临床医学ppt课件:方差分析 .ppt
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方差分析 ANOVA
助教李婕
2003年11月21日
已经学过的知识
* 一位研究者对长子与次子的心理特征感兴趣。他在一年级大学生中随机抽取了10个长子和20个非长子对其施测自尊量表。10个长子在量表上的平均分是X = 48， SS=670。 20个非长子的平均分是X = 41， SS=1010。这些数据表明两组间是否有显著差异？用α= .01 的显著性水平作假设检验。
一个新的情境
* 一位研究者感兴趣影响儿童阅读能力的因素.研究者认为儿童的年龄和每次阅读时间可能是重要的影响因素。研究者设计了以下实验：选取三个年龄组的儿童: 3 岁, 8 岁, 和 14 岁.将每个年龄组的儿童随机分配到三个阅读条件. 组 1阅读时间为 5 分钟; 组 2为15 分钟; 对于组 3为30 分钟.两个星期之后测试了这些儿童的阅读能力。
分析
* t-检验和 z-检验不能用于多于 2 组的数据. 处理这类数据需要用一种新的推论统计程序: 方差分析 (ANOVA). (为什么)
这次课的内容
* 最基本的ANOVA.集中讨论单因素, 独立测量的研究设计.
* 1. ANOVA的简介
* 2.ANOVA的逻辑
* 3. ANOVA的符号.
* 4. ANOVA的过程和例题
* 5. 事后检验
ANOVA简介(1)
* 方差分析即analysis of variance，简称ANOVA。
* 功能：分析实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响。
方差的来源
什么造成样本的不同(处理间变异)
- 处理/组效应 - 处理造成的差异
个体差异效应 - 个体差异变异
- 随机误差
* 每一个样本内部的变异 (处理内变异)
- 个体差异效应
随机误差
ANOVA简介(2)
* 在方差分析中, 自变量称为因素.
-包含一个自变量的研究称为单因素设计(single-factor design).
- 具有多于一个自变量研究称为因素设计(factorial design).
* 构成因素的个别处理条件称为因素的水平
ANOVA简介(3)
* ANOVA能够处理数据的类型：
- 两个自变量 (称为因素): 年龄和阅读时间，都是组间 (独立样本) 变量.
- 包含组内 (重复测量) 因素的研究设计
- 同时包含组间和组内因素的混合设计(e.g. 假设上例中我们用同一些儿童作纵向研究。年龄是组内变量,阅读时间是组间变量).
* 上述研究称为因素设计, 两个组间因素,每一个因素有 3 个水平 (称为 3 X 3 组间设计).
ANOVA逻辑
* 与假设检验的逻辑是同样的, 只是具体内容有变化
* step 1: 陈述 H0 (和H1) ，确定标准: ? = ?
step 2: ANOVA 检验总是 单尾(不同之处)
* step 3: 指出检验的df (有两个 df)
step 4: 查表找出临界 F统计量
* step 5: 对于样本，计算 F统计量
step 6: 比较 F统计量 和临界 F统计量
step 7: 对于H0 作出结论
单因素, 独立测量研究设计的例子
* 检验三个不同的学习方法的效应。将学生随机分配到3个处理组
* 方法 A：让学生只读课本, 不去上课.
* 方法 B：上课,记笔记，不读课本.
* 方法 C：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记
单因素, 独立测量研究设计的例子
* Step 1: 陈述假设和设定标准 (选择 ?)
* H0: ?1 = ?2 = ?3
* H1: 其中一个组与另一个(或更多)的组均值不同。备择假设 可能的形式很多：
* ?1不等于 ?2 = ?3
?1 = ?3 不等于 ?2
?1 = ?2 不等于 ?3
?1 不等于 ?2 不等于 ?3
* 因此，只需给出虚无假设就够了
单因素, 独立测量研究设计的例子
* step 2: ANOVA 检验总是单尾. 因为不存在负的方差. F分布表也只有单侧的Alpha.(F分布图)
* step 3: 找出检验的 df. 注意要考虑几个 df
* step 4: 从表找出临界 F统计量
* step 5:计算样本 的F统计量观测值
* step 6:比较 F统计量的观测值与临界 F统计量 如果 F统计量的观测值 (Fobs) 在统计上显著地大于 1.0 则拒绝 H0
单因素, 独立测量研究设计的例子
* F<或＝1, 即MS组间/ MSw组内<1，说明数据的总变异由分组不同造成的变异只占很小的部分，大部分是由试验误差何个体差异所致，就是说不同的实验处理之间变异不大，或者说试验处理基本无效。
* F>1而且落入F分布的临界区，说明实验数据的变异由不同的实验处理所造成，即不同的试验处理之间有差异。
ANOVA的专用符号
* K = 处理条件(或组)的数目
n =每一个组的数目(如果它们相等)
ni = 第i组的数目(如果 它们不等)
N = ?ni = 总的样本容量
Ti = ?Xij
G = ?Xij =总的和
G-bar = G / N = 总的均值
SSi = 每一个组的和方 = ?(Xij - i)2
* ?X2=106
G=30=总的和
* N=15=总的样本容量
G-bar=30/15=2= 总的均值
K = 3 =处理条件 (或组)
ANOVA的过程
* F比率 = 处理间方差 /处理内方差( 需要找出两个方差. )
* 最基本公式s2 = SS/df.
