瓦茨(Schwarz)：德国数学家，数学竞赛和高等数学中出镜率极

    高的柯西(Cauchy)-施瓦茨不等式就出自他的手笔。之所以把施瓦茨排在第一位

    是因为他原本是康托尔在柏林大学的师兄加密友，后来因为强烈地反对集合论而与

    康托尔断交，以自身的实际行动捍卫了“科学的理念高于一切，友谊的小船说翻就

    翻”的至理名言。另外，施瓦茨娶了康托尔导师库默尔的女儿，这层颇为戏剧性的

    关系不知道是否影响了库默尔晚年对康托尔的支持。

    二号人物庞加莱(Poincaré)：法国数学领袖，很有能力的人物，被认为是史

    上最后一个数学全才[倒数第二个是高斯(Gauss)]。庞加莱在数学、物理学、天

    体力学和哲学等各个方面都具有很深的造诣，他于1904年提出的关于三维球面的猜

    想[10]

    折磨了人类100年，位列“世界七大数学难题”之一。庞加莱对康托尔的想法

    同样很不赞同，他认为包含了超穷数的集合论是数学一场严重的疾病(grave

    disease)，后辈们肯定能从这场疾病中恢复过来。

    三号人物克罗内克。你没看错，就是他，康托尔在柏林大学的老师。把他排在

    最后一位是因为此人实乃反康阵营中的头号人物。在科学界，师生反目的事情并不

    少见，撕得厉害的也大有人在，但像克罗内克这样全方位、多角度对康托尔进行全

    天候打击的恐怕也是没谁了。克罗内克是个极端保守的老头，他认为只有从整数出

    发，经过有限个步骤构造出来的东西才能成为真正的数学对象，所以他坚定地反对

    康托尔这样的“神秘主义”，他不仅抨击集合论，同时也对好友魏尔斯特拉斯搞出

    来的“处处连续但处处不可求导”的病态函数百般嘲讽(这一点上倒是对事不对人)。在德国，克罗内克拥有极为广泛的人脉和社会关系，他是柏林学派的领袖，号称德国数学界的无冕之王，因而他反对的人和事在数学界都很难抬头。

    好了，介绍完毕，康托尔压力山大啊……

    我们在日常工作中往往都有这样的经验，一般人在受到同行的严重排挤和打压

    时很难保持意志的坚定，想在圈内继续混下去的站个队、认个怂，地位和荣耀可能

    随之而来，但代价却是要放弃自己的尊严和信念；不愿妥协的冲个鱼死网破，要么

    从此销声匿迹，要么干脆转行，另起炉灶。

    但也有更为勇敢的回应，那就是持续不断的创造力和无法消抹的工作成就。

    我相信康托尔绝非没有犹豫，克罗内克是自己的老师，只要轻轻地服个软，他

    在数学圈就可以平步青云，扶摇直上。但从后面的表现来看，康托尔并非此道中

    人，他深刻地明白：对质疑者最好的回击就是学术上的更多创造，在数学上，他要

    成为一个捍卫真理的斗士。1879—1884年，康托尔连续发表了六篇论文，简洁而系

    统地阐述了他的超穷集合理论，同时探讨了由集合论所引起的一系列数学和哲学问

    题，回答了大部分反对者们的质疑和非难。康托尔认为所有无穷集合的势可以像整

    数一样排列并且具有一定的运算规律，他把它们称为超穷数并引入 ，i∈ 的符号

    来表示，这里的 代表自然数集合，而 就是我们之前所见过的可数集的势。用直

    白一点的话来说， 就是最接近 的下一个无穷大，康托尔猜想 ，也就是说

    不存在任何一个无穷集合使得它的势严格介于 和 之间，这就是著名的连续统假

    设。这个假设在现代数学和康托尔的学术生涯中占有十分重要的地位，康托尔终其

    一生都在努力证明它。

    但很遗憾，康托尔的努力并没有为他赢得更多的尊重。虽然在1879年，康托尔

    晋升为哈雷大学的教授，但哈雷是个小地方，大学教授的收入非常微薄，当时的德

    国并不提倡计划生育(当然现在也不提倡……)，康托尔夫妇一共育有五个孩子，家

    庭生活十分拮据，所以康托尔就动了到柏林的大学谋求教职的念头，在柏林，一个

    大学教授拥有更高的薪水和更加受人尊敬的社会地位。但悲催的是，他的死对头克

    罗内克在柏林几乎拥有至高无上的权力，在克罗内克的极力阻挠下，就算有学校有

    意向接收康托尔，也不敢把此事摆上台面，康托尔工作调动之事犹如石沉大海，杳

    无音信。不仅如此，在克罗内克掌控了《克雷尔》数学杂志之后，康托尔的论文在

    这本杂志也发表不出去了。这就没意思了，学术排挤也就算了，毁人前途实在太不厚道。克罗内克的穷追

    猛打加上连续统假设的证明几经反复也没有进展，康托尔遭受到了外部环境和内心

    世界的双重打击。

    康托尔一急……就抑郁了。

    现如今，“抑郁”已经成为了一个颇为时髦的名词，无论是社会名流、演艺明

    星，还是IT码农、文艺青年，没有点小抑郁都不好意思号称自己工作压力大。但其

    实“抑郁症”是医学上一种非常严肃的生理性疾病。康托尔也一样，他无法集中精

    力，无法专心致志地从事研究工作，总是陷入众多哲学乃至神学问题的争吵旋涡。

    对此，他感到万分的沮丧。

    也不知道在那些不眠的夜里，康托尔有没有想起自己的父亲，如果这个时候父

    亲还在，还能有来自父亲的宽慰和鼓励，他也许就不会如此无助。

    怎么办？不会要熬到克罗内克成仙吧!