* SS和 = ?X2 - (G2/N)
* SS和= 106 - (302/15) =106 - 60 = 46
* 需要将其分解为组间变异和组内变异.
* SS和 = SS组间 + SS组内
* 如何得到SS组内? 将每一个组SS相加
* SSwithin = ?SS每一个 处理内部 = ?SSi= 6 + 6 + 4 = 16
* 如何得到SS组间?
* 快捷的方法是:
* SS和- SS组内
注意
* 不推荐用这种方法,* 因为:
* 无法检查计算错误
* 未涉及SS组间 是如何组成.
直接计算 SS组间的两个公式 :定义公式和计算公式
* 定义公式：SS间 = ?[ni( X-bar- G-bar)2]
= 5(1 - 2) 2 + 5(4 - 2) 2 + 5(1 - 2)2
= 5 + 20 + 5
= 30
* 计算公式：SS间 = ?(T2/ni) - G2/N
= 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15
= 5 + 80 + 5 - 60
= 30
* SS和 = SS组间 + SS组内= 16 + 30 = 46
* s2 = SS/df.
df
* 共有两个 (或三个) 自由度, 一个组间方差df,一个组内方差df (以及一个总的 df).
* df和 = N - 1
* df组内 = = N - K
* df组间= K - 1
* df和 = df组内 + df组间
df
* 在例子中:
* df组内 = 15 - 3 = 12
* df组间= 3 - 1 = 2
* df和= 15 - 1 = 14, = 12 + 2
均方：计算方差.
* 方差 = 均方 = MS = SS/df
* MS组间= SS组间/df组间
* --> 上例中 = 30/2 = 15
* MS组内=误差的均方= SS组内/df组内
* --> 上例中 = 16/12 = 1.33
F比率
* F比率 =处理间方差/处理内方差
= MS组间/ MSw组间
* 上例中的F比率是: 15/1.33 = 11.28
查 F表 确定 Fcrit 对假设作出结论
* df组间 = 分子的df
df组内 = 分母的df (误差)
* --> 上例中: df组内 = 12; df组间 = 2
* 如果选择 ? = .05, Fcrit = 3.88
如果选择 ? = .01, Fcrit = 6.93
* F比率的观测值11.28> Fcrit., 所以拒绝 H0 (?1 = ?2 = ?3).
* 报告结果
* F(df组间,df组内) = Fobs, p < ?
报告结果
* 单因素方差分析发现学习方法有显著的效应, F(2,12) = 11.28, p < 0.01.
事后检验(Post hoc tests)1
* ANOVA 的结果是检验H0: ?1 = ?2 = ?3 ,并未提供哪个备择假设得到支持. 也就是说, 只知道一些组与其它组不同, 但并知道差别在哪些组之间.
* 所以从ANOVA得到显著差异的结果 (拒绝H0)后,一定要做作事后检验.
* 事后检验 使我们能够比较各组, 发现差异产生在什么地方.
* 事后检验就是比较每一个处理组与另一个处理组, 一次比较两个. 这称为成对比较.
事后检验(Post hoc tests)2
* 在上例中, 可以比较 ?1 与 ?2, ?1与?3, 以及 ?2与?3.
* 这样的做法有没有问题？
* 每一个比较 都是一个单独的假设检验, 每一个都有犯I类错误的风险. 所以,比较对数越多, 作结论的风险越大。即容易发现实际不存在的差异。 这称为实验导致的(experimentwise)alpha 水平 (或族系(familywise) 误差)
事后检验(Post hoc tests)3
* αEW = 1 - (1 - a)cc = 比较对数
- 对于上述例子, 如果选择 ? = 0.05 作3 对比较
- αEW = 1 - (1 - a)c = 1 - (.95)3 = 1 - .857 = .143
* I类错误的机会增加到14.7%而不再是5%，多数事后检验设计中都控制了实验导致误差.