    很不幸，还真是这样……1891年，68岁的克罗内克去世，直到此时，康托尔的

    外部环境才开始得到改善。没有了无休止的压制和蔑视，对于康托尔混乱的生活而

    言无异于一剂良药，他不仅恢复了创造性的数学工作，还领导创立了德国数学家联

    合会并担任首任主席。

    1897年，康托尔积极参与了第一届国际数学家大会的筹办，这个国际数学家大

    会的名头很大，现在已经成长为全球数学领域的顶级盛会，会议每四年举办一次，开幕式上颁发的“菲尔兹奖”被视为数学界的“诺贝尔奖”。

    看来康托尔的组织才能比起科研水平来说一点也不逊色啊，但可惜好景不长，1899年的夏天，康托尔再次掉入抑郁症的深渊。这一次病症来得更加猛烈，康托尔

    为修补集合论的逻辑基础和证明连续统假设耗尽了全部的心血，但问题始终存在。

    他感到自己再也撑不下去了，于是取消了秋季学期的教学计划并给当时的文化大臣

    写信，申请辞去哈雷大学的教职。康托尔宁愿到图书馆去当一个管理员，也不想再

    碰数学了。

    很快，文化大臣回信——不批!对于这个结果，我一直没想明白，要知道德国大学里的教授职位非常稀少，基

    本上是一个萝卜一个坑，前任不退，后来人根本没有晋升的机会。比如著名的哥廷

    根大学数学教授职位，之前由高斯担任，高斯死后传给了狄利克雷

    (Dirichlet)，狄利克雷死后传给了黎曼(Riemann)，黎曼死后官方想传给克罗

    内克，被拒绝(真有个性)，所以克罗内克在1883年接替库默尔成为柏林大学数学

    教授之前一直就是个编外人员。当然，克罗内克有足够的资本瞧不上一个教授职位

    (他确实有钱)，但眼红康托尔位置的人应该还是很多的，谁不想在学术上尽快达

    到受人尊敬的地位呢？也许那位文化大臣觉得没有比康托尔更为合适的人选，又或

    者是别的什么原因，总之，康托尔被迫留了下来，在哈雷大学附属精神病院里住了

    一年。

    所谓屋漏偏逢连夜雨，在康托尔的工作毫无进展期间，他的家庭也不断遭遇不

    幸，母亲去世，弟弟去世，小儿子夭折……所有的事情集中到一起，康托尔的精神受

    到强烈的刺激，彻底崩溃了。此后的十多年中，他大多处于一种严重的抑郁状态，病魔缠身，再也没有恢复过来。1918年1月6日，康托尔在哈雷大学附属精神病院走

    完了自己的一生，享年73岁。

    是时候做个总结了。

    康托尔的一生跌宕起伏，传奇励志。他既像一个勇猛的斗士，始终坚定捍卫自

    己一手创立的数学理论，又像一盏暗夜中的明灯，指引着现代数学的前进方向。康

    托尔对数学的贡献足够世人消化良久，越来越多的数学家开始感受到他的工作的重

    要，例如，他的超穷数理论给分析学的研究带来了新的思路，不久又在测度论和拓

    扑学的研究中产生新的应用，集合论也逐渐成为整个现代数学的基础。

    如此了得的人物最终却不得不悲剧性地离开，你也许要为康托尔打一次抱不平

    了：都怪那个克罗内克，硬生生毁掉了一个传奇，没有他的固执，数学必定可以飞

    速发展好多年。

    对此，我倒不这么看，要知道每一个时代的人都有认知上的天花板，这是时代

    造成的，并不以人心善恶为转移，很多新潮思想的反对者，其实并非都是趋炎附势

    之徒，只不过无法打破自身所处的禁锢。真正打破禁锢的人，必然要承受巨大的反

    制和阻力，非此阻力，他们也无法历练成为真正的勇士。上天会给你无上的荣耀，但通常都兑现得太晚。

    康托尔在数学上的成就最终得到了应有的肯定，他的工作被盛赞为“数学天才

    最优秀的作品”“人类纯粹智力活动的最高成就之一”，著名哲学家罗素

    (Russell)也评价：这可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。

    1900年，在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，希尔伯特作了一次闻名后世

    的演讲。在演讲中，希尔伯特公布了23个亟待解决的数学问题，这些问题引领了整

    个20世纪数学研究的潮流，康托尔的连续统假设排名第一。

    值得一提的是，60多年之后连续统假设正式得到解决，答案却出乎所有人的意

    料，连续统假设既可以说对也可以说不对，不知道康托尔泉下有知会不会觉得自己

    死得冤枉……

    至于为什么既对又不对，请允许我卖个关子，在我们正式面对它之前，先来搞

    清楚一个问题：康托尔的集合论到底有什么用？没有这套理论之前，大部分数学家

    不也活得好好的？这话说得倒没什么大错，他们活得好好的，但他们活得未必清

    醒，对于数学而言，康托尔的理论不仅是一个有用的工具，还有着关乎生死的意

    义。要了解清楚这一点，我们需要开启一幕穿越大戏，从古希腊的毕达哥拉斯

    (Pythagoras)说起。

    [1] 后续章节会对无穷级数进行详细介绍。

    [2] 古代中国的“割圆术”只使用圆的内接正多边形。

    [3] 后来发现这件事情依赖选择公理。那什么是选择公理呢？原谅我，页边太小写不下……

    [4] 形象地说，间断点就是函数图象断开的点。

    [5] 这句话是高斯说的。

    [6] 严格证明需要用到选择公理。

    [7] 利用任意无穷集合包含可数子集的事实，有兴趣的同学可以开动脑筋自己试一试。

    [8] 若干年后，一个叫勒贝格(Lebesgue)的法国数学家发明了测度论(专门讲“长度”的理论)，回答

    了这个问题。

    [9] 事实上任意一个一元n次方程在复数系中恰有n个根(重根记重数)，这是著名的代数基本定理，但很

    遗憾至今没有初等证明。[10] 即通常所说的庞加莱猜想，历经几代数学家的努力，最终由俄罗斯数学家佩雷尔曼解决。

    第3章 万物皆数

    3.1 西方科学的祖师爷

    这是一个最好的时代，也是一个最好的舞台。这里百花齐放、群星璀璨，这里

    有英雄辈出的神话，有修辞华丽的史诗，有壮美和谐的建筑，有激扬天地的思想。

    虽然古希腊并不属于四大文明古国之一，但毫无疑问，古希腊人的思想与才华书写

    了人类文明史上极为重要的篇章。无论是文学、艺术，还是科学、哲学，古希腊文

    明都是西方文明直接和重要的源头。特别对数学而言，从古代文明流传下来的实用

    主义被彻底打破，数学成功地抽象出了自己的骨架和灵魂，成为一门独立的智力学

    科，并最终变得容貌清晰、血肉丰满。这其中，古希腊的数学家们功不可没。

    这么说倒不是指在古希腊时期数学就已经建立起了门类齐全的庞大体系，取得

    了无与伦比的辉煌成就，而是指在这个时期数学正式确立了以“抽象”与“演

    绎”为核心的架构原则，这是数学区别于其他自然科学的重要特征。现代英语所使

    用的“逻辑”一词“logic”正是来源于希腊语表示理性的用词“logos”。

    在发展数学的抽象与演绎上，毕达哥拉斯以及他所创立的学派是当之无愧的重

    要力量，但要论起这场思想界启蒙运动的先驱，毕达哥拉斯先生还得往后排一排，出生于爱奥尼亚米利都城(今位于土耳其艾登省)的泰勒斯(Thales)才是名副其

    实的第一人。

    坦率地讲，泰勒斯的媒体曝光率远不如他的同行苏格拉底和柏拉图等人，但他

    的名头却一点也不小。泰勒斯是西方思想史上第一个有明确记载的思想家，被称

    为“科学和哲学之祖”，他创立了古希腊最早的哲学学派——爱奥尼亚学派。

    泰勒斯和他的学派对科学和哲学最大的贡献在于第一次用“自然”(Nature)

    这个词来代替混沌不清、令人生畏的“神灵”，这打破了各种古代文明中普遍存在

    的认识世界的法则。这种法则的核心是任何无法解释的现象背后都有一股超越一切

    的神秘力量在进行操纵，所以有人生病了大家要跳个大神来驱驱鬼，洪水泛滥了大

    家要往河里扔些童男童女请河神息怒。在我们今天看来，这些当然都是愚昧迷信的糟粕，但在相当长的一段时间里，人们似乎对这一套还很受用。举个也许不太恰当的例子，宫斗大戏《甄嬛传》火遍

    大江南北，里面的皇后一派与甄嬛一派是死对头，她们都曾利用各种“高科技”手

    段祸害对方，保全自己，比如钦天监解天象和滴血认亲等，对科学技术不太擅长的

    皇帝就比较惨了，没有辨识力就只能照单全收，被一群女人耍得团团转[1]。这固然

    是因为皇帝受教育的程度有限，但反过来却也折射出一个颇为有趣的事实，这帮受

    教育程度更加有限的后宫佳丽们比起皇帝老儿来却相当具有“科学精神”。

    玩笑而已，人类科学精神的荒芜其实源远流长。但这更加说明泰勒斯和他的爱

    奥尼亚学派有多么可贵，因为早在两千多年前他们就已经提醒大家：所有的一切都

    是“自然”产生的现象，你所要做的就是去了解这个“自然”。

    用“自然”取代“神灵”，倒不意味着泰勒斯是个无神论者。相反，他认为神

    是存在的，并且是诸神支配了世间万物的运行规律，只不过这种规律可以被人类探

    索和发现而已。泰勒斯所说的“自然”指的也就是这种规律，要解释它，不能依靠

    凭空臆造的神话传说，也不能依靠天马行空的自由想象，而必须依赖经验、证据和

    理性的分析。从这一点看，泰勒斯的理论实在非常要紧，人类第一次，用一种理智

    的态度来看待世界，这是一种全新的思维方式，尽管还很粗糙，却是人类文明的巨

    大突破，因为它直接导致了科学思想的萌芽和发展。

    回到数学上来，毕达哥拉斯就是这种思想的现实受益者，据传他本人就跟泰勒

    斯学过数学，学得好不好不知道，但他肯定是继承了这种探索精神。在毕达哥拉斯

    的脑海中，“自然之美”即为“规律之美”“和谐之美”。从现实世界中抽象出数

    的概念并运用演绎、推理的方法寻找规律是毕达哥拉斯发现自然之美的主要方式，在数字之中寻求这种美感给了他极大的满足，以至于他最终走向了“万物皆数”的

    思想极端。

    3.2 毕达哥拉斯和他的暴力美学

    这个标题起得有点惊悚，“暴力美学”是个从电影行业里衍生出来的新名词，通常是指暴力的美学(研究暴力的美的学问)。我把它用在这里则是指毕达哥拉斯

    的美学很暴力(请注意与前者的区别)。大家不要误会，毕达哥拉斯不是搞屠宰业

    发家的，之所以想到这个词是因为这位数学大师在探索“自然之美”的过程以及对待“自然之美”的态度上做到了三点：简单、粗暴又极致。

    毕达哥拉斯的生辰年月不是很确切，大约公元前570年左右出生于米利都附近的

    萨摩斯岛。毫无例外，毕达哥拉斯也是个贵族富二代，老爹是个富商。相传他从小

    聪明好学，并且涉猎广泛，很早就被送到提尔(Tyre)跟随闪族的叙利亚学者进行

    学习。随着年龄的增长，毕达哥拉斯又来到米利都、得洛斯(Delos)等地，结识了

    一群大牛并拜他们为师，这其中就包括了数学家、哲学家泰勒斯，天文学家、哲学

    家阿那克西曼德[2]

    (Anaximander)和著名诗人克莱菲罗斯(Creophylus)等。拥

    有如此强大的导师团队实在是毕达哥拉斯的幸运，在他们的引领和调教下，毕达哥

    拉斯在宗教、音乐、天文和数学等领域迅速打下了成长为时代标杆的根基。

    既然是时代潜在的标杆，那一定是个鹤立鸡群的人物。在同乡人的眼中，毕达

    哥拉斯的行为也确实十分怪异，具体表现如下：

    (1)好穿奇装异服，主要以巴比伦和印度等东方各国爆款为主；

    (2)好留长发，与古希腊男子崇尚短发的氛围格格不入；

    (3)最关键的一点，宣扬歪理邪说，搞泰勒斯那一套理性神学。

    特别地，毕达哥拉斯逐渐意识到数字之中可能隐藏了自然界的全部秘密，于是

    想招一批研究生跟他一起研究抽象数学。

    这就让萨摩斯岛的居民们看不过眼了：自己走火入魔也就算了，还想忽悠年轻

    人一起干？没门儿!毕达哥拉斯在萨摩斯岛一直不受待见，在一种诡异的社会舆论

    包围下，30岁的他被迫离开家乡，前往埃及。当然，也有一种体面的说法：毕达哥

    拉斯又出门游学去了。

    当毕达哥拉斯再次回到萨摩斯岛的时候，他已经年届40。历经10年时间，毕达

    哥拉斯学习了象形文字，埃及神话、历史和宗教，进一步完善了自己的哲学体系并

    加以传播，开始拥有广泛的社会影响力，他相信自己已经有足够的力量给这座城市

    带来福音。但就在毕达哥拉斯出门游学的这段时间里，萨摩斯岛却在僭王波利克拉

    特斯(Polycrates)的统治下变得越发保守，任何不符合统治者个人意志的新奇理

    论都会被攻击成异端邪说并且被深深地仇视。毕达哥拉斯很快发现了环境的恶化，他没有接受波利克拉特斯“请君入瓮”式的招安邀请，拒绝了宫廷里的职位，一个人跑到深山老林里当起了隐士。

    但显然毕达哥拉斯不太适合当一个隐士，他耐不住寂寞也忍不了孤独，总是想

    找些小伙伴一起玩耍。但家又回不去，怎么办呢？毕达哥拉斯想了一个办法，在我

    看来，这堪称数学界第一营销案例，他找来了一个小男孩，花钱使他成为自己的学

    生。这个小男孩看在钱的份上勉强答应了，毕达哥拉斯开始给他教授几何学，男孩

    每出席一节课就可以得到三枚银币。几个星期之后，毕达哥拉斯假装自己再也无力

    支付让男孩上课的费用，只好停课。令人惊奇的是，男孩已经被毕达哥拉斯的讲授

    深深吸引，宁可花钱受教育也不愿意停止。很快，毕达哥拉斯不仅收回了成本，还

    使这位小男孩成为他最忠实的信徒。

    可惜这也是毕达哥拉斯在家乡萨摩斯岛的唯一收获，他关于社会改革的观点踩

    了雷区，激起了统治者更大程度的打压。迫于压力，毕达哥拉斯和他的母亲，还有

    他的信徒小男孩一起逃离了这块土地，前往意大利南部的西西里岛。

    毕达哥拉斯最终逃到了克罗敦(Croton)，在那里他将遇到自己事业上的最佳

    合伙人。

    米洛(Milo)，克罗敦最富有的人，也是出了名的大力士，他曾经保持着古希

    腊奥林匹亚竞技会和皮提亚竞技会的十二项冠军纪录，拥有比普通大富翁和学者更

    高的声望。米洛不仅四肢发达，头脑也很聪明，他喜欢研究哲学和数学问题，对来

    自萨摩斯岛的智者毕达哥拉斯特别地景仰。

    在听闻毕达哥拉斯想办一所学校之后，米洛非常支持，他不仅拿出了钱款，还

    拨出了自家房屋的一部分作为校舍。在颠沛流离了许多年之后，毕达哥拉斯，这位

    人过中年的数学大师，他的人生理想终于有了现实依托。

    在米洛的支持下，毕达哥拉斯的学校顺利开办起来，并且很快有了600人的规

    模。这所学校有个十分霸气的名字：“毕达哥拉斯兄弟会”，听起来很像“飞鹰

    帮”“龙虎堂”之类的黑社会组织。但事实上……也确实有那么点意思(后面会看

    到)。在外人眼中，毕达哥拉斯的组织极其神秘，人们虽然知道他们想干什么，但

    对于他们干了什么却是一无所知，这在普通民众的心里悄无声息地埋下了一颗怀疑

    的种子。毕达哥拉斯的兄弟会奉行平等主义，破天荒地允许妇女加入(当然，仅限贵族

    妇女)，但他们也有着严格的组织纪律：第一，任何加入兄弟会的成员都必须宣誓

    效忠并且捐献出自己的全部财产作为公共基金(听起来很像是搞传销的……当然，有

    朝一日若是退会可以双倍返还并且树碑立传)；第二，兄弟会成员必须严格保守秘

    密，不能对外透露任何内部的学术研究成果；第三，兄弟会成员必须清心寡欲，潜

    心学习和研究，严格遵守若干条非常奇怪的教义和禁忌，如不能吃豆子、不能碰白

    色的公鸡、不能吃整个的面包、不能在大路上行走等。

    基本上这三条下来，那些心思不纯、无心学术的家伙就被排除掉了，保留在兄

    弟会里的成员都是与毕达哥拉斯有着共同信仰、共同精神追求的精英力量，整个兄

    弟会也因此拥有极高的凝聚力。值得一提的是，毕达哥拉斯的老婆也是在兄弟会里

    找的，她就是美丽的西诺(Theano)姑娘。西诺对自己的老师极为崇拜，尽管年龄

    相差很大，还是义无反顾地嫁给了他。看来在科学界，“老少配”也有着很深的历

    史传统啊。此外，相传西诺是米洛的女儿，毕达哥拉斯老当益壮，成功地把合伙人

    变成了岳父，这对思想与资本的组合变得更加紧密了。

    在探寻“自然之美”上，毕达哥拉斯和他的追随者们的出发点是简单的，他们

    把“数”视为最大的偶像。

    这里的“数”指的是“计数数”1、2、3…，也就是现在数学上所说的正整数。

    这些数满足简单的计数功能，从它们诞生之日起就被认为是极为自然的存在，因而

    也被称为“自然数”[3]