事后检验(Post hoc tests)4
* 介绍两个事后检验: Tukey's HSD 检验 (honestly差异显著性) 检验和 Scheff 检验.
a) Tukey's HSD 检验
* 可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异，考查此差异在统计上是否显著.
* 此检验要求各组有相等的样本容量.
* HSD = q * sqrt(MS组内/n)
* q 值 可以从表中查出(附表6). 需要用到K和 df组内, 以及αEW
举例
* 在上例中 (用αEW = .05):
* HSD = q * sqrt(MS组内/n)=(3.77) sqrt(1.33/5) = (3.77)(.516) = 1.94
* 比较 1: H0: ?1 = ?2
* 2 -1 = 4.0 - 1.0 = 3.0
* HSD = 1.94 < 3.0，拒绝 H0
* 比较 2: H0: ?1 = ?3
* 3 -1 = 1.0 - 1.0 = 0.0
* HSD = 1.94 > 0.0，不能 拒绝 H0
* 比较 3: H0: ?2 = ?3
* 2 -3 = 4.0 - 1.0 = 3.0
* HSD = 1.94 < 3.0， 拒绝 H0
* 所以 B 与 A 和 C不同，而A 与 C 没有差异
b) Scheff?检验
* 用F比率检验差异. 这是最保守的检验 (降低 I类错误的风险, 但增加II类错误的风险). 特别适用于n 不等的情况
* 重新计算 MS组间, 每次只检验一个比较.注意:用整体的 df组间 和整体的MS组内.
举例：比较 1
* H0: ?1 = ?2
* SS组间 == 52/5+202/5-252/10 = 22.5
* MS组间 = = 22.5/2 = 11.25
* MS组内 = = 16/12 = 1.33
* F比率 = MS间/MS组内= 11.25/1.33 = 8.46
* 查 F表. ? = .05, Fcrit(2,12) = 3.88
* 8.46 > 3.88, 拒绝 H0
举例：比较 2
* H0: ?1 = ?3
* SS组间== 52/5+52/5-102/10= 0
* MS组间 =0/2 = 0
* MS组内 =16/12 = 1.33
* F比率 = MS间/MS组内= 0/1.33 = 0......（后略) ......
方差分析 ANOVA
助教李婕
2003年11月21日
已经学过的知识
* 一位研究者对长子与次子的心理特征感兴趣。他在一年级大学生中随机抽取了10个长子和20个非长子对其施测自尊量表。10个长子在量表上的平均分是X = 48， SS=670。 20个非长子的平均分是X = 41， SS=1010。这些数据表明两组间是否有显著差异？用α= .01 的显著性水平作假设检验。
一个新的情境
* 一位研究者感兴趣影响儿童阅读能力的因素.研究者认为儿童的年龄和每次阅读时间可能是重要的影响因素。研究者设计了以下实验：选取三个年龄组的儿童: 3 岁, 8 岁, 和 14 岁.将每个年龄组的儿童随机分配到三个阅读条件. 组 1阅读时间为 5 分钟; 组 2为15 分钟; 对于组 3为30 分钟.两个星期之后测试了这些儿童的阅读能力。
分析
* t-检验和 z-检验不能用于多于 2 组的数据. 处理这类数据需要用一种新的推论统计程序: 方差分析 (ANOVA). (为什么)
这次课的内容
* 最基本的ANOVA.集中讨论单因素, 独立测量的研究设计.
* 1. ANOVA的简介
* 2.ANOVA的逻辑
* 3. ANOVA的符号.
* 4. ANOVA的过程和例题
* 5. 事后检验
ANOVA简介(1)
* 方差分析即analysis of variance，简称ANOVA。
* 功能：分析实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响。
方差的来源
什么造成样本的不同(处理间变异)
- 处理/组效应 - 处理造成的差异
个体差异效应 - 个体差异变异
- 随机误差
* 每一个样本内部的变异 (处理内变异)
- 个体差异效应
随机误差
ANOVA简介(2)
* 在方差分析中, 自变量称为因素.
-包含一个自变量的研究称为单因素设计(single-factor design).
- 具有多于一个自变量研究称为因素设计(factorial design).
* 构成因素的个别处理条件称为因素的水平
ANOVA简介(3)
* ANOVA能够处理数据的类型：
- 两个自变量 (称为因素): 年龄和阅读时间，都是组间 (独立样本) 变量.