    (natural number)。毕达哥拉斯们一开始用小石子在沙滩

    上排列成各种几何形状来研究自然数，他们最喜欢的是三角形和正方形，比如图3-1

    中，1、1+2、1+2+3、1+2+3+4…就是三角形数。一般地，三角形数的通项公

    式为 。

    图3-1 三角形数类似地，1、4、9、16…平方数为正方形数，相应数量的小石子恰好可以排列成

    正方形，每一行和每一列所占用的小石子数都一样(见图3-2)。

    借助这些几何形状，人们有时候很容易看出自然数之间的某些规律，例如在正

    方形数9中间画一条斜线，你能够马上意识到9被拆分成两个三角形数3和6(见图3-

    3)。

    图3-2 正方形数

    图3-3 正方形数被拆分成两个三角形数之和

    这件事情对任何正方形数都是对的，因而可以被抽象成一个一般的定理：任意

    两个相邻的三角形数之和是一个正方形数，反之也成立。放在今天，用代数学的语

    言来描述，这个定理其实就是一个简单的恒等式没什么了不起。但在毕达哥拉斯那个时代，数学家们意识到某些事情应该被抽

    象成一个可以被证明的一般性定理，本身就是一个巨大的进步，更何况他们还能够

    给出某种朴素的几何证明，这就是一件更加了不起的事情。

    另一类毕达哥拉斯们感兴趣的自然数叫作“完美数”(perfect number)。按

    照毕达哥拉斯的理解，一个数的完美程度取决于它与自身所有真因数之和的关系。

    举例说明，15的真因数有1、3和5，将这几个真因数加在一起结果是9，这个结果比

    15小，因此像15这样的数被称为“亏”数；而18的真因数为1、2、3、6和9，几个

    真因数加在一起是21，比18大，这样的数被称为“盈”数；既非“盈”数又

    非“亏”数的自然数就是“完美数”。换句话说，“完美数”的所有真因数之和不

    多不少，恰好等于它自己。

    自然数中的第一个完美数是6，因为6的真因数是1、2和3，将这几个真因数加在

    一起恰为6，而下一个完美数一下子就跳到了28，事实上28＝1+2+4+ 7+14。毕

    达哥拉斯认为6和28的完美性反映了世界的运行规律，其他学者有不少人也支持这种

    观点，他们在解读宗教经典时发现6和28是上帝创造世界所使用的基本数字，上帝创

    造世界用了6天而28天恰好是月亮绕地球一周的时间。

    这些“凑巧”抑或是“真实反馈”令毕达哥拉斯们非常着迷，他们开始疯狂地

    寻找其他完美数并探究它们所蕴含的更深层次的含义。第三个完满数是496，第四个

    是8128，第五个居然到了千万位：33550336，第六个更加恐怖，是几十亿的大数

    字：8589869056。完美数越来越难找，毕达哥拉斯也仅仅知道有限的几个(前四

    个)，但他还是发现了一些规律，例如完美数都是三角形数：

    6＝1+2+3

    28＝1+2+3+4+5+6+7

    496＝1+2+3+4+5+…+30+31

    8128＝1+2+3+4+5+…+126+127今天，我们已经能够决定完美数更多的性质，并且借助计算机的力量，找到了

    更多的完美数。但总的来说，两千多年过去了，我们对完美数依然知之甚少，一些

    基本的问题也没有办法回答：比如完美数是否有无穷多个？完美数是否都是偶数？

    等等。目前有许多数学家还在为满足人类最原始的好奇心而不断努力，从对“计数

    数”的探究发展起来的数学领域内最古老的分支——数论，依然散发出神秘而又迷

    人的魅力。

    3.3 谁动了我的优先权

    作为毕达哥拉斯学派最辉煌的美学成就之一，我们要专门用一节来讲毕达哥拉

    斯定理：任意直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。用代数学的语言

    来描述，毕达哥拉斯定理是说：如图3-4所示的任何一个直角三角形的三边长度满足

    数量关系式a2

    +b2

    ＝c2。

    眼尖一点的同学立马就认出来了，这不就是勾股定理嘛!没错，毕达哥拉斯定

    理在中国也称为勾股定理，每个中学生在开始学习几何学的时候都会接触到这个基

    本法则。我以前的数学老师就经常拿这个东西来唬人，导致我每次碰到求解数量关

    系的几何题时都会疯狂地添加垂线，从而保证有足够多的直角三角形(捂脸……)。

    图3-4 直角三角形

    在古代中国，直角三角形被称为勾股形，两条直角边中较短的那一条称

    为“勾”，较长的那一条称为“股”，斜边称为“弦”。早在公元前11世纪，西周数学家商高就在一次与周公的对话中提出了“勾三、股四、弦五”的结论[4]

    ，意思

    是如果一个直角三角形两条直角边的长度分别为3和4，则斜边长度为5。这可以视作

    勾股定理的一个特殊情形，它的提出比毕达哥拉斯要早了五百多年，所以把这个定

    理以毕达哥拉斯的名字命名，估计商高第一个拍桌子不服气。

    商高先生请坐下，别着急，还有比你更冤的。

    如果把a2

    +b2

    ＝c2

    看成一个代数方程的话，早在公元前18世纪的古巴比伦，数学

    工作者们就已经知道了这个方程的十五个正整数解。换句话说，他们已经验证了至

    少十五个不同的直角三角形，它们的三边关系均满足毕达哥拉斯法则，这其中还包

    括a＝12709，b＝13500，c＝18541这样的超大数组，因此我十分怀疑古巴比伦的

    数学工作者事实上已经知道了上述方程的一般公式解。但即使这样，在国际数学

    界，这个美妙而重要的定理还是归属毕达哥拉斯了，为什么呢？西方学者给出的解

    释是：毕达哥拉斯(或者他的学派)第一次给出了定理的证明。

    啥叫证明？从预设的前提和条件出发，经由严密地逻辑推导，得到符合预想的

    结论或成果，谓之证明。

    证明有那么重要吗？我的回答是：有的。数学证明非常重要，以至于它可以被

    视作数学区别于其他自然科学的核心元素，任何一门自然科学都不像数学那样严格

    地依赖“证明”这个概念。然而我们的数学教育从古至今都有一个传统，过分地强

    调实用性和解题技巧，却忽试了数学证明和思想的提炼。这就经常性地会造成一种

    尴尬的局面，对于一个数学问题我们往往只知其然而不知其所以然。1979年全国高

    考数学卷有一道题考的就是勾股定理的证明，据说在当年的考生中制造了一场“人

    间惨案”……当然，我不是要否定数学的实用性和解题技巧(有时候，它们还相当重

    要)，而是想表明“证明”对于培养数学思维所起到的关键作用。

    让我们再来看一下毕达哥拉斯定理的表述：任意直角三角形的两条直角边的平

    方和等于斜边的平方。这里出现了一个词“任意”，请打起十二分的精神，这个词

    是数学定理区别于其他所有科学理论的一个绝佳代表。

    在语义上，“任意”代表着全部，这意味着如果你只知道满足定理的一种特殊

    情形“勾三、股四、弦五”，那不行；你验证了十五个直角三角形，不行；甚至你

    验证了一千个、一万个直角三角形，也不行，因为保不齐第二天一觉醒来你就会发现一个反例，而一旦反例出现，定理就会被证伪。因此要保证定理的绝对正确性，你必须确保定理中的法则对所有直角三角形都是对的，不能有一个例外。然而直角

    三角形有无穷多个，你想一个一个地去验证，无异于痴人说梦。

    这时候，你就必须依靠数学证明了，这是典型的演绎逻辑而非经验逻辑里的归

    纳方法，也是数学思维与其他科学思维的重要区别。在其他自然科学的研究过程

    中，比如物理学，提出一个理论来解释某个自然现象通常被称为“假说”，请注

    意“假说”不是“科学理论”，不管它吹得多么天花乱坠，它的价值也比较有限。

    而一个“假说”要想变成“科学理论”必须经过实验的严格验证。例如爱因斯坦的

    广义相对论预言了光线在引力场中会弯曲，这一现象在1919年被英国天文学家爱丁

    顿(Eddington)和戴森(Dyson)的团队成功观测到，立刻引起了轰动，广义相对

    论从此风靡全球。又例如杨振宁和李政道于1956年提出“弱相互作用下宇称不守

    恒”，随后得到吴健雄团队的实验验证，第二年即获颁诺贝尔物理学奖。

    要是你认为这仅仅是科学研究的过程不同，相较于数学，物理学多了个实验物

    理而已，那可就大错特错了。

    在物理学中，即使你的“假说”被实验严格验证了也不意味着这一理论就从此

    高枕无忧，绝无翻盘的可能，因为受到实验材料、环境和方法的制约，很多实验并

    不能成为一个科学理论放之四海而皆准的保证。例如牛顿的惯性力学被视为物理学

    中的《圣经》，但在大尺度空间中却完败于爱因斯坦的相对论，爱因斯坦相对论的

    所有预言已经全部被实验所证实[5]

    ，但在微观粒子领域却受到了来自量子力学的强

    有力挑战。所以“修正”，在理论物理学中是一个特别常见的用词，著名物理学家

    霍金(Hawking)每隔一段时间就会推翻自己之前的结论，不是因为他不靠谱，而

    是因为学科思维的不同。

    说穿了一句话：数学求真，科学证伪，无他。

    当然，这个“真”指的是数学语言里的“真”，而不是客观世界里的绝对真

    实。在数学的世界里，物理学领域的这些尴尬事儿是绝对不会发生的，只要假设和

    前提成立，借助演绎逻辑推导出来的结论就是毫无疑问的真理，不存在有朝一日被

    拉下神坛的可能。毕达哥拉斯定理一经证明，一万年之后也不会被推翻，这使得数

    学证明能够达成的效果特别强大，因此也格外地要求严格。很多年前，我在《通俗数学名著译丛：数学趣闻集锦》中第一次看到下面这

    个“缺损棋盘”的例子(见图3-5)，一时间惊为天题。这道题目是这样说的：假设

    我们有一张国际象棋的棋盘，这个棋盘有缺损，位于棋盘对角的两个格子没有了，这样棋盘上就只剩下了62个格子。现在我们手里有31张矩形的多米诺骨牌，每张骨

    牌恰好可以覆盖棋盘上相邻的两个格子，请问这31张多米诺骨牌是否能够恰好覆盖

    缺损棋盘上的62个格子？

    图3-5 缺损棋盘问题

    我曾经把这个问题抛给我的学生来说明数学证明和科学验证有多么的不同。几

    乎所有的学生在拿到这个题目之后立刻就拿起笔在纸上画了起来，看看是否能够找

    到完全覆盖的方法。不过很快他们就放弃了，因为可能性实在太多了，即便有好几

    种铺法失败了，你也不能确定是不是恰好有一种你没有想到的铺法能够完成题目里

    规定的任务。

    那把它交给计算机如何？别逗了，在计算机还没宕机之前估计你就已经完全失

    去耐心了。

    因为很不幸，这道题目的答案是不可能，你无法找到铺满棋盘的方法，这注定

    了你从正面寻找答案的任何尝试都将以失败告终。启用数学思维加上一点点简单的

    观察就能特别轻易地证明这点，注意到国际棋盘上的格子是黑白相间的，而位于对

    角的两个格子颜色相同，都为白色，因此缺损的棋盘上黑格有32个，白格有30个，白格比黑格少两个。但是每张多米诺骨牌覆盖住的相邻两个格子的颜色是不同的，所以如果31张骨牌都能铺在同一张棋盘上那必然占据了31个黑格和31个白格，黑白

    格的数目必须一样多，显然缺损的棋盘并不满足这个条件，因而31张骨牌铺满缺损

    棋盘的方法根本就不存在!

    真是醍醐灌顶啊，这就是逻辑的力量，我第一次看到这个证明的时候被感动到

    不行……数学证明在这里表现出了摄人心魄的震撼力。

    回到毕达哥拉斯定理的证明，所有逐个验证的想法可以被抛弃了，你必须想到

    一种通用的办法使得它对任何直角三角形都是有效的。从这一点上来说，巴比伦人

    出局了，商高也不行，即使他们都会使用定理来求解直角三角形的边长，但看起来

    并没有留下行之有效的证明。

    在中国，勾股定理的第一个完整证明记载于公元3世纪三国时期的赵爽对《周髀

    算经》所作的评注，他搞出了一幅“勾股圆方图”，至今还被认为是中国古代数学

    的最高成就之一。2002年国际数学家大会在北京召开，此图被用于大会的会徽设

    计。

    至于西方数学界的第一个证明，记载于公元前3世纪左右欧几里得所著的《几何

    原本》(第一篇，第47命题)，尽管希腊哲学家、数学家普罗克鲁斯(Proclus，公元412—485年)在对《几何原本》所作的评论中认为这个证明属于欧几里得本

    人，毕达哥拉斯的贡献在于用普适的代数方法构造了方程a2

    +b2

    ＝c2

    的某些正整数

    解，但西方学者还是普遍相信毕达哥拉斯(或其学派)在更早的时候就已经给出了

    合法的证明。

    对于此种说法，我只能表示：不敢苟同。

    毕达哥拉斯并没有任何著作流传于世，他的学派也是一个密不透风的准黑社会

    组织，所有的学术成就都依赖于后世各种靠谱或者不靠谱的数学书籍和史料记载。

    然而并没有任何清晰的证据表明毕达哥拉斯是毕达哥拉斯定理的第一个证明者，西

    方学者把他的名字冠在如此有影响力的一个定理身上，可能更看重的是毕达哥拉斯

    本人作为西方数学界一个重要符号的象征意义。图3-6 勾股圆方图

    其实毕达哥拉斯定理是人类共同的精神财富，它是第一个体现数形结合思想的

    数学定理，是人类探寻自然法则的光辉标志，同时它也是一只会下金蛋的鹅，引出

    了许多重要的数学理论，著名的费马大定理即脱胎于此，因而全世界对它做出过贡

    献的数学家都应该共同分享这份荣耀，至少更加公允的说法，它应该被称为巴比伦

    -商高-毕达哥拉斯定理。

    现在，毕达哥拉斯定理已经有了500多种证法，我无法在这里把它们一一列出，但愿意分享一个我个人比较喜欢的证明作为这一节内容的结束，这个证明利用了相似三角形的性质，一下子就得出了结论，显得特别简洁。

    如图3-7所示，假定我们有一个三角形△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝a，BC

    ＝b，斜边AC＝c。

    图3-7

    由点B向斜边AC引一条垂线，交AC于点D，这样三角形△ADB与三角形△BDC均相似

    于三角形△ABC，由相似三角形对应边成比例我们得到

    化简即得：a2

    ＝AD×c，b2

    ＝DC×c，从而

    a2

    +b2

    ＝(AD+DC)×c＝AC×c＝c2

    3.4 心魔

    相传毕达哥拉斯证明了勾股定理之后非常激动，宰了一百头公牛并邀请全城居

    民一起祭祀天神，感谢上天让他发现了如此美妙的自然法则，史称“百牛祭”。这个传说的真实性已经无从考证，但毕达哥拉斯的数学研究毫无疑问影响到他

    的哲学思想，他不仅研究数与数之间的关系，还考察这种关系是如何支配各种物理

    现象的。

    有一个例子很能说明问题。毕达哥拉斯很早就跟随克莱菲罗斯学习诗歌和音

    乐，相信他对音律和节奏这种东西是比较擅长的，但是他没有办法解释为什么琴弦

    的某些特殊位置会触发美妙的和谐音而其他位置就不行。这种现象在毕达哥拉斯之

    前就已经被音乐家们所发现，古希腊早期最重要的乐器是四弦琴，也称四弦里拉，音乐家们一直靠耳朵和经验来寻找触发和谐音的特殊位置，除此之外，并没有客观

    的方法来帮助他们调琴。

    有一次毕达哥拉斯路过一个铁匠铺，铁匠铺里传出了嘈杂的声响，但在这些声

    响中毕达哥拉斯听到了锤子不断击打铁器所产生的悦耳和声。按照某些史料的说

    法，毕达哥拉斯立刻跑进铁匠铺里开始研究和声产生的原因，他发现某些锤子在击

    打铁器方面配合默契，它们在一起制造的声响总是让人感到和谐，但另一些锤子就

    不行，加入它们之后声音立刻变得刺耳和难听。毕达哥拉斯心想：这到底是为什么

    呢？

    数学家的直觉让他开始把玩起这些锤子的重量，他很快发现，能够产生美妙和

    声的那些锤子的重量之间形成一个简比关系，它们的重量是某一把锤子的12、13

    或14，而那些制造噪音的锤子之间没有这种关系，它们的重量比值是一些令人不快

    的复杂分数。这一发现令毕达哥拉斯大为兴奋，他马上意识到这一理论可以用来解

    释琴弦在哪些特殊位置会触发和谐的琴音。而事实也验证了他的想法，毕达哥拉斯

    找来一根琴弦做实验，单弦弹拨会产生一个基准音，若是用夹子固定住整个弦长的

    12处，弹拨琴弦会产生新的振动，发出一个与基准音相和谐的高八度的音，固定住

    弦长的另一些简单整数比处也会触发新的和谐音，但其他位置就没那么美好了，音

    调不仅不和谐还显得杂乱无章。

    事实上，从一根产生音do的弦开始，延长它的长度至1615倍给出音xi，延长

    其长度至65倍给出音la，43倍给出音so，32倍给出音fa，85倍给出音mi，169倍给出音re，2倍则给出低八度的do。

    这可以说是人类第一次在音乐中发现了简单的数学关系，数学用一种极其自然

    的方式支配着事物运行的规律。这种支配关系直到今天还在发挥指导作用，熟悉音乐的同学应该知道，吉他弹奏的时候会使用一个工具：变调夹，它的主要功能就是

    通过夹住吉他琴弦的特殊位置辅助演奏者把音调整体调整到相应的高度，从而大大

    降低了吉他弹奏时转调的难度。

    不仅是在音乐上，毕达哥拉斯和他的门徒在天文学上也坚持着类似的准则，他

    们认为恒星和行星的运行轨迹遵循一定的数学方程(圆方程)，而这些数学方程与

    琴弦上的音程一样，由简单的数字关系比来决定。例如毕达哥拉斯学派就认为太

    阳、月亮和星辰的运行轨道与地球之间距离的比值，分别等于三种和谐的音程，即

    八度音、五度音和四度音。尽管以当今天文学的观点来看，这些结论纯属胡扯，但

    一点也不妨碍一个伟大哲学流派的诞生。

    毕达哥拉斯屈膝跪地，将双手举过头顶，高喊着：“万物皆数!”

    这一喊，喊出了古希腊时期极为重要的一种哲学思想。所谓“万物皆数”，即

    指“数”是宇宙万物的本源，整个宇宙是数字及其关系的和谐共同体。毕达哥拉斯

    学派用数量关系衡量世间万物的运行规律，标志着人类对自然界的认识跨越到了一

    个全新的维度。之后的大哲学家柏拉图更加强调数学，特别是几何学的作用，成为

    毕达哥拉斯学派哲学思想的重要继承者。

    这时，我们应该注意到，在毕达哥拉斯学派的哲学体系里，“数”的概念已经

    被悄悄扩大了。虽然他们脑海中的数字依然指的是正整数，但正整数之间的比值已

    经变得比正整数本身更加重要，事实上他们认为任何事物之间的关系法则都是可公

    度的，或者说可以用正整数之间的比值来刻画。

    这种想法当然过于妖孽，但在毕达哥拉斯所处的那个时代，却有着许多证

    据“支持”这种理论。除了乐理上的完美贴合外，毕达哥拉斯们毫无疑问地坚信任

    何两个长度都能用一个公共的长度来度量，也即任给两条长为a、b的线段，都能找

    到第三条长为c的线段，使得a和b是c的整数倍。按照他们的描述，这一过程可以通

    过有限个步骤完成，先用较短的那条线段(假设为b)去度量较长的线段(假设

    为a)，若a不为b的整数倍，则在比对了若干个b之后会余下一段长度为r
    段，再用r去度量b，若b为r的整数倍，则结束寻找，否则用余下的那条小于r的线段

    继续这个过程。了解一点初等数论知识的同学应该知道，这个过程类似于求两个正

    整数最大公因子的辗转相除法。事实上，a和b可公度当且仅当a与b的比值是一个有

    理数。于是，毕达哥拉斯学派的哲学思想在无形之中解放了束缚在“数”这个概念上

    的枷锁，不管人们是否意识到，有理数在抽象数学中有了正式并且合法的地位。我

    们今天所指的“有理数”就是那些可以写成整数的商的数，英文为rational

    number，意为理性的、合理的数，但rational的词根ratio本身就是比例的意思，可见毕达哥拉斯一派学术影响的深远。

    对数字及其比例关系的坚持逐渐成长为毕达哥拉斯身上的一种魔性，任何不可

    公度的事物在他看来都是不存在的，谁要是告诉他这个世界纷繁复杂，许多事情都

    没法用数字来衡量，他肯定会把这个人当成一个魔鬼来仇恨。此刻，“万物皆

    数”在毕达哥拉斯及其门徒的心里已经上升到了一种信仰的高度，完全不容践踏。

    不幸的是，这样的事情还是发生了，而且是自己人干的。毕达哥拉斯兄弟会有

    个叫希帕索斯(Hippasus)的成员对毕达哥拉斯定理(也就是勾股定理)很痴迷，有一次他考虑两条直角边长度均为1的直角三角形，按照毕达哥拉斯定理的断言，这

    个直角三角形的斜边长c应该满足关系式c2

    ＝12

    +12

    ＝2，但他惊奇地发现没有任何一

    个有理数的平方等于2。

    这是一个非常简单的事实，我们可以迅速地给出证明：假设存在一个有理数

    满足 ，假定 是最简分数也即m与n互素，那么n2

    ＝2m2

    ，从而n2

    是一个偶数。这

    推出n本身是一个偶数，因为奇数的平方必定是奇数。于是，n2

    事实上被4整除，从

    而2整除m2

    ，m2

    也必须是偶数(推出m是偶数)，这导致了一个无法回避的矛盾，因

    为我们一开始就假定m和n是互素的。上述推理环环相扣，没有丝毫毛病，问题出在

    我们的假设，满足c2

    ＝2的有理数c事实上并不存在!

    当然，希帕索斯采取的证法十有八九是个几何化的证法(当时还没有代数证明

    的基础)，但 的无理性实实在在地确定了。

    这太明显了，它就在那里，希帕索斯看了好几遍依然不敢相信，两条直角边长

    度均为1的直角三角形的斜边居然无法公度!根植在脑海中的信仰瞬间崩塌。更为可

    怕的是，这种恐慌像瘟疫一样在兄弟会的成员中迅速传播，毕达哥拉斯辛辛苦苦构

    建起来的哲学大厦被一个小小的 搅得天翻地覆，他的门徒们愤怒了，下令处死希

    帕索斯，科学史上第一个为真理献身的人就此诞生，毕达哥拉斯兄弟会成功转型为

    带有宗教色彩的黑社会组织。希帕索斯的研究成果事实上发现了无理数，虽然他已经被沉到了地中海的海

    底，但纸是包不住火的，越来越多的无理数被发现，就连毕达哥拉斯本人都发现了

    正五边形的对角线不能公度[6]!人们对于数字的传统观念被彻底打破。面对着突如

    其来的无理小精灵，大家惊慌不已，最终演变成为一场巨大的危机，一些学者称其

    为“第一次数学危机”。

    毕达哥拉斯给科学划定了边界，却最终走到了科学的对立面。

    无论如何，“无理数”的火种保留了下来，人类关于数系的认知进一步扩大，虽然被冠以“无理”的头衔，但数学的成熟与进步终将证明它的地位。

    3.5 一张会员卡引发的血案

    毕达哥拉斯和他的兄弟会毫无疑问是那个时代的精英，他们在数学、哲学和天

    文学等领域不断取得成就。在社会生活中，他们也是主角，自带荣耀光环，这就对

    普通民众形成了一种巨大的吸引力。但普通民众是无法窥探这个神秘组织的具体事

    务的，前面说过了，毕达哥拉斯兄弟会的成员对外严格保守秘密，谁要是泄露了秘

    密，很快就会被组织定点清除(请注意，是清除，不是开除)。

    要想窥探也不是没有办法，那就加入他们呗，虽然兄弟会的入会条件非常严苛

    (参见前面章节)，但也抵挡不住众多爱智求真的人民群众的入会热情，估计在当

    时，加入兄弟会也是一件逼格很高的事情。但毕达哥拉斯实在是高手中的高手，他

    居然搞出了一套“饥饿营销”，不但兄弟会的成员名额有限制，任何申请入会的人

    员必须先在门外听课，不能参与讨论，也不能见老师，考试合格之后才能正式成为

    会员，而这段考察期据说长达五年之久。

    这就有点荒唐了，大家辛辛苦苦跟了五年班，到头来却有极大的风险卷铺盖走

    人。连个名分都捞不着，无论是谁料想都很难接受。

    其实“饥饿营销”不过是我强加给毕达哥拉斯的一个玩笑话，站在他的角度，这些奇怪的规定是完全可以理解的，毕竟兄弟会的基础是个学术组织，要是不考虑

    智商和领悟力，什么人都往里收，不仅不容易管理还会影响革命队伍的凝聚力。但

    在客观上，这些奇葩制度的确给那些被拒绝加入兄弟会的普通民众的自尊心带来了

    很深的伤害，毕达哥拉斯兄弟会在不知不觉中自我孤立，这在那个“水可载舟，亦可覆舟”的年代是一个非常危险的信号。

    在那些被拒绝入会的申请者中，有个叫西隆(Cylon)的年轻人，自命不凡，他

    对自己被拒绝一事耿耿于怀，决定报复。但报复也是需要等待时机的，许多年之

    后，西隆终于等来了机会。

    公元前510年，在第67届希腊奥林匹亚竞技会举办期间，毗邻克罗敦的城市锡巴

    里斯(Sybaris)发生了一场军事政变，政变领导者特里斯(Telys)推翻了前政权

    并对他们的支持者进行残酷的镇压。不少在政变中受牵连的人士逃到克罗敦寻求庇

    护，这使得两座城市之间的关系急转直下。特里斯发出通告，要求克罗敦将叛逃者

    引渡回锡巴里斯受审但遭到了拒绝，特里斯大发雷霆，立刻纠集了一支30万人的军

    队进攻克罗敦。

    大军压境，克罗敦军民并没有妥协，他们在米洛的领导下组织了10万人的保卫

    力量抵抗入侵。这是历史上又一次以少胜多的经典战役，在米洛卓越的指挥才能的

    领导下，经过70多天的战斗，克罗敦军民取得了最后的胜利，据说在这场战役中，毕达哥拉斯兄弟会的成员发挥了巨大的作用，进一步巩固了他们在上层阶级中的地

    位。

    然而战争结束，克罗敦城却笼罩在一片乌云之中。改革派提出了一项修订一个

    更加民主的宪法的议案，但是遭到了保守派米洛和毕达哥拉斯的否决。改革派恼羞

    成怒，开始在下层民众间散布谣言，攻击毕达哥拉斯和他的学派将会私吞战争后获

    得的土地和其他战利品。这个改革派的领导人不是别人，正是许多年前被毕达哥拉

    斯“羞辱”过的西隆。

    毕达哥拉斯兄弟会继续保守着他们的成果和秘密，人民群众中的不满情绪日益

    高涨，但这丝毫没有引起米洛和毕达哥拉斯的警惕，他们过分低估了对手的能量。

    在西隆领导的反对派的持续鼓吹和煽动下，下层民众心里的恐惧、贪欲和妒忌被最

    终点爆，迅速导致了一场波及全城的暴动。

    米洛和毕达哥拉斯们措手不及，他们的家和学校被参与暴动者包围，所有的门

    窗都被锁上以防有人逃走。然后屠杀开始，反对派们使用了火攻，许多毕达哥拉斯

    的信徒被活活烧死，现场如修罗地狱般恐怖。领导人米洛杀出一条血路逃了出去，毕达哥拉斯和其他一些年轻人也成功逃脱，但是他的学派却遭到重创，从此元气大伤。

    关于毕达哥拉斯此后的岁月有很多传闻和猜测，有人说毕达哥拉斯被追兵追上

    割断了喉咙，也有人说毕达哥拉斯逃到另一座城市，禁食40天之后自绝于一座神

    庙。但有西方学者经过考证还是认为毕达哥拉斯死时应在75岁左右，因此更为可信

    的说法是毕达哥拉斯逃到了意大利南部的梅塔波顿(Metapontum，毕达哥拉斯坟墓

    所在地)，于公元前495年左右在那里去世。

    不管这些传闻哪些是真的，毕达哥拉斯和他的学派都给人类留下了一笔宝贵的

    财富。在数学上，毕达哥拉斯学派运用演绎逻辑证明定理，他们不仅证明了毕达哥

    拉斯定理，还证明了三角形内角和等于180度；他们研究三角形数、正方形数、多角

    形数、完美数和亲和数，还发现了算术平均、几何平均、调和平均以及比例中项；

    他们发现了“黄金分割率”等无理数，将人类对数系的认知引领到一个全新的阶

    段。在哲学上，毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”的思想，主张用数量关系描述

    自然法则，尽管这个法则非常粗糙，却迈出了运用数学理论研究物理现象的第一

    步，为后代学者从事自然科学研究奠定了基础。

    在宗教、音乐、教育和政治领域，毕达哥拉斯学派的成果也都非常丰富，毫不

    夸张地说，他们在人类文明史上书写了浓墨重彩的一笔。毕达哥拉斯的去世使数学

    界和哲学界失去了一位大英雄，但他的门徒却因为逃难而开枝散叶，将他的思想传

    遍“全球”[7]

    ，毕达哥拉斯亲手创立的学派走向一片更为广阔的天地。

    3.6 根号2的逆袭

    的出生实在很委屈，不仅发现者被沉到了海底，希腊人在很长的一段时间里

    压根就不承认它是一个数。对此，我曾有一个很大的困惑，希腊人非常重视几何

    学，尽管已经从具体的实物中把“数”抽象了出来，但纯粹的代数学当时还没有诞

    生，所有对“数”的研究仍然依赖几何图形。 作为边长为1的正方形对角线的长度

    是一个真实得不能再真实的存在，就算找不到合适的整数比来表示，那也是上帝恩

    赐的礼物，只需要顶礼膜拜一下，然后给它起个酷炫的名字(比如“上帝之数”什

    么的)就可以了，为什么要感到恐慌呢？

    你也许立刻就能帮我找到一个答案：毕达哥拉斯的“万物皆数”在当时占据着思想界的主流， 无法用任何正整数的商来表示，它的存在本身就是对权威的极大

    挑战，人们不恐慌才怪。

    这个答案没什么问题，但在这一节里，我想给大家提供另外一个角度，这个角

    度剥离了 的代数数属性，把实数集 的精细结构作为一个整体放到数学发展的历

    史长河中来考虑，我的结论是：无理数的出现是纯粹数学发展的必然要求，即使没

    有“万物皆数”的思想，它依然会让数学家们感到不可思议。

    先来解释前半句。

    在很长的一段时间里，数学的发展一直是两条腿走路，一条腿叫几何图形，包

    括点、线、面、体等各个维度上的几何形状；另一条腿叫算术结构，主要是指数字

    上的加法和乘法运算。一开始的时候，这两条腿是揉在一起的，几何图形的长度、面积和体积的计算离不开算术方法，自然数各种数论性质的推导也需要借助几何形

    状，毕达哥拉斯学派对三角形数和正方形数的研究就是很好的例子。这种“我中有

    你，你中有我”的研究状态到达高峰的标志是毕达哥拉斯定理的证明。

    很快，几何与算术有了分道扬镳的迹象，公元前3世纪成书的《几何原本》是欧

    几里得的巅峰之作，也是整个古希腊数学的最高成就。在《几何原本》中，几何命

    题的证明首次系统地被纳入公理化体系，几何性状的研究和几何图形间相互关系的

    考量取代了实用性的计算成为几何学的核心；数论性质的推导也有了纯粹的代数方

    法，欧几里得明确了算术基本定理，首次用反证法证明了素数有无穷多个，前一节

    中提到的 不是有理数的证明也属于他。随后，“0”和负数以及代数符号的发明使

    得算术进入一个快速的发展时期，逐渐发展出一门独立的数学分支——代数学。

    几何与代数的再次融合要归功于法国哲学家和数学家笛卡儿(Descartes)，他引入了坐标系的概念，开创了解析几何的时代。借助解析几何的语言，人们能够

    使用代数表达式去精细地研究几何性状，这时“函数”的概念若隐若现，几何学的

    重心开始转向分析。在一系列天文学和社会生产实际问题的刺激下，数学朝着微积

    分的发明一路狂奔。

    现在，重点来了，整个18世纪是微积分学空前的繁荣期，人们依赖微积分的方

    法解决了大量的实际问题，然而你可能不会想到，整个微积分学的基础此时就系于

    一根小小的数轴之上，人们对定义在这根数轴之上的函数加减乘除，求导求积，却没有任何一个人说清楚这根数轴的算术基础到底是怎样的!

    什么意思呢？就是说我们一直把实数集等同于一根数轴，但是实数集里的元素

    长什么样？如何运算？这些基本的事情从数轴上根本就看不出来。数学家戴德金曾

    有过一个非常有趣的评价：人们(对数轴的算术基础缺乏认识，以至于)连

    这样的基本事情都没有严格证明过。

    千万不要认为这是在吹毛求疵，实数轴上的分析学要想具有严格的数学基础这

    是无法绕开的关口。在攻克它之前，诸如戴德金所指出的随意性给微积分的建立和

    发展带来了逻辑上巨大的困扰，因为算术基础说不清楚，“收敛”这个概念就说不

    清楚；“收敛”说不清楚，“极限”就说不清楚；“极限”说不清楚，“连续

    性”就说不清楚。“连续性”都说不清楚，微积分就犹如行走在棉花糖上的小怪

    兽，指不定什么时候就掉下去了。

    当时的数学家们对待此类问题的唯一办法大概就是依靠所谓的“几何直观”，于是微积分学里充斥着“任意小”“无限接近”“光滑地变化”等含糊不清的表

    述。你还不要笑话他们，如果你翻开现在的高中数学课本，你会发现里面的表述和

    两百多年前是一样一样的，处女座的宝宝苦啊……

    难道数学家们就不想着补补bug吗？

    不好意思，他们还真没怎么想过。主要原因就在于微积分实在是太好用了，无

    论是数学、物理学，还是天文学，所有以前解决不了的问题似乎在用了微积分之后

    都能够手起刀落，迎刃而解。因此，虽然逻辑上有顾忌，但终究没有抵挡住现实中

    的巨大诱惑，数学家们忙着攫取更大的成果，基本问题就被丢到一边去了。法国人

    达朗贝尔(D’Alembert)是18世纪少有的几个能分得清收敛级数和发散级数的数

    学家，就连他都曾说过一句名言：向前进，你就会产生信心!

    但有一件事情的发生，让这种信心逐渐降到了冰点，那就是非欧几何的发明。

    对现代物理学比较感兴趣的同学大概知道非欧几何是广义相对论的数学基础，爱因斯坦在很多数学家朋友的帮助下为自己的理论搭建了一个良好的几何框架。我

    们先不讨论非欧几何的数学内容，你只需要知道它跟欧几里得时代发展起来的几何

    学有着本质上的不同，在非欧几何里，三角形的内角和还不一定等于180度呢。非欧几何的发明使得数学的发展失去了以往常用的“几何直观”，你所看到的

    真实世界和你默认使用的数学概念之间可能相差了十万八千里远，“无穷大”就是

    一个最好的例子，大数学家欧拉(Euler)至死都还认为 是 的两倍。

    数学家们的后背凉飕飕的，再不去补算术基础，他们所创造的一切成果都要失

    去合法的地位，这是一千多年逐渐成长起来的数学的精确主义所不能容忍的。于

    是，实数系，特别是无理数的定义与构造就变得刻不容缓。无理数的出现事实上就

    是纯粹数学发展的必然要求。

    那无理数的出现为何会令数学家们感到恐慌和不可思议呢？

    这里需要讲解多一点数学知识，我们从自然数集合的算术结构说起。

    自然数集合中的1，2，3，4，…计数数是从具体实物中抽象出来的数字符号，理解起来没有任何困难，我们几乎是从幼儿时期开始就被这种实物与数字的联想训

    练数学思维和感觉。而自然数集合上有两种最基本的运算，也是从一开始就进入到

    我们的视野，一种是加法，另一种是乘法。加法和乘法的运算规律有着完全现实的

    意义，你无需考虑别的方式给出定义。例如“1+1＝2”和“3+5＝8”，你只需要

    伸出十个手指头来摆弄一下就能明白“加法”的含义。乘法也一样，“2×3＝

    6”和“5×8＝40”不过是体现了若干个加法的复合运算。

    从结构的角度来说，有一件事情是你应该注意到的，计数数的集合对于加法和

    乘法这两种运算都是封闭的。什么意思呢？就是说不管你对计数数实施了多少次加

    法或者乘法，最终得到的结果依然在计数数这个集合之内。这种封闭性对于数学法

    则的归纳和刻画往往有着非常重要的作用。不仅如此，你还会发现计数数集合中有

    一个元素“1”，对于乘法运算有着特殊的意义，那就是“1”与所有计数数相乘都

    等于这个计数数本身，我们给它一个名称，叫作计数数集合关于乘法运算的“单位

    元”。

    乘法单位元在计数数集合中是唯一的，假如还有另外一个计数数m具有

    跟“1”同样的性质，我们会立即得到m＝m×1＝1。这时候，一个有趣的问题就自然

    产生了：对任何一个计数数m，是否存在另一个计数数n使得m×n＝1？换句话说，计

    数数集合中的元素关于乘法是否存在“可逆元”？可逆元的存在能够使很多算术问

    题得到简化，所以这个问题很重要，但你的反应估计跟我一样：这怎么可能？除了“1”以外，计数数集合中哪个元素都不会有乘法逆元!

    你的判断是对的，计数数集合已经无法承载乘法可逆元的存在性要求了，我们

    必须人为地扩大集合的范围以便形式上的乘法可逆元存在。于是，分数出现了，任

    一个计数数m的乘法可逆元就是 ，而 则可以理解为 。这些分数在计数数集合的

    基础上形成了一个新的数集，可以称为计数分数集，这个集合不仅对乘法封闭

    ，而且每个元素都有乘法逆元。

    再来看加法，很不走运，计数数集合中并不存在关于加法运算的单位元，因为

    任何两个计数数相加都会得到一个更大的数，m+n是永远不会等于m或者n的。既然

    加法单位元不存在，加法可逆元也就没有了意义，计数数集合对于加法结构而言实

    在是贫穷得可怜。那我们能像乘法一样，扩充计数数的集合使其也包含加法单位元

    和可逆元吗？

    你大概已经想到“0”和“负数”了，没错，“0”就是计数数的加法单位元

    而“负数”就是计数数的加法逆元，因为“0”加上任何计数数m等于m本身，而对任

    何一个计数数m，我们有m+(-m)＝0。为了与乘法结构相匹配(都包含单位

    元)，我们通常把“0”也纳入计数数的范围之内，统称为自然数，这就是自然数集

    合也包含“0”的原因。

    当然，“0”和“负数”的出现比计数数要晚得多，虽然它们的发明者不一定会

    从算术结构上考虑问题，但“0”和“负数”的出现在根本上也是一种必然。

    现在让我们来梳理一下从计数数集合衍生出来的新数种：自然数——计数数加

    上“0”；整数——自然数加上“负数”；有理数——整数加上乘法逆元。计数数

    上的加法和乘法可以顺利地推广到这些新数种之上，唯一不平凡的是如何定义加法

    逆元的乘法和乘法逆元的加法。

    这时我们需要遵循两条基本的原则：一是“0”与任何数相乘都等于“0”；二

    是计数数上加法和乘法满足的交换律、结合律和分配律(m+n)·k＝m·k+n× k在新

    数种上也应该得到满足。相信这两条原则你应该不会有什么意见，在它们的保证

    下，加法逆元的乘法和乘法逆元的加法没有别的选择，分别定义为(-m)

    ×(-n)＝mn和 。至于为什么会这样？大家不妨开动脑筋尝试一下自行推导，你将充分领略到数

    学逻辑的神奇和美妙[8]。

    从算术结构的角度看，我们最终得到的有理数集合已经相当完整了，因为全体

    有理数对于有限次的加、减、乘、除四则运算都是封闭的，如果不是出于公度单位

    正方形对角线的需要，恐怕无理数压根就没有出现的必要了。

    你也许会问：加入一种新的运算如何，比如开方？毕竟 就是整数2开平方开出

    来的嘛。

    对此我的回答是：想法很丰满，现实很骨感，有理数经过有限次的加、减、乘、除加上开方运算并不能生成所有的无理数，甚至都不能生成所有的代数数(稍

    后会看到)，所以从这个角度来解读无理数的诞生并不恰当。那无理数究竟会如何

    产生，人们又为何要对此感到恐慌和不可思议呢？

    数学家大概是这个星球上最擅长开脑洞的人群，他们一不小心，把“有理数集

    对有限次的加、减、乘、除四则运算都封闭”里的“有限”改成了“无穷”。

    这一改，天下大乱。

    3.7 脑洞

    第一个开此脑洞的人已经很难具体考证，但给数学界带来了深刻影响的，是法

    国数学家维埃特(Viète)。这个人充分地值得大家拜一拜，因为他的名字还有一个

    拉丁文版本：韦达，描述一元二次方程根与系数关系的韦达定理就出自他的手笔。

    维埃特于1593年发现了一个非常神奇的公式

    第一次看到这个公式时我差点惊成双下巴，我的天他是怎么想到的？想必在当

    时，大多数人都跟我有同样的想法。维埃特的公式就如同一枚水中引爆的核弹，在数学界掀起了滔天巨浪，因为它是历史上第一个计算圆周率的精确表达式，如果你

    高兴的话，用不着学习什么“割圆术”，现在就可以拿起计算器来试一试[9]。

    维埃特发现的这个公式既美妙又神奇，它真正神奇的地方不在于整个公式中只

    出现了π和整数2，而在于末尾那个招人嫌弃的省略号。它的意思是：虽然我是个明

    明白白计算π的公式，但你就是不可能在有限步之内完成计算，无论你多么努力，你

    的女神依然是个看得见摸不着的东西……

    想想真是一副欠打的表情。

    嫌弃归嫌弃，我们还是要对这个公式顶礼膜拜，因为对于计算π的精确值，这种

    方法具有理论上的开创意义。然而这也并非我举这个例子的真正原因，真正的原因

    在于我们从有理数(整数2)出发，通过无限次的加、减、乘、除和开方运算得到了

    一个无理数(圆周率π)。在这里，“无穷”这个幽灵又出现了，有理数集合被它撕

    开了一道大口子，再也无法保持自身的封闭性。

    当然，你肯定会质疑，撕开口子的事儿开方运算已经干了，跟“无穷”没什么

    关系， 本身就是一个无理数。

    非常好，这个质疑很有力量，准确地说，维埃特的公式并不是打破有理数集四

    则运算封闭性的绝佳例子，下面这个才是：

    怎么样，是不是张大了嘴巴再次大吃一惊？这些数学家的脑子简直是太神奇

    了。此公式于1650年由英国数学家沃利斯(Wallis)发现，它的表达式中已经没有

    了开方运算，“无穷”次运算会打破有理数集四则运算的封闭性成为一个不争的事

    实。

    顺便提一句，现在数学界通用的“无穷”符号“∞”就是这个沃利斯发明的。

    当然，不光是π，其他无理数也可以通过有理数的无穷次加、减、乘、除运算来

    表达，比较出名的有和

    这里的 就是我们通常说的黄金分割率，它是边长为1的正五边形对角线长度

    的倒数，约等于0.618。而上面的写法则是数论研究中一种非常重要的表示数的方

    法，江湖人称连分数。

    如果你对无穷乘积不太感冒的话，仅用有理数的加法运算(无穷求和)也可以

    构造无理数。

    1671年，苏格兰人格雷戈里(Gregory)发现了下面这个级数

    比沃利斯的公式更加简洁，而莱布尼兹(Leibniz)也于1674年独立地得到了

    同样的结果。此外，欧拉于1748年发现了关于自然底数e的无穷级数至此，例子已经足够多了，这些表达式的存在充分说明了我们的结论(重要的

    事情说三遍)：有理数集合对有限次的加、减、乘、除四则运算封闭，但一旦

    把“有限”改为“无 ......