- 包含组内 (重复测量) 因素的研究设计
- 同时包含组间和组内因素的混合设计(e.g. 假设上例中我们用同一些儿童作纵向研究。年龄是组内变量,阅读时间是组间变量).
* 上述研究称为因素设计, 两个组间因素,每一个因素有 3 个水平 (称为 3 X 3 组间设计).
ANOVA逻辑
* 与假设检验的逻辑是同样的, 只是具体内容有变化
* step 1: 陈述 H0 (和H1) ，确定标准: ? = ?
step 2: ANOVA 检验总是 单尾(不同之处)
* step 3: 指出检验的df (有两个 df)
step 4: 查表找出临界 F统计量
* step 5: 对于样本，计算 F统计量
step 6: 比较 F统计量 和临界 F统计量
step 7: 对于H0 作出结论
单因素, 独立测量研究设计的例子
* 检验三个不同的学习方法的效应。将学生随机分配到3个处理组
* 方法 A：让学生只读课本, 不去上课.
* 方法 B：上课,记笔记，不读课本.
* 方法 C：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记
单因素, 独立测量研究设计的例子
* Step 1: 陈述假设和设定标准 (选择 ?)
* H0: ?1 = ?2 = ?3
* H1: 其中一个组与另一个(或更多)的组均值不同。备择假设 可能的形式很多：
* ?1不等于 ?2 = ?3
?1 = ?3 不等于 ?2
?1 = ?2 不等于 ?3
?1 不等于 ?2 不等于 ?3
* 因此，只需给出虚无假设就够了
单因素, 独立测量研究设计的例子
* step 2: ANOVA 检验总是单尾. 因为不存在负的方差. F分布表也只有单侧的Alpha.(F分布图)
* step 3: 找出检验的 df. 注意要考虑几个 df
* step 4: 从表找出临界 F统计量
* step 5:计算样本 的F统计量观测值
* step 6:比较 F统计量的观测值与临界 F统计量 如果 F统计量的观测值 (Fobs) 在统计上显著地大于 1.0 则拒绝 H0
单因素, 独立测量研究设计的例子
* F<或＝1, 即MS组间/ MSw组内<1，说明数据的总变异由分组不同造成的变异只占很小的部分，大部分是由试验误差何个体差异所致，就是说不同的实验处理之间变异不大，或者说试验处理基本无效。
* F>1而且落入F分布的临界区，说明实验数据的变异由不同的实验处理所造成，即不同的试验处理之间有差异。
ANOVA的专用符号
* K = 处理条件(或组)的数目
n =每一个组的数目(如果它们相等)
ni = 第i组的数目(如果 它们不等)
N = ?ni = 总的样本容量
Ti = ?Xij
G = ?Xij =总的和
G-bar = G / N = 总的均值
SSi = 每一个组的和方 = ?(Xij - i)2
* ?X2=106
G=30=总的和
* N=15=总的样本容量
G-bar=30/15=2= 总的均值
K = 3 =处理条件 (或组)
ANOVA的过程
* F比率 = 处理间方差 /处理内方差( 需要找出两个方差. )
* 最基本公式s2 = SS/df.
* SS和 = ?X2 - (G2/N)
* SS和= 106 - (302/15) =106 - 60 = 46
* 需要将其分解为组间变异和组内变异.
* SS和 = SS组间 + SS组内
* 如何得到SS组内? 将每一个组SS相加
* SSwithin = ?SS每一个 处理内部 = ?SSi= 6 + 6 + 4 = 16
* 如何得到SS组间?
* 快捷的方法是:
* SS和- SS组内
注意
* 不推荐用这种方法,* 因为:
* 无法检查计算错误
* 未涉及SS组间 是如何组成.
直接计算 SS组间的两个公式 :定义公式和计算公式
* 定义公式：SS间 = ?[ni( X-bar- G-bar)2]
= 5(1 - 2) 2 + 5(4 - 2) 2 + 5(1 - 2)2
= 5 + 20 + 5
= 30
* 计算公式：SS间 = ?(T2/ni) - G2/N
= 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15
= 5 + 80 + 5 - 60
= 30
* SS和 = SS组间 + SS组内= 16 + 30 = 46
* s2 = SS/df.
df
* 共有两个 (或三个) 自由度, 一个组间方差df,一个组内方差df (以及一个总的 df).
* df和 = N - 1
* df组内 = = N - K
* df组间= K - 1
* df和 = df组内 + df组间
df
* 在例子中:
* df组内 = 15 - 3 = 12
* df组间= 3 - 1 = 2
* df和= 15 - 1 = 14, = 12 + 2
均方：计算方差.
* 方差 = 均方 = MS = SS/df
* MS组间= SS组间/df组间
* --> 上例中 = 30/2 = 15
* MS组内=误差的均方= SS组内/df组内
* --> 上例中 = 16/12 = 1.33
F比率
* F比率 =处理间方差/处理内方差
= MS组间/ MSw组间
* 上例中的F比率是: 15/1.33 = 11.28
查 F表 确定 Fcrit 对假设作出结论
* df组间 = 分子的df
df组内 = 分母的df (误差)
* --> 上例中: df组内 = 12; df组间 = 2
* 如果选择 ? = .05, Fcrit = 3.88
如果选择 ? = .01, Fcrit = 6.93
* F比率的观测值11.28> Fcrit., 所以拒绝 H0 (?1 = ?2 = ?3).
* 报告结果
* F(df组间,df组内) = Fobs, p < ?
报告结果
* 单因素方差分析发现学习方法有显著的效应, F(2,12) = 11.28, p < 0.01.
事后检验(Post hoc tests)1
* ANOVA 的结果是检验H0: ?1 = ?2 = ?3 ,并未提供哪个备择假设得到支持. 也就是说, 只知道一些组与其它组不同, 但并知道差别在哪些组之间.
* 所以从ANOVA得到显著差异的结果 (拒绝H0)后,一定要做作事后检验.
* 事后检验 使我们能够比较各组, 发现差异产生在什么地方.
* 事后检验就是比较每一个处理组与另一个处理组, 一次比较两个. 这称为成对比较.
事后检验(Post hoc tests)2
* 在上例中, 可以比较 ?1 与 ?2, ?1与?3, 以及 ?2与?3.
* 这样的做法有没有问题？
* 每一个比较 都是一个单独的假设检验, 每一个都有犯I类错误的风险. 所以,比较对数越多, 作结论的风险越大。即容易发现实际不存在的差异。 这称为实验导致的(experimentwise)alpha 水平 (或族系(familywise) 误差)
事后检验(Post hoc tests)3
* αEW = 1 - (1 - a)cc = 比较对数
- 对于上述例子, 如果选择 ? = 0.05 作3 对比较
- αEW = 1 - (1 - a)c = 1 - (.95)3 = 1 - .857 = .143
* I类错误的机会增加到14.7%而不再是5%，多数事后检验设计中都控制了实验导致误差.
事后检验(Post hoc tests)4
* 介绍两个事后检验: Tukey's HSD 检验 (honestly差异显著性) 检验和 Scheff 检验.
a) Tukey's HSD 检验
* 可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异，考查此差异在统计上是否显著.
* 此检验要求各组有相等的样本容量.
* HSD = q * sqrt(MS组内/n)
* q 值 可以从表中查出(附表6). 需要用到K和 df组内, 以及αEW
举例
* 在上例中 (用αEW = .05):
* HSD = q * sqrt(MS组内/n)=(3.77) sqrt(1.33/5) = (3.77)(.516) = 1.94
* 比较 1: H0: ?1 = ?2
* 2 -1 = 4.0 - 1.0 = 3.0
* HSD = 1.94 < 3.0，拒绝 H0
* 比较 2: H0: ?1 = ?3
* 3 -1 = 1.0 - 1.0 = 0.0
* HSD = 1.94 > 0.0，不能 拒绝 H0
* 比较 3: H0: ?2 = ?3
* 2 -3 = 4.0 - 1.0 = 3.0
* HSD = 1.94 < 3.0， 拒绝 H0
* 所以 B 与 A 和 C不同，而A 与 C 没有差异
b) Scheff?检验
* 用F比率检验差异. 这是最保守的检验 (降低 I类错误的风险, 但增加II类错误的风险). 特别适用于n 不等的情况
* 重新计算 MS组间, 每次只检验一个比较.注意:用整体的 df组间 和整体的MS组内.
举例：比较 1
* H0: ?1 = ?2
* SS组间 == 52/5+202/5-252/10 = 22.5
* MS组间 = = 22.5/2 = 11.25
* MS组内 = = 16/12 = 1.33
* F比率 = MS间/MS组内= 11.25/1.33 = 8.46
* 查 F表. ? = .05, Fcrit(2,12) = 3.88
* 8.46 > 3.88, 拒绝 H0
举例：比较 2
* H0: ?1 = ?3
* SS组间== 52/5+52/5-102/10= 0
* MS组间 =0/2 = 0
* MS组内 =16/12 = 1.33
* F比率 = MS间/MS组内= 0/1.33 = 0......（后略) ......
